1.2 集合间的基本关系 专项训练 -2025-2026学年高一下学期暑期复习数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以思维导图与知识清单系统构建集合关系认知框架，通过必记结论与分层题型强化抽象能力与推理意识，实现概念-性质-应用的逻辑闭环。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识清单|3种基本关系|文字-符号语言转化|从子集、真子集、相等概念定义出发，构建集合关系基础认知| |必记结论|2条核心结论|子集个数公式、传递性应用|结合空集性质，形成关系判断与计算的推理链条| |分层题型|16题（选择/填空/解答）|空集优先考虑、参数分类讨论|从基础关系判断到含参综合应用，覆盖高频易错点|

1.2集合间的基本关系 姓名：___________班级：___________ 思维导图 知识清单 文字语言 符号语言 基本关系[来源:学科网ZXXK] 子集 集合A中任意一个元素都是集合B的元素[来源:Zxxk.Com] 真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中 相等 集合A，B中元素相同或集合A，B互为子集 空集 空集是任何集合的子集 空集是任何非空集合的真子集 且 必记结论： （1）若集合A中含有n个元素，则有个子集，有个非空子集，有个真子集，有个非空真子集． （2）子集关系的传递性，即. 注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解. 一、单选题 1．（23-24高二下·河北保定·期末）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断两个集合的包含关系 【分析】借助集合间基本关系判断即可得. 【详解】因为，所以． 2．（26-27高一·全国·暑假作业）已知集合，则（    ） A． B． C． D．A、B没有包含关系 【答案】B 【知识点】判断两个集合的包含关系 【分析】由集合的子集的定义求解即可. 【详解】由 ，则． 3．（24-25高一上·湖北武汉·期末）下列表示集合和关系的图中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】列举法表示集合 【详解】因为集合，， 所以集合和关系的图为A. 4．（2026·河南开封·三模）已知集合，，若，则实数（   ） A．0 B．1 C．0或1 D．2 【答案】A 【知识点】利用集合元素的互异性求参数、根据集合的包含关系求参数 【详解】由，得或，解得或． 当时，，，，符合题意， 当时，A不满足元素互异性，不符合题意，所以. 5．（25-26高二下·浙江宁波·期末）已知集合，则的所有子集中的元素之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求集合的子集（真子集） 【分析】根据集合的子集直接求解即可. 【详解】由题知，的所有非空子集为， 所以以上集合所有元素之和为. 6．（2026·江西九江·模拟预测）已知为实数，集合，且，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【知识点】根据两个集合相等求参数、利用集合元素的互异性求参数 【详解】因为，所以或， 解得，或，（不符合集合元素的互异性，舍去） 所以. 二、多选题 7．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知集合，，若，则符合条件的实数的值可能为（   ） A． B． C． D．0 【答案】ABD 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】讨论集合中的参数和，再利用子集关系求解. 【详解】由，可知. 当时，，此时，满足条件. 当时，，则有或， 解得或. 8．（24-25高一上·广西河池·期中）已知集合，则下列集合中哪些是A的子集（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】判断两个集合的包含关系 【详解】，解得，集合， 中元素均属于集合，是集合的子集，故A正确； 中有元素不属于集合，不是集合的子集，故B错误； 等于集合，是集合A的子集，故C正确； 中元素均属于集合，是集合的子集，故D正确． 9．（25-26高二下·湖南衡阳·期中）已知集合，，若，则a的取值可以是（   ） A． B．0 C．2 D． 【答案】BC 【知识点】利用集合元素的互异性求参数、根据集合的包含关系求参数 【分析】由集合子集的关系和元素互异性求解. 【详解】因为，又，， 所以或， 解得或或， 当时，，，满足要求， 当时，，，满足要求， 当时，，与元素互异性矛盾，不满足要求, 所以或2. 三、填空题 10．（26-27高一·全国·暑假作业）满足条件的集合的个数是____ 【答案】7 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、求集合的子集（真子集） 【分析】根据子集和真子集的概念即可求解. 【详解】由题意，是集合的真子集，且集合为集合的子集， 所以集合至少有3个元素，最多有5个元素， 如果集合有3个元素：，，； 如果集合有4个元素：，，； 如果集合有5个元素：； 所以满足条件的集合共有7个. 11．（2026高三下·湖北·竞赛）已知且，集合，．若，则______． 【答案】5 【知识点】根据两个集合相等求参数 【分析】利用集合相等则元素和相等先求出的可能值，结合集合元素性质排除不符合的解，再匹配对应元素求出，最终计算. 【详解】若，则两个集合元素之和相等，中元素和为，因此的元素和也为， 即 解得或. 若，则，但时中元素均不为，矛盾，排除； 若，则，结合，得元素乘积相等，即， 化简得，结合得，此时，符合条件. 所以. 12．（2026高二下·贵州贵阳·竞赛）已知，且集合与集合表示同一个集合，则实数__________. 【答案】1 【知识点】根据两个集合相等求参数 【分析】通过集合相等的性质分类讨论求解. 【详解】显然， ①若，则解得，此时，不满足集合中元素的互异性； ②若，则，则，，时即可满足集合中元素的互异性，满足题意； ③若，则，则或可解得或. 经检验这两种情况均不满足集合中元素的互异性. 综上可知，. 四、解答题 13．（24-25高一上·安徽淮北·期末）已知集合，集合 (1)求的真子集 (2)若，求的值． 【答案】(1)，， (2)，或 【知识点】求集合的子集（真子集）、根据集合的包含关系求参数 【分析】（1）解方程得集合，再求真子集； （2）因为，所以，分和进行求解. 【详解】（1）解方程得，或 因此集合， 其真子集为，，，共3个． （2）因为，所以， ①当时，，此时符合题意 ②当时，因为，此时易知 要使得，即或，解得，或． 综上所述，要使得，则，或. 14．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，． (1)若，求； (2)若，求实数的取值集合； (3)若中有3个整数，求实数的取值集合； (4)若，求实数的取值集合； (5)若，求实数的取值取值集合； 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、根据集合的包含关系求参数 【分析】（1）略 （2）略 （3）根据区间长度得，解得，接下来再分，，和，根据左端点的范围确定右端点的范围，进行求解； （4）根据集合的包含关系确定参数范围； （5）根据集合的包含关系确定参数范围. 【详解】（1）因为，，所以. （2）因为， 若，则，解得， 所以实数的取值集合为. （3）因为，中有3个整数， 所以，解得， 当时，，符合题意， 当时，， 若中有3个整数，则，即， 此时集合中的整数为，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，， 若中有3个整数，则，即， 此时集合中的整数为，符合题意； 综上所述，实数的取值集合为. （4）当时，如图，此时． 则，即，因此的取值集合为． （5）当时，如图， 此时，解得，此时无解； 当时，由，解得． 综上可得：的取值集合为． 15．（26-27高一·全国·暑假作业）已知，若，求的值 【答案】或或 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】求解方程，得.讨论和两种情况，即可求得的值. 【详解】由，得，解得或. 所以， 当时，，满足； 当时，, 因为，所以或， 所以或. 综上所述，或或. 16．（26-27高一·全国·暑假作业）设集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若 ，求实数a的取值范围 【答案】(1)或 (2) 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】（1）由，对集合进行分类讨论：①若，②若为，，③若，由此求得的值即可. （2）先化简集合，，再由 ，能求得的值. 【详解】（1）集合，， 由题意， ①若，则，则； ②若或，则 解得：，将代入方程得：得：， 即符合要求； ③若，则，即 即的两根分别为、0， 则有且，则. 综上所述，实数的取值范围是或. （2），， 则，即 ， 即0和是方程的两根， ，， 解得：或（舍去）， 故. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2集合间的基本关系 姓名：___________班级：___________ 思维导图 知识清单 文字语言 符号语言 基本关系[来源:学科网ZXXK] 子集 集合A中任意一个元素都是集合B的元素[来源:Zxxk.Com] 真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中 相等 集合A，B中元素相同或集合A，B互为子集 空集 空集是任何集合的 空集是任何非空集合的 且 必记结论： （1）若集合A中含有n个元素，则有 个子集，有 个非空子集，有个真子集，有个非空真子集． （2）子集关系的传递性，即. 注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑 的情况，否则会造成漏解. 一、单选题 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．已知集合，则（    ） A． B． C． D．A、B没有包含关系 3．下列表示集合和关系的图中正确的是（    ） A． B． C． D． 4．已知集合，，若，则实数（   ） A．0 B．1 C．0或1 D．2 5．已知集合，则的所有子集中的元素之和为（    ） A． B． C． D． 6．已知为实数，集合，且，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、多选题 7．已知集合，，若，则符合条件的实数的值可能为（   ） A． B． C． D．0 8．已知集合，则下列集合中哪些是A的子集（   ） A． B． C． D． 9．已知集合，，若，则a的取值可以是（   ） A． B．0 C．2 D． 三、填空题 10．满足条件的集合的个数是____ 11．已知且，集合，．若，则______． 12．已知，且集合与集合表示同一个集合，则实数__________. 四、解答题 13．已知集合，集合 (1)求的真子集 (2)若，求的值． 14．已知集合，． (1)若，求； (2)若，求实数的取值集合； (3)若中有3个整数，求实数的取值集合； (4)若，求实数的取值集合； (5)若，求实数的取值取值集合； 15．已知，若，求的值 16．设集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若 ，求实数a的取值范围 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $