精品解析：内蒙古锡林郭勒盟2025-2026学年度第二学期全盟中小学期末学业质量检测高二数学试题

2025—2026学年度第二学期全盟中小学期末学业质量检测 高二数学试题 一．单项选择（本题共有8个小题，每小题5分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】解得或，即集合，则. 2. 某学校志愿服务小队共有3名高一学生和4名高二学生，为保障校园开放日参观秩序，现从中随机选取2名同学担任活动引导员，则这2人来自不同年级的选法共有（ ）种 A. 7 B. 12 C. 21 D. 42 【答案】B 【解析】 【分析】从名高一、名高二中选人且年级不同，等价于高一、高二各选人，用分步计数与组合数计算. 【详解】不同年级的选法：先从名高一中选人，有种；再从名高二中选人，有种. 由分步乘法计数原理，总选法数为. 3. 函数在处的导数为（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以 于是 4. “”是“函数的极值点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【详解】由，得， 令，得，令，得， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的极小值点为，无极大值点， 则“”是“函数的极值点”的充要条件. 5. 的展开式中常数项是（ ） A. 15 B. 60 C. 64 D. 240 【答案】B 【解析】 【分析】利用二项式展开式的通项，令的指数为0，求出参数，代入计算即可得到常数项. 【详解】由二项式定理，展开式的第项为， 令，得， 所以的展开式中常数项是. 6. 5名医生分成3个支教组，则不同的分组方式共有（ ） A. 20种 B. 25种 C. 30种 D. 150种 【答案】B 【解析】 【分析】先确定5人分3组的两类人数分配方案：1,1,3和2,2,1，分别计算两类无序分组的数量后求和即可. 【详解】将5名医生分为3个不区分次序的支教组，且每组至少1人，人数分配共两类： 人数为1,1,3的分组：从5人中任选3人组成3人组，剩余2人各为1组， 由于两个1人组无序，无重复计数，该类分组数为种； 人数为2,2,1的分组：先从5人中选2人组成第一个2人组，再从剩余3人中选2人组成第二个2人组， 剩余1人单独成组，由于两个2人组无序，需消除重复计数，故该类分组数为种， 根据分类加法计数原理，总分组方式共有种. 7. 袋子中有7个除颜色外完全相同的小球，其中4个白球，3个黑球．每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．在第1次摸到白球的条件下，第2次摸到黑球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】记第一次摸到白球为事件，第二次摸到黑球为事件， 则，， 故． 8. 已知函数，若函数仅有一个零点，则k的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将函数零点转换成两函数图象的交点，作出函数图象即可. 【详解】当时，在上单调递减，且. 当时，，则， 所以在是单调递增，且. 令，即. 因为函数仅有一个零点， 所以的图象与直线只有一个交点，如图可得，即. 【点睛】本题把函数零点问题转化为函数图象与水平直线的交点个数问题，分段研究左右两段的单调性与边界值，结合仅一个交点的条件锁定的范围，最终解出，要格外注意分段端点的取值验证. 二．多项选择（本题有三个小题，每小题6分，共18分，在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分数，有选错得0分） 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用二项式定理写出 的通项求各系数，并结合 赋值求奇偶次项系数和. 【详解】由二项式定理，展开式的第项为 对于选项 A，常数项对应，所以. 对于选项 B，项对应，即，所以 对于选项 C，D 令 取，得 取，得 两式相加，得 两式相减，得 10. 已知函数（），则（ ） A. 函数的图象过点 B. ，使得函数是奇函数 C. 若函数在上单调递增，则 D. 若函数有三个不同零点，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数的单调性、奇偶性及零点问题，借助导数，逐一分析各选项判断正误. 【详解】对于选项A，，与的取值无关，因此函数的图象恒过点，故选项A正确； 对于选项B，若为奇函数，则满足对任意成立， 即，化简得，，所以，此时是奇函数，因此存在满足条件，故选项B正确； 对于选项C，，若在上单调递增， 则在上恒成立，即在上恒成立，所以，故选项C错误； 对于选项D，若有三个不同零点，则有两个不同实根，即， 此时极点为，极大值，时恒大于0； 极小值，解得，因此，故选项D正确. 11. 甲、乙两个小组参加某项测试，已知甲、乙两组的人数分别占这两组合并后总人数的，．甲组的合格率为，乙组的合格率为．从这两组组成的总体中任选一个人，用事件，分别表示选取的该人来自甲、乙组，事件B表示选取的该人测试合格，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】由题意，，，，． 对于A，，A正确． 对于B，，B错误． 对于C，，C正确． 对于D，，D正确． 三．填空题（每小题5分，3小题共15分） 12. 集合，，则_____________ 【答案】 （或区间形式） 【解析】 【分析】解一元二次不等式，再应用并集定义求解. 【详解】因为集合，，则. 13. 随机变量，若，则________ 【答案】2 【解析】 【详解】由，则， 而，则，解得. 14. 函数的最小值为____________ 【答案】 【解析】 【分析】先确定函数定义域，求导后因式分解判断导数符号，确定单调性找到最小值点，代入计算即得结果． 【详解】函数定义域为，. 令，得 故（负根舍去）， 当时，即在上单调递减， 当时，即在上单调递增， 所以在处取得最小值 四．解答题（15题13分，16题与17题均为15分，18题与19题均为17分，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 一箱5罐的饮料中2罐印有“中奖”标记，从中任意抽取3罐． （1）求3罐中都没有“中奖”标记的概率； （2）设X表示抽取的3罐中“中奖”的罐数，求随机变量X的分布列及期望． 【答案】（1） （2）分布列为： 期望为（或） 【解析】 【小问1详解】 3罐中都没有“中奖”标记的概率为； 【小问2详解】 由题意的可能值为， ，，， 所以的分布列为： . 16. 某服装品牌公司计划在周边W城市开设加盟分店，为了确定在W城市开设分店的个数，该公司对已有5个区域开店数据作了初步处理后得到下列表格，记表示每个区域开设分店的个数，表示这个分店的年收入之和． （个） 2 3 4 5 6 （十万元） 2.5 3 4 4.5 6 （1）该公司经过初步判断，可用线性回归模型拟合与的关系，求关于的线性回归方程；并预测如果开设10家分店，这10家分店的年收入之和是多少？ （2）若该公司最终决定在W城市选择两个合适的地段各开设了一个分店，根据市场调查得到如下统计数据，第一分店每天的顾客平均为30人，其中5人会购买该品牌服装，第二分店每天的顾客平均为70人，其中20人会购买该品牌服装．完成下列表格，并依据小概率值的独立性检验，试问两个分店的顾客下单率有无差异？ 不下单 下单 合计 分店一 分店二 合计 参考公式：，， ， 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 【答案】（1）线性回归方程为，预测10家分店年收入之和为91万元 （2） 不下单 下单 合计 分店一 25 5 30 分店二 50 20 70 合计 75 25 100 在犯错误的概率不超过的前提下，没有充分证据认为两个分店的顾客下单率有差异. 【解析】 【分析】（1）利用最小二乘法公式求解回归系数，进而写出回归方程并预测； （2）完善列联表，求出的观测值，与临界值比较并得出结论. 【小问1详解】 ，， ，， ，， 所以， 当时，， 预测10家分店年收入之和为万元. 【小问2详解】 完善列联表如下 不下单 下单 合计 分店一 25 5 30 分店二 50 20 70 合计 75 25 100 零假设为：两个分店的顾客下单率无差异. , 在犯错误的概率不超过的前提下，没有充分证据推断不成立， 所以没有充分证据认为两个分店的顾客下单率有差异. 17. 已知函数 （1）若，求函数的极值； （2）讨论的单调性． 【答案】（1）极小值为，无极大值； （2）当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，判断函数的单调性，计算极值； （2）对函数求导，分类讨论参数，确定函数的单调性. 【小问1详解】 ，， ， 令，解得， ，，，在上单调递增； ，，，在上单调递减； 所以时，取得极小值， 极小值为，无极大值. 【小问2详解】 ，， 当时，，，在上单调递增； 当时，令，解得， ，，，在上单调递增； ，，，在上单调递减； 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 18. 某师傅要将一个原件加工成一件精密产品，需经过3道工序，第1道，第2道，第3道加工成功的概率分别为，，，现按照顺序进行加工，只有上一道工序成功才能进行下一道工序． （1）求该原件被加工成合格品的概率； （2）设X表示师傅加工8个这样的原件成为合格品的件数， （ⅰ）求X的期望与方差； （ⅱ）求最有可能出现的合格品的件数． 【答案】（1） （2）（ⅰ）;（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）三道工序需全部成功才能得到合格品，各工序相互独立，由独立事件的概率乘法公式计算可得； （2）（ⅰ）利用二项分布的均值和方差公式求解；（ⅱ）设为使概率最大时的的值，求解不等式，取整即得答案. 【小问1详解】 三道工序需全部成功才能得到合格品，各工序相互独立， 故原件加工为合格品的概率为； 【小问2详解】 （ⅰ）每个原件加工合格概率，共独立加工 8 次，因此， 所以， ； （ⅱ）二项分布概率公式是 设为使概率最大时的的值，则有 ，即， 化简得，解得， 又为非负整数，故，所以最有可能出现的合格品件数为 19. 已知函数 （1）求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求证：； （3）若，不等式，恒成立，求实数的最大值． 【答案】（1） （2）证明：设，.则 所以在区间上单调递增. 所以，则，即. 因为，所以，即. （3）实数的最大值为. 【解析】 【分析】（1）先求，再求即可写出切线方程. （2）构造函数，利用函数的最值即可转化为所要证明的不等式. （3）利用已知条件转换成，从而通过求函数的最小值即可. 【小问1详解】 由已知得. 所以. 所以曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为，不等式，恒成立， 所以，恒成立，即. 所以. 假设. 所以. 令，则. 令，则. 因为， 所以当时，，即，单调递减，且.所以，即，则单调递减，且.所以即，单调递减. 当时，，即，则单调递增，且，. 所以存在，使得. 所以当时，，即，则单调递减；当时，即，则单调递增. ，， 所以当时，即，单调递减. 当时，，，即，则单调递增. 又，所以，即，单调递增. 所以在单调递减，在单调递增. 当时，， 令，则. 因为，所以，，则. 所以在上单调递增， 所以，即，得. 综上所述，. 所以，即的最大值为. 【点睛】本题三层递进，切线考导数几何意义；第二问构造差函数证三角不等式；第三问核心是双量词恒成立取转化，多层求导分段分析单调性，从而确定全局最小值在处取得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期全盟中小学期末学业质量检测 高二数学试题 一．单项选择（本题共有8个小题，每小题5分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 某学校志愿服务小队共有3名高一学生和4名高二学生，为保障校园开放日参观秩序，现从中随机选取2名同学担任活动引导员，则这2人来自不同年级的选法共有（ ）种 A. 7 B. 12 C. 21 D. 42 3. 函数在处的导数为（ ） A. 0 B. C. D. 4. “”是“函数的极值点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 的展开式中常数项是（ ） A. 15 B. 60 C. 64 D. 240 6. 5名医生分成3个支教组，则不同的分组方式共有（ ） A. 20种 B. 25种 C. 30种 D. 150种 7. 袋子中有7个除颜色外完全相同的小球，其中4个白球，3个黑球．每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．在第1次摸到白球的条件下，第2次摸到黑球的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若函数仅有一个零点，则k的取值范围（ ） A. B. C. D. 二．多项选择（本题有三个小题，每小题6分，共18分，在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分数，有选错得0分） 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数（），则（ ） A. 函数的图象过点 B. ，使得函数是奇函数 C. 若函数在上单调递增，则 D. 若函数有三个不同零点，则 11. 甲、乙两个小组参加某项测试，已知甲、乙两组的人数分别占这两组合并后总人数的，．甲组的合格率为，乙组的合格率为．从这两组组成的总体中任选一个人，用事件，分别表示选取的该人来自甲、乙组，事件B表示选取的该人测试合格，则（ ） A. B. C. D. 三．填空题（每小题5分，3小题共15分） 12. 集合，，则_____________ 13. 随机变量，若，则________ 14. 函数的最小值为____________ 四．解答题（15题13分，16题与17题均为15分，18题与19题均为17分，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 一箱5罐的饮料中2罐印有“中奖”标记，从中任意抽取3罐． （1）求3罐中都没有“中奖”标记的概率； （2）设X表示抽取的3罐中“中奖”的罐数，求随机变量X的分布列及期望． 16. 某服装品牌公司计划在周边W城市开设加盟分店，为了确定在W城市开设分店的个数，该公司对已有5个区域开店数据作了初步处理后得到下列表格，记表示每个区域开设分店的个数，表示这个分店的年收入之和． （个） 2 3 4 5 6 （十万元） 2.5 3 4 4.5 6 （1）该公司经过初步判断，可用线性回归模型拟合与的关系，求关于的线性回归方程；并预测如果开设10家分店，这10家分店的年收入之和是多少？ （2）若该公司最终决定在W城市选择两个合适的地段各开设了一个分店，根据市场调查得到如下统计数据，第一分店每天的顾客平均为30人，其中5人会购买该品牌服装，第二分店每天的顾客平均为70人，其中20人会购买该品牌服装．完成下列表格，并依据小概率值的独立性检验，试问两个分店的顾客下单率有无差异？ 不下单 下单 合计 分店一 分店二 合计 参考公式：，， ， 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 17. 已知函数 （1）若，求函数的极值； （2）讨论的单调性． 18. 某师傅要将一个原件加工成一件精密产品，需经过3道工序，第1道，第2道，第3道加工成功的概率分别为，，，现按照顺序进行加工，只有上一道工序成功才能进行下一道工序． （1）求该原件被加工成合格品的概率； （2）设X表示师傅加工8个这样的原件成为合格品的件数， （ⅰ）求X的期望与方差； （ⅱ）求最有可能出现的合格品的件数． 19. 已知函数 （1）求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求证：； （3）若，不等式，恒成立，求实数的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $