精品解析：黑龙江佳木斯市第八中学2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试题

2025-2026学年度第二学期期末考试 高一数学试题 分值：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的. 1. 下列关于平面向量的说法中，正确的是（ ） A. 长度相等的两个向量一定是相等向量 B. 方向相同或相反的两个向量叫做共线向量 C. 零向量没有方向 D. 平行向量的方向一定相同 2. 复数在复平面内对应的点在（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知圆柱的高为6，底面直径为8，若圆柱的底面圆周恰好在球的球面上，则球的半径为（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 8 4. 在正方形ABCD中，O为两条对角线的交点，E为边BC上中点，记，，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，正方形的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积是（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量，，且，则（ ） A. B. C. D. 2 7. 在中，角所对的边分别为，若，则的形状是（ ） A. 等腰直角三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等边三角形 8. 在四面体中，，，，，则该四面体外接球的表面积是 A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体叫做棱柱 B. 平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形 C. 正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 D. 相等的角在直观图中仍然相等． 10. 甲箱中有个白球和个黑球，乙箱中有个白球和个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以表示由甲箱中取出的是白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的球是黑球的事件，则下列结论正确的是（    ） A. 两两互斥 B. C. 事件与事件相互独立 D. 11. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若且，则 C. 的最大值为 D. 若在上的投影向量为，则向量与的夹角为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某学生最近五次考试的数学成绩分别为125，133，117，135，120，则该学生最近五次考试的数学成绩的平均分为______． 13. 已知向量，，则在上的数量投影为_____． 14. 如图，在平行六面体中，，，，则直线与直线所成角的余弦值为_____. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）化简； （2）把满足，的向量、用、表示出来. 16. 一个袋子里有5个红球，3个白球，2个黑球，每次从袋子里取出一个球. （1）若每次取球后都放回，连续取3次，求3次都取到红球的概率; （2）若每次取球后都放回，连续取3次，求至少有一次取到白球的概率; （3）若每次取球后不放回，连续取3次，求第一次取到红球，第二次取到白球，第三次取到黑球的概率. 17. 某市政府为了鼓励居民节约用电，计划调整居民生活用电收费方案，拟确定一个合理的月用电量标准（千瓦时）：月用电量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费．为了了解居民用电情况，通过抽样，获得了100位居民每人的月均用电量（千瓦时），将数据按照，，，分成7组，制成了如图所示的频率分布直方图． （1）求直方图中的值以及所有样本的平均用电量；（每组数据用该组的区间中点值作代表） （2）该市政府希望使85%的居民每月的用电量不超过标准（千瓦时），估计的值（保留整数），并说明理由． 18. 在中，角的对边分别为，. （1）求； （2）若，，求的面积. 19. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，为的中点. （1）证明：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期期末考试 高一数学试题 分值：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的. 1. 下列关于平面向量的说法中，正确的是（ ） A. 长度相等的两个向量一定是相等向量 B. 方向相同或相反的两个向量叫做共线向量 C. 零向量没有方向 D. 平行向量的方向一定相同 【答案】B 【解析】 【详解】对于A，相等向量必须长度相等方向相同，故A错误； 对于B，由共线向量的定义得方向相同或相反的两个向量叫做共线向量，故B正确； 对于C，零向量的方向是任意的，并非没有方向，故C错误； 对于D，平行向量的方向可以相同，也可以相反，故D错误. 2. 复数在复平面内对应的点在（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数除法的运算法则，结合复数在复平面内对应的点的坐标进行判断即可. 【详解】因为， 所以复数在复平面内对应的点的坐标为，它在第二象限， 故选：B 3. 已知圆柱的高为6，底面直径为8，若圆柱的底面圆周恰好在球的球面上，则球的半径为（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据球O和圆柱的空间位置关系，结合勾股定理即可求出． 【详解】由题意可知，球O和圆柱的空间位置关系如图所示， 由题意可知，，则在直角中，． 故选：B． 4. 在正方形ABCD中，O为两条对角线的交点，E为边BC上中点，记，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由向量运算的三角形法则，用，表示即可. 【详解】 故选：C. 5. 如图，正方形的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把直观图还原成原来的图形，则原图形是平行四边形，根据斜二测画法法则求得原图形的面积. 【详解】直观图还原成原来的图形， 由斜二测画法，得，且，且为平行四边形，如下图所示， 所以原图形平行四边形的面积为. 6. 已知向量，，且，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以，解得， 则，由模长公式得，故B正确. 7. 在中，角所对的边分别为，若，则的形状是（ ） A. 等腰直角三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等边三角形 【答案】C 【解析】 【详解】由及正弦定理，得， 因为，所以， 代入得，即， 因为，所以，故，因为，所以， 即的形状为直角三角形． 8. 在四面体中，，，，，则该四面体外接球的表面积是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将该几何体补形为长方体，其外接球恰好为长方体的外接球，从而即可求解. 【详解】解：由题意，如图所示，该几何体可以补形为长方体，其外接球恰好为长方体的外接球， 因为，，， 所以长方体的体对角线长为，即外接球的直径， 所以该四面体外接球的表面积是. 故选：D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体叫做棱柱 B. 平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形 C. 正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 D. 相等的角在直观图中仍然相等． 【答案】BC 【解析】 【分析】根据简单几何体的结构特征，逐项判断，即可得出结果. 【详解】对于A，如图所示， 由图知，该几何体上下底面平行，各个面都是平行四边形，此几何体不是棱柱，故A错误； 对于B，由平行六面体的概念和性质可知：平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形，故B正确； 对于C，根据正棱锥的概念和性质可知，正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，故C正确； 对于D，相等的角在直观图中不一定相等，比如直角在直观图中可能变为或，故D错误. 10. 甲箱中有个白球和个黑球，乙箱中有个白球和个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以表示由甲箱中取出的是白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的球是黑球的事件，则下列结论正确的是（    ） A. 两两互斥 B. C. 事件与事件相互独立 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据条件概率、全概率公式、互斥事件的概念等知识，逐一分析选项，即可得答案. 【详解】对于A，因为每次取一球，所以是两两互斥的事件，A正确； 对于BD，由题，BD项正确； 对于C，因为，，， 所以， 而，， 所以，即事件与事件不相互独立，C错误． 11. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若且，则 C. 的最大值为 D. 若在上的投影向量为，则向量与的夹角为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，利用向量垂直的坐标表示化简即可判断；对于B，利用向量平行的坐标表示化简即可判断；对于C，利用代入向量的数量积计算即可求解；对于D，利用投影向量公式化简即可求解. 【详解】已知，，，. 选项A：若，则，得，A正确. 选项B：若，则，得，又 ，所以 ，B正确. 选项C：，最大值为，C错误. 选项D：在上的投影向量为，得，，，D正确. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某学生最近五次考试的数学成绩分别为125，133，117，135，120，则该学生最近五次考试的数学成绩的平均分为______． 【答案】126 【解析】 【详解】该学生最近五次考试的数学成绩的平均分. 13. 已知向量，，则在上的数量投影为_____． 【答案】 【解析】 【详解】已知向量，， ，， 所以在上的数量投影为． 14. 如图，在平行六面体中，，，，则直线与直线所成角的余弦值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】由线段的位置关系及向量加减的几何意义可得、，利用向量数量积的运算律求、，最后应用夹角公式求直线夹角余弦值. 【详解】因为，， 可得，， 又因为，， 可得， ， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）化简； （2）把满足，的向量、用、表示出来. 【答案】（1）；（2），. 【解析】 【分析】（1）去括号，合并同类项即可得出结果； （2）建立方程组，解出和即可. 【详解】（1）原式； （2）由已知得， ①②得，①②得， 因此，，. 【点睛】本题考查向量加减法的运算律，同时也考查了方程思想的应用，考查计算能力，属于基础题. 16. 一个袋子里有5个红球，3个白球，2个黑球，每次从袋子里取出一个球. （1）若每次取球后都放回，连续取3次，求3次都取到红球的概率; （2）若每次取球后都放回，连续取3次，求至少有一次取到白球的概率; （3）若每次取球后不放回，连续取3次，求第一次取到红球，第二次取到白球，第三次取到黑球的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据独立事件的乘法公式结合古典概率的计算公式求解； （2）根据独立事件的乘法公式结合对立事件的概率求解； （3）先按照“第一次红 → 第二次白 → 第三次黑”的顺序，依据取球后不放回的规则求出相应的概率，再根据乘法原理求解. 【小问1详解】 每次取到红球的概率均为，因为每次取球相互独立，所以3次都取到红球的概率为. 【小问2详解】 每次取不到白球的概率均为， 因为每次取球相互独立，所以连续3次都取不到白球的概率为××=， 所以至少有一次取到白球的概率为. 【小问3详解】 第一次取到红球的概率为， 第一次取完红球后，袋子里还有4个红球，3个白球，2个黑球，共9个球. 第二次取到白球的概率为， 第二次取完白球后，袋子里还有4个红球，2个白球，2个黑球，共8个球. 第三次取到黑球的概率为. 所以第一次取到红球，第二次取到白球，第三次取到黑球的概率为. 17. 某市政府为了鼓励居民节约用电，计划调整居民生活用电收费方案，拟确定一个合理的月用电量标准（千瓦时）：月用电量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费．为了了解居民用电情况，通过抽样，获得了100位居民每人的月均用电量（千瓦时），将数据按照，，，分成7组，制成了如图所示的频率分布直方图． （1）求直方图中的值以及所有样本的平均用电量；（每组数据用该组的区间中点值作代表） （2）该市政府希望使85%的居民每月的用电量不超过标准（千瓦时），估计的值（保留整数），并说明理由． 【答案】（1），395千瓦时． （2），理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据频率和为1求，再根据频率分布直方图求平均数； （2）根据频率分布直方图求第85百分位数. 【小问1详解】 由题意有， 解得， 则所有样本的平均用电量为 千瓦时． 【小问2详解】 前5组的频率和为， 前6组的频率和为， ， ， 解得． 18. 在中，角的对边分别为，. （1）求； （2）若，，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过余弦定理直接求角； （2）先求，再利用两角和的正弦公式求，最后用正弦定理求边长，进而计算面积. 【小问1详解】 由余弦定理： 已知，即，代入， 得： 又，故. 【小问2详解】 已知，且，则：， 由，得：， 由正弦定理， ， 所以 19. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，为的中点. （1）证明：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明:底面为矩形， 所以， 又因为平面，平面，所以， 又平面， 所以平面，又平面， 可知平面平面； （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直性质可知，再由线面垂直判定定理可证明平面，即可得平面平面； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量求法计算可得结果. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由（1）可知两两垂直，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 易知， 则， 设平面的法向量为， 则，令，可得， 可得， 所以； 因此直线与平面所成角的正弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $