3.1.2函数的表示法作业设计-2025--2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学作业设计方案针对高一学生初中函数表示法基础及逻辑思维待提升的特点，采用基础训练与创新提升分层设计，巩固知识并加深理解，满足不同层次学生需求。 通过基础题如表格数据求函数值巩固三种表示法，创新题如分析产量图像、骑车情境图像培养几何直观（数学眼光），画分段函数图像与解析表示锻炼逻辑推理（数学思维），评价科学，助力核心素养提升。

2026年五原县中小学优秀教学案例大赛 高一年级必修第一册第3单元第1课《函数的表示法》作业设计 课程基本信息 主备人 段世玉 课型 新授课 学科 数学 年级 高一 学段 高中 版本章节 人教A版2019年6月第1版必修第一册第三章 作业设计 课标 要求 1.结合实例会说出函数的三种表示法(图像法、列表法、解析式)的优缺点; 2.能根据题目的不同需要选择出恰当的方法来表示函数,体会三种表示法的优缺点; 3.通过例题与同学交流对分段函数概念及其表示方法进行理解. 教材 分析 因为学生在初中阶段已经接触了函数的三种表示,所以教科书直接给出函数的三种表示法,并通过典型例题训练学生选择适当的方法表示函数,并通过例题引进分段函数.在数学概念的表示中,函数的表示是比较特别的,一是符号的抽象性,二是函数的几种表示方法对理解函数概念的促进作用(本质上都是对应关系),三是不同表示法的特点及相互之间的联系与转化.因此,教科书在这里特别注意安排用“数学语言表达世界”的训练. 如何体现“函数的表示”的教学价值 一般而言,给出数学对象的表示方法是定义数学概念的一部分,不需要专门讨论,而且数学对象的不同表示法之间可以互相转换.但对于函数概念,因为图像法、列表法、解析法等不同表示法各有特点,而且有的函数只能采取某种表示法,所以在函数概念的学习中需要专门讨论表示法,其重点是根据具体问题的需要选择恰当的的表示法. 更重要的是,“函数的表示”给学生提供了一个从两个变量之间的依赖关系、两个实数集合之间的对应关系、函数图像的几何直观等多个角度认识函数概念的机会,有利于学生在数学表达与抽象定义之间建立联系,全面理解y=f(x)中f的意义.因此,教科书编写时加强了“什么例子有利于说明不同表示法特点”的研究,而且注重了不同表示法特点的分析与比较. 例如,第3.1节例4很简单,但它承担的教学功能有: (1)解析式、表格和图像都是表示y=f(x)的方法,它们都给出了从A={1,2,3,4,5}到B={5,10,15,20,25}的对应关系f,即对于A中任意一个数,由解析式、表格或图像都能确定B中唯一的数与之对应,而且这个数相等,即表示法不同但对应结果不同. 调查发现,大量学生认为图像、表格表示的对应关系不是函数,本题的学习有利于消除这一理解偏差. (2)不同的表示法有不同的特点,解析式是精确的、图像是直观的、表格是直接的.《标准(2017年版)》强调“理解用图像表示函数的特点”,其意图就是加强函数的直观性,这在讨论函数性质时非常有效. (3)为了更好地分析和解决问题,有时需要进行不同表示法的转化和综合使用.如第3.1节例7,先用表格给出了三名学生的成绩和半径平均分,这实际上是四个函数,为了分析三名学生的学习情况,转化为图像表示更有利;又如例8,在讨论个税问题时,综合使用了三种表示法. 学习函数的表示,不仅是研究函数本身和应用函数模型解决实际问题的需要,而且是进一步理解函数概念,深化对具体函数模型的认识的需要.同时,基于高中所涉及的函数大多数均可用几种不同的方式表示,因而学习函数的表示也是向学生渗透数形结合思想,培养学生直观想象素养的重要过程. 教科书主要介绍解析法、列表法和图像法这三种常用的表示方法. (1)教科书3.1.1中的四个实例为学习函数的三种表示法作了铺垫.实际教学时,可以先引导学生比较三种表示方法各自的特点,再师生一起进行评价并总结. (2)“解析法，就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系”,即将两个变量之间的对应关系,用一个等式来表示.在中学阶段,所研究的函数主要是能够用解析式表示的函数. 解析法有两个有点:一是简明、全面地概括了变量间的对应关系;而是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值. (3)“图像法，就是用图像表示两个变量之间的对应关系”,如教科书3.1.1中的问题3,用图3.1-1中的曲线表示了北京市2016年11月23日空气质量指数的变化.图像法也常常用于生产和生活中,如工厂的生产图像及股市走势图等都是这样的例子. 图像法的优点是直观形象地表示随着自变量的变化,相应的函数值变化的趋势,有利于我们研究函数的某些性质. (4)“列表法，就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系”,学生在生活中也经常遇到使用列表法的实例,如银行中利率表、列车时刻表等.教科书3.1.1中的问题4,通过表3.1-1直观反映了2006~2015年我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况. 列表法的优点是不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值. 在这个阶段的教学中,了解三种表示法各自优点的基础上,重点在于使学生面对实际情境时,会根据不同的需要选择恰当的的方法(图像法、列表法、解析式)表示函数. 学情 分析 1.学生已有知识基础 (1)初中阶段基础：学生在初中阶段已经初步了解了函数的三种表示方法——解析法、列表法和图象法，并能够通过这些方法表示一些简单的基本初等函数，如一次函数、二次函数等. (2)实际应用经验：学生在实际生活中也积累了一定的关于函数关系的实例，能够用解析式或图象表示简单的函数关系. 2.学生学习特点 (1)求知欲强：学生对数学学习通常抱有浓重的兴趣，特别是当数学知识能够与实际生活相联系时，他们的求知欲更为强烈. (2)逻辑思维能力欠佳：对于较为抽象和复杂的函数概念及其表示法，学生的逻辑思维能力可能显得不足，这在一定程度上增加了学习的难度. (3)合作探究能力有待提高：在学习过程中，学生可能需要更多的合作探究机会来加深对函数表示法的理解，但目前这方面的能力可能还有待提高. 作业设计思路 首先巩固本节课所学的内容然后在此基础上进一步加深对知识和方法的理解.另外，由于学生之间有差异，因此，还要适应不同层次的学生。 作业设计内容 基础训练 1.某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量(单位:千克)与销售价格(单位:元/千克)满足关系式,这是用 法表示关于的函数. 2.农业科学家在研究玉米的生长过程时,把生长过程分为32个生长阶段,通过试验得到了各个生长阶段植株高度的相关数据,如图所示: 在玉米的生长过程中,给定生长的某个阶段,就可以从这幅图中查到惟一一个与这个阶段相对应的玉米的植株高度,因此这个图可表示玉米的植株高度关于生长阶段的函数.这种表示函数的方法是 . 3.已知函数由下表给出: 0 1 2 4 2 0 1 则 . 4.已知函数,分别用列表法表示如下: 1 2 3 1 2 3 2 1 1 3 2 1 则 ;当时, . 5.某班连续进行了5次数学测试,某同学的成绩如下表所示,其中分数是关于次数的函数,则在这个函数中,定义域是 ,值域是 . 次数 1 2 3 4 5 分数 86 88 93 86 95 创新提升 6.某工厂八年来产品累积产量C(即前年年产量之和)与时间(单位:年)的函数图像如图,下列四种说法:①前三年中,产量增长的速度越来越快;②前三年中,产量增长的速度越来越慢;③第三年后,这种产品停止生产;④八年来,年产量保持不变.其中说法正确的是( ) A.②③ B.②④ C.①③ D.①④ 7.[2013湖北文.5]小明骑车上学,开始时匀速行驶,途中因交通堵塞停留了一段时间,后为了赶时间加快速度行驶.与以上事件吻合得最好的图象是( ) A B C D 8.给定函数,,, (1)在同一直角坐标系中画出函数,的图像; (2),用表示,中的最小者, 记为. 例如,当时,. 又如:当时,. 请分别用图像法和解析法表示函数. 答案 1.解析; 2.图像法; 3.0; 4.1,1; 5.{1,2,3,4,5},{86,88,93,95}. 6.A; 7.C; 8.(1) (2)图像法 解析法 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $