海南海口英雅盛彼德高级中学2025-2026学年第二学期高一数学期末检测试题

**基本信息** 高一数学期末卷涵盖向量、复数、立体几何、统计等核心知识，解答题如频率分布直方图分析、四棱锥体积与二面角计算，注重数学思维与实际应用，适配学段检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|向量共线、复数运算、圆锥表面积|基础巩固，如第3题结合体积公式求表面积| |多选|3/18|统计数据特征、解三角形|能力提升，如第9题射击环数分析考查方差与极差应用| |填空|3/15|球体积、正四棱台、三角函数|创新应用，如12题铁球熔化铸棱台体现数学建模| |解答|5/77|函数图像、立体几何证明、统计方差|综合探究，如17题频率分布直方图计算均值与方差，培养数据意识|

海南海口英雅盛彼德高级中学 2025-2026学年第二学期高一数学期末检测试题 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分) 1．已知向量，，若，则（   ） A．1 B．2 C．3 D． 2．若复数，则（    ） A． B． C． D． 3．已知圆锥的母线长l为5，体积V为，底面半径r，高为，该圆锥的表面积为（   ） A． B． C． D． 4．某工厂生产两种不同型号的产品，产量之比为，现用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，若样本中型号的产品有40件，则（   ） A．60 B．80 C．100 D．120 5．设，则等于（    ） A．-2 B．2 C．-4 D．4 6．设是平面，，，是三条不同的直线，则下列命题中正确的是（    ） A．若，，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，则 7．在四边形ABCD中，，设，则（    ） A． B． C． D． 8．在长方体中，，，点是的中点，点为线段 的中点，则直线与平面所成角的正弦值是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．亚运会期间，宁波市要选拔射击运动员参加比赛，已知射击标靶的环数是0到10环，若要求连续10次射击均不小于7环．下面是四位选手各自连续10次的射击情况的数据特征，其中肯定能通过选拔的是（） A．甲选手：平均数为8，众数为7 B．乙选手：平均数为9，方差为1 C．丙选手：中位数为7，众数为8 D．丁选手：中位数为9，极差为2 10．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则为锐角三角形 C．若，则为等腰三角形 D．若，，这样的三角形有两个，则a的取值范围为 11．如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是的中点，Q是侧面内的动点（含边界），则下列结论正确的是（   ） A．四点共面 B．异面直线与所成的角为 C．当点Q在线段上运动时，三棱锥的体积为定值 D．当时，点Q的运动轨迹的长度为 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 12．将一个半径为2的铁球熔化后，浇铸成一个正四棱台形状的铁锭，若这个铁锭的上、下底面边长分别为1和2，则它的高为______________. 13．如图，一台发电机产生的电流是正弦式电流，即电压U（单位：V）和时间t（单位：s）满足.在一个周期内，电压的绝对值超过的时间为______.（答案用分数表示）. 14．目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到5G基站的身影．某同学在一条水平公路上观测对面山顶上的一座5G基站，已知基站高，该同学眼高（眼睛到地面的距离），该同学在初始位置处（眼睛所在位置）测得基站底部的仰角为，测得基站顶端的仰角为，求得山高为__________m（用参考数据进行计算，山高为到地面的距离）；当该同学面向基站前行时，记该同学所在位置处到基站所在直线的距离为，且记在处观测基站底部的仰角为，观测基站顶端的仰角为．试问当__________（保留精确值）时，观测基站的视角最大？（数据：，，，） 四、解答题 15．（13分）已知函数的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式； (2)求在上的单调递增区间； (3)将函数的图象上所有的点向右平移个单位长度，所得图象经过点，求的最小值. 16．（15分）矩形中，， 为线段的中点，将沿 折起，使得平面平面．在新构造的四棱锥中，解以下问题： (1)证明：面； (2)在上是否存在点使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由． 17．（15分）某学校为了了解高二年级学生数学运算能力，对高二年级的200名学生进行了一次测试.已知参加此次测试的学生的分数全部介于45分到95分之间（满分100分），该校将所有分数分成5组：，，…，，整理得到如下频率分布直方图（同组数据以这组数据的中间值作为代表）． (1)求的值，并估计此次校内测试分数的平均值； (2)学校要求按照分数从高到低选拔前20名的学生进行培训，试估计这20名学生的最低分数； (3)试估计这200名学生的分数的方差，并判断此次得分为52分和94分的两名同学的成绩是否进入到了范围内？ （参考公式：，其中为各组频数；参考数据：） 18．（17分）如图，在四棱锥中，平面平面，底面是直角梯形，，，且，，，为的中点． (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积； (3)求二面角的余弦值． 19．（17分）已知中，，，所对的边为，，，向量，，且． (1)求角的大小； (2)若边，且为锐角三角形，求周长的取值范围； (3)若为中点，，且面积为，求边． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 海南海口英雅盛彼德高级中学 2025-2026学年第二学期高一数学期末检测试题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C C C C C B C BD AD 题号 11 答案 ACD 1．D 【详解】. 因为，解得， 所以. 2．C 【详解】， . 3．C 【分析】根据圆锥的体积公式，结合圆锥的表面积公式进行求解即可. 【详解】圆锥体积：，化简得． 由母线长，得，把代入， 整理得 或，解得，， 因为，所以，或， 又， 当时，，不符题意舍去， 综上，，， 所以圆锥的表面积为． 故选：C 4．C 【分析】根据分层抽样的原理，样本中各类别的比例应与总体中的比例一致，可得答案. 【详解】根据题意，得：， 解得：，即. 故选：C 5．C 【分析】先用两角差的正切公式可求出的值，再用两角和的正切公式即可求解 【详解】因为，所以， 故， 故选：C． 6．C 【分析】根据线面垂直的判定定理可判断A；判断可能在内，即可判断B；根据线面垂直的性质可判断C；判断直线可能的位置关系，即可判断D. 【详解】对于A，，，，，但不能保证为相交直线， 故推不出，A错误； 对于B，，，则，又，可能在内，不能推出，B错误； 对于C，，，则，又，则，C正确； 对于D，，，则可能相交、平行或异面，D错误； 故选：C 7．B 【详解】由题设可得， ，即，结合，得， 故. 8．C 【分析】连接交于点，连接，得到直线与平面所成角，构造直角三角形计算即可. 【详解】连接交于点，连接， 因为长方体中，平面，所以， 由，所以平面， 所以平面平面，所以点在平面上的投影落在直线上， 所以直线与平面所成角为与所成角， 取的中点，连接，则，所以，， 又，所以， 则直线与平面所成角的正弦值为，故C正确. 9．BD 【分析】根据选项，结合平均数，方差，中位数，极差的定义逐选项判断即可. 【详解】对于A，平均数为8，众数为7，则总环数为，假如存在一个6环， 则其余9个环数需满足和为，则平均环数为环， 其可能为：6，7，7，7，7，8，9，9，10，10，此时众数为7，平均数为8，但存在6环，故A不符题意； 对于B，平均数为9，方差为1，则总环数为，假如存在一个6环， 则其余9个环数需满足和为，则平均环数为环， 此时方差，所以不可能存在6环，故B正确； 对于C，中位数为7，众数为8，则第5，6个数为7，且8环次数最多， 可能为，0，1，2，7，7，7，8，8，8，8，故C不符题意； 对于D，中位数为9，极差为2，则从小大排列环数时，第5，6位上数为9，最大值为9，最小值为7，故D正确， 故选：BD. 10．AD 【分析】对于ABC，由正弦定理边角互化结合题意可判断选项正误；对于D，由余弦定理可得，然后由关于c的方程有两个不同正根可判断选项正误. 【详解】对于A，由正弦定理可得：，又三角形中“大边对大角”，则，故A正确； 对于B，由正弦定理边角互化可得：， 则C为钝角，即为钝角三角形，故B错误； 对于C，由正弦定理边角互化可得， 或，则为等腰三角形或直角三角形，故C错误； 对于D，由余弦定理可得， 因这样的三角形有两个，则对应方程有两个正数解，则， 解得，故D正确. 故选：AD 11．ACD 【分析】对A，由题可得，，得得证；对B，连接，可得异面直线与所成的角为，求解判断；对C，由等体积法，可得，求解判断；对D，由题可得点Q的运动轨迹是在侧面内以的中点为圆心，半径的圆弧，求解判断. 【详解】对于A，如图1，在正方体中，易知． 又P，N分别是的中点，则，所以，即四点共面，故A正确； 对于B，如图2，分别连接，由题意，易知， 则异面直线与所成的角为，易知为等边三角形，故，故B错误； 对于C，如图3，由等体积法，得． 因为，可得平面，又点Q在线段上运动， 所以点Q到平面的距离为定值．又也为定值， 所以为定值，即为定值， 且，故C正确； 对于D，如图4，取的中点，易得平面， 当时，点Q的运动轨迹是在侧面内以的中点为圆心，半径的圆弧， 在中，由，，可得，同理，， 所以圆弧圆心角为，所以点Q的运动轨迹的长度为，故D正确. 故选：ACD. 12．/ 【分析】根据铁球与正四棱台铁锭的体积相等列方程，即可求得铁锭的高. 【详解】依题意，正四棱台形状的铁锭的体积等于铁球的体积， 设正四棱台形状的铁锭的高为，则得， 解得. 13．s 【分析】由图象求出函数解析式，然后求得的解，结合图象可得． 【详解】由已知，，， . 在区间内，令，或， 可得，； 同理令，可得，. 综上，电压的绝对值超过的时间为（s）. 故答案为：s． 14． 145.65 【分析】利用正弦定理及直角三角形边角关系求解；利用直角三角形边角关系及差角的正切公式，结合基本不等式求出取得最大值，借助正切函数单调性求解. 【详解】由已知，如图， 在中，由正弦定理，， 则， 在中，. 所以山高为（）. 因为，，且. 观测基站的视角， 且. 因为，当且仅当，即时取等号. 此时取得最大值，即观测基站的视角最大. 15．(1) (2)和. (3). 【分析】（1）根据最值以及周期即可求解， （2）利用整体法得到不等式组，解出后，再合理赋值求解即可， （3）利用函数图像的平移变换，即可结合图像经过求解. 【详解】（1）由题意知函数的最大值为2，最小值为－2，故，     函数的最小正周期，又，所以，     由，所以，，解得，，又，得，     所以. （2）令，，解得，， 因为，所以令，得，又，所以； 令，得， 又，所以， 所以函数在上的单调递增区间为和. （3）将函数图象上所有的点向右平移个单位长度得到，     又图象经过点，所以，，     解得，，所以，即的最小值是. 16．【分析】（1）通过勾股定理逆定理证明，再利用面面垂直的性质推出线面垂直； （2）设交于点，可证，因此只要，就有，进而可得平面． 【详解】（1）如图，连接，在矩形中，， 为线段的中点， ，， ，， 又平面平面，平面，平面平面， 平面； （2）存在，是线段上靠近点 的三等分点. 如图所示，连接、，设交于点， ，且， ． 取的三等分点，使，连接、、，则， 又平面，平面， 平面． 故存在满足条件的点，且是线段上靠近点 的三等分点． 17．(1)m 0.024，75分 (2)90 分 (3)，得分为52分的同学的成绩没有进入到范围，得分为94分的同学的成绩进入到范围了 【分析】（1）先由各组的频率和为1，求出，然后利用平均数的定义可求出， （2）先求出这 20 名学生的最低分数就是该次校内测试分数的90%分位数，然后利用百分位的定义求解即可， （3）先利用方差公式求出方差后再判断即可 【详解】（1）∵(0.006 0.014 m 0.036 0.020)10 1 ∴ m 0.024 ∴该次校内考试测试分数的平均数的估计值为： 50 0.06 60 0.14 70 0.24 80 0.36 90 0.2 75分； （2）∵ ， ∴这 20 名学生的最低分数就是该次校内测试分数的90%分位数， ∵0.06 0.14 0.24 0.36 0.8 0.9， 0.06 0.14 0.24 0.36 0.2 1 0.9 ， ∴该次校内考试测试分数的90% 分位数为 . ∴这 20 名学生的最低分数的估计值为90 分； （3）∵ ∴ s 11.4 ， ∴ 2s 52.2 ， 2s 97.8 ， ∴得分为52分的同学的成绩没有进入到[52.2,97.8]内， 得分为94分的同学的成绩进入到了[52.2,97.8]内. 即：得分为52分的同学的成绩没有进入到范围， 得分为94分的同学的成绩进入到范围了. 18．(1)取中点，连接， 因为为的中点，为中点，所以，且 又，，所以，且， 则四边形为平行四边形，得， 又平面，平面，所以平面．   (2) (3) 【分析】（1）取中点，求证即可； （2）利用等体积计算； （3）取的中点，过作于，求证为二面角的平面角即可. 【详解】（1）略 （2）因为为的中点， 所以， 又，，，，故， 又平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 又底面是直角梯形，，， 可得，，即，则 则； （3）由（2）知平面，取的中点，连接， 在中，，分别为，的中点，所以，则平面， 因为平面，所以， 过作于，连接， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以为二面角的平面角， 由（2）知，且， 又，， 在中，， 即二面角的余弦值为． 19．(1) (2) (3) 【分析】（1）由，得到，由正弦定理，化简得到，结合余弦定理，即可求解； （2）运用正弦定理边化角，运用三角函数计算范围即可； （3）由，求得，根据，利用向量的数量积的运算律，求得，结合余弦定理，即可求解． 【详解】（1）由向量，， 因为，可得， 又由正弦定理得，整理得， 由余弦定理，可得， 又因为，所以． （2）由于为锐角三角形，，所以， 即，由正弦定理得， 则 , 因为，则，所以， 所以周长. （3）因为，可得，即，所以， 又因为，可得， 即，可得， 所以，所以． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $