精品解析：江苏省无锡市天一实验学校 2025-2026学年6月七年级期末数学学科检测卷

江苏省无锡市天一实验学校2025−2026学年6月期末七升八 数学学科检测卷 考试时间：120分钟试卷满分：130分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 一．选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下面是嘉琪的答卷，她的得分为（ ） 姓名：嘉琪 得分：_____ 填空（每小题2分，共10分） ①的倒数是（）； ②3的绝对值是（3）； ③角的余角的度数是（）； ④的底数是； ⑤若，则． A. 10分 B. 8分 C. 6分 D. 4分 2. ﹣2022的绝对值的相反数的倒数是（ ） A. B. ﹣2022 C. 2022 D. ﹣ 3. 下列是同类项的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如果a＞2，那么等于（ ） A. 1.5－a B. a－3.5 C. a－0.5 D. 3.5－a 6. 下列等式根据等式的变形正确的有（　　） ①若，则；② 若，则；③ 若，则；④ 若，则． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 已知，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一，书中记载了这样一个题目，其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余尺，问木长多少尺？设木长尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 按如图所示的程序计算，若开始输入的值为，我们发现第次输出结果为，第次输出结果为，…请你探索第次输出的结果为（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法中，正确的个数（ ） ①若，则； ②若，则有是正数； ③A、B、C三点在数轴上对应的数分别是、6、，若相邻两点的距离相等，则； ④若，则； A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二．填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分． 11. 将450000这个数用科学记数法表示为_____. 12. 单项式﹣的系数是_____，次数是_____． 13. 当________时，代数式与互为相反数． 14. 定义一种新运算“*”：．如：．则下列结论：①；②的解是；③若的值为0，则．正确的结论是______（把所有正确结论的序号都填在横线上）． 15. 若，则________． 16. 设一列数、、、…、中任意三个相邻数之和都是，已知，，，求的值．在这个问题中可列关于的方程为________． 17. 如图，每个小正方形的边长为1，观察图中阴影部分面积的计算方法与图形下方对应算式的计算规律，完成填空： （Ⅰ）写出最后一个图形中阴影部分的面积对应的算式及其结果：_______； （Ⅱ）根据以上观察，式子化简的结果为_______； （Ⅲ）结合以上规律，计算的结果为_______． 18. 两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水、乙船逆水，两船在静水中的速度都是10km/h．水流速度为，5小时后两船相距______千米． 三．计算题：本大题共1小题，共6分． 19. 制作一张成品帆布帐篷，做成后帐篷的布料面积是平方米．已知这种帆布在生产过程中需要进行清洗、染色、定型，在上述过程中布料会缩水，又由于剪裁时会有边角料产生，工厂准备的原始布料面积比实际需要的布料面积多，问：批量生产张这样的帐篷，至少需要准备多少平方米的原始帆布？ 四．解答题：本题共8小题，共62分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 20. 计算：（1） （2） 21. 阅读与理解 定义：对任意一个两位数，如果满足个位数字大于十位数字，那么称这个两位数为“灵动数”．若将一个“灵动数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，将新两位数与原两位数的差（大数减小数）与9的商记为，例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数51，则新两位数与原两位数的差为，此差与9的商为，所以．根据上述定义，按要求回答下列问题： （1）①填空：三个数11，21，36中，“灵动数”为________； ②计算：________； （2）若一个“灵动数”的十位数字是，个位数字是，且，求“灵动数”． 22. 若两个两位数的十位数字相同，且个位数字之和为10，则这两个两位数相乘时，可按以下方法速算：将十位数字与比它大1的数相乘，再乘100，最后加上两个个位数字的积，即为这两个两位数的积．例如：，． （1）参照上述方法，写出的速算过程与结果：____________； （2）设两个两位数的十位数字为m，个位数字分别为a，b，且，用含a，b，m的代数式表示上述速算的结论：______； （3）若两个满足上述速算条件的两位数，它们的积是小于5000的四位数，且该四位数的十位数字为1，个位数字为6，请直接写出这两个两位数． 23. 如图，若点在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为，且，满足． （1）________，________； （2）点在数轴上对应的数为，且是方程的解，点是的中点，在数轴上是否存在点，使，若存在，直接写出点对应的数；若不存在，说明理由； （3）在原点处放一挡板，一小球甲从点处以个单位长度秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点处以个单位长度秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）小球乙以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为（秒），求甲、乙两小球到原点的距离相等时经历的时间． 24. 数轴是一个非常重要的数学工具，它把数和数轴上的点建立了对应关系，形象地揭示了数与数轴上的点之间的内在联系，是数形结合的基础．小明在一条长方形纸带上画了一条数轴，进行如下操作探究： （1）操作1：折叠纸带，若数轴上表示1的点与表示5的点重合，则与表示7的点重合的点表示的数是 ，此时表示数的点与表示数 的点重合（用的代数式表示）； （2）操作2：若点A、B表示的数分别是、6，点P从点A出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动；同时，点Q从点B出发，沿数轴以每秒4个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒，在运动过程中，当t为何值时，点P与点Q之间的距离为2； （3）操作3：在数轴上剪下6个单位长度（从到5）的一条线段，并把这条线段沿某点向左对折，然后在重叠部分的某处剪一刀得到三条线段（如图），若这三条线段的长度之比为，设折痕处对应的点表示的数为m，求出m的所有可能值． 25. 在纸盒制作的劳动实践课上，对规格是的原材料板材进行裁剪得到A型长方形纸板和B型正方形纸板．为了避免材料浪费，每张原材料板材先裁得4张的纸板条，每张纸板条又恰好可以裁得3张A型长方形纸板或5张B型正方形纸板，如图1所示．（单位：） （1）每张原材料板材可以裁得A型纸板________张或裁得B型纸板________张； （2）现有130张原材料板材全部裁剪（每张原材料板材只能一种裁法）得到A型与B型纸板当侧面和底面，做成如图2所示的竖式有盖长方体纸盒（1个长方体纸盒需要4个侧面和2个底面，接缝忽略不计）．问：怎样裁剪才能使剪出的A、B型纸板恰好用完？能做多少个纸盒？ 26. 【综合与实践】：阅读材料，并解决以下问题．     【学习研究】：北师大版教材九年级上册第39页介绍了我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中关于一元二次方程的几何解法：以为例，构造方法如下： 首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为x的矩形，按如图（1）所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即，因此，可得新方程：．表示边长，，即，遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根． 【类比迁移】：小明根据赵爽的办法解方程，请你帮忙画出相应的图形，将其解答过程补充完整； 第一步：将原方程变形为x（________）； 第二步：利用四个长为_______，宽为_______（用x表示）的全等矩形构造“空心”大正方形(请在画图区画出示意图，标明各边长），并写出完整的解答过程； 第三步：方程的一个正根为 ． 【拓展应用】：一般地对于形如：一元二次方程可以构造图2来解，已知图2是由4个面积为5的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为16．那么此方程的系数____，_____．求得方程的一个正根为_________． 27. 在数轴上，把表示数1的点称为基准点，记作点，对于两个不同的点P和Q，若点P、点Q到基准点的距离相等，则称点P与点Q互为基准变换点．例如，点P表示数，点Q表示数3，它们与基准点的距离都是两个单位长度，点P与点Q互为基准变换点． （1）已知点A表示数a，点B表示数x，点A与点B互为基准变换点． ①若，则 ；若，则 ； ②用含a的一次代数式表示x，则 ； （2）点M在点N的左边8个单位长度处，对点M做如下操作：点M沿数轴向右移动个单位长度得到为的基准变换点，点沿数轴向右平移移动k个单位长度得到为的基准变换点，…依此顺序不断地重复，得到…，．若无论k为何值，与N两点间的距离都是2024，则此时 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省无锡市天一实验学校2025−2026学年6月期末七升八 数学学科检测卷 考试时间：120分钟试卷满分：130分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 一．选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下面是嘉琪的答卷，她的得分为（ ） 姓名：嘉琪 得分：_____ 填空（每小题2分，共10分） ①的倒数是（）； ②3的绝对值是（3）； ③角的余角的度数是（）； ④的底数是； ⑤若，则． A. 10分 B. 8分 C. 6分 D. 4分 【答案】C 【解析】 【分析】①根据倒数的定义判断即可；②根据绝对值的定义判断即可；③根据互为余角的定义判断即可；④根据有理数乘方的意义判断即可；⑤根据代数式求值判断即可． 【详解】解：①的倒数是，作答错误； ②3的绝对值是3，作答正确； ③角的余角的度数是，作答正确； ④的底数是，作答正确； ⑤若，则，作答错误； 所以她的得分为（分）． 2. ﹣2022的绝对值的相反数的倒数是（ ） A. B. ﹣2022 C. 2022 D. ﹣ 【答案】D 【解析】 【分析】根据绝对值，相反数，倒数的定义进行求解即可． 【详解】解：﹣2022的绝对值的相反数的倒数是． 故选D． 【点睛】本题考查了绝对值，相反数，倒数的定义，掌握绝对值，相反数，倒数的定义进是解题的关键．相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0．正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；相乘等于1的两个数互为倒数． 3. 下列是同类项的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】D 【解析】 【分析】所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫作同类项．根据定义逐项判断即可．常数项均为同类项． 【详解】解：A、和所含字母相同，但是相同字母的指数不同，不是同类项； B、和所含字母不同，不是同类项； C、和中，不是整式，不是同类项； D、1和都是常数，是同类项． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查合并同类项，同底数幂的除法，积的乘方，二次根式性质，解题的关键在于熟练掌握相关运算法则．根据相关运算法则逐项计算，并判断，即可解题． 【详解】解：A、，选项计算错误，不符合题意； B、，选项计算错误，不符合题意； C、，选项计算错误，不符合题意； D、，选项计算正确，符合题意； 故选：D． 5. 如果a＞2，那么等于（ ） A. 1.5－a B. a－3.5 C. a－0.5 D. 3.5－a 【答案】C 【解析】 【分析】根据，即，进行化简绝对值即可． 【详解】解：∵，即， ∴， 故选C． 【点睛】本题主要考查了化简绝对值，解题的关键在于能够熟练掌握化简绝对值的方法． 6. 下列等式根据等式的变形正确的有（　　） ①若，则；② 若，则；③ 若，则；④ 若，则． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等式的基本性质，根据等式的基本性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：若，则；故①正确； 若，且，则；故②错误； 若，则，故；故③正确； 若，因为，故；故④正确； 故选C． 7. 已知，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质、有理数的乘方运算．直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质、有理数的乘方运算法则分别化简，进而得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴，故D正确． 故选：D． 8. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一，书中记载了这样一个题目，其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余尺，问木长多少尺？设木长尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设木长尺，则绳子长为尺，再根据绳子对折后量长木，长木还剩余尺列方程即可. 【详解】解：设木长尺，则 绳子长为尺，根据题意得 . 9. 按如图所示的程序计算，若开始输入的值为，我们发现第次输出结果为，第次输出结果为，…请你探索第次输出的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别求出前十次的输出结果，可得从第七次开始，依次以4，2，1循环出现，由此求解即可． 【详解】解：由题意可得，当开始输入的值为22，第一次输出的结果为， 第二次输出的结果为， 第三次输出的结果为， 第四次输出的结果为， 第五次输出的结果为， 第六次输出的结果为， 第七次输出的结果为， 第八次输出的结果为， 第九次输出的结果为， 第十次输出的结果为， ， 由上可得，从第七次开始，依次以4，2，1循环出现， ， ， ， 第2020次输出的结果为4． 10. 下列说法中，正确的个数（ ） ①若，则； ②若，则有是正数； ③A、B、C三点在数轴上对应的数分别是、6、，若相邻两点的距离相等，则； ④若，则； A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的化简、数轴上两点间的距离公式等知识点．熟记相关结论是解题关键． 根据绝对值的定义，有理数的运算，数轴中点公式判断各说法正误． 【详解】解：① ∵，∴ ，正确； ② ∵，∴ 或 ，  若，则；  若，则； ∴ ，不是正数，错误； ③ ∵ 、、 对应数、6、，且相邻点距离相等， 当为的中点时：，解得； 当为的中点时：，解得； 当为的中点时：； ∴ 或14或2，错误； ④ 当时，； 当时，，∴，则，正确； 综上，正确个数为2． 故选：B． 二．填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分． 11. 将450000这个数用科学记数法表示为_____. 【答案】 【解析】 【详解】450000＝； 故答案是：． 12. 单项式﹣的系数是_____，次数是_____． 【答案】 ①. -, ②. 4 【解析】 【分析】直接利用单项式的次数与系数的确定方法分析得出答案． 【详解】单项式﹣的系数是：﹣，次数是：4． 故答案为﹣，4． 【点睛】本题考查了单项式，正确把握单项式的次数与系数确定方法是解题的关键． 13. 当________时，代数式与互为相反数． 【答案】 【解析】 【分析】根据互为相反数的两个数之和为0，建立一元一次方程求解. 【详解】解：∵代数式与互为相反数， ∴ 解得， 所以当时，代数式与互为相反数． 14. 定义一种新运算“*”：．如：．则下列结论：①；②的解是；③若的值为0，则．正确的结论是______（把所有正确结论的序号都填在横线上）． 【答案】①②##②① 【解析】 【分析】先根据新运算将结论写出方程的分式方程，然后解方程即可判断． 【详解】解∶①∵， ∴，结论正确； ②由得， 去分母，得2x=2+x， 解得x=2， 将检验x=2是分式方程的根， 所以分式方程的解为x=2，故结论正确； ③由(x+1 )* (x-1) =0得， 所以(x+1 ) (x-1) =0， 2x≠0， ． 解得x=- 1或x=1，故③不正确． 故正确的结论是①②． 故答案为∶①②． 【点睛】本题考查了分式方程的解法，解分式方程的步骤∶①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论，正确理解新定义是解题的关键． 15. 若，则________． 【答案】4 【解析】 【分析】先将代数式进行提公因数，然后将代入即可求出答案． 【详解】解： ， 16. 设一列数、、、…、中任意三个相邻数之和都是，已知，，，求的值．在这个问题中可列关于的方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据任意三个相邻数的和为，推导得出数列每个数一循环，和都等于，因此两者相等，即可列出方程． 【详解】解：∵任意三个相邻数之和都是， ∴，， ∴， 同理可得，，即数列每个数为一个循环，满足， ∵，， ∴，， ∴， 代入，，得关于的方程． 17. 如图，每个小正方形的边长为1，观察图中阴影部分面积的计算方法与图形下方对应算式的计算规律，完成填空： （Ⅰ）写出最后一个图形中阴影部分的面积对应的算式及其结果：_______； （Ⅱ）根据以上观察，式子化简的结果为_______； （Ⅲ）结合以上规律，计算的结果为_______． 【答案】 ①. ②. ③. 40 【解析】 【分析】本题主要考查图形的变化规律，有理数的混合运算． （Ⅰ）分析所给的三个图形与算式即可求解； （Ⅱ）对上述的图形与算式进行总结即可； （Ⅲ）利用所得的规律进行求解即可． 【详解】解：（Ⅰ）∵，，，…， ∴所求的图形的算式为， 故答案为：； （Ⅱ）， 故答案为：； （Ⅲ）原式 故答案为：40． 18. 两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水、乙船逆水，两船在静水中的速度都是10km/h．水流速度为，5小时后两船相距______千米． 【答案】100 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式与整式加减运算的实际应用，正确掌握船在水中顺流与逆流时的速度关系是解题关键．首先根据题意得出甲船顺水时的航行速度为，乙船逆水时的航行速度为，由此即可得出二者5小时后各自的航行距离，据此进一步计算即可得出答案． 【详解】解：由题意得：甲船顺水时的航行速度为，乙船逆水时的航行速度为， ∴5小时后两船相距的距离为：， 故答案为：100． 三．计算题：本大题共1小题，共6分． 19. 制作一张成品帆布帐篷，做成后帐篷的布料面积是平方米．已知这种帆布在生产过程中需要进行清洗、染色、定型，在上述过程中布料会缩水，又由于剪裁时会有边角料产生，工厂准备的原始布料面积比实际需要的布料面积多，问：批量生产张这样的帐篷，至少需要准备多少平方米的原始帆布？ 【答案】平方米 【解析】 【分析】先求出单张帐篷所需缩水前的布料面积，再计算包含边角料的单张原始布料面积，最后乘以总张数得到总面积． 【详解】解：根据题意可知，一张成品帆布帐篷，缩水前需要的布料面积为平方米， 则原始布料的面积为平方米， 故批量生产张这样的帐篷，需要原始帆布平方米． 四．解答题：本题共8小题，共62分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 20. 计算：（1） （2） 【答案】（1）12；（2） 【解析】 【分析】（1）根据乘法分配律、有理数乘法法则、减法法则和加法法则计算即可； （2）根据有理数的运算顺序和各个运算法则计算即可． 【详解】解：（1） = = =12 （2） = = = = 【点睛】此题考查的是有理数的混合运算，掌握有理数的运算顺序和各个运算法则是解题关键． 21. 阅读与理解 定义：对任意一个两位数，如果满足个位数字大于十位数字，那么称这个两位数为“灵动数”．若将一个“灵动数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，将新两位数与原两位数的差（大数减小数）与9的商记为，例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数51，则新两位数与原两位数的差为，此差与9的商为，所以．根据上述定义，按要求回答下列问题： （1）①填空：三个数11，21，36中，“灵动数”为________； ②计算：________； （2）若一个“灵动数”的十位数字是，个位数字是，且，求“灵动数”． 【答案】（1）①36；②3； （2）“灵动数”b为79 【解析】 【分析】（1）①先明确“灵动数”判定条件：两位数的个位数字大于十位数字，用该条件逐个判断给出的数即可． ②计算时，先写出原“灵动数”的十位、个位数字，得到对调后的新两位数，计算两数差后除以9即可． （2）先将“灵动数”和对调后的新数用含的代数式表示，再根据的定义列出关于的方程，求解后代入即可得到． 【小问1详解】 解：①三个数11，21，36中，“灵动数”为36； ②； 【小问2详解】 解：依题意得：原两位数为， 新两位数为， ， ， ； ， 十位数字：，个位数字：， ∴“灵动数”b为79． 22. 若两个两位数的十位数字相同，且个位数字之和为10，则这两个两位数相乘时，可按以下方法速算：将十位数字与比它大1的数相乘，再乘100，最后加上两个个位数字的积，即为这两个两位数的积．例如：，． （1）参照上述方法，写出的速算过程与结果：____________； （2）设两个两位数的十位数字为m，个位数字分别为a，b，且，用含a，b，m的代数式表示上述速算的结论：______； （3）若两个满足上述速算条件的两位数，它们的积是小于5000的四位数，且该四位数的十位数字为1，个位数字为6，请直接写出这两个两位数． 【答案】（1）；3021 （2） （3）共4对，分别是：32，38；42，48；52，58；62，68 【解析】 【分析】（1）根据题目的方法进行解答即可； （2）根据题目的方法进行推理即可． （3）判断或，结合，可得两位数的十位数只能是，再进一步求解即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：∵， ∴ ． 【小问3详解】 解：∵，该四位数的十位数字为1，个位数字为6， ∴， ∴， 而， ∴或， ∵两个两位数的积是小于5000的四位数， ∴， 而， ∴两位数的十位数只能是， ∴这样的两位数共4对，分别是：32，38；42，48；52，58；62，68． 23. 如图，若点在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为，且，满足． （1）________，________； （2）点在数轴上对应的数为，且是方程的解，点是的中点，在数轴上是否存在点，使，若存在，直接写出点对应的数；若不存在，说明理由； （3）在原点处放一挡板，一小球甲从点处以个单位长度秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点处以个单位长度秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）小球乙以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为（秒），求甲、乙两小球到原点的距离相等时经历的时间． 【答案】（1）；； （2）或； （3）甲、乙两小球到原点的距离相等时经历的时间为秒或秒 【解析】 【分析】（1）根据绝对值及完全平方的非负性，可得出a、b的值，继而可得出线段的长； （2）先求出x的值，再由，分两种情况列方程可得出点P对应的数； （3）根据题意分为：甲、乙两球均向左运动或甲继续向左运动，乙向右运动，列方程，求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解： 解得， ∵点是的中点，且点为，点C为2， ∴在数轴上对应的数为，如下图， 设点对应的数为， ∵， ∴点只能在点的左边或点的右边， ①当点在点的左边时， 解得； ②当点在点的右边时， 解得， 综上所述，点对应的数是或； 【小问3详解】 解：当甲、乙两球均向左运动时，此时， ∴，， ∴ 解得； 当甲继续向左运动，乙向右运动时，此时， ∴，， ∴ 解得． 答：甲、乙两小球到原点的距离相等时经历的时间为秒或秒． 24. 数轴是一个非常重要的数学工具，它把数和数轴上的点建立了对应关系，形象地揭示了数与数轴上的点之间的内在联系，是数形结合的基础．小明在一条长方形纸带上画了一条数轴，进行如下操作探究： （1）操作1：折叠纸带，若数轴上表示1的点与表示5的点重合，则与表示7的点重合的点表示的数是 ，此时表示数的点与表示数 的点重合（用的代数式表示）； （2）操作2：若点A、B表示的数分别是、6，点P从点A出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动；同时，点Q从点B出发，沿数轴以每秒4个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒，在运动过程中，当t为何值时，点P与点Q之间的距离为2； （3）操作3：在数轴上剪下6个单位长度（从到5）的一条线段，并把这条线段沿某点向左对折，然后在重叠部分的某处剪一刀得到三条线段（如图），若这三条线段的长度之比为，设折痕处对应的点表示的数为m，求出m的所有可能值． 【答案】（1）， （2）秒或秒 （3）或或或 【解析】 【分析】本题考查了数轴，列代数式以及一元一次方程的应用； （1）首先求出折痕点表示的数，然后列式求解即可； （2）根据题意分两种情况，分别列方程求解即可； （3）根据题意分情况讨论，分别根据三条线段的长度之比为即可求解． 【小问1详解】 解：∵数轴上表示1的点与表示5的点重合， ∴折痕点表示的数是， ∴表示数7的点与它重合的点重表示的数为：， 表示数的点与它重合的点表示的数为：， 故答案为∶ ，； 【小问2详解】 当点在点左边时， 则，解得， 当点在点的右边时， 则，解得， 综上， 当秒或秒时， 点与点之间的距离为； 【小问3详解】 解：设表示的点是， 表示的是， ∴． ， 当三条线段的比值为时，， 则； 当三条线段的比值为时， ， ， 则； 当三条线段的比值为时， ， ， 则； 当三条线段的比值为时， ， ， 则； 当三条线段的比值为时，， ， 则； 当三条线段的比值为时， ， ， 则； 故答案为∶ 或或或． 25. 在纸盒制作的劳动实践课上，对规格是的原材料板材进行裁剪得到A型长方形纸板和B型正方形纸板．为了避免材料浪费，每张原材料板材先裁得4张的纸板条，每张纸板条又恰好可以裁得3张A型长方形纸板或5张B型正方形纸板，如图1所示．（单位：） （1）每张原材料板材可以裁得A型纸板________张或裁得B型纸板________张； （2）现有130张原材料板材全部裁剪（每张原材料板材只能一种裁法）得到A型与B型纸板当侧面和底面，做成如图2所示的竖式有盖长方体纸盒（1个长方体纸盒需要4个侧面和2个底面，接缝忽略不计）．问：怎样裁剪才能使剪出的A、B型纸板恰好用完？能做多少个纸盒？ 【答案】（1）12；20 （2）100张裁剪A型， 30张裁剪B型；300个 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用： （1）根据每张原材料板材先裁得4张的纸板条，每张纸板条又恰好可以裁得3张A型长方形纸板或5张B型正方形纸板，列出算式计算即可； （2）设用x张原材料板材裁剪A型纸板，根据1个长方体纸盒需要4个侧面和2个底面，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：； 故答案为：12，20； 【小问2详解】 设用x张原材料板材裁剪A型纸板，则用张原材料板材裁剪B型纸板， 根据题意得：， 解得， ∴， 答：用100张原材料板材裁剪A型纸板，用30张原材料板材裁剪B型纸板，能做300个纸盒． 26. 【综合与实践】：阅读材料，并解决以下问题．     【学习研究】：北师大版教材九年级上册第39页介绍了我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中关于一元二次方程的几何解法：以为例，构造方法如下： 首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为x的矩形，按如图（1）所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即，因此，可得新方程：．表示边长，，即，遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根． 【类比迁移】：小明根据赵爽的办法解方程，请你帮忙画出相应的图形，将其解答过程补充完整； 第一步：将原方程变形为x（________）； 第二步：利用四个长为_______，宽为_______（用x表示）的全等矩形构造“空心”大正方形(请在画图区画出示意图，标明各边长），并写出完整的解答过程； 第三步：方程的一个正根为 ． 【拓展应用】：一般地对于形如：一元二次方程可以构造图2来解，已知图2是由4个面积为5的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为16．那么此方程的系数____，_____．求得方程的一个正根为_________． 【答案】[类比迁移] ；，，图形及解答过程见解析；；[拓展应用] ，5，1或5 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解一元二次方程，能知道系数，与各图形面积的关系是解题的关键． [类比迁移]仿造[学习研究]，根据赵爽的办法解答即可； [拓展应用] 根据题意把，变形为，根据图2由4个面积为20的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为，即可得到答案． 【详解】解：[类比迁移] 第一步：将原方程变形为，即； 第二步：利用四个面积可用表示为长为，宽为的全等矩形构造“空心”大正方形，    画四个长为，宽为的矩形，按如图所示的方式拼成如图，拼成一个“空心”大正方形，则图中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为3的小正方形面积之和，即，因此，可得新方程：， ∵表示边长， ∴，即， 第三步：方程的一个正根为； 故答案为：；，，图形及解答过程见解析；； ∵， ∴， ∴四个小矩形的面积各为，大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即， ∵图2是由4个面积为5的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为， ∴，， 解得：，， 当时，，，，方程的一个正根为； 当时，，，，方程的一个正根为． 综上所述，方程的一个正根为1或5． 故答案为：，5，1或5． 27. 在数轴上，把表示数1的点称为基准点，记作点，对于两个不同的点P和Q，若点P、点Q到基准点的距离相等，则称点P与点Q互为基准变换点．例如，点P表示数，点Q表示数3，它们与基准点的距离都是两个单位长度，点P与点Q互为基准变换点． （1）已知点A表示数a，点B表示数x，点A与点B互为基准变换点． ①若，则 ；若，则 ； ②用含a的一次代数式表示x，则 ； （2）点M在点N的左边8个单位长度处，对点M做如下操作：点M沿数轴向右移动个单位长度得到为的基准变换点，点沿数轴向右平移移动k个单位长度得到为的基准变换点，…依此顺序不断地重复，得到…，．若无论k为何值，与N两点间的距离都是2024，则此时 ． 【答案】（1）①，；②； （2）1017或． 【解析】 【分析】本题主要考查了规律型﹣数字的变化，总结出的变化规律，根据与k无关求出M对应的数字是本题解题的关键． （1）根据绝对值的意义，列出等式，再根据两点不同，化简绝对值即可得到a与x的关系，代入a值即可求解； （2）假设M对应的数字，根据每次变换写出每个点对应的数，发现变化规律，再根据绝对值的意义，写出与N两点间的距离，根据距离与k无关，求出M对应数，从而求得对应的数． 【小问1详解】 解：①∵点A与点B互为基准变换点， ∴， ∵A，B是不同的点， ∴， ∴， ∴当时，，当时，； 故答案为：，； ②由①知，； 故答案为：； 【小问2详解】 解：设M对应的数为b，则N对应的数为， ∴对应的数为， 由（1）知，对应的数为：， ∴对应的数为， ∴对应的数为， ∴对应的数是一个循环，循环周期为， ∴， ∵与k无关， ∴， ∴或， ∴对应的数为或． 故答案为：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $