精品解析：内蒙古赤峰市2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题

2026年赤峰市高二年级学年考试试题 数学 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号码填写清楚，将条形码原码粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效. 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔涂黑. 5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带，割纸刀. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分. 1. 集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为自然数集是全体非负整数构成的集合， 所以． 已知， 则． 2. 设，是两个不同的平面，是一条直线，且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由面面平行的判定定理与性质定理判断充分性和必要性即可． 【详解】先验证充分性：当且时，若与相交，则得到与两平面交线平行， 故不一定成立，即充分性不成立； 再验证必要性：当且时，，必要性成立． 综上，在给定条件下，“”是“”的必要不充分条件． 3. 已知直线：和直线：，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】已知直线：，可变形为，其斜率为， 直线：，可变形为，其斜率为， 因为， 所以，解得． 4. 若棱长为2的正方体的各顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正方体的对角线就是球的直径及球的表面积公式即可求解． 【详解】设正方体的体对角线长为，球的半径为,则 由题意可知，正方体的对角线就是球的直径，即, 所以，解得. 所以球的表面积为. 故选：C． 5. 在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回，在第1次抽到几何题的条件下，第2次抽到代数题的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件概率公式即可求解． 【详解】设“第1次抽到几何题”为事件，“第2次抽到代数题”为事件， 则， 所以． 6. 已知数列的通项公式，前项和为，则项数为（ ） A. 2026 B. 2025 C. 2024 D. 2023 【答案】A 【解析】 【分析】先对通项公式裂项，再用裂项相消法求出前项和表达式，最后列方程求解项数. 【详解】对任意，将通项公式裂项得： ，则数列前n项和， 代入裂项结果可得：  中间项全部抵消，化简得：  . 由题意，列方程：  交叉相乘解得，即. 7. 函数的零点个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】转化为指数函数与二次函数交点个数问题即可. 【详解】令，则， 在同一坐标系作出两函数图象， 从图像知当时，两函数有1个交点，则在上有1个零点， 又，所以也是的两个零点， 且在时，指数函数增长快于，则后面两函数不会有交点， 则总共有3个零点， 故选：D 8. 已知随机变量服从正态分布，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意可得，，得， 则，得，等号成立时， 故的最大值为 二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知等差数列的首项，且，下列说法正确的是（ ） A. 数列的公差 B. 数列的通项公式 C. 数列的前项和 D. 数列是公比为2的等比数列 【答案】ACD 【解析】 【分析】先根据等差数列已知的首项和项的关系求出公差，再依次验证通项公式、前n项和公式、新数列的公比即可. 【详解】选项A：设等差数列的公差为，由，可得： ，代入得，解得，故A正确. 选项B：等差数列通项公式为，故B错误. 选项C：前项和，故C正确. 选项D：令，则，所以数列是公比为2的等比数列，故D正确. 10. “杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数阵中的排列规律，在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》中就有出现．如图所示，下列关于“杨辉三角”的说法正确的是（ ） A. 三角形的两个腰上的数字都是1 B. 在第8行中，从左到右第5个数字是70 C. 第9行所有数字之和为1024 D. 在第2026行所有数字中，从左到右第1014个数字最大 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据杨辉三角的性质及二项式系数的性质分别判断即可． 【详解】对于A，由杨辉三角的定义及图形可知，三角形的两个腰上的数字都是1， 即和，故选项A正确； 选项B：第8行的数字对应展开式的二项式系数，即， 从左到右第5个数字对应，即，故选项B正确； 选项C：第行所有数字之和为，所以第9行所有数字之和为，而，故选项C错误； 选项D：第2026行共有个数字，因为为偶数， 所以二项式系数在时取得最大值， 此时对应的是从左到右第个数字，故选项D正确． 11. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 当时，函数的极大值点为 B. 当时，函数在上的值域为 C. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围是 D. 存在实数使函数的图象是轴对称图形 【答案】BD 【解析】 【分析】当时，求得，得到的极大值点，可判定A错误；求得在上的单调性，得到值域，可判定B正确；求得，转化为在上恒成立，结合二次函数的性质，可判定C错误；当时，得到，求得为偶函数，可判定D正确. 【详解】对于A，当时，，可得， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 所以当时，取得极大值，即函数的极大值点为，所以A错误； 对于B，由选项A得，在上单调递减，在上单调递增， 所以， 又由， 所以函数在上的值域为，所以B正确； 对于C，由函数，可得， 若函数在上单调递增，可得在上恒成立， 则满足，解得，即实数的取值范围是，所以C错误； 当时，可得，则， 因为，所以函数为偶函数，图象关于轴对称， 所以存在实数使函数的图象是轴对称图形，所以D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上. 12. 已知双曲线：的一条渐近线方程为，则的离心率为_____________. 【答案】 【解析】 【详解】双曲线的焦点在轴上，半轴长，则渐近线方程为， 因为双曲线的渐近线方程为， 所以，则，即半焦距， 因此的离心率为. 13. 已知复数是关于的方程的一个根，则________________. 【答案】17 【解析】 【详解】由题意得，，即，得. 14. 如图，在棱长为9的正四面体中，是的重心，是棱的中点，点在线段上，且有，则线段的长度为_______________. 【答案】 【解析】 【分析】选取作为空间向量的一组基底，利用重心和线段比例关系将用基底表示，再通过数量积运算求模长. 【详解】设， 因为是棱长为的正四面体， 所以，且两两夹角为， 则，, 因为是的重心，所以， 因为是棱的中点，所以， 所以, 因为点在线段上，且，所以， 则， 所以     ， 所以，即线段的长度为. 四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 函数（其中）的部分图象如图所示. （1）求函数的解析式； （2）在中，角的对边分别为，若，，且的面积为，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数图象求出周期 和 ，代入最高点坐标求得 ，从而得到函数的解析式； （2）由 求出角  的值，再利用三角形面积公式，由余弦定理求解即可. 【小问1详解】 设函数的周期为，由图可知：， 又，所以， 因为，所以， 即，又，所以，所以. 【小问2详解】 由，则， 又，所以， 由， 由余弦定理得：，所以. 16. 某校学生会积极组织该校学生参与“日行万步”的活动，界定日行步数不足4千步的人为“不健康生活方式者”，不少于8千步的人为“超健康生活方式者”，其余为“一般生活方式者”.该校学生会随机抽取了本校50名学生，统计他们的日行步数，已知步数均没超过14千步，按步数分为、、、、、、（单位：千步）七组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）根据频率分布直方图，求这50名学生日行步数的第80百分位数； （2）学生会准备从样本的“不健康生活方式者”和“超健康生活方式者”中采取分层随机抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽取4人进行日常生活方式交流座谈会，记抽取的4人中“超健康生活方式者”的人数为X，求X的分布列和数学期望. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)根据频率分布直方图计算各组频率，确定第百分位数位于区间内，利用面积比例列方程求解； (2)计算“不健康生活方式者”和“超健康生活方式者”的人数，根据分层抽样确定抽取的人中两类人的人数，确定随机变量的取值，利用超几何分布概率公式计算概率并求期望. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知，各组的频率分别为：  : ， : ， : ， : ， : ， : ， : . 前组的频率之和为， 前组的频率之和为， 所以第百分位数位于第组内. 设第百分位数为， 则， 解得. 故这名学生日行步数的第百分位数为. 【小问2详解】 样本中“不健康生活方式者” 的人数为人， “超健康生活方式者”（步数不少于千步）的人数为人. 采用分层随机抽样的方法抽取人， 则抽取的“不健康生活方式者”人数为人， 抽取的“超健康生活方式者”人数为人. 从这人中随机抽取人，表示抽取的人中“超健康生活方式者”的人数， 则的可能取值为.  ， ， ， . 所以的分布列为： . 17. 如图，在中，，，D，E分别在，上，满足，，将沿折起到的位置，使. （1）求证：平面； （2）若点M满足，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）因为，，所以， 又因为，则，所以，翻折后， 又因为，平面，所以平面， 又平面，所以， 又因为，平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】(1)折叠保垂直，依靠两组垂直交线证明出线面垂直； (2)依托第一问垂直条件建立空间直角坐标系，确定点坐标，求出平面法向量，套用线面夹角向量公式运算求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，建立如下所示空间直角坐标系，由几何关系知， 所以，则， 设平面的法向量，则， 令，则， 因为在线段上，且，则， 所以， 即直线与平面所成角的正弦值为. 18. 已知曲线上的动点与点，的距离的和等于. （1）求曲线的标准方程； （2）直线与曲线有唯一公共点，过点且与垂直的直线分别交轴，轴于点，其中为坐标原点，若的面积为，求实数的值. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到，且，结合椭圆的定义，即可求解； （2）联立方程组，根据直线与曲线相切，求得，再由根与系数的关系，求得，得到，求得的方程为，得到的坐标，根据的面积为，列出方程，即可求解. 【小问1详解】 解：因为曲线上的动点与点，点的距离的和等于， 可得，且， 由椭圆的定义，可得，所以，则， 所以曲线的标准方程为. 【小问2详解】 解：联立方程组，整理得 因为直线与曲线有唯一公共点，即直线与曲线相切， 所以，即，整理得， 设，可得， 即，所以直线的方程为，可得， 令，可得；令，可得， 所以的面积为， 整理得，即，解得或， 所以或，即实数的值为或. 19. 已知函数. （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）（ⅰ）讨论函数的单调性； （ⅱ）若有两个极值点分别为，，且在上不单调，记（为的导函数），证明：. 【答案】（1）； （2） （i）①，在单调递增； ②，在单调递增，在单调递减； ③，在单调递增，在单调递减； （ii）有两个极值点分别为，，且在上不单调， 由（i）结论得，两个极值点，因为， 所以， 则， 要证不等式等价于证明，即证， 令，， 仅当时取等号，则在单调递增，于是， 则成立，不等式得证. 【解析】 【分析】(1)先求导得切点斜率，再代点写出切线方程； (2)(i)导函数因式分解后，以参数和1的大小分界，就能清晰划分单调区间； (ii)先化简代入极值点转化差值，再构造单变量函数用单调性放缩证不等式. 【小问1详解】 当时，，则，时， 则函数在处的切线方程为； 【小问2详解】 （i）由题，， ①，，在单调递增； ②，，在单调递增； ，在单调递减； ，在单调递增； ③，，在单调递增； ，在单调递减； ，在单调递增； （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年赤峰市高二年级学年考试试题 数学 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号码填写清楚，将条形码原码粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效. 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔涂黑. 5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带，割纸刀. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分. 1. 集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，是两个不同的平面，是一条直线，且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知直线：和直线：，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 若棱长为2的正方体的各顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 5. 在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回，在第1次抽到几何题的条件下，第2次抽到代数题的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列的通项公式，前项和为，则项数为（ ） A. 2026 B. 2025 C. 2024 D. 2023 7. 函数的零点个数是（ ） A. B. C. D. 8. 已知随机变量服从正态分布，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知等差数列的首项，且，下列说法正确的是（ ） A. 数列的公差 B. 数列的通项公式 C. 数列的前项和 D. 数列是公比为2的等比数列 10. “杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数阵中的排列规律，在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》中就有出现．如图所示，下列关于“杨辉三角”的说法正确的是（ ） A. 三角形的两个腰上的数字都是1 B. 在第8行中，从左到右第5个数字是70 C. 第9行所有数字之和为1024 D. 在第2026行所有数字中，从左到右第1014个数字最大 11. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 当时，函数的极大值点为 B. 当时，函数在上的值域为 C. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围是 D. 存在实数使函数的图象是轴对称图形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上. 12. 已知双曲线：的一条渐近线方程为，则的离心率为_____________. 13. 已知复数是关于的方程的一个根，则________________. 14. 如图，在棱长为9的正四面体中，是的重心，是棱的中点，点在线段上，且有，则线段的长度为_______________. 四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 函数（其中）的部分图象如图所示. （1）求函数的解析式； （2）在中，角的对边分别为，若，，且的面积为，求. 16. 某校学生会积极组织该校学生参与“日行万步”的活动，界定日行步数不足4千步的人为“不健康生活方式者”，不少于8千步的人为“超健康生活方式者”，其余为“一般生活方式者”.该校学生会随机抽取了本校50名学生，统计他们的日行步数，已知步数均没超过14千步，按步数分为、、、、、、（单位：千步）七组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）根据频率分布直方图，求这50名学生日行步数的第80百分位数； （2）学生会准备从样本的“不健康生活方式者”和“超健康生活方式者”中采取分层随机抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽取4人进行日常生活方式交流座谈会，记抽取的4人中“超健康生活方式者”的人数为X，求X的分布列和数学期望. 17. 如图，在中，，，D，E分别在，上，满足，，将沿折起到的位置，使. （1）求证：平面； （2）若点M满足，求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知曲线上的动点与点，的距离的和等于. （1）求曲线的标准方程； （2）直线与曲线有唯一公共点，过点且与垂直的直线分别交轴，轴于点，其中为坐标原点，若的面积为，求实数的值. 19. 已知函数. （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）（ⅰ）讨论函数的单调性； （ⅱ）若有两个极值点分别为，，且在上不单调，记（为的导函数），证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $