精品解析：海南儋州市2025-2026学年高一下学期7月期末期末学业质量监测数学试题

儋州市2026年春季学期高一期末学业质量监测试题 数学 考生注意： 1．本试卷共150分，考试时间120分钟． 2．作答时，请将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．） 1. 已知复数z满足（其中i为虚数单位），则z的共轭复数＝（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的除法运算法则，结合求模公式及共轭复数的概念，即可得答案. 【详解】由题意， 则z的共轭复数 2. 为了了解学生们的身体状况，某学校决定采用分层抽样的方法，从高一､高二､高三三个年级共抽取100人进行各项指标测试.已知高三年级有500人，高二年级有700人，高一年级有800人，则高三年级抽取的人数为（ ） A. 30 B. 25 C. 20 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】根据分层抽样的抽样比公式进行求解即可. 【详解】根据分层抽样的性质可知： 高三年级抽取的人数为. 故选：B 3. 已知向量，，若，则|（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量垂直的坐标运算可得，进而利用向量的线性坐标运算求得的坐标，代入模的运算公式即可求解. 【详解】因为向量，，且，所以，解得， 所以，所以． 4. 已知m，n是两条直线，是一个平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间中线、面关系的判定和性质逐一判断即可. 【详解】对A：平行于同一个平面的两条直线的位置关系不确定，故A错误； 对B：若，，则或，故B错误； 对C：根据线面垂直的定义可知，C正确； 对D：若，，则直线与平面的位置关系不确定，故D错误. 故选：C 5. 已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，且圆锥的底面积为 ，则此圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合圆锥的结构特征列式求，进而可得体积. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，高为， 由题意可得：，解得， 所以圆锥的体积为. 故选：B. 6. 在中，已知是边上的中线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用两次余弦定理即可求解. 【详解】 由余弦定理得：， 再由余弦定理得：， 则， 故选：B 7. 将函数的图象向左平移个单位长度后，得到的函数图象关于直线对称，则的最小值是（ ） A. B. C. 2 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】通过平移得到，再利用对称性列方程，即可求解. 【详解】函数的图象向左平移个单位后， 得到的函数， 因为曲线关于直线对称， 所以，， 解得：，， 因为，令，得，所以的最小值是. 故选：B. 8. 如图，在直角梯形中，，以四条边为直径向外作四个半圆，点是这四个半圆弧上的一个动点，则的最大值是（ ） A. 8 B. 16 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据点的位置，分类讨论，利用数量积的定义即可求解. 【详解】要使最大，与的夹角小于， 当点在弧上时，， 当点在弧上时，， 当点在弧上时，取线段中点为， 则 ， 所以当与同向时，， 此时最大值为， 故选：D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，全对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．共18分．） 9. 一组样本数据如下：47，48，49，50，51，52，53，则（ ） A. 该组数据的平均数为50 B. 该组数据的中位数为50 C. 该组数据的方差为3 D. 该组数据的第80百分位数为51.5 【答案】AB 【解析】 【详解】对于A项：平均数，故A正确； 对于B项：该组数据共7个，从小到大排列后中位数为第4个数据，即50，故B正确； 对于C项：方差，故C错误； 对于D项：由，结果不是整数，向上取整为6，因此第80百分位数为第6个数据52，不是，故D错误. 10. 已知平面向量，则（ ） A. 不垂直 B. ，使得共线 C. 当时， D. 当时，在方向上的投影向量为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于选项A，可通过向量的数量积进行判断；对于选项B，根据向量的共线性质进行判断；对于选项C，首先求出的坐标，然后求其和的模；对于选项D，首先求出的坐标，然后根据向量的投影公式进行求解. 【详解】因为， 则， 所以不垂直，所以选项A 正确. 假设，则，所以， 所以当时，共线，所以选项B正确. 当时，， 所以，所以，所以选项C错误. 当时，， 所以在方向上的投影向量为. 故选：. 11. 已知棱长为2的正方体，点是的中点，点在线段上，满足，则下列表述正确的是（     ） A. 时，平面 B. 不存在，使得平面 C. 任意，三棱锥的体积为定值 D. 过点的平面分别交于，则的范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用线面平行的判定判断A；举例说明判断B；利用等体积法计算判断C；作图直接计算得到并判断D. 【详解】对于A，当时，是的中点，而是的中点，则， 而平面，平面，于是平面，A正确； 对于B，当，即点与重合时，由平面，平面， 则，又平面，则平面， 而平面，于是，又，则，同理， 又平面，因此平面，B错误； 对于C，显然，而平面，平面，则平面， 因此点到平面的距离为定值，在中，，其面积为定值， 因此三棱锥的体积为定值，C正确； 对于D，直线与直线和分别交于点，则，， 而有，， 当时，有，， 则，， 从而，， 当时，分别与重合；当时，点为中点，与重合， ，亦成立， 则，，所以的取值范围是，D正确. 故选：ACD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知复数，则复数在复平面内对应的点位于第__________象限. 【答案】三 【解析】 【分析】先求出，然后求出其在复平面对应的坐标，从而可得答案 【详解】因为， 所以， 所以复数在复平面内对应的点为，位于第三象限， 故答案为：三 13. 在中，角、、所对的边分别为、、，若，，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦定理进行角化边，由题意解得两边的长，利用余弦定理，可得答案. 【详解】因为，所以根据正弦定理得， 代入，可得，解得，. 所以由余弦定理可得，即. 故答案为：. 14. 三棱锥的顶点都在球的球面上，且，若三棱锥的体积最大值为，则球的表面积为_____. 【答案】 【解析】 【分析】先由余弦定理得到为直角三角形，解得，再根据得到与的关系，而后由三棱锥的体积最大值为得到，此时，即可求得，代入球的表面积公式可得答案. 【详解】由余弦定理可知：， 即，又，解得. 因为，故，所在小圆的圆心为中点，小圆半径； 记球心到小圆圆心的距离为，球半径为，三棱锥的高为， 则有， 当三棱锥的体积最大时，与在球心两侧，此时有 ， 再由，可知， 故，解得，此时， 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分．） 15. 如图，在正方体中，是棱上一点，且． （1）试画出过三点的平面截正方体所得截面； （2）证明：平面与平面相交，并指出它们的交线． 【答案】（1）作图见解析 （2）证明见解析；为面与面的交线 【解析】 【分析】（1）在上取一点，使得，延长交于点，连结，即可得到截面； （2）根据两平面有公共点，可知两面相交；延长，设它们交于点，可证得在两面交线上，由此可知交线为. 【小问1详解】 在上取一点，使得，延长交于点，连结， 则平面就是过三点的平面截正方体所得截面． 【小问2详解】 平面，平面， 平面平面，即平面与平面相交． 延长，设它们交于点， 直线，直线平面，平面． 直线，直线平面，平面． 为面与面的交线． 16. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者，遵义市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，⋯，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值及样本成绩的第80百分位数； （2）求样本成绩的平均数，中位数和众数； （3）已知落在的平均成绩是55，方差是7，落在的平均成绩为67，方差是4，求两组成绩合并后的平均数和方差. 【答案】（1），86 （2）74，75，75 （3）， 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图的性质，求得参数，根据百分数的定义，可得答案； （2）根据平均数、中位数以及众数估计值的公式，结合频率分布直方图，可得答案； （3）根据两个分数段的频率可得其人数比例，结合平均数与方差的计算，可得答案. 【小问1详解】 根据题意可得，解得； 因为前几组的频率依次为0.05，0.1，0.2，0.3，0.25， 所以样本成绩的第80百分位数在内，且为. 【小问2详解】 本成绩的平均数为； 因为前几组的频率依次为0.05，0.1，0.2，0.3， 所以样本成绩的中位数在内，且为； 样本成绩的众数为. 【小问3详解】 因为与的频率之比为， 又落在的平均成绩是55，方差是7，落在的平均成绩为67，方差是4， 所以两组成绩合并后的平均数； 所以两组成绩合并后的方差. 17. 已知分别是锐角三个内角的对边，且，． （1）求的值； （2）求面积的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理和辅助角公式求出，再由已知条件结合正弦定理求得； （2）先根据正弦定理求出的关系式，然后根据的范围求出的范围，最后利用三角形面积公式即可求得其面积的范围. 【小问1详解】 在锐角中，由正弦定理得， 又， ∵， 所以， 则， 在锐角中，， ，即. ， 【小问2详解】 由（1）得， 由正弦定理：，得 因为为锐角三角形，所以，所以， 所以，所以， 所以， 故面积的取值范围为． 18. 设函数，其中，已知函数的图象关于点成中心对称. （1）求； （2）当时，求函数的单调递增区间； （3）若，，且，，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换得到，将代入，结合，求出； （2）整体法得到，求出即为单调递增区间； （3）求出，由同角三角函数关系得到和的值，凑角法，结合余弦和角公式得到，结合的范围，求出. 【小问1详解】 ， 将代入得，故， 解得， 又，故当时，满足要求； 【小问2详解】 由（1）知，， 时，， 故当或，即或时，单调递增， 故单调递增区间为. 【小问3详解】 ，故， 又，所以， 因为，所以， 故， 又，故， 又，所以， 所以， 其中 其中，故. 19. 如图，在四棱锥中，，，，E为棱的中点，平面. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明：因为且，所以四边形为平行四边形， 则，又平面，平面， 所以平面； （2）证明：由平面，平面，得， 连接，由且， 所以四边形为平行四边形，又， 所以平行四边形为正方形，所以， 又，所以，又平面， 所以平面，由平面， 所以平面平面； （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可证四边形为平行四边形，则，结合线面平行的判定定理即可证明； （2）如图，易证，根据线面垂直的性质与判定定理可得平面，结合面面垂直的判定定理即可证明； （3）根据线面垂直的性质与判定定理可得为二面角的平面角，即，作，由面面垂直的性质确定为直线与平面所成的角，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由平面，平面，所以， 又，平面， 所以平面，又平面，所以， 故为二面角的平面角，即， 在中，，作，垂足为M， 由（2）知，平面平面，平面平面，平面， 所以平面，则为直线在平面上的投影， 所以为直线与平面所成的角， 在中，，所以， 在中，， 即直线与平面所成角的正弦值为. 【点睛】 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 儋州市2026年春季学期高一期末学业质量监测试题 数学 考生注意： 1．本试卷共150分，考试时间120分钟． 2．作答时，请将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．） 1. 已知复数z满足（其中i为虚数单位），则z的共轭复数＝（ ） A. B. C. D. 2. 为了了解学生们的身体状况，某学校决定采用分层抽样的方法，从高一､高二､高三三个年级共抽取100人进行各项指标测试.已知高三年级有500人，高二年级有700人，高一年级有800人，则高三年级抽取的人数为（ ） A. 30 B. 25 C. 20 D. 15 3. 已知向量，，若，则|（ ） A. 2 B. C. 3 D. 4. 已知m，n是两条直线，是一个平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 5. 已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，且圆锥的底面积为 ，则此圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，已知是边上的中线，则（ ） A. B. C. D. 7. 将函数的图象向左平移个单位长度后，得到的函数图象关于直线对称，则的最小值是（ ） A. B. C. 2 D. 6 8. 如图，在直角梯形中，，以四条边为直径向外作四个半圆，点是这四个半圆弧上的一个动点，则的最大值是（ ） A. 8 B. 16 C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，全对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．共18分．） 9. 一组样本数据如下：47，48，49，50，51，52，53，则（ ） A. 该组数据的平均数为50 B. 该组数据的中位数为50 C. 该组数据的方差为3 D. 该组数据的第80百分位数为51.5 10. 已知平面向量，则（ ） A. 不垂直 B. ，使得共线 C. 当时， D. 当时，在方向上的投影向量为 11. 已知棱长为2的正方体，点是的中点，点在线段上，满足，则下列表述正确的是（     ） A. 时，平面 B. 不存在，使得平面 C. 任意，三棱锥的体积为定值 D. 过点的平面分别交于，则的范围是 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知复数，则复数在复平面内对应的点位于第__________象限. 13. 在中，角、、所对的边分别为、、，若，，，则______. 14. 三棱锥的顶点都在球的球面上，且，若三棱锥的体积最大值为，则球的表面积为_____. 四、解答题（本题共5小题，共77分．） 15. 如图，在正方体中，是棱上一点，且． （1）试画出过三点的平面截正方体所得截面； （2）证明：平面与平面相交，并指出它们的交线． 16. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者，遵义市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，⋯，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值及样本成绩的第80百分位数； （2）求样本成绩的平均数，中位数和众数； （3）已知落在的平均成绩是55，方差是7，落在的平均成绩为67，方差是4，求两组成绩合并后的平均数和方差. 17. 已知分别是锐角三个内角的对边，且，． （1）求的值； （2）求面积的取值范围． 18. 设函数，其中，已知函数的图象关于点成中心对称. （1）求； （2）当时，求函数的单调递增区间； （3）若，，且，，求的值. 19. 如图，在四棱锥中，，，，E为棱的中点，平面. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $