河南信阳高级中学北湖校区2025-2026学年高一下学期7月期末测试数学试题

**基本信息** 这份高一下期期末数学试卷聚焦复数、向量、立体几何、概率统计核心知识，通过蜜桔质量检测（统计应用）、垂心四面体（空间探究）等问题，考查数学眼光观察现实、数学思维推理及数学语言表达能力，层次分明。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数运算、向量共线、圆锥侧面积等|基础巩固，突出概念理解| |多选题|3/18|复数性质、向量命题辨析|能力提升，考查推理严谨性| |填空题|3/15|概率计算、解三角形角平分线|情境简洁，注重运算准确性| |解答题|5/77|向量应用、立体几何证明、统计案例、垂心四面体探究|创新应用，蜜桔质量检测体现数据意识，垂心四面体考查空间观念与创新意识|

河南省信阳高级中学北湖校区 2025-2026学年高一下期07月期末测试 数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A C B B B A C A BD BCD BC 1 学科网（北京）股份有限公司 12． 13． 14．2 15．(1) (2) 【详解】（1）， ， 由垂直关系：， 解得：. （2）， ， 若与共线，则， 所以. ， 所以. 16．(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）设与交于点，连接，先证明，进而求证即可； （2）先证明，，即可得到平面，进而求证即可. 【详解】（1）设与交于点，连接， 在正方体中，为的中点， 又为的中点，则， 因为平面，平面， 所以平面. （2）在正方体中，， 由平面，而平面，所以， 因为，且平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面. 17．(1) (2) 【分析】（1）由已知两边及夹角，先用余弦定理求第三边，再用余弦定理求； （2）建立坐标系，设出点坐标，由平行关系得点的坐标，利用垂直条件求参数，由长度解出，再计算. 【详解】（1）在中，，，. 由余弦定理可知， 故. 再由余弦定理得. （2）以为原点，为轴正方向建立平面直角坐标系如图： 则，，由，得. 在延长线上，设，则，，， 设，则. 由，得，故. 于是. 已知，则，则. 代入得，而， 故. 18．(1) (2) (3)95克 【分析】(1)根据频率之和为求得. (2)根据平均数的求法求得这批蜜桔的平均质量. (3)根据百分位数的求法求得合格品的质量的最小值. 【详解】（1）频率分布直方图中所有矩形的面积之和等于1，各组的组距均为10. 因此. 整理得，解得. （2）各组组中值依次为， 对应频率依次为. 因此. 据此估计这批蜜桔的平均质量为91.5克. （3）由题意，次品为质量较轻的前55%的数据，合格品的最低质量对应样本数据的第55百分位数. 各组累计频率：区间累计频率为，区间累计频率为， 区间累计频率为，区间累计频率为. 因此第55百分位数位于区间内， 设该百分位数为，则. 解得，即合格品的质量应不低于95克. 19．(1)设点在平面的投影为，连接． 在三角形中，，即翻折后与不垂直， 从而,不重合，由是的垂心得， 因为平面平面，所以， 又因为，平面，所以平面. 因为平面，所以． (2)； (3)时，取得最小值． 【分析】（1）过作平面的投影，再利用线面垂直的性质定理和判定定理即可证明； （2）首先证明两两垂直，再建立合适的空间直角坐标系，求出相关平面法向量，再利用线面角的空间向量求法即可得到答案； （3）求出相关平面的法向量，再求出面面角的表达式，最后利用基本不等式即可求出最值. 【详解】（1）略 （2）同（1）可得， 在平面内，过作交于点， 又因为，平面，所以平面. 又平面，所以， 由及勾股定理得：， 等价为：① 又平面，所以， 由及勾股定理得：② 联立①②得：， 结合题意，解得：． 由余弦定理得：， 则， 则由勾股定理逆定理可得：． 又因为，平面， 所以平面, 因为平面，所以，即两两垂直． 则以为原点，分别为,,轴建立空间直角坐标系， 则, , 设平面的法向量为， 则，即取 设直线与平面夹角大小为， 则. （3）由（2）知， 平面的法向量为． 由得：， 同理得：． 设平面的法向量为， 则，即，可取， 所以，即， 当且仅当即时取等． 综上所述：时，取得最小值． $ 河南省信阳高级中学北湖校区 2025-2026学年高一下期07月期末测试 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知复数，则（    ） A． B． C．0 D． 2．已知向量，，若，则（     ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 3．在中，点D在边AB上，．记，则（    ） A． B． C． D． 4．已知圆锥的底面半径为4，高为3，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 5．从1~10这10个整数中随机选择一个数，设事件表示选到的数能被2整除，事件表示选到的数能被3整除，则事件的概率是（     ） A． B． C． D． 6．已知一组数据，，…，的平均数为2，方差为1，则数据 ， ，…， 的平均数和方差分别为（     ） A．1，4 B．2，1 C．1，1 D．2，4 7．如图，在直三棱柱中，，侧面是正方形，，M是线段上的动点，当取得最小值时，的周长为（     ）    A． B． C． D． 8．已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9．设为虚数单位，已知复数，若，则（   ） A． B． C． D． 10．关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（    ） A．若，则存在唯一实数使得 B．两个非零向量，，若，则与共线且反向 C．若点G是的重心，则 D．若向量，，则向量在向量上的投影向量为 11．在空间中，、为两个定点，动点到直线的距离为2，动点到直线的距离为1．若二面角为，则（     ） A． B． C．当时，平面 D．当平面时， 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12．甲､乙两支足球队进行两场友谊赛，每场比赛两队平局的概率是，甲队获胜的概率是，则乙队两场友谊赛只获胜一场的概率为__________. 13．在中，，，，的角平分线交于D，则_________ 14．已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，侧面 为正三角形，，则四棱锥体积的最大值为_________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知向量． (1)若与垂直，求的值； (2)若向量，若与共线，求． 16．（15分）如图，在正方体中，为的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面． 17．（15分）已知在中，，，． (1)求； (2)设，两点满足：在的延长线上，，．若，求． 18．（17分）台州临海涌泉蜜桔，是浙江极具代表性的本土名优特产，果形饱满、风味清甜，深受市场青睐．为评估某蜜桔种植园的果品规格与整体品质，相关质检人员从园内全部8000颗涌泉蜜桔当中，随机挑选出100颗作为样本称重检测．所有样本的单果质量全部分布在区间内(单位：克)，将所得数据分成6组：，，，，，，并据此绘制得到频率分布直方图如图所示． (1)求图中的值； (2)估计这批蜜桔的平均质量； (3)若按质量由重到轻分为优等品、合格品和次品，其中优等品占10%，合格品占35%，次品占55%，则合格品的质量应不低于多少克？ 19．（17分）若四面体任意顶点在对面的投影恰好为该面三角形的垂心，则称该四面体为垂心四面体．如图，中，，，，在上取一点，将沿折叠到某个位置得到，使得三棱锥为垂心四面体． (1)求证：； (2)求与平面的夹角的正弦值； (3)设动点在棱上，动点在棱上，满足，记平面与平面所成锐二面角为，求的最小值及此时的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $