精品解析：湖南省衡阳市祁东县2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题

祁东县2025年上期期末教学质量监测试卷 八年级数学 （时长： 120分钟 总分： 120分） 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息； 2．请将答案正确填写在答题卡上，直接在该问卷上作答无效． 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 分式有意义的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，熟知分母不为零是解题的关键． 根据分母不为零进行计算． 【详解】解：要使分式有意义，则：， 解得：． 故选：B． 2. 在电影《哪吒之魔童降世》中，哪吒的混天绫由一种神奇的纤维制成．科学家研究发现，这种纤维的直径仅有米．请用科学记数法表示这个直径的正确选项是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较小的数，正确确定a和n的值是解题的关键． 根据绝对值小于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，即可求解． 【详解】解：， 故选：A． 3. 若反比例函数的图象在每一象限内， 的值随 值的增大而减小，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键． 先根据函数的增减性得出关于m的不等式，再解不等式即可得到m的取值范围． 【详解】解：∵反比例函数的图象在每一象限内， 的值随 值的增大而减小， ∴，解得：． 故选：B． 4. 关于x的分式方程有增根，则增根为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的增根，根据最简公分母为零计算即可． 【详解】解：∵关于x的分式方程有增根， ∴ ， ∴ ， 故选：D． 5. 如果点A（3，）在x轴上，那么点B（ ，）所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据x轴上的点的纵坐标为0列式求出m的值，然后计算即可得解． 【详解】解：∵A（3，m+2）在x轴上， ∴m+2=0， ∴m=-2 ∴m+1=-1，m-3=-5， ∴B（m+1，m-3）所在的象限是第三象限． 故选：C． 【点睛】本题考查了点的坐标，熟记x轴上的点的纵坐标为0，y轴上的点的横坐标为0是解题的关键． 6. 某班9名学生参加定点投篮测试，每人投篮10次，投中的次数统计如下：3，6，4，6，4，3，6，5，7．这组数据的中位数和众数分别是（ ） A. 5，4 B. 5，6 C. 6，5 D. 6，6 【答案】B 【解析】 【分析】根据中位数和众数的定义即可求出答案. 【详解】解：这组数据3，6，4，6，4，3，6，5，7中出现次数最多的是6， 众数是6. 将这组数据3，6，4，6，4，3，6，5，7按从小到大顺序排列是3，3，4，4，5，6， 6， 6， 7， 中位数为：5. 故选：B. 【点睛】本题考查了中位数和众数，解题的关键在于熟练掌握中位数和众数的概念，中位数是指将一组数据按大小顺序排列，若一组数据为奇数个，处在最中间位置的一个数叫做这组数据的中位数；若一组数据是偶数，则处在最中间的两个数的平均数为这组数据的中位数；众数指的是在一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数. 7. 若直线 经过一，二，四象限，则直线的图象只能是图中的（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了一次函数的图象与系数的关系，首先确定，然后再确定 ，，进而可得直线的图象经过的象限，从而得答案． 【详解】解：∵直线 经过一、二、四象限， ， ， ∴直线的图象经过第一、二、三象限， 故选：B． 8. 如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为（ ） A. 75° B. 60° C. 55° D. 45° 【答案】B 【解析】 【分析】由正方形的性质和等边三角形的性质得出∠BAE＝150°，AB＝AE，由等腰三角形的性质和内角和得出∠ABE＝∠AEB＝15°，再运用三角形的外角性质即可得出结果． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∠BAF＝45°， ∵△ADE是等边三角形， ∴∠DAE＝60°，AD＝AE， ∴∠BAE＝90°＋60°＝150°，AB＝AE， ∴∠ABE＝∠AEB＝（180°−150°）＝15°， ∴∠BFC＝∠BAF＋∠ABE＝45°＋15°＝60°； 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质；熟练掌握正方形和等边三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键． 9. 五一劳动节期间，某景点的商店推出优惠活动，决定每个纪念品降价1元销售，降价后用120元可以比降价前多购买4个．设该纪念品的原价是 元，可列出方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了利用分式方程解决实际问题，解题的关键是准确找出等量关系． 设该纪念品的原价是 元，表示出现价，然后利用购买的个数的数量关系列出方程求解即可． 【详解】解：设该纪念品的原价是 元，根据题意得， ， 故选：A． 10. 如图， 的对角线、 交于点O，平分交于点E，且 ，，连接，下列结论：① ；②；③；成立的个数有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】由平行四边形的性质得 ，则 ，而，所以，则，而，则是等边三角形，所以，则，所以 ，即可求得，所以，可判断①正确；由，，得 ，所以，可判断②正确；由“垂线段最短”可知，，可判断③错误，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形 是平行四边形， ∴ ， ∴ ， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴， 故①正确； ∵，， ∴， ∴， ∴， 故②正确； ， ∴， ∴， 故③错误， 故选：C． 【点睛】此题重点考查平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、垂线段最短等知识，证明是等边三角形是解题的关键． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 若分式的值为0，则 __________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式值为的条件建立方程，利用平方根解方程可得 的值，再结合分式的分母不能等于0即可得． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴， 解得 或 ， 又∵，即， ∴ ． 12. 计算的结果是___________ 【答案】 【解析】 【分析】先通分，然后根据同分母分式加减法法则进行计算即可. 【详解】原式= = = =， 故答案为. 【点睛】本题考查了异分母分式的加减法，熟练掌握异分母分式加减法的运算法则是解题的关键. 13. 已知直线向下平移个单位后经过点，则 的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平移的规律得到平移后的解析式为，然后把点的坐标代入求值即可． 【详解】解：将一次函数的图象向下平移 （）个单位后得到， 把代入，得，解得． 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象与几何变换，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式是解题的关键． 14. 甲、乙两名同学投掷实心球，每人投10次，平均成绩都为米，方差分别为．，则成绩比较稳定的是___________（选填“甲”或“乙”）． 【答案】乙 【解析】 【分析】本题主要考查了方差与稳定性之间的关系，根据方差越小，成绩越稳定即可得到答案． 【详解】解：∵．， ∴， ∴成绩比较稳定的是乙， 故答案为：乙． 15. 已知关于x的分式方程有一个正数解，则k的取值范围为________． 【答案】k<6且k≠3 【解析】 【分析】根据解分式方程的步骤，可得分式方程的解，根据分式方程的解是正数，可得不等式，解不等式，可得答案，并注意分母不分零． 【详解】解：， 方程两边都乘以（x-3），得 x=2（x-3）+k， 解得x=6-k≠3， 关于x的方程程有一个正数解， ∴x=6-k＞0， k＜6，且k≠3， ∴k的取值范围是k＜6且k≠3． 故答案为k＜6且k≠3． 【点睛】本题主要考查了解分式方程、分式方程的解、一元一次不等式等知识，能根据已知和方程的解得出k的范围是解此题的关键． 16. 平行四边形ABCD的周长为20cm，对角线AC、BD相交于点O，若△BOC的周长比△AOB的周长大2cm，则CD＝_____cm． 【答案】4． 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可知，平行四边形的对角线互相平分，由于△BOC的周长比△AOB的周长大2cm，则BC比AB长7cm，所以根据周长的值可以求出AB，进而求出CD的长． 【详解】解：∵平行四边形的周长为20cm， ∴AB+BC=10cm； 又△BOC的周长比△AOB的周长大2cm， ∴BC﹣AB=2cm， 解得：AB=4cm，BC=6cm． ∵AB=CD， ∴CD=4cm 故答案为4． 17. 如图所示，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC，CD，DA运动至点A停止，设点P运动的路程为 ，△ABP的面积为 ，如果 关于 的函数图象如图所示，那么△ABC的面积是_____． 【答案】10 【解析】 【详解】解：根据题意可得：AB=5，BC=4， ∴△ABC的面积是：×4×5=10． 故答案为10 18. 如图，正方形，正方形，正方形的顶点A，，和O，C，，分别在一次函数的图象和x轴上，则的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查平面直角坐标与图形的规律计算，掌握一次函数与几何图形的综合运用，找出规律是解题的关键． 根据题意得到，，同理，，，则点的横坐标的规律是：，纵坐标的规律是：，由此即可求解． 【详解】解：一次函数，令，则 ， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∵是正方形， ∴， ∴， 同理，，， ∴点的横坐标的规律是：，纵坐标的规律是：， ∴， 故答案为：． 三、解答题 （本大题共8小题，共66分） 19. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】分式方程两边同乘3(x+1)，解出x的解，再检验解是否满足. 【详解】解：方程两边都乘， 得：， 解得：， 经检验是方程的解， 原方程的解为． 【点睛】本题考查的知识点是分式方程的求解，解题关键是解出的解要进行检验. 20. 计算： 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了乘方、零指数幂、负整数指数幂、绝对值的意义，先根据乘方、零指数幂、负整数指数幂、绝对值的意义化简，再算加减． 【详解】解：原式． 21. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E、F，DE=BF，求证：四边形ABCD是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】先证△AED≌△CFB（AAS），得AD=BC，又由AD∥BC，即可得出四边形ABCD是平行四边形． 【详解】证明：∵AD∥BC， ∴∠DAE=∠BCF， ∵DE⊥AC，BF⊥AC， ∴∠AED=∠CFB=90°， 在△AED和△CFB中， ∴△AED≌△CFB（AAS）， ∴AD=BC， 又∵AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定，证明三角形全等是解题的关键． 22. 先化简，再求值： ，再从 ，0，1这三个数中选择一个你认为合适的数作为x的值代入求值． 【答案】， 时，原式 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，最后根据分式有意义的条件选择合适的值代值计算即可． 【详解】解： ， ∵分式要有意义， ∴， ∴ ， ∴当 时，原式． 23. 如图，在四边形 中，，过点D作 的角平分线交 于点E，连接交于点O， ． （1）求证：四边形 是菱形； （2）若， 的周长为36，求菱形 的面积． 【答案】（1） 证明：∵， ， ∴四边形 是平行四边形，， ∵平分 ， ∴， ∴， ∴ ， ∴四边形 是菱形； （2）96 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再根据平行线的性质和角平分线的定义证得，再利用等腰三角形的等角对等边得到 ，进而利用菱形的判定定理即可证得结论； （2）先根据菱形的性质和三角形的周长求得，进而利用勾股定理求得即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形 是菱形， ∴，，，， ∵， 的周长为36， ∴，则， 在 中，， ∴， ∴菱形 的面积为． 【点睛】本题考查菱形的判定与性质、平行四边形的判定、等腰三角形的判定、勾股定理、平行线的性质以及角平分线的定义，熟练掌握菱形的判定与性质是解答的关键． 24. 人工智能被称为世界三大尖端技术之一，近来年得到了迅猛发展，取得了丰硕成果．2024年12月26日，中国人工智能公司发布模型，引发了科技行业高度关注．某校积极响应国家“科教兴国”战略，开设智能机器人编程的校本课程，学校购买了A，B两种型号的机器人模型，A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同． （1）求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？ （2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 【答案】（1）A型机器人模型单价为500元，B型机器人模型单价为300元 （2）购买A型机器人10台、B型机器人30台时花费最少，最少花费是11200元 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式和一次函数的实际应用，正确的列出方程，不等式和一次函数，是解题的关键： （1）设B型机器人模型单价为x元，根据用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同，列出分式方程进行求解即可； （2）设购买A型机器人m台，根据购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，列出不等式求出的取值范围，设共花费w元，列出一次函数解析式，利用一次函数的性质，求最值即可． 【小问1详解】 解：设B型机器人模型单价为x元，则A型机器人模型单价为元．根据题意得： 解得：， 经检验，是所列分式方程的解， 此时； 答：A型机器人模型单价为500元，B型机器人模型单价为300元 【小问2详解】 解：设购买A型机器人m台，则购买B型机器人台． ∵， 解得：， 设共花费w元，则 ， ∵ ∴w随m的减小而减小 ∴当 时，w最小，最小值为11200， 此时， 答：购买A型机器人10台、B型机器人30台时花费最少，最少花费是11200元． 25. 如图，在直角坐标系中，矩形的顶点O与原点重合，A、C分别在坐标轴上，，，直线交 ，分别于点M，N，反比例函数的图象经过点M，N． （1）求反比例函数的解析式； （2）直接写出当时，x的取值范围； （3）若点P在y轴上，且的面积与四边形的面积相等，求点P的坐标． 【答案】（1）反比例函数解析式为； （2）或； （3）或． 【解析】 【分析】本题考查了利用待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，图形面积计算与点坐标求解，矩形的性质等知识点的应用，掌握这些是解题的关键． （1）由题意将 代入即可得出M的坐标，把M的坐标代入反比例函数的解析式即可求出答案； （2）根据图象即可求得； （3）将代入反比例函数解析式可得出N的坐标，求出四边形的面积，求出的值，即可求出P的坐标． 【小问1详解】 解：四边形是矩形， 将 代入得： ， 把M的坐标代入得： ， 反比例函数的解析式是； 【小问2详解】 当时，x的取值范围是或； 【小问3详解】 把代入得： ， 即， ， 由题意得：， ， ， 点P的坐标是或． 26. 如图甲，在 中，为锐角，点D为射线上一动点，连接，以为一边且在的右边作正方形，解答下列问题: （1）如果， ， ①当点D在线段上时(与点B不重合)，如图乙，线段 、 之间的位置关系为 ，数量关系为 ． ②当点D在线段的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？ （2）如果 ， ，点D在线段上运动，试探究，当 满足一个什么条件时， （点C、F重合除外）？并说明理由． 【答案】（1）①垂直，相等； ②当点D在的延长线上时，如下图所示，①的结论仍成立， 由正方形得： ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 又∵， ∴ ， ∴， ， ∵ ，， ∴， ∴ ， ∴ ， 即 ； （2）当 时， ； 理由如下： 如图，过点A作的垂线与所在直线交于G， ∵ ， ∴ 等腰直角三角形， ∴， ， ∵， ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 【解析】 【分析】（1）①由四边形是正方形与， ，易证得 ，然后由全等三角形的性质，可证得，继而求得 ，即 ； ②由四边形是正方形与， ，易证得 ，然后由全等三角形的性质，可证得，继而求得 ，即 ； （2）当 时，过点A作 交或的延长线于点G，则 ，可推出 ，所以 ，由（1）①可知 ． 【小问1详解】 解：①∵四边形是正方形， ∴ ， ， ∵， ， ∴ ， ∴， 在和 中， ∴ ， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 即 ； ②略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质和判定，第2问过点A作 交的延长线于点G构造全等三角形是解题的关键；运用了类比的方法，利用三角形全等解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 祁东县2025年上期期末教学质量监测试卷 八年级数学 （时长： 120分钟 总分： 120分） 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息； 2．请将答案正确填写在答题卡上，直接在该问卷上作答无效． 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 分式有意义的条件是（ ） A. B. C. D. 2. 在电影《哪吒之魔童降世》中，哪吒的混天绫由一种神奇的纤维制成．科学家研究发现，这种纤维的直径仅有米．请用科学记数法表示这个直径的正确选项是（ ） A. B. C. D. 3. 若反比例函数的图象在每一象限内， 的值随 值的增大而减小，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 关于x的分式方程有增根，则增根为（ ） A. B. C. D. 5. 如果点A（3，）在x轴上，那么点B（ ，）所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 某班9名学生参加定点投篮测试，每人投篮10次，投中的次数统计如下：3，6，4，6，4，3，6，5，7．这组数据的中位数和众数分别是（ ） A. 5，4 B. 5，6 C. 6，5 D. 6，6 7. 若直线 经过一，二，四象限，则直线的图象只能是图中的（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为（ ） A. 75° B. 60° C. 55° D. 45° 9. 五一劳动节期间，某景点的商店推出优惠活动，决定每个纪念品降价1元销售，降价后用120元可以比降价前多购买4个．设该纪念品的原价是 元，可列出方程（ ） A. B. C. D. 10. 如图， 的对角线、 交于点O，平分交于点E，且 ，，连接，下列结论：① ；②；③；成立的个数有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 若分式的值为0，则 __________． 12. 计算的结果是___________ 13. 已知直线向下平移个单位后经过点，则 的值为________． 14. 甲、乙两名同学投掷实心球，每人投10次，平均成绩都为米，方差分别为．，则成绩比较稳定的是___________（选填“甲”或“乙”）． 15. 已知关于x的分式方程有一个正数解，则k的取值范围为________． 16. 平行四边形ABCD的周长为20cm，对角线AC、BD相交于点O，若△BOC的周长比△AOB的周长大2cm，则CD＝_____cm． 17. 如图所示，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC，CD，DA运动至点A停止，设点P运动的路程为 ，△ABP的面积为 ，如果 关于 的函数图象如图所示，那么△ABC的面积是_____． 18. 如图，正方形，正方形，正方形的顶点A，，和O，C，，分别在一次函数的图象和x轴上，则的坐标是______． 三、解答题 （本大题共8小题，共66分） 19. 解方程：． 20. 计算： 21. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E、F，DE=BF，求证：四边形ABCD是平行四边形． 22. 先化简，再求值： ，再从 ，0，1这三个数中选择一个你认为合适的数作为x的值代入求值． 23. 如图，在四边形 中，，过点D作 的角平分线交于点E，连接交于点O， ． （1）求证：四边形 是菱形； （2）若， 的周长为36，求菱形 的面积． 24. 人工智能被称为世界三大尖端技术之一，近来年得到了迅猛发展，取得了丰硕成果．2024年12月26日，中国人工智能公司发布模型，引发了科技行业高度关注．某校积极响应国家“科教兴国”战略，开设智能机器人编程的校本课程，学校购买了A，B两种型号的机器人模型，A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同． （1）求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？ （2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 25. 如图，在直角坐标系中，矩形的顶点O与原点重合，A、C分别在坐标轴上，，，直线交，分别于点M，N，反比例函数的图象经过点M，N． （1）求反比例函数的解析式； （2）直接写出当时，x的取值范围； （3）若点P在y轴上，且的面积与四边形的面积相等，求点P的坐标． 26. 如图甲，在中，为锐角，点D为射线上一动点，连接，以为一边且在的右边作正方形，解答下列问题: （1）如果， ， ①当点D在线段上时(与点B不重合)，如图乙，线段 、 之间的位置关系为 ，数量关系为 ． ②当点D在线段的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？ （2）如果 ， ，点D在线段上运动，试探究，当满足一个什么条件时， （点C、F重合除外）？并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $