精品解析：黑龙江哈尔滨市第六中学校2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试题

哈尔滨市第六中学校2026年下学期期末考试 高一数学试题 时间：120分钟满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 数据2，3，8，5，4，2的中位数和平均数分别为（ ） A. 3.5和2 B. 3和4 C. 4和2 D. 3.5和4 【答案】D 【解析】 【分析】利用中位数和平均数的计算公式即可求解. 【详解】将数据2，3，8，5，4，2按照从小到大的顺序排列为：2，2，3，4，5，8， 所以中位数为； 平均数为. 故选：D. 2. 已知复数z满足，则z在复平面内对应的点所在的象限为（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】先利用复数的除法运算化简复数z，再根据其对应点的坐标判断所在象限. 【详解】由题意得复数， 复数z在复平面内对应的点为，该点位于第一象限. 3. 已知向量与的夹角为，，，则（ ） A. 3 B. C. 7 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由向量模长公式，向量数量积定义结合题设可得答案. 【详解】 4. 若为两条不同直线，为两个不同平面，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】利用线面平行的判定定理和性质定理可判断AB，利用面面垂直的判定定理和性质定理可判断CD. 【详解】若，，则或为异面直线，故A错误； 若，，则或，故B错误； 若，，则，满足面面垂直的判定定理，故C正确； 若，，这缺少了2个条件，即，才可以得到，故D错误； 故选：C. 5. 已知某圆锥的底面积为，母线长为，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为， 因为圆锥的底面积为，则底面半径， 可知圆锥的高为，所以该圆锥的体积为. 6. 位于某海域的甲船获悉，在其北偏西45°方向有一座灯塔，甲船沿着北偏东15°方向行驶，发现该灯塔位于甲船的正西方，那么此时甲船距离该灯塔（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合题意画出图形，结合正弦定理即可求解. 【详解】 设甲船初始位置为，航行后位置为，灯塔为， 由题意， 航行后灯塔在正西方，结合方位关系可得， 根据正弦定理， 代入已知值：，  因此此时甲船距离灯塔. 7. 已知四面体的4个顶点都在球的表面上，若平面，，，，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】采取补形法求解，将满足两两垂直棱条件的四面体补成长方体，四面体的外接球与长方体的外接球完全重合，以此快速得到外接球的直径长度，进而求得球的表面积； 【详解】已知平面，平面， 因此, 又因为，可得两两互相垂直， 将四面体补成一个三条棱长度分别为、、的长方体， 四面体的外接球与长方体的外接球完全重合，外接球的直径等于长方体的体对角线长度， 设外接球的半径为，所以， 进而求得球的表面积. 8. 棱长为2的正方体，点在棱上，满足最小，则三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，点为的中点，最小，再利用转化法求体积. 【详解】根据题意，将平面展开与平面共面， 连接，交于点，则点为的中点，此时最小， 则. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 设复数z的共轭复数为，为虚数单位，则下列命题正确的是（ ） A. 复数的共轭复数的模 B. 若复数是纯虚数，则得或 C. 若复数对应的向量为，对应的向量为，则向量对应的复数为 D. 若复数是关于x的方程的一个根，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用复数的基本概念、运算、几何意义及实系数一元二次方程的虚根性质，结合对应知识点逐一判断选项即可. 【详解】选项A：，故，A正确， 选项B：纯虚数要求实部为且虚部不为，令实部，解得或， 当时虚部，复数为实数，不符合要求，仅成立，B错误； 选项C：向量，对应的复数为，C正确； 选项D：实系数一元二次方程的虚根共轭成对，另一根为， 由韦达定理，两根和得，两根积， 故，D正确. 10. 下列说法中正确的有（ ） A. 平面向量，可以作为基底 B. 已知正边长为2，则 C. 模为0的向量与任意非零向量共线 D. 已知，，且与夹角为锐角，则的取值范围是 【答案】AC 【解析】 【分析】根据向量的定义判断AC，求出数量积判断B，举反例确定向量的夹角判断D. 【详解】对A，因为不存在实数，使得，即不共线，可以作为基底，A正确； 对B，，B错； 对C，由零向量的定义知C正确； 对D，时，与的夹角是，不是锐角，D错. 11. 如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，是线段的中点，则（ ） A. 存在点使得 B. 若点满足，则动点的轨迹长度为 C. 若点满足平面时，动点的轨迹是正六边形 D. 当点在侧面，且满足时，二面角的最大角的正切值为2 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据各选项的条件，分别确定动点的轨迹，判断轨迹的形状，求轨迹周长，求二面角，并借助线面、面面平行或垂直的判定定理和性质定理的应用进行判断即可. 【详解】设正方体棱长为，为中点， 对A：如图： 在正方体中，对角线 平面， 若取动点落在的边上，则平面， 由线面垂直性质得： ，所以存在满足条件的点，故A正确； 对B：如图 建立空间直角坐标系：， ， 设，， ，所以，即， 在正方体表面，满足该式的动点轨迹为矩形（分别为中点）， 矩形邻边长：， 轨迹周长，故B错误； 对C：如图： 依次取：为中点，为中点，为中点，为中点，为中点， 顺次连接，得六边形， 由中位线定理：， 所以平面，平面， 又是平面内的两条相交直线， 所以平面平面， 若在六边形边上，则平面，所以平面， 即动点的轨迹为六边形， 因为正方体棱长为，所以， 该六边形六条边长全部相等，每个内角均为， 六边形是正六边形， 所以动点的轨迹是正六边形，故C正确； 对D：如图： 由以上坐标系知，且正方体棱长为，侧面内所有点横坐标恒为， 设，其中 设，代入距离公式： ，即， 在侧面矩形内，该方程表示以为圆心、半径的一段圆弧， 因为，，平面， 所以 平面， 又因为平面平面，平面，平面， 根据二面角平面角定义，即为二面角的平面角， 在矩形内，过作 延长线，垂足为， 中，， 越大，二面角越大，即最大化， 因为，则当取圆弧上切点时， ，， 所以， 即二面角最大角的正切值为，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某校有高级教师90人，中级教师150人，其他教师若干人．为了了解教师的健康状况，从中抽取60人进行体检．已知高级教师中抽取了18人，则从中级教师中抽取的人数是______． 【答案】30 【解析】 【分析】由题意可先计算抽样比，再由抽样比求出结果． 【详解】由题意知，抽取的比例为，则中级教师抽取人. 故答案为：30 13. 如图，直三棱柱的所有棱长都相等，，分别为棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是______． 【答案】## 【解析】 【详解】如图，取棱AC的中点F，连接EF，DF． 因为E，F分别是棱，AC的中点，所以， 则是异面直线DE与所成的角或其补角． 直三棱柱的所有棱长都相等，设，则， 则， 即异面直线DE与所成角的余弦值是． 14. 以棱长为1的正方体各面的中心为顶点，构成一个正八面体，再以这个正八面体各面的中心为顶点构成一个小正方体，那么该小正方体的棱长为______. 【答案】 【解析】 【分析】作出图形，分析得到中的四边形为正方形，对角线，均为等边三角形，取两个等边三角形的中心，连接，即为正方体的一条棱，并根据比例关系求出棱长. 【详解】正方体各面中心为顶点的凸多面体为正八面体， 如图，中的四边形对角线， 且⊥，且对角线互相平分，故四边形为正方形， 以各个面的中心为顶点的图形为正方体， 取的中点，连接，则， 均为等边三角形，取两个等边三角形的中心，连接， 分别在上，且， 所以即为正方体的一条棱，且. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某校统计了高二年级1000名学生的身高数据，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出了如下图所示的频率分布直方图． （1）求身高在区间的人数； （2）求这组样本数据的分位数． 【答案】（1）550人 （2）177 【解析】 【分析】（1）根据给定的频率分布直方图，求出指定区间的频率即可. （2）利用分位数的定义列式求解. 【小问1详解】 身高在区间的频率为， 频数为，所以身高在区间的人数为550人. 【小问2详解】 由， ， 得样本数据的分位数，由，解得， 所以样本数据的分位数为177. 16. 已知中，角，，所对的边分别为，，，满足，且，． （1）求角的大小； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边角互化，结合三角恒等变换与三角形内角和性质求角B； （2）先由面积公式得的值，再结合余弦定理变形求. 【小问1详解】 已知，由正弦定理得， 整理得. 因为，故，又，，约去得， 结合，得. 【小问2详解】 由面积公式，代入、，得，解得. 由余弦定理，代入、，得， 将代入得，把代入得， 因，故. 17. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱垂直于底面，，点、分别是、的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：取的中点，连接， 因为点、分别是、的中点， 所以且， 又因为且， 所以且， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面，平面， 所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的判定及性质，线面平行的判定即可证明； （2）根据线面夹角的定义得出即为直线与平面所成角的平面角，即可求解． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 过点作的垂线，设垂足为，连接， 因为平面，平面，所以， 因为底面是正方形，所以， 因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，且，平面， 所以平面，即为直线与平面所成角的平面角， 设， 在中，即， 由（1）可知，， 所以， 即直线与平面所成角的正弦值为． 18. 在等腰梯形中，，，，，把三角形沿着翻折，得到如图所示的四棱锥，记二面角的平面角为60°. （1）求点D到底面的距离； （2）设M是侧棱上一动点，是否存在点M，使得的余弦值为，若存在，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）翻折后由，，确定，得到平面，进而可证明平面平面，根据面面垂直的性质可得平面，即可求解； （2）建系，求得平面的法向量，通过向量夹角公式即可求解. 【小问1详解】 因为翻折前，所以翻折后，， 由二面角的定义可知，二面角的平面角， 由，，，平面， 平面，又平面， 故平面平面， 在平面内，过点作，垂足为， 又平面平面，故平面， 即为点到平面的距离， 在中，，，故. 【小问2详解】 由（1）知，如图建立空间直角坐标系， 故，，，，设， 设，，即，即， 设平面法向量为， ，， ，即， 令，得，，即， 设平面的法向量， ，， ，即， 令，得，，即， 的余弦值为， ， 解得，即. 19. 离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设为多面体Γ的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的点，且平面，平面，平面，平面为多面体的所有以为公共点的面．已知平面多边形的外接圆圆心为与的交点，如图①，且，将沿翻折到如图②，连接． （1）求四棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； （2）已知直线与直线所成角的余弦值为． ①求四棱锥在顶点处的离散曲率； ②设为线段上的动点（不包括端点），与平面所成角为，二面角的平面角为，其中，求的最大值． 【答案】（1）2 （2）① ；② 【解析】 【分析】（1）利用多面体在各顶点处的离散曲率计算公式计算即得； （2）①过点作交于，连接，可推得即为直线与直线所成角或其补角，依次求出，，利用求出，即得利用离散曲率计算公式即可求得； ②先证明平面平面，过作于，过作于，连接，证明平面，可推得为与平面所成角，为二面角的平面角，即，计算得到，利用差角的正切公式化简得到，借助于基本不等式即可求得其最大值. 【小问1详解】 因为，，，内角和均为，四边形内角和为， 则四棱锥在各顶点处的离散曲率和为； 【小问2详解】 ① 过点作交于，连接， 则即为直线与直线所成角或其补角， 因，平面多边形的外接圆圆心为与的交点， 则圆的直径，连接，则易得等边三角形，故有， 所以，，所以， 在中，因，解得． 即，可得： 则得， 即四棱锥在顶点处的离散曲率为 ②因为，所以为二面角的平面角， 因为，所以，则平面平面． 过作于，过作于，连接， 因平面，平面平面，故平面， 因平面，则， 又平面，则平面， 因平面，则，故为与平面所成角， 为二面角的平面角，则， 因为，所以， 则得，因，则， 故， 当且仅当时，等号成立． 则的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈尔滨市第六中学校2026年下学期期末考试 高一数学试题 时间：120分钟满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 数据2，3，8，5，4，2的中位数和平均数分别为（ ） A. 3.5和2 B. 3和4 C. 4和2 D. 3.5和4 2. 已知复数z满足，则z在复平面内对应的点所在的象限为（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知向量与的夹角为，，，则（ ） A. 3 B. C. 7 D. 4. 若为两条不同直线，为两个不同平面，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 5. 已知某圆锥的底面积为，母线长为，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 位于某海域的甲船获悉，在其北偏西45°方向有一座灯塔，甲船沿着北偏东15°方向行驶，发现该灯塔位于甲船的正西方，那么此时甲船距离该灯塔（ ） A. B. C. D. 7. 已知四面体的4个顶点都在球的表面上，若平面，，，，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 棱长为2的正方体，点在棱上，满足最小，则三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 1 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 设复数z的共轭复数为，为虚数单位，则下列命题正确的是（ ） A. 复数的共轭复数的模 B. 若复数是纯虚数，则得或 C. 若复数对应的向量为，对应的向量为，则向量对应的复数为 D. 若复数是关于x的方程的一个根，则 10. 下列说法中正确的有（ ） A. 平面向量，可以作为基底 B. 已知正边长为2，则 C. 模为0的向量与任意非零向量共线 D. 已知，，且与夹角为锐角，则的取值范围是 11. 如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，是线段的中点，则（ ） A. 存在点使得 B. 若点满足，则动点的轨迹长度为 C. 若点满足平面时，动点的轨迹是正六边形 D. 当点在侧面，且满足时，二面角的最大角的正切值为2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某校有高级教师90人，中级教师150人，其他教师若干人．为了了解教师的健康状况，从中抽取60人进行体检．已知高级教师中抽取了18人，则从中级教师中抽取的人数是______． 13. 如图，直三棱柱的所有棱长都相等，，分别为棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是______． 14. 以棱长为1的正方体各面的中心为顶点，构成一个正八面体，再以这个正八面体各面的中心为顶点构成一个小正方体，那么该小正方体的棱长为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某校统计了高二年级1000名学生的身高数据，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出了如下图所示的频率分布直方图． （1）求身高在区间的人数； （2）求这组样本数据的分位数． 16. 已知中，角，，所对的边分别为，，，满足，且，． （1）求角的大小； （2）求的值． 17. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱垂直于底面，，点、分别是、的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 18. 在等腰梯形中，，，，，把三角形沿着翻折，得到如图所示的四棱锥，记二面角的平面角为60°. （1）求点D到底面的距离； （2）设M是侧棱上一动点，是否存在点M，使得的余弦值为，若存在，求的值. 19. 离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设为多面体Γ的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的点，且平面，平面，平面，平面为多面体的所有以为公共点的面．已知平面多边形的外接圆圆心为与的交点，如图①，且，将沿翻折到如图②，连接． （1）求四棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； （2）已知直线与直线所成角的余弦值为． ①求四棱锥在顶点处的离散曲率； ②设为线段上的动点（不包括端点），与平面所成角为，二面角的平面角为，其中，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $