精品解析：湖南衡阳市祁东县2025-2026学年下学期期末教学质量监测试卷 八年级 数学

祁东县2026年上期期末教学质量监测试卷 八年级 数学 （考试时间：120分钟 满分120分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题有唯一正确答案） 1. 下列是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 2. 我国古代数学家祖冲之推算出的近似值为，它与的误差小于0.0000003．将0.0000003用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法错误的是（ ） A. 平行四边形的对边相等 B. 菱形的每条对角线平分一组对角 C. 正方形既是轴对称图形、又是中心对称图形 D. 矩形的对角线互相垂直平分 4. 已知正比例函数y＝k1x（k1≠0）与反比例函数y＝（k2≠0）的图象交于M，N两点，若点M的坐标是（2，-1），则点N的坐标是（ ）． A. N（-1，-2） B. N（1，-2） C. N（-2，1） D. N（-2，-1） 5. 若关于的分式方程有增根，则常数的值等于（ ） A. B. C. 1 D. 2 6. 在同一平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 迅速发展的网络峰值速率为网络峰值速率的倍，在峰值速率下传输兆数据，网络比网络快秒，求这两种网络的峰值速率．设网络的峰值速率为每秒传输兆数据，依题意，可列方程是（ ） A. B. C. D. 8. 如图：点A在反比例函数的图象上，轴于点B，C是的中点，连接，若的面积为3，则（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 9. 如图，以正方形的边向外作等边，连接交边于点F，则的度数是（ ） A. 60° B. 70° C. 75° D. 80° 10. 如图，菱形，点A、B、C、D均在坐标轴上，，点，点E是的中点，点P是上的一动点，则的最小值是（ ） A. 4 B. 5 C. D. 二、填空题（本大题共6小题，满分18分，每小题3分） 11. 若分式的值为0，则x的值为_________． 12. 已知二元一次方程组的解为，则函数和的图象的交点坐标为______． 13. 在平面直角坐标系中，若将一次函数的图象向下平移3个单位后经过原点，则m的值为______． 14. 如图，在平行四边形ABCD中，，按以下步骤作图：①以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AD于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射线AP，交边CD于点Q，若，则的度数为__________． 15. 为了预防“流感”，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量与时间成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例（如图）．现测得药物燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为．研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于才有效，那么此次消毒的有效时间是______分钟． 16. 在直角坐标系中，等腰直角三角形、、、…、按如图所示放置，其中点、、、…、均在一次函数的图象上，点、、、…、均在轴上．若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为_____________． 三、解答题（本大题共8个小题，第17题6分，第18、19、20题每小题8分，第21、22题每小题9分，第23、24题每小题12分，共72分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算： 18. 先化简，再求值：，然后从1，2，3，中选择一个合适的数代入求值． 19. 在学校举办的“劳动与科技”实践周中，八年级（1）班的同学负责照料两块草莓试验田．其中甲组地块采用“智能水肥一体化”技术种植，乙组地块采用“传统土壤”方式种植．为了评估两种种植方式的效果，成熟期时，同学们从甲、乙两地块中各随机采摘了10颗草莓进行甜度检测（单位：Brix，数值越大越甜）． 【数据收集】 甲组（智能水肥）：11，13，13，12，14，13，12，13，15，14 乙组（传统土壤）：10，16，12，14，11，13，13，16，13，12 【数据整理】同学们对数据进行了初步整理，并绘制了统计表和部分图表． 表：甲、乙两组草莓甜度统计分析表 组别 平均数 众数 中位数 方差 甲 13 a 13 1.2 乙 13 13 b 3.4 【问题解答】 （1）填空：请直接写出表格中和的值：____，______； （2）绘图：请在答题卡相应位置画出乙组数据的箱线图（提示：请标出最小值、最大值、下四分位数、上四分位数和中位数）； （3）决策应用：如果高端超市收购草莓的标准是“甜度稳定且品质均匀”，你会向农户推荐哪种种植方式？请说明理由． 20. 如图，四边形ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，E是AD的中点，连接BE并延长交CD的延长线于点F． （1）请连接AF、BD，试判断四边形ABDF是何种特殊四边形，并说明理由． （2）若AB=4，BC=5，CD=6，求△BCF的面积． 21. 如图，已知一次函数与反比例函数的图像在第一、三象限分别交于，两点，连接． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）直接写出时x的取值范围． 22. 2024年4月25日，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号F遥十八运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火升空，将航天员叶光富、李聪和李广苏顺利送入太空，神舟十八号载人飞船发射取得圆满成功．某航天模型销售店看准商机，推出“神舟”和“天宫”模型．已知销售店老板购进2个“神舟”模型和4个“天宫”模型一共需要200元；购进3个“神舟”模型和2个“天宫”模型一共需要180元． （1）求每个“神舟”模型和“天宫”模型的进货价格； （2）该航天模型销售店计划购进两种模型共100个，且“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的一半．若每个“神舟”模型的售价为60元，每个“天宫”模型的售价为45元，则购进多少个“神舟”模型时，销售这批模型的利润最大？最大利润是多少元？ 23. 定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“闪光点”．例如求：的“闪光点”：联立方程，解得，则的“闪光点”为． （1）由定义可知，一次函数的“闪光点”为______； （2）若一次函数的“闪光点”为，求m、n的值； （3）若直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线上没有“闪光点”，若点P为平面内一个动点，使得以点A、B、O、P为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出满足条件的点P的坐标． 24. 如图，已知长方形的顶点在坐标原点，、分别在、轴的正半轴上，顶点，直线经过点交于、交轴于点，点是的中点，直线交于点． （1）求点的坐标及直线的解析式； （2）求的面积，并在直线上找一点，使的面积等于的面积，请求出点的坐标． （3）在轴上有一点，过点作轴的垂线，分别交直线、于点、，在线段上是否存在一点，使得为等腰直角三角形，若存在，请求出点的坐标及相应的的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 祁东县2026年上期期末教学质量监测试卷 八年级 数学 （考试时间：120分钟 满分120分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题有唯一正确答案） 1. 下列是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简分式定义，若分式的分子与分母没有除1以外的公因式，则该分式是最简分式，对各选项因式分解后判断是否可约分即可得到结果． 【详解】解：∵最简分式的定义为分子与分母没有除1以外公因式的分式． 故可对各选项逐一判断： A：，分子分母有公因式，可以约分，不是最简分式； B：，，分子分母有公因式，可以约分，不是最简分式； C：无法分解因式，分子与分母没有除1以外的公因式，不能约分，因此是最简分式； D：，分子分母有公因式，可以约分，不是最简分式． 2. 我国古代数学家祖冲之推算出的近似值为，它与的误差小于0.0000003．将0.0000003用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】绝对值较小的数的科学记数法的一般形式为：a×10-n，在本题中a应为3，10的指数为-7． 【详解】解：0.0000003 故选A 【点睛】本题考查的是用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数决定． 3. 下列说法错误的是（ ） A. 平行四边形的对边相等 B. 菱形的每条对角线平分一组对角 C. 正方形既是轴对称图形、又是中心对称图形 D. 矩形的对角线互相垂直平分 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质，一一判断即可． 【详解】、平行四边形的对边相等，此选项说法正确，不符合题意； 、菱形的每条对角线平分一组对角，此选项说法正确，不符合题意； 、正方形既是轴对称图形、又是中心对称图形，此选项说法正确，不符合题意； 、矩形的对角线互相平分且相等，此选项说法错误，符合题意； 故选：． 【点睛】此题考查了命题与定理，平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握正方形的性质及其应用． 4. 已知正比例函数y＝k1x（k1≠0）与反比例函数y＝（k2≠0）的图象交于M，N两点，若点M的坐标是（2，-1），则点N的坐标是（ ）． A. N（-1，-2） B. N（1，-2） C. N（-2，1） D. N（-2，-1） 【答案】C 【解析】 【分析】先根据点M的坐标求出正比例函数和反比例函数解析式，然后联立两个解析式求得点N的坐标． 【详解】∵正比例函数y＝x(k1≠0)与反比例函数y＝（k2≠0）的图象都经过点M(2，-1) ∴－1=2，－1= 解得：， ∴正比例函数为：，反比例函数为：y＝ 联立这两个函数得： 解得：或 ∴点N的横坐标为－2，代入正比例函数得，y=1 ∴N(－2，1) 故选：C 【点睛】本题考查求函数解析式和交点坐标，解题关键是求解出2个函数的解析式． 5. 若关于的分式方程有增根，则常数的值等于（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】在分式方程化为整式方程的过程中，分式方程解的条件是使原方程分母不为零. 【详解】由题意，得 可知，得到 由题可知此题中x=2为方程增根 即，解得. 【点睛】增根，是指方程求解后得到的不满足题设条件的根。一元二次方程与分式方程和其它产生多解的方程在一定题设条件下都可能有增根。在分式方程化为整式方程的过程中，分式方程解的条件是使原方程分母不为零。若整式方程的根使最简公分母为0，（根使整式方程成立，而在分式方程中分母为0）那么这个根叫做原分式方程的增根. 6. 在同一平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象及性质和一次函数图象及性质，解题的关键是先根据反比例函数所在的象限判断出的符号，再根据一次函数的性质进行解答．分别根据反比例函数及一次函数图象的特点对四个选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A．由反比例函数的图象在二、四象限可知，，，一次函数的图象应该经过一、三、四象限，故本选项不符合题意； B．由反比例函数的图象在一、三象限可知，，，一次函数的图象应该经过一、二、四象限，故本选项不符合题意； C．由反比例函数的图象在一、三象限可知，，，一次函数的图象应该经过一、二、四象限，故本选项符合题意； D．由反比例函数的图象在一、三象限可知，，，一次函数的图象应该经过一、二、四象限，故本选项不符合题意； 故选：C． 7. 迅速发展的网络峰值速率为网络峰值速率的倍，在峰值速率下传输兆数据，网络比网络快秒，求这两种网络的峰值速率．设网络的峰值速率为每秒传输兆数据，依题意，可列方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了列分式方程，关键是理解题意、找到等量关系并列出方程． 由题意：在峰值速率下传输500兆数据， 网络传输的时间、4G网络传输的时间可以分别表示出来，则等量关系：在峰值速率下传输兆数据，网络比网络快秒，列出分式方程即可． 【详解】解：由题意：在峰值速率下传输兆数据， 网络传输的时间为秒，网络传输的时间为秒， 则可得方程：. 故选：B． 8. 如图：点A在反比例函数的图象上，轴于点B，C是的中点，连接，若的面积为3，则（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征等知识点，掌握反比例函数中k的几何意义是解题的关键． 由C是的中点求的面积，设，根据面积公式求，进而求得k的值即可． 【详解】解：∵C是的中点，的面积为3， ∴的面积为6， 设， ∵轴于点B， ∴，即， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴． 故选D． 9. 如图，以正方形的边向外作等边，连接交边于点F，则的度数是（ ） A. 60° B. 70° C. 75° D. 80° 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质及直角三角形的角关系；掌握利用边相等转化为角相等，结合外角性质与直角三角形内角和进行角度推导是解题的关键．解题时通过正方形与等边三角形的边、角性质，结合等腰三角形判定及直角三角形角的关系，逐步推导即可得出所求角的度数． 【详解】如图，延长过点作于点， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵三角形是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵三角形是等边三角形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴三角形是直角三角形， ∴， ∴， ∴． 故选：． 10. 如图，菱形，点A、B、C、D均在坐标轴上，，点，点E是的中点，点P是上的一动点，则的最小值是（ ） A. 4 B. 5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，利用菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，垂线段最短解答即可． 本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，垂线段最短，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵菱形，点A、B、C、D均在坐标轴上，，点， ∴，，， ∴， ∴，是等边三角形， ∵点E是的中点， ∴， ∵点D与点B关于对称， 故连接，交于点， 当点P与点重合时，的值最小， 且最小值为的长， 由是等边三角形， 故， ∴， ∴， 故的最小值为4， 故选：A． 二、填空题（本大题共6小题，满分18分，每小题3分） 11. 若分式的值为0，则x的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式的值为零时，分子等于零，且分母不等于零．据此列出关于x的不等式和方程进行解答即可． 解题的关键在于理清分式的值为零时，分子等于零，且分母不等于零． 【详解】解：分式的值为0， ，， 解得，， ． 12. 已知二元一次方程组的解为，则函数和的图象的交点坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】由二元一次方程组的解为，得出二元一次方程组的解为，从而可得出交点坐标． 【详解】二元一次方程组的解为， 即二元一次方程组的解为， 函数和的图象的交点坐标为 故答案为：． 【点睛】本题考查了两直线的交点与二元一次方程组的解，熟练掌握交点坐标为方程组的解是解题的关键． 13. 在平面直角坐标系中，若将一次函数的图象向下平移3个单位后经过原点，则m的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质．先写出平移后的解析式，然后把代入求解即可． 【详解】解：将一次函数的图象向下平移3个单位后的解析式为， ∵平移后经过原点， ∴， 解得， 故答案为：3． 14. 如图，在平行四边形ABCD中，，按以下步骤作图：①以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AD于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射线AP，交边CD于点Q，若，则的度数为__________． 【答案】35° 【解析】 【分析】由作图可知，AQ平分，根据角平分线的定义及平行四边形的性质证明即可解决问题． 【详解】解：由作图可知，AQ平分， ， ∵四边形ABCD是平行四边形， ， ， ， ， ， 故答案为． 【点睛】本题考查了作图，平行四边形的性质，角平分线的定义等知识．解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 15. 为了预防“流感”，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量与时间成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例（如图）．现测得药物燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为．研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于才有效，那么此次消毒的有效时间是______分钟． 【答案】12 【解析】 【分析】首先根据题意确定一次函数与反比例函数的解析式，然后代入确定两个自变量的值，差即为有效时间． 【详解】解：药物燃烧时y关于x的函数关系式为 把代入中得；， ∴， ∴药物燃烧时y关于x的函数关系式为 设药物燃烧后y关于x的函数关系式为 把代入中得；， ∴， ∴药物燃烧后y关于x的函数关系式为 把代入，得：， 把代入，得：， ∵， ∴那么此次消毒的有效时间是12分钟， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了反比例函数与正比例函数的实际应用，熟练掌握待定系数法是解题关键． 16. 在直角坐标系中，等腰直角三角形、、、…、按如图所示放置，其中点、、、…、均在一次函数的图象上，点、、、…、均在轴上．若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据规律求出点的坐标，从而求出的长度，再从图中观察出的横坐标和的横坐标相同，再由等腰直角三角形的性质可知的纵坐标，最后代入即可． 【详解】解：观察点的坐标可知， ， ， ， 则， ， 由图可知的横坐标和的横坐标相同，为， ， 由等腰直角三角形的性质可知的纵坐标， 代入，得点的坐标为． 三、解答题（本大题共8个小题，第17题6分，第18、19、20题每小题8分，第21、22题每小题9分，第23、24题每小题12分，共72分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【详解】原式 18. 先化简，再求值：，然后从1，2，3，中选择一个合适的数代入求值． 【答案】；时，原式 【解析】 【分析】本题考查分式化简求值，涉及因式分解、分式加减乘除混合运算、通分、约分及分式有意义的条件，根据分式的混合运算化简是解决问题的关键． 【详解】解： ， 由分式分母不为0可知，则从1，2，3中只能取， 原式． 19. 在学校举办的“劳动与科技”实践周中，八年级（1）班的同学负责照料两块草莓试验田．其中甲组地块采用“智能水肥一体化”技术种植，乙组地块采用“传统土壤”方式种植．为了评估两种种植方式的效果，成熟期时，同学们从甲、乙两地块中各随机采摘了10颗草莓进行甜度检测（单位：Brix，数值越大越甜）． 【数据收集】 甲组（智能水肥）：11，13，13，12，14，13，12，13，15，14 乙组（传统土壤）：10，16，12，14，11，13，13，16，13，12 【数据整理】同学们对数据进行了初步整理，并绘制了统计表和部分图表． 表：甲、乙两组草莓甜度统计分析表 组别 平均数 众数 中位数 方差 甲 13 a 13 1.2 乙 13 13 b 3.4 【问题解答】 （1）填空：请直接写出表格中和的值：____，______； （2）绘图：请在答题卡相应位置画出乙组数据的箱线图（提示：请标出最小值、最大值、下四分位数、上四分位数和中位数）； （3）决策应用：如果高端超市收购草莓的标准是“甜度稳定且品质均匀”，你会向农户推荐哪种种植方式？请说明理由． 【答案】（1）13，13 （2）见解析 （3）推荐甲组（智能水肥一体化）的种植方式，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了中位数/众数和四分位数，掌握中位数的计算方法是解答本题的关键． （1）根据众数和中位数的概念求解即可； （2）根据箱线图和乙组数据特征分析即可； （3）根据箱线图比较两组数据可知甲组成绩比较分散，即可得出结论． 【小问1详解】 解：甲组数据中，数字13出现次数最多，所以众数， 乙组数据按大小顺序排列为：10，11，12，12，13，13，13，14，16，16， 所以，中位数； 故答案为：13；13； 【小问2详解】 解：最小值为10；下四分位数为12，中位数是13，上四分位数为14，最大值为16， 画箱线图如下： 【小问3详解】 解：推荐甲组（智能水肥一体化）的种植方式, 理由：两组数据的平均数众数中位数都相同，但甲组的方差小于乙组的方差；方差越小，数据的波动越小，甜度越稳定、品质越均匀，符合高端超市“甜度稳定且品质均匀”的收购标准。 20. 如图，四边形ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，E是AD的中点，连接BE并延长交CD的延长线于点F． （1）请连接AF、BD，试判断四边形ABDF是何种特殊四边形，并说明理由． （2）若AB=4，BC=5，CD=6，求△BCF的面积． 【答案】（1）平行四边形，理由见解析（2）25 【解析】 【分析】（1）由平行线的性质得出内错角相等，由中点的定义得出AE=DE，由ASA证明△ABE≌△DFE，得出BE=FE，即可得出结论； （2）由（1）可知△ABE≌△DFE，所以求△BCF的面积可转化为求梯形ABCD的面积，根据梯形的面积公式计算即可． 【详解】解：（1）如图所示： 四边形ABDF是平行四边形，理由如下： ∵AB∥CD， ∴∠BAE=∠FDE， ∵E是AD的中点， ∴AE=DE， 在△ABE和△DFE中，， ∴△ABE≌△DFE（ASA）， ∴BE=FE， ∴四边形ABDF是平行四边形； （2）∵△ABE≌△DFE，BC⊥CD， ∴△BCF的面积=梯形ABCD的面积 =（AB+CD）×BC =（4+6）×5 =25． 【点睛】考点：平行四边形的判定． 21. 如图，已知一次函数与反比例函数的图像在第一、三象限分别交于，两点，连接． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）直接写出时x的取值范围． 【答案】（1）反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）把A代入反比例函数可求得m，即可得到反比例函数的解析式，再将代入可求得a，再根据待定系数法求得一次函数的解析式即可； （2）求出一次函数图像与x轴交点坐标，再利用三角形的面积公式计算即可； （3）根据图像得到一次函数图像在反比例函数图像上方的x取值范围即可． 【小问1详解】 解：把代入反比例函数，解得：， ∴反比例函数的解析式为， ∵点在反比例函数图像上， ∴，解得：， ∴， ∵一次函数的图像经过A和B， ∴，解得：， ∴一次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：∵一次函数的解析式为， ∴令，解得：，即一次函数图像与x轴交点为， ∵，， ∴． 【小问3详解】 解：如图：∵，， ∴根据函数图像可得：的x的取值范围为或． 【点睛】本题是主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题、待定系数法求函数解析式等知识点，正确确定反比例函数和一次函数的解析式是解答本题的关键． 22. 2024年4月25日，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号F遥十八运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火升空，将航天员叶光富、李聪和李广苏顺利送入太空，神舟十八号载人飞船发射取得圆满成功．某航天模型销售店看准商机，推出“神舟”和“天宫”模型．已知销售店老板购进2个“神舟”模型和4个“天宫”模型一共需要200元；购进3个“神舟”模型和2个“天宫”模型一共需要180元． （1）求每个“神舟”模型和“天宫”模型的进货价格； （2）该航天模型销售店计划购进两种模型共100个，且“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的一半．若每个“神舟”模型的售价为60元，每个“天宫”模型的售价为45元，则购进多少个“神舟”模型时，销售这批模型的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）每个“神舟”模型的进货价格为40元，每个“天宫”模型的进货价格为30元 （2）当购进33个“神舟”模型时，销售这批模型的利润最大，最大利润为1665元 【解析】 【分析】（1）设每个“神舟”模型的进货价格为x元，每个“天宫”模型的进货价格为y元．由题意得，解方程组即可． （2）设购进m个“神舟”模型， 个“天宫”模型时，销售这批模型的利润最大，最大利润为w元．由题意得，．结合一次函数的性质，不等式的解集，整数解，解答即可． 本题考查了方程组的应用，一次函数的性质，不等式的应用，熟练掌握方程组的解法，一次函数的性质是解题的关键． 【小问1详解】 设每个“神舟”模型的进货价格为x元，每个“天宫”模型的进货价格为y元． 由题意得， 解得． 答：每个“神舟”模型的进货价格为40元，每个“天宫”模型的进货价格为30元． 【小问2详解】 设购进m个“神舟”模型， 个“天宫”模型时，销售这批模型的利润最大，最大利润为w元． 由题意得，． ， 解得，， ∵， ∴w随m的增大而增大．由题意知，m取整数． ∴当 时，w取得最大值，为（元）． ∴当购进33个“神舟”模型时，销售这批模型的利润最大，最大利润为1665元． 23. 定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“闪光点”．例如求：的“闪光点”：联立方程，解得，则的“闪光点”为． （1）由定义可知，一次函数的“闪光点”为______； （2）若一次函数的“闪光点”为，求m、n的值； （3）若直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线上没有“闪光点”，若点P为平面内一个动点，使得以点A、B、O、P为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出满足条件的点P的坐标． 【答案】（1） （2）， （3）或或 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，一次函数的性质等，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据题意，联立方程，求解即可； （2）根据题意，一次函数的“闪光点”为，先求出n的值，得到“闪光点”的坐标，再将坐标代入一次函数求解即可； （3）先根据直线与正比例函数无交点，得出k的值，分别求出A，B的坐标，设，分别讨论、、为对角线，再根据 平行四边形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：联立方程，解得， 则的“闪光点”为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵一次函数的“闪光点”为， ∴， 解得， ∴一次函数的“闪光点”为， ∴， 解得； 【小问3详解】 解：∵直线上没有“闪光点”， ∴直线与正比例函数无交点， ∴， ∴， 当时，，则， 当时，，则， 如图所示，点P为平面内一个动点，使得以点A、B、O、P为顶点的四边形是平行四边形， 设， ①当为对角线， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴； ②当为对角线， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴； ③当为对角线， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴； 综上，或或． 24. 如图，已知长方形的顶点在坐标原点，、分别在、轴的正半轴上，顶点，直线经过点交于、交轴于点，点是的中点，直线交于点． （1）求点的坐标及直线的解析式； （2）求的面积，并在直线上找一点，使的面积等于的面积，请求出点的坐标． （3）在轴上有一点，过点作轴的垂线，分别交直线、于点、，在线段上是否存在一点，使得为等腰直角三角形，若存在，请求出点的坐标及相应的的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）在线段上存在一点Q，使得为等腰直角三角形，当时点Q的坐标为或，当时点Q的坐标为． 【解析】 【分析】（1）根据长方形的性质可得出点的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，再由点的坐标，可得出正比例函数的解析式； （2）利用三角形面积的公式可求出的值，由直线的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点的坐标，设点的坐标为，由的面积等于的面积，可得出关于的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出的值，再将其代入点的坐标中即可得出结论； （3）由点的坐标可得出点，的坐标，分、及三种情况考虑：①当时，根据等腰直角三角形两直角边相等可得出关于的一元一次方程，解之可得出值，再利用等腰直角三角形的性质可得出点的坐标；②当时，根据等腰直角三角形两直角边相等可得出关于的一元一次方程，解之可得出值，再利用等腰直角三角形的性质可得出点的坐标；③当时，根据等腰直角三角形斜边等于斜边上高的二倍可得出关于的一元一次方程，解之可得出值，再利用等腰直角三角形的性质可得出点的坐标． 【小问1详解】 解： 四边形为长方形，点的坐标为， 点的坐标为，轴。 直线经过点， ， ， 直线的解析式为。 当时，有， 解得：， 点的坐标为。 点是的中点， 点的坐标为，即， 设直线的解析式为， ∴ 直线的解析式为。 【小问2详解】 。 当时，， 点的坐标为。 设点的坐标为。 ， ， 解得：或， 点的坐标为或。 【小问3详解】 点的坐标为， 点的坐标为，点的坐标为。 分三种情况考虑： ①当时，如图1所示。 为等腰直角三角形， ，即， 解得：， 此时点的坐标为； ②当时，如图2所示。 为等腰直角三角形， ，即， 解得：， 此时点的坐标为； ③当时，过点作于点，如图3所示。 为等腰直角三角形， ，即， 解得：， 此时点的坐标为，点的坐标为 此时点的坐标为，即。 综上所述：在线段上存在一点，使得为等腰直角三角形，当时点的坐标为或，当时点的坐标为。 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $