3.1.1 函数的概念（第2课时）（教学课件）高一数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数概念第2课时，核心涵盖区间表示、函数定义域（含抽象函数三种题型）及同一函数判定。通过复习函数概念与三要素搭建学习支架，引导学生从函数定义自然过渡到新知学习。 其亮点是以数学抽象和数学运算为核心，通过互动探究、分题型典例及“学海拾贝”易错点总结，如抽象函数定义域强调“括号内整体范围相同”规则，培养学生逻辑推理能力。学生能提升运算与抽象能力，教师可直接用于课堂教学提高效率。

【新教材】人教A版·高一必修第一册 第三章函数的概念与性质 3.1.1　函数的概念 第2课时 3.1　函数的概念及其表示 学 习 目 标 1 2 掌握区间的概念，会用区间表示解集；掌握函数定义域的求法，特别是掌握三种情形下抽象函数定义域的求解方法： 题型1.已知f(x)定义域为(a,b)，求f(g(x))定义域； 题型2.已知f(g(x))定义域为(a,b)，求f(x)定义域； 题型3.复合叠加抽象函数定义域求解。理解同一函数的定义，会判断两个函数是不是同一函数 培养数学抽象与建模能力,提升数学运算核心素养。 新课引入 复习回顾 函数的概念 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x∈A。 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做值域。 函数的三要素 定义域、对应法则、值域 辨析 “f(x)”可以表示函数值，也可以表示函数。 目标一：区间的表示 互动探究 区间的表示 函数的概念 定义 名称 符号 数轴表示 闭区间 开区间 半开半闭区间 半开半闭区间 1.区间的概念 互动探究 区间的表示 函数的概念 2.无穷大的概念 实数集 R 可以表示为 (-∞,+∞)。符号“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”。 定义 符号 数轴表示说明 互动探究 区间的表示 函数的概念 2.区间注意事项 区间是集合的简写形式，和不等式表达有区分； 区间左端点必须小于右端点，否则为空集； 区间一端为无穷大时，无穷一侧必须用小括号； 数轴规范：实心点代表包含端点，空心点代表不含端点。 全体实数 目标二 ：函数的定义域 互动探究 函数定义域求解规则 函数的概念 1.常规解析式定义域限制 函数结构 定义域要求 整式、奇次根式 定义域为全体实数 分式 分母，不可先约分再求定义域 偶次根式 被开方数 零次幂 底数 实际应用问题 满足现实意义，长度、人数等大于0 2.说明 由多个式子组成的函数，定义域取各部分有意义范围的交集； 见到函数优先求定义域；多个取值区间用符号∪连接。 互动探究 抽象函数定义域核心规则 函数的概念 ①同一对应关系f下，括号内整体取值范围完全相同； ②函数定义域永远只指自变量x的取值范围。 举例： 已知f(x)定义域[0,4]，则f(t+1)中t+1∈[0,4]，解得t∈[-1,3]； f(a-2)中a-2∈[0,4]，解得a∈[2,6]； 不同函数里相同字母x取值范围不一定相等。 目标三 ：同一函数 互动探究 相同函数判定 函数的概念 核心结论：两个函数为同一函数的充要条件——定义域完全相同，对应关系完全一致；仅值域相同不能判定为同一函数。 解题步骤：第一步求两个函数定义域；第二步化简对应关系；定义域、对应关系全部一致才是同一函数。配套判断例题若干。 补充说明： （1）定义域、对应关系任一不同，就不是同一函数； （2）自变量、因变量字母不影响函数本身，字母可任意替换； （3）化简解析式必须做等价变形，不能改变原有定义域。 互动探究 函数对比示例 函数的概念 函数 定义域 对应关系 值域 是否同一函数 基准 不是 不是 是 不是 目标四 ：典型例题 典例分析 题型1 区间的应用 表示 例1 数轴 试用区间表示下列实数集合 {x|5≤x<6} {x|x≥9} {x|x≤-5或-1≤x<2} 注意： 区间是集合的另一种表示形式，注意与不等式的区别。 注意区间左端点值一定要小于右端点值，否则为空集。 以“-∞”或“+∞”为区间的一端时，这一端必须是小括号。 解： [5, 6) [9, +∞) (-∞, -5]∪[-1, 2) 典例分析 题型二 函数定义域 例2 已知函数f(x)=， (1) 求函数的定义域； (2) 求f(-3)，f()的值； (3) 当a>0时，求f(a)，f(a-1)的值。 函数的定义域通常由问题的实际背景确定。如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合。 使根式有意义的实数x的集合是{x∣x≥-3}，使分式有意义的实数x的集合是{x∣x≠-2}。 所以，这个函数的定义域是 {x∣x≥-3}∩{x∣x≠-2}={x∣x≥-3，且x≠-2} 即[-3, -2)∪(-2, +∞)。 典例分析 题型二 函数定义域 第一 例3 第二 求下列函数的定义域 (1)y= (2)y= 求函数定义域解题规则 (1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零。 (2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零。 (3)若f(x)中含，则要注意x≠0。 (4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域要使各个式子都有意义(即求各个式子有意义的交集)。 【解】(1)要使函数有意义，必须≥0，解得-<x≤6。所以所求函数的定义域为。 【解】(2)要使函数有意义，必须 解得-2≤x<1或1<x≤5。所以所求函数的定义域为[-2,1)∪(1,5]。 典例分析 题型二抽象函数定义域三大题型 例4 题型1：已知f(x)定义域(a,b)，求f(g(x))定义域 解法：由a<x<b，得a<g(x)<b，解不等式得到x范围即为f(g(x))定义域。 核心原理：同一对应法则f下，括号内整体取值范围不变。 解： 由题意1≤2x-3≤5 4≤2x≤8，2≤x≤4 ∴定义域[2,4] 解： -2<|x+1|≤4 绝对值恒非负，只需解|x+1|≤4 -4<x+1<4，-5<x<3 ∴定义域(-5,3) 已知f(x)定义域为[1,5]，求f(2x-3)的定义域 已知f(x)定义域为(-2,4]，求f(|x+1|)的定义域。 典例分析 题型二抽象函数定义域三大题型 例5 题型二：已知f(g(x))定义域，求f(x)定义域 已知x∈[m,n]，求出g(x)的取值范围，该范围就是f(x)的定义域。 解： 0≤x≤2⇒0≤3x≤6⇒-1≤3x-1≤5 括号内整体范围[-1,5] ∴f(x)定义域[-1,5] 解： -1<x<3⇒1<x+2<5 括号内整体范围(1,5) ∴f(x)定义域(1,5) 已知f(3x-1)定义域为[0,2]，求f(x)定义域 已知f(x+2)定义域为(-1,3)，求f(x)定义域。 典例分析 题型二抽象函数定义域三大题型 例6 题型三：已知f(g(x))定义域，求f(h(x))定义域（综合题型） 第一步：由f(g(x))定义域求出f(t)的范围（f的通用范围）； 第二步：令h(x)落在该范围内， 解： ①0≤x≤3⇒1≤2x+1≤7，f(t)范围[1,7] ②1≤x-4≤7⇒5≤x≤11 ∴f(x-4)定义域[5,11] 解： ①-2≤x<2⇒-2<-x≤2⇒-1≤1-x<3，f(t)∈[-1,3) ②-1≤2x+3<3⇒-4≤2x<0⇒-2≤x<0 ∴定义域[-2,0) 已知f(2x+1)定义域[0,3]，求f(x-4)定义域。 已知f(1-x)定义域[-2,2)，求f(2x+3)定义域 典例分析 题型三 同一函数 第一 例7 第二 第三 第四 下列各组中的两个函数是不是同一个函数？(1)f(x)=(((4)f(x)=x+, g(t)=t+ (1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同一个函数。 (2)函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的。 (3)在化简解析式时，必须是等价变形。 (1)因为f(x)的定义域是R，g(x)的定义域是[0,+∞)，两个函数的定义域不同，所以不是同一个函数。 (2)因为两个函数的对应关系不同，所以不是同一个函数。 (3)因为f(x)的定义域是{x∣x≠-1}，g(x)的定义域是R，两个函数的定义域不同，所以不是同一个函数。 (4)f(x)和g(t)虽然表示自变量的字母不同，但它们的定义域及对应关系都相同，所以是同一个函数。 目标五 ：针对训练 举一反三 1.区间(0,2]等于() [A] {0,2} [B] {(0,2]} [C] {x∣0<x≤2} [D] {x∣0≤x≤2} 解析】根据区间的定义可知(0,2]={x∣0<x≤2}，故选C。 2.函数f(x)=√(2x-4)的定义域是( ) [A][2,+∞) [B](2,+∞) [C](-∞,2] [D](-∞,2) 【解析】要使函数f(x)=有意义，则2x-4≥0，解得x≥2，所以函数f(x)=的定义域为[2,+∞)。故选A。 举一反三 3.下列四个函数中，与y=2x表示同一个函数的是() [A]y=2|x| [B]y=√ [C]y [D]y= 【解析】 y=2|x|和y=2x的对应关系不相同，不是同一个函数，故A不符合题意； y=2|x|和y=2x的对应关系不相同，不是同一个函数，故B不符合题意； 函数y的定义域为{x|x≠0}，函数y=2x的定义域为R，定义域不同，不是同一个函数，故C不符合题意； 函数y=2x的定义域和对应关系与y=2x都相同，是同一个函数，故D符合题意。故选D。 举一反三 4.已知区间(2a-1,7]，则实数a的取值范围是(-∞,4)。(用区间表示) 【解析】依题意得2a-1<7，解得a<4，所以实数a的取值范围为(-∞,4)。 5. (1)函数的的定义域是() [A][,+∞) [B][1)∪(1,+∞) [C](+∞) [D](,1)∪(1,+∞) 【解析】(1)令 解得x>1/2且x≠1，所以函数f(x)的定义域是(,1)∪(1,+∞)。故选D。 举一反三 6.已知区间(2a-1,7]，则实数a的取值范围是(-∞,4)。(用区间表示) 【解析】依题意得2a-1<7，解得a<4，所以实数a的取值范围为(-∞,4)。 7. 函数的的定义域是() [A][,+∞) [B][1)∪(1,+∞) [C](+∞) [D](,1)∪(1,+∞) 【解析】(1)令 解得x>1/2且x≠1，所以函数f(x)的定义域是(,1)∪(1,+∞)。故选D。 举一反三 8.下列各组函数表示同一个函数的是( BC ) [ 【解析】A选项，定义域分别为{x∣x≠0}和R，定义域不同，所以不是同一个函数； B选项，定义域分别为R和R，定义域相同，对应关系分别是y和y=x，对应关系相同，所以是同一个函数； C选项，定义域分别为R和R，定义域相同，对应关系分别是yx和y=x，对应关系相同，所以是同一个函数； D选项，定义域分别为{x∣x≥3 或 x≤-3}和{x∣x≥3}，定义域不同，所以不是同一个函数。故选BC。 举一反三 9. (1)已知f(x)的定义域为[0,2]，求y=f(x+1)的定义域；(2)已知y=f(x+1)的定义域为[0,2]，求f(x)的定义域；(3)已知函数y=f(2x-1)的定义域为[-1,1]，求函数y=f(x-2)的定义域。 【解】(1)已知f(x)的定义域为[0,2]，则0≤x≤2，由0≤x+1≤2，得-1≤x≤1，即y=f(x+1)的定义域为[-1,1]。(2)已知y=f(x+1)的定义域为[0,2]，则0≤x≤2，则1≤x+1≤3，即y=f(x)的定义域为[1,3]。3)已知函数y=f(2x-1)的定义域为[-1,1]，则-1≤x≤1，则-3≤2x-1≤1，由-3≤x-2≤1，得-1≤x≤3，即函数y=f(x-2)的定义域为[-1,3]。 目标六 ：小结 学海拾贝 一、求函数定义域注意事项 式子类型 限制条件 易错点 分式 不能先约分再求定义域，约分易丢限制 偶次根式 大于等于0，不是大于0 零次幂 底数不能为0 整式、奇次根式 全体实数 无额外限制 学海拾贝 2. 组合式定义域 函数由多个部分相加/相乘，定义域取各部分限制的交集，必须同时全部满足。 例：y=，要同时满足x+2≥0且x≠1。 3. 实际问题定义域 除解析式要求外，还要符合现实意义：长度、人数、时间、面积等>0。 4. 抽象函数定义域核心易错点 f(括号内整体)取值范围永远相同； 定义域永远只看单独字母x，不是括号整体； 题型1：已知f(x)定义域[a,b]，求f(g(x))：解不等式a≤g(x)≤b，得x范围； 题型2：已知f(g(x))定义域[a,b]，求f(x)：先由x∈[a,b]算出g(x)范围，即为f(x)定义域。 学海拾贝 二、区间书写与使用注意事项 区间左端点必须＜右端点，若左≥右，区间为空集； 无穷大-∞、+∞一侧只能用小括号，不能写[+∞)； 实心点包含端点，空心点不含端点； 多个不连续区间用符号∪连接，不能写逗号； 例：x≤-2或x>0，写成(-∞,-2]∪(0,+∞)； 区间是集合简写，可与集合互化：(1,3)={x∣1<x<3}； 全体实数：(-∞,+∞)。 学海拾贝 三、判断同一函数注意事项 1. 判定充要条件（两点缺一不可） ① 定义域完全相同；② 对应关系完全一致； 值域相同不能作为判断依据，值域相同不一定是同一函数。 2. 高频易错点 自变量字母不影响函数：f(x)=x与f(t)=t是同一函数； 化简解析式必须等价变形，不能随意约分、去根号： 例：f(x化简后是x-1，但定义域少x=-1，不是同一函数； 根式区分：y=x|，和y=x对应关系不同；y定义域x≥0，和y=x定义域不同；只要定义域、对应关系有一处不同，直接判定不是同一函数。 【新教材】人教A版·高一必修第一册 感谢聆听! $