精品解析：贵州遵义市第一中学2025-2026学年第二学期第一次质量检测高一数学试题

遵义市第一中学2025-2026学年第二学期第一次质量检测 高一数学 本卷满分150，考试用时120分钟. 注意事项： 1.考试开始前，请用黑色签字笔将答题卡上的姓名､班级､考号填写清楚，并 在相应位置粘贴条形码. 2.选择题答题时，请用2B铅笔答题，若需改动，请用橡皮轻轻擦拭干净再选涂其它选项；非选择题答题时，请用黑色签字笔在答题卡相应的位置答题；在规定区域以外的答题不给分；在试卷上作答无效. 一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的备选答案中，只有一项是符合题意的. 1. 已知某扇形的半径为2，弧长为，则该扇形的面积是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用扇形的面积公式即可求解. 【详解】因为扇形的半径为2，弧长为， 所以扇形的面积为. 2. 已知角的终边过点，则点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【详解】根据角的终边过点，可得， 则得点位于第四象限. 3. 若，与共线，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以 因为与共线，所以,解得. 4. 中，是边上的中线，为中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】如图所示，因为是边上的中线，为中点， 则. 5. 与函数不相交的一条直线是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意求函数的定义域，即可求得与函数图象不相交的直线. 【详解】由函数有意义，需使，解得， 即的定义域为 ， 当时，，即与函数的图象不相交. 因，，都在函数定义域内，即，，与函数的图象相交. 6. 下列说法：①若，则；②两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同；③若，则四边形是平行四边形；④若四边形是平行四边形，则；⑤若，则；⑥若，则.其中正确的是（ ） A. ①④⑤ B. ①⑤⑥ C. ④⑤ D. ④⑥ 【答案】C 【解析】 【详解】对于①，表示的模长相等，但方向不一定相同，故①错误； 对于②，两个向量相等的充要条件是它们方向相同，模长相等，起点与终点不一定相同，故②错误； 对于③，如果四点共线，则不为四边形，当然也不是平行四边形，故③错误； 对④，因为四边形是平行四边形，则，且， 而方向也相同，故，故④正确； 对于⑤，若，故为相等向量，故，故⑤正确； 对于⑥，若，则都成立，但不一定为共线向量，故⑥错误. 7. 已知函数图象在区间上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，利用函数在上单调递增，列不等式求解即得. 【详解】因为，且，则， 因函数在上单调递增，且， ，解得， 所以的取值范围是. 8. 已知函数，其中.满足，且函数在区间上具有单调性，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以的图象关于对称， 则，得， 因为，所以，则， 令，得， 则的对称中心为， 因为，且函数在区间上具有单调性， 所以，且， 则的最小值为. 二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，满分18分.每小题给出的备选答案中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选的得0分. 9. 已知，则下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】本题考查同角三角函数的基本关系，利用平方关系对已知式变形，结合θ的范围判断三角函数符号，逐项验证选项即可. 【详解】选项A：已知，因此， 将两边平方得：， 解得， 因此，故，A正确； 选项B：由上述计算得，B错误； 选项C：计算， 因为，故，开方得，C正确； 选项D：利用平方差公式分解：，D正确. 10. 将函数的图象向右平移个单位长度，再将横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）后得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的最小正周期为 C. 函数的图象关于直线对称 D. 函数的一个单调递减区间为 【答案】ABD 【解析】 【分析】应用图象平移得出函数解析式进而判断A，B，代入计算判断对称性判断C，应用正弦函数的单调减区间判断D. 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，再将横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）后得到函数的图象， 函数的图象将横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度得出， 所以，A选项正确； 函数的最小正周期为，B选项正确； 因为不是，所以函数的图象不关于直线对称，C选项错误； 令，所以的减区间为，函数的一个单调递减区间为，D选项正确； 11. 已知中，是边上靠近的三等分点，为的中点，过点的直线分别交直线于不同的两点，设，其中，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 的最小值为，当且仅当取等号 【答案】BC 【解析】 【详解】，故A错误； ，故B正确； 因为，且三点共线， 所以，即，故C正确； ， 等号成立时，故D错误. 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分. 12. 已知，且是第四象限的角，则_________ 【答案】## 【解析】 【详解】因为，则得， 已知是第四象限角，则， 故. 13. 已知是第二象限的角，化简_________ 【答案】 【解析】 【详解】因为是第二象限的角，则，，可得，， 可得， ， 所以原式. 14. 的图象的相邻对称轴之间的距离为，且为偶函数，设函数在区间上的零点从小到大依次为，若，则_________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查三角函数的对称性、奇偶性、零点分布及向量模长计算.由相邻对称轴间距得周期，进而求；由平移后为偶函数确定；再解方程求零点，按顺序排列后代入向量运算即可. 【详解】相邻对称轴之间的距离为，即， 故，所以. . 由为偶函数， 得为偶函数，则（）， 即，， 结合，取，得. 故. 令，得. 令，则. 解，得或（）. 在区间内满足的依次为 对应，得， 故，，. 于是 四､解答题：本大题共5小题，满分77分. 15. 已知. （1）若与平行，求实数的值； （2）若，且满足，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量共线的坐标公式列方程计算即得； （2）利用条件求得，由向量的模的公式列方程求出的值即得.. 【小问1详解】  由 ，， 得 ， ， 因与平行，则 ， 解得 ； 【小问2详解】 因， 由 ，则得 ，则 ， 因，则，整理得， 解得  或 . 当时，，不符合，舍去； 当时，，符合，此时. 16. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求函数的解析式； （2）若方程在上有两个不相等的实数根，求的取值范围. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据图象得到和最小正周期，求出，代入特殊点函数值求出，得到解析式； （2）画出在上图象，数形结合得到答案. 【小问1详解】 由题意得，设最小正周期为，则， 解得，故，， 将代入得，故， 因为，所以，， 所以，解得， 解析式为； 【小问2详解】 ，则， 画出在上的图象，如下： 显然当时，与有两个交点， 即在上有两个不相等的实数根. 17. 摩天轮是一种大型转轮状的机械游乐设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上旋转，可以从高处俯瞰四周景色.如图该摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，开启时按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要.以轴心为原点，与地面平行的直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，游客甲从点进舱，坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，且在转动一周的过程中，关于的函数解析式为 （1）设游客甲在3min后到达点，求此时的面积； （2）若游客甲在点进入座舱时，游客乙此时恰好在处（轴与圆的交点）.从游客甲进入座舱开始计时，游客乙所在的高度关于时间的函数解析式为 （i）在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度相等的次数以及首次距离地面的高度相等的时间； （ii）当座舱距离地面的高度不低于时，能鸟瞰全城壮观景色，因此这段时间被称为“震撼时段”，求游客甲在开始运行一周的过程中，甲处于“震撼时段”的时间段. 【答案】（1）； （2）（i）次，；（ii） 【解析】 【分析】（1）求出3min旋转的圆心角，利用三角形面积公式进行求解； （2）（i）求出甲的座舱高度关于时间的函数，从而得到方程，求出，，根据求出，进而得到答案； （ii）在（i）的基础上，得到不等式，求出答案 【小问1详解】 转一周需要，故3min旋转的圆心角为， 转盘半径为40m，的面积为； 【小问2详解】 （i）设甲的座舱高度关于时间的函数为， 则， 当甲乙两人距离地面的高度相等时，， 即，即， 故，，故，， 令，得， 又，故，所以运行一周的过程中，两人距离地面的高度相等的次数为2次， 当时，，即首次距离地面的高度相等的时间； （ii）因为，所以， 令，即， 故，解得， 故甲处于“震撼时段”的时间段为. 18. 已知函数 （1）求的单调区间； （2）设函数的最小值为，求的最大值； （3）若任意，存在，使，求实数的取值范围. 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据余弦函数的单调区间即可求解； （2）化简解析式，构造函数，结合二次函数的单调性，即可求得结果； （3）将条件等价于，根据值域，即可求出结果. 【小问1详解】 由题知，， 令，则， 令，则， 则的单调递增区间为， 且的单调递减区间为. 【小问2详解】 由题知， ， 令，则， 设，开口向下，对称轴为， 若，即， 则当时，最小，且为， 若，即， 则当时，最小，且为， 综上，， 则在上递增，在上递减， 所以的最大值为. 【小问3详解】 若任意，存在，使， 等价于， 因为， 所以， 又，故 所以，即， 所以或，即的取值范围为. 19. 设函数 （1）求函数在内的零点； （2）若关于的方程在区间内有解，求实数的取值范围； （3）求证：函数在上有且只有一个零点，并求的值（表示不超过的最大整数，如） 参考数据：. 【答案】（1）或. （2） （3） 当时，， 故，故在上无零点. 当时，，而， 故在上为减函数，而在上为增函数， 故在上为减函数， 因为，故， 而，， ， 而，故， 而， 因为二次函数的对称轴，故， 整理得，故. 【解析】 【分析】（1）根据余弦函数的性质可求在内的零点； （2）利用换元法结合二次函数的性质可求实数的取值范围； （3）先判断在上无零点，再结合零点存在定理可得，结合二次函数的性质可得的值. 【小问1详解】 因为，故，结合可得或， 故或，故在内的零点为或. 【小问2详解】 令，因为，故， 由题设可得在内有解， 因的对称轴为， 故在上为增函数，故当时，， 故. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 遵义市第一中学2025-2026学年第二学期第一次质量检测 高一数学 本卷满分150，考试用时120分钟. 注意事项： 1.考试开始前，请用黑色签字笔将答题卡上的姓名､班级､考号填写清楚，并 在相应位置粘贴条形码. 2.选择题答题时，请用2B铅笔答题，若需改动，请用橡皮轻轻擦拭干净再选涂其它选项；非选择题答题时，请用黑色签字笔在答题卡相应的位置答题；在规定区域以外的答题不给分；在试卷上作答无效. 一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的备选答案中，只有一项是符合题意的. 1. 已知某扇形的半径为2，弧长为，则该扇形的面积是（ ） A. 1 B. C. D. 2. 已知角的终边过点，则点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 若，与共线，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 4. 中，是边上的中线，为中点，则（ ） A. B. C. D. 5. 与函数不相交的一条直线是（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法：①若，则；②两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同；③若，则四边形是平行四边形；④若四边形是平行四边形，则；⑤若，则；⑥若，则.其中正确的是（ ） A. ①④⑤ B. ①⑤⑥ C. ④⑤ D. ④⑥ 7. 已知函数图象在区间上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，其中.满足，且函数在区间上具有单调性，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，满分18分.每小题给出的备选答案中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选的得0分. 9. 已知，则下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 将函数的图象向右平移个单位长度，再将横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）后得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的最小正周期为 C. 函数的图象关于直线对称 D. 函数的一个单调递减区间为 11. 已知中，是边上靠近的三等分点，为的中点，过点的直线分别交直线于不同的两点，设，其中，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 的最小值为，当且仅当取等号 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分. 12. 已知，且是第四象限的角，则_________ 13. 已知是第二象限的角，化简_________ 14. 的图象的相邻对称轴之间的距离为，且为偶函数，设函数在区间上的零点从小到大依次为，若，则_________ 四､解答题：本大题共5小题，满分77分. 15. 已知. （1）若与平行，求实数的值； （2）若，且满足，求的值. 16. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求函数的解析式； （2）若方程在上有两个不相等的实数根，求的取值范围. 17. 摩天轮是一种大型转轮状的机械游乐设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上旋转，可以从高处俯瞰四周景色.如图该摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，开启时按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要.以轴心为原点，与地面平行的直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，游客甲从点进舱，坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，且在转动一周的过程中，关于的函数解析式为 （1）设游客甲在3min后到达点，求此时的面积； （2）若游客甲在点进入座舱时，游客乙此时恰好在处（轴与圆的交点）.从游客甲进入座舱开始计时，游客乙所在的高度关于时间的函数解析式为 （i）在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度相等的次数以及首次距离地面的高度相等的时间； （ii）当座舱距离地面的高度不低于时，能鸟瞰全城壮观景色，因此这段时间被称为“震撼时段”，求游客甲在开始运行一周的过程中，甲处于“震撼时段”的时间段. 18. 已知函数 （1）求的单调区间； （2）设函数的最小值为，求的最大值； （3）若任意，存在，使，求实数的取值范围. 19. 设函数 （1）求函数在内的零点； （2）若关于的方程在区间内有解，求实数的取值范围； （3）求证：函数在上有且只有一个零点，并求的值（表示不超过的最大整数，如） 参考数据：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $