精品解析：黑龙江佳木斯市桦南县第一中学2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试题

2025-2026学年度第二学期期末考试卷 高一数学 第I卷(选择题，共58分) 一、单项选择题：(本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 . ) 1. 下列说法正确的是（ ） A. 某种福利彩票的中奖概率为，那么买1000张这种彩票一定能中奖. B. 随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率. C. 某医院治疗一种疾病的治愈率为，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈. D. 某市气象台预报“明天本市降水概率为”，指的是该市气象台专家中，有认为明天会降水，30%认为不降水. 2. 设复数满足为虚数单位，则的共轭复数在复平面内对应的点位于第（ ）象限 A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 3. 已知是两个不重合的平面，是两条不同的直线，则下列命题中错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 某校有老师200人，男学生1200人，女学生1000人，现用比例分配的分层随机抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为的样本．已知从女生中抽取80人，则等于（ ） A. 80 B. 100 C. 192 D. 200 5. 总体是由编号为000，001，002，……，198，199的200个个体组成． 利用下列随机数表，从200个体中选取5个个体选取方法：从随机数表的第1行第3列开始，从左至右依次选取三个数字（作为个体编号），则选出的第5个个体编号是（ ） 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 0807 3613 4869 6938 7481 A. 080 B. 198 C. 023 D. 134 6. 已知事件，满足，，，则（ ） A. 0.9 B. 0.6 C. 0.3 D. 0.18 7. 已知向量，满足，，则（ ） A. B. C. D. 8. 在四棱锥中，平面，四边形是边长为5的正方形，，分别是棱的中点，是侧面内的一个动点，若平面，则动点的轨迹长度是（ ） A. B. C. 4 D. 二、多项选择题：(本题共3小题，每小题6分，共18分 . 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 . 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 . ) 9. （多选）从装有2个红球和2个白球的盒子中任取两个球，下列情况是互斥且对立的两个事件的是（ ） A. 至少有一个红球；至少有一个白球 B. 恰有一个红球；都是白球 C. 至少一个红球；都是白球 D. 至多一个红球；都是红球 10. 如图是某企业年至年的污水净化量（单位：吨）的折线图，则（ ） A. 这组数据的中位数等于平均数 B. 这组数据的第60百分位数是55.5 C. 污水净化量逐年递增 D. 去掉2018年的污水净化量数据后，新数据的标准差会变小 11. 下列说法正确的是（    ） A. 已知向量 ，则“的夹角为钝角”是“ ”的充要条件 B. 已知向量 ，若与共线，则 C. 若向量 ，则在方向上的投影向量坐标为 D. 在中，向量与满足 ，则为等腰三角形 三 、 填 空 题 ： ( 本 大 题 共 3 小 题 ， 每 题 5 分 ， 共 计 1 5 分 ) 12. 甲、乙两人独立解同一道数学题目，甲解出这道题目的概率是，乙解出这道题目的概率是，这道题被解出的概率是______. 13. 的三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，角的平分线交于，则_____． 14. 正四棱锥的底面边长为，，则平面截正四棱锥外接球所得截面的面积为__________. 四 、 解 答 题 ： ( 本 大 题 共 5 小 题 ， 共 计 7 7 分 ) 15. 已知某高中高一年级150人，高二年级100人，现采用分层随机抽样从中抽取5人参加该活动． （1）高一应抽取多少人？ （2）从这5人中随机抽取2人作为本次活动的联络人，求高一、高二年级各有1人的概率． 16. 甲、乙两人在罚球线投篮命中的概率分别为 与 . （1）甲、乙两人在罚球线各投篮一次，求恰好命中一次的概率； （2）甲、乙两人在罚球线各投篮两次，求这四次投篮中至少有一次命中的概率. 17. 为点燃同学们对数学的热爱，使其探寻数字背后的文化密码，某校高一年级举办“数学文化”知识竞赛．为了解参赛者的成绩情况，从所有参赛者中随机抽取100人的成绩（百分制）作为样本，并按分组，作出频率分布直方图如图所示． （1）求的值，并估计样本中成绩不低于60分的人数； （2）估计样本中成绩的上四分位数； （3）若规定成绩不低于80分为“良好”等级，已知样本中成绩在内的平均数为88，方差为7，成绩在内的平均数为96，方差为7，求样本中“良好”等级的成绩的平均数和方差． 18. 矩形中，， 为线段的中点，将沿 折起，使得平面平面．在新构造的四棱锥中，解以下问题： （1）证明：面； （2）求二面角的余弦值； （3）在上是否存在点使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由． 19. 的内角的对边分别为，已知为钝角，，且． （1）证明：． （2）求． （3）若的中线，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期期末考试卷 高一数学 第I卷(选择题，共58分) 一、单项选择题：(本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 . ) 1. 下列说法正确的是（ ） A. 某种福利彩票的中奖概率为，那么买1000张这种彩票一定能中奖. B. 随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率. C. 某医院治疗一种疾病的治愈率为，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈. D. 某市气象台预报“明天本市降水概率为”，指的是该市气象台专家中，有认为明天会降水，30%认为不降水. 【答案】B 【解析】 【分析】由概率、频率的概念逐个判断即可. 【详解】对于A，中奖概率为是指买一次彩票，可能中奖的概率为， 不是指1000张这种彩票一定能中奖，故A错误； 对于B，试验次数越多，频率就会稳定在概率的附近，故B正确； 对于C，某医院治疗一种疾病的治愈率为，是指一位病人被治愈的概率为， 不是说每10名患者就一定有一人被治愈，故C错误. 对于D，“明天本市降水概率为”指下雨的可能性为0.7，故D错. 故选：B 2. 设复数满足为虚数单位，则的共轭复数在复平面内对应的点位于第（ ）象限 A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算求得，进而得共轭复数，即可得在复平面内对应的点的坐标. 【详解】因为； 则的共轭复数在复平面内对应的点坐标为，位于第四象限. 故选：D. 3. 已知是两个不重合的平面，是两条不同的直线，则下列命题中错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】由线面的平行及垂直进行判断． 【详解】对于A项，若，则或． 对于B，C，D项，显然成立， 故选:A. 4. 某校有老师200人，男学生1200人，女学生1000人，现用比例分配的分层随机抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为的样本．已知从女生中抽取80人，则等于（ ） A. 80 B. 100 C. 192 D. 200 【答案】C 【解析】 【详解】因为，所以，所以． 5. 总体是由编号为000，001，002，……，198，199的200个个体组成． 利用下列随机数表，从200个体中选取5个个体选取方法：从随机数表的第1行第3列开始，从左至右依次选取三个数字（作为个体编号），则选出的第5个个体编号是（ ） 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 0807 3613 4869 6938 7481 A. 080 B. 198 C. 023 D. 134 【答案】D 【解析】 【详解】从随机数表的第1行第3列开始选，个体编号依次为：166，080，140，198，080（重复剔除），134，第5个编号为134. 6. 已知事件，满足，，，则（ ） A. 0.9 B. 0.6 C. 0.3 D. 0.18 【答案】B 【解析】 【详解】由可得. 所以. 代入，得. 7. 已知向量，满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由和两边分别平方，解方程组即得的值. 【详解】由，得，即，① 由，得，即，② 由①②得. 8. 在四棱锥中，平面，四边形是边长为5的正方形，，分别是棱的中点，是侧面内的一个动点，若平面，则动点的轨迹长度是（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】取中点，连接，利用线面垂直判定定理证明平面，进而得出动点的轨迹即为，再计算求出． 【详解】取中点，连接， 分别是中点， ， 又平面，则平面， 平面， ， 由正方形的性质可知， 分别是中点， ，故， 平面，， 平面，则动点平面， 是侧面内的一个动点， 动点的轨迹即为， 已知是边长为5的正方形，， 则， 分别是中点， ，即动点的轨迹长度为． 二、多项选择题：(本题共3小题，每小题6分，共18分 . 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 . 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 . ) 9. （多选）从装有2个红球和2个白球的盒子中任取两个球，下列情况是互斥且对立的两个事件的是（ ） A. 至少有一个红球；至少有一个白球 B. 恰有一个红球；都是白球 C. 至少一个红球；都是白球 D. 至多一个红球；都是红球 【答案】CD 【解析】 【分析】依据互斥事件不能同时发生、对立事件不能同时发生且必有一个发生的定义，逐一判断每个选项中两个事件的关系即可得到答案. 【详解】 从2红2白中取2个球，所有基本事件共三种：两个红球，一红一白，两个白球， 对于A：“至少一个红球”包含一红一白、两个红球，“至少一个白球”包含一红一白、两个白球， 二者可同时发生（取到一红一白时），不互斥，A错误； 对于B：“恰有一个红球”即一红一白，“都是白球”即两个白球，二者互斥，但存在“两个红球”的情况， 二者不是必有一个发生，不对立，B错误； 对于C：“至少一个红球”包含一红一白、两个红球，“都是白球”即两个白球， 二者不能同时发生，且并集是全部样本空间，是互斥且对立，C正确； 对于D：“至多一个红球”包含两个白球、一红一白，“都是红球”即两个红球， 二者不能同时发生，且并集是全部样本空间，是互斥且对立，D正确. 10. 如图是某企业年至年的污水净化量（单位：吨）的折线图，则（ ） A. 这组数据的中位数等于平均数 B. 这组数据的第60百分位数是55.5 C. 污水净化量逐年递增 D. 去掉2018年的污水净化量数据后，新数据的标准差会变小 【答案】AD 【解析】 【分析】根据中位数、平均数、百分位数、方差、标准差公式和折线图，逐项判断即可. 【详解】将这组数据按照从小到大排列为：52，52，53，54，55，56，56. A项，这组数据的中位数为54，平均数为，中位数等于平均数，故A正确； B项，，则这组数据的第60百分位数为55，故B错误； C项，根据折线图可知，第5年（2022年）的污水净化量小于第4年（2021年）的污水净化量，故C错误； D项，2018年的污水净化量数据是这组数据的最小值，去掉此数据后，新数据分布更集中，即数据的标准差会变小，故D正确. 11. 下列说法正确的是（    ） A. 已知向量 ，则“的夹角为钝角”是“ ”的充要条件 B. 已知向量 ，若与共线，则 C. 若向量 ，则在方向上的投影向量坐标为 D. 在中，向量与满足 ，则为等腰三角形 【答案】ABCD 【解析】 【详解】对于A，若的夹角为钝角，则 且两向量不共线，等价于 ，即“的夹角为钝角”是“ ”的充要条件，故A正确； 对于B，若与共线，则 .易得 ，则 ，故B正确； 对于C，在方向上的投影向量坐标为，故C正确； 对于D，都表示单位向量，表示 角平分线方向上的向量， 表示 角平分线方向上的向量与边BC垂直，所以AB=AC，为等腰三角形，故D正确. 三 、 填 空 题 ： ( 本 大 题 共 3 小 题 ， 每 题 5 分 ， 共 计 1 5 分 ) 12. 甲、乙两人独立解同一道数学题目，甲解出这道题目的概率是，乙解出这道题目的概率是，这道题被解出的概率是______. 【答案】 【解析】 【详解】记事件为“甲解出该题目”，事件为“乙解出该题目”，“题目被解出”对应事件. ∵ 甲、乙两人解题相互独立，且，， ∴ 甲、乙都未解出题目的概率为， 代入数值计算得， ∴ 这道题被解出的概率. 13. 的三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，角的平分线交于，则_____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据余弦定理，先计算出边的长度，然后利用面积等于与的面积的和计算角平分线的长度，或者求出各个角的大小，用正弦定理求出的长度. 【详解】由图可知，记， 方法一：由余弦定理可得，，因为，解得：， 由可得，， 解得：． 方法二：由余弦定理可得，， 因为，解得：， 由正弦定理可得，， 解得：，因为， 所以，又， 所以，即． 故答案为：. 14. 正四棱锥的底面边长为，，则平面截正四棱锥外接球所得截面的面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用直角三角形求出外接球的半径，设中点为，连接，过作，则即为点到平面的距离，根据相似即可求出，得到外接球所得截面的面积. 【详解】设正方形边长为，底面中心为中点为， 连接，如图所示， 由题意得，且正四棱锥的外接球球心， 设外接球半径为，则， 在中，，且， 所以，解得，即， 在中，， 过作，则即为点到平面的距离，且为平面截其外接球所得截面圆的圆心， 所以，则， 所以，即平面截其外接球所得截面圆的半径为， 所以截面的面积. 四 、 解 答 题 ： ( 本 大 题 共 5 小 题 ， 共 计 7 7 分 ) 15. 已知某高中高一年级150人，高二年级100人，现采用分层随机抽样从中抽取5人参加该活动． （1）高一应抽取多少人？ （2）从这5人中随机抽取2人作为本次活动的联络人，求高一、高二年级各有1人的概率． 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】（1）利用分层抽样的抽样比相同，即可计算出每一层抽的样本数； （2）利用列举法来表示样本空间和事件A的情形，即可求出概率. 【小问1详解】 根据分层随机抽样方法，高一应抽取：（人）； 【小问2详解】 设事件A：高一、高二年级各有一人，设高一的三个人为：，高二两个人为：． 样本空间有：，，，，，，，，，， 所以总事件数为10种情况． 满足事件A的有：，，，，，，共6种情况， 所以． 16. 甲、乙两人在罚球线投篮命中的概率分别为 与 . （1）甲、乙两人在罚球线各投篮一次，求恰好命中一次的概率； （2）甲、乙两人在罚球线各投篮两次，求这四次投篮中至少有一次命中的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据独立事件概率公式进行求解即可. (2)由题意结合对立事件概率公式求解这四次投球中至少一次命中的概率值即可. 【小问1详解】 恰好命中1次，有“甲命中乙未命中”和“甲未命中乙命中”两种情况， 所以恰好命中1次的概率. 【小问2详解】 “甲、乙两人在罚球线各投篮二次，这四次投篮中至少一次命中”的事件是“甲、乙两人在罚球线各投篮二次，这四次投篮均未命中”的事件C的对立事件， 而 ∴甲、乙两人在罚球线各投篮二次，这四次投篮中至少一次命中的概率为 答：甲、乙两人在罚球线各投球二次，这四次投篮中至少一次命中的概率为 17. 为点燃同学们对数学的热爱，使其探寻数字背后的文化密码，某校高一年级举办“数学文化”知识竞赛．为了解参赛者的成绩情况，从所有参赛者中随机抽取100人的成绩（百分制）作为样本，并按分组，作出频率分布直方图如图所示． （1）求的值，并估计样本中成绩不低于60分的人数； （2）估计样本中成绩的上四分位数； （3）若规定成绩不低于80分为“良好”等级，已知样本中成绩在内的平均数为88，方差为7，成绩在内的平均数为96，方差为7，求样本中“良好”等级的成绩的平均数和方差． 【答案】（1），90 （2）86 （3）平均数为91，方差为22． 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的特征求的值，再利用频率估计总体即可； （2）根据百分位数的求解方式求解即可； （3）根据分层抽样的方差公式求解． 【小问1详解】 在频率分布直方图中，所有小矩形的面积之和为1， 则，解得， 估计样本中成绩不低于60分的人数为． 【小问2详解】 前四个小矩形的面积之和为， 前五个小矩形的面积之和为， 所以成绩的上四分位数落在内，设其为， 则，解得， 即估计样本中成绩的上四分位数为86． 【小问3详解】 样本中成绩在内占成绩在内的比例为， 样本中成绩在内占成绩在内的比例为． 设样本中“良好”等级的成绩的平均数和方差分别为， 由分层随机抽样的平均数公式可得， 由分层随机抽样的方差公式可得， 故样本中“良好”等级的成绩的平均数为91，方差为22． 18. 矩形中，， 为线段的中点，将沿 折起，使得平面平面．在新构造的四棱锥中，解以下问题： （1）证明：面； （2）求二面角的余弦值； （3）在上是否存在点使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明：如图，连接，在矩形中，， 为线段的中点， ，， ，， 又平面平面，平面，平面平面， 平面. （2）； （3）存在，是线段上靠近点 的三等分点. 【解析】 【分析】（1）通过勾股定理逆定理证明，再利用面面垂直的性质推出线面垂直； （2）由 平面得，二面角的平面角即为，在直角三角形中利用边长比求得余弦值； （3）设交于点，可证，因此只要，就有，进而可得平面． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 平面，， ． 在中，，， 又，平面，平面，平面平面， 为二面角的平面角， 在中，， ∴二面角的余弦值为． 【小问3详解】 存在．如图所示，连接、，设交于点， ，且， ． 取的三等分点，使，连接、、，则， 又平面，平面， 平面． 故存在满足条件的点，且是线段上靠近点 的三等分点． 19. 的内角的对边分别为，已知为钝角，，且． （1）证明：． （2）求． （3）若的中线，求． 【答案】（1）证明：由三角形内角和定理得，故. 由余弦和角公式展开得，代入得，解得. 则. 因为钝角，故，，即，因此，得证. （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）利用三角形内角和与余弦和差角公式，结合已知余弦乘积推导，结合角的范围完成证明； （2）联立内角和等式与的关系式，解方程组求得角； （3）通过向量中线公式建立边的方程，结合正弦定理得到两边比例，代入化简求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 联立，两式相加得，解得. 【小问3详解】 由为边上的中线，得， 两边取模长得. 代入，，，， 得，即. 由正弦定理得，故. 由得，因此. 由得，，， 故，即. 将代入得， 整理得，解得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $