精品解析：内蒙古赤峰市2024-2025学年高二下学期期末联考数学试卷

2025年赤峰市高二年级学年联考试题 数学 2025.07 本试卷共19题，共150分，共4页，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴条形码区域内． 2．选择题答案必须使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色宇迹的签字笔描黑． 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先解一元二次不等式确定集合的元素，再由交集运算即可求解. 【详解】由可解得，所以， 因为，所以. 故选：D. 2. 一批零件共有10个，其中有3个不合格．随机抽取3个零件进行检测，恰好有1件不合格的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合超几何分布分析求解即可. 【详解】从10个零件中抽取3个的总方式数为； 不合格零件有3个，从中选1个的方式数为 ， 合格零件有7个，从中选2个的方式数为 ， 根据分布乘法计数原理，恰好1个不合格的总方式数为； 根据古典概型得. 故选：B 3. 已知复数（为虚数单位），则（ ） A. 5 B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出共轭复数，再根据复数的除法运算求得，进而可求模. 【详解】因为复数，所以，所以， 所以. 故选：A. 4. 的展开式中的系数是（ ） A. 80 B. 16 C. 10 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项式定理展开式的通项公式求解即可. 【详解】的展开式的通项， 令，得，所以的系数是. 故选：C 5. 函数在上（ ） A. 既无极大值也无极小值 B. 有极小值无极大值 C. 既有极大值又有极小值 D. 有极大值无极小值 【答案】A 【解析】 【分析】由可判断函数的单调性即可得出结论. 【详解】由题意恒成立，所以在上单调递增，既无极大值也无极小值. 故选：A 6. 已知直线与圆 相切，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用直线和圆相切，由圆心到直线距离等于半径列方程可得结果. 【详解】将圆化为标准方程， 可得圆心，半径， 依题意可知圆心到直线的距离为， 又，解得. 故选：D 7. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数的奇偶性即可排除AC，再结合函数值的变化趋势判断BC的真假. 【详解】由题意，函数的定义域为，且，所以为奇函数，图象关于原点中心对称，故AC错误； 根据指数函数与二次函数的增长速度可知，当时，且，故D错误. 故选：B 8. 如图，棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为CC1的中点，点P，Q分别为面A1B1C1D1和线段B1C上动点，则△PEQ周长的最小值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过对称转换，由三点共线求得三角形周长的最小值. 【详解】在平面上，设E关于B1C的对称点为M，根据正方形的性质可知， 关于B1C1的对称点为N，， 连接MN，当MN与B1C1的交点为P，MN与B1C的交点为时， 则MN是△PEQ周长的最小值， ，, ∴△PEQ周长的最小值为 故选：B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，函数的导函数的图象经过点，和，对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 在上单调递增 B. 在上单调递增 C. 在处取得极小值 D. 在处取得极小值 【答案】BD 【解析】 【分析】根据导函数图象的正负得出函数的单调性进而得出函数的极值即可判断各个选项. 【详解】由导函数图象可知， 当或时，； 当或时，， 所以在和上单调递减， 在和上单调递增，故选项A错误，B正确； 所以在和处取得极小值，在处取得极大值，故C错误，D正确. 故选：BD. 10. “杨辉三角”是中国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中首次记载的，比欧洲早393年．如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．则下列命题中正确的是（ ） A. 第6行中，有两个相等的最大数 B. C. 第行所有数之和为 D. 在第3行以后，还会出现全为奇数的行 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据由杨辉三角的规律直接写出第6、7行可判断AD；利用性质化简可判断B；由二项式系数性质可判断C. 【详解】对A，由杨辉三角的规律可知，第6行的数为：，最大数只有一个，错误； 对B， ，正确； 对C，由二项式系数性质可知，第行所有数之和为，正确； 对D，由杨辉三角的规律可知，第6行的数为：， 第7行的数为：，所有数都是奇数，正确. 故选：BCD 11. 已知函数的定义域为，且，，，则下列四个结论正确的是（ ） A. 8是的周期 B. 图象关于直线对称 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】令，可得是偶函数，由，可得图象关于点对称，可判断B；进而可求得周期判断A；利用周期与对称性计算可判断CD. 【详解】令，可得， 所以，所以是偶函数， 又因为，所以，所以， 又由，可得， 所以图象关于点对称，故B错误； 又由和偶函数性质，可得， 所以，所以， 即是函数的周期，故8也是的周期，故A正确； 则，故C正确； 又，， 则，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上． 12. 已知随机变量满足，若，则期望______． 【答案】1 【解析】 【分析】由二项分布概率公式求得，再根据二项分布的数学期望公式求值即可. 【详解】， 因为，所以，故. 故答案为： 13. 在中，，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据诱导公式可得，结合余弦定理计算即可求解. 【详解】在中，由，得， 由余弦定理得. 故答案为： 14. 某学校有、两家餐厅，张同学连续三天午餐均在学校用餐，如果某天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为；如果某天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为．若张同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐，则张同学第3天去餐厅用餐的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据全概率公式求出张同学第2天去，餐厅的概率，继而可求第3天去餐厅用餐的概率. 【详解】设表示事件：第天去餐厅，表示事件：第天去餐厅， 则， 则， 故， , 则 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题：共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 甲、乙两个班级的同学进行目测数学教科书长度的游戏，令甲班同学目测的误差为（单位：），乙班同学目测的误差为（单位：）．根据游戏记录，统计结果为，，，，；，，，， （1）分别列出随机变量、的分布列； （2）哪个班目测的数据更接近教科书的真实长度？解释你的理由（可以通过观察给出答案，但必需包含必要的计算过程）． 【答案】（1）分布列见解析 （2）乙班目测的数据更接近教科书的真实长度，理由见解析 【解析】 【分析】（1）通过题干已知概率即可列出随机变量、的分布列； （2）先计算两个班的期望，可反应平均误差，如果期望一样，再计算方差比较大小即可. 【小问1详解】 根据已知条件，的分布列是： 0 1 2 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 的分布列是： 0 1 2 0.05 0.15 0.6 0.15 0.05 【小问2详解】 直观观察的分布离散程度较大，所以乙班目测的数据更接近教科书的真实长度． 由（1）知，，， ，， 即要通过两个班数据的方差比较，说明哪个班更接近教科书的真实长度． 所以，， ， 则，故乙班的情况波动情况小， 所以，乙班目测的数据更接近教科书的真实长度． 16. 已知公差不为0的等差数列，，且，，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）记为等比数列的前项和，为的公比且，，，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由等差数列定义结合等比中项解题即可； （2）根据等比数列定义，求出通项公式，然后用裂项相消法求数列前项和即可. 【小问1详解】 在等差数列中，设公差为且， 因为，，成等比数列，则， 又，则 解得或．因为，故， 又因为，所以. 【小问2详解】 由，，可得，又，解得． 所以，又因为， 则， 因此. 17. 如图所示，⊥平面，四边形为矩形，，. （1）求证：∥平面； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 【答案】（1）证明如下： 四边形为矩形， ∴，又，平面，平面ADE， 故平面ADE，平面ADE， 又平面BFC， ∴平面BFC平面ADE， ∵平面BFC， ∴∥平面. （2） 【解析】 【分析】（1）由面面平行判断定理证平面BFC平面ADE，再证∥平面即可； （2）建立空间直角坐标系如图，由向量法即可求 【小问1详解】 略 【小问2详解】 建立空间直角坐标系如图，则， 设平面CDF的法向量为，则，取得， 平面的法向量为，设平面与平面所成锐二面角为，则， 故平面与平面所成锐二面角的余弦值为 18. 已知函数． （1）当时，求在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若有两个零点，求的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，在上单调递减， 当时，则在上单调递减，在上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）求出导函数，利用导数的几何意义求出切线的斜率，然后利用点斜式直线方程求解即可. （2）求出导函数，按照和分类讨论求解即可. （3）由（2）的结论得不符合题意，将题目条件转化为，设，利用导数研究其单调性，按照和分类讨论，结合零点存在定理利用放缩法求解即可. 【小问1详解】 当时，，点在函数图象上， 由得，， 则在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 定义域为， ， 当时，恒成立，在上单调递减， 当时，当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增； 综上：当时，在上单调递减， 当时，则在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 由（2）知，当时，在上单调递减， 则在上最多一个零点，故不满足有两个零点，舍去； 当时，则在上单调递减，在上单调递增， 在处取得极小值，也是最小值，即， 设，则， 故在上单调递增，又； 当时，， 又， 故在上有一个零点； 当，由可得即，得，则， 故，即， 设，所以， 当时，，当时，， 所以当时函数取得最小值，最小值为，即， 则，即， 因此在上也有一个零点． 当时，，故此时没有两个零点； 综上，若有两个零点，实数的取值范围为. 19. 已知点，P是直线AB外的一个动点，，垂足为Q，且Q在线段AB外，，记点P的轨迹为曲线C． （1）求C的方程； （2）若直线l交C于M，N两点，M关于x轴的对称点为T，请再从条件①、②和③中选择一个合适的作为已知，证明以下问题： （i）l过定点； （ⅱ）不可能为锐角三角形． 条件：①直线TB和NA的斜率之和为0； ②直线TB和NB的斜率之积为6； ③直线TB和NA的斜率之商为2． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ⅱ）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先设动点坐标，将几何关系转化为坐标关系后可得曲线的方程； （2）设直线方程并联立，代入双曲线方程得到关于的一元二次方程，利用韦达定理化简目标代数式后可得定点，利用向量的数量积可判断三角形的形状. 【小问1详解】 依题意，可设，则． 因为，Q在线段AB外，所以． 又因为，所以，即． 故C的方程为． 【小问2详解】 选择①作为条件. 设，则，其中． 因为直线和的斜率之和为0，故直线的斜率等于的斜率， 故，故， 故即，故，故， 则关于原点对称，故过原点，与题设矛盾，故不选①. 解法一：选择②作为条件． （i）设，则 显然l的斜率不为零，否则，有， 此时，与直线TB和NB的斜率之积为6，矛盾． 故可设， 由得， 依题意，且， 所以且， 由且，所以， 因为直线TB和NB的斜率之积为6，所以， 即，解得． 此时恒成立，所以，过定点． （ⅱ）由（i）知， ①当，即时，，所以M，N均在C的右支，如图． 此时 ， 所以是钝角，是钝角三角形． ②当，即或时，， 所以M，N分别在C的两支．不妨设M在C的右支，则，如图． 设，则， 所以． 因为l过点R，所以， 所以是钝角，是钝角三角形． 综上可知，不可能是锐角三角形． 解法二：选择②作为条件． （i）同解法一． （ⅱ）由（i）知，直线l过定点． ①当M，N均在C的右支，不妨设M在x轴的上方，如图． 设直线MB，NB的倾斜角分别为．则． 因为直线TB和NB的斜率之积为6，所以直线MB和NB的斜率之积为，即， 所以， 所以是钝角，是钝角三角形． ②当M，N分别在C的两支时，不妨设M在C的右支，则，如图． 设，则， 所以． 因为l过点R，所以， 所以是钝角，是钝角三角形． 综上可知，不可能是锐角三角形． 解法三：选择②作为条件． （i）设，则 当l的斜率不存在时， 所以 依题意，解得．此时，，过点． 下面我们证明，当l的斜率存在时，M，N，R共线． 显然直线TB斜率存在且不为零，可设直线， 由得，解得 所以 所以 同理可设直线，得． 所以 因为直线TB和NB的斜率之积为6，所以，即， 所以，所以M，N，R共线，即l过点． 综上，l过定点． （ⅱ）依题意，可设，由得， 依题意，且，即 此时 ①当，即时，，所以M，N均在C的右支，如图． 此时 所以是钝角，是钝角三角形． ②当，即或时，， 所以M，N分别在C的两支．不妨设M在C的右支，则，如图． 所以， 所以 因为l过点R，所以， 所以是钝角，是钝角三角形． 综上可知，不可能是锐角三角形． 解法四：选择③作为条件． （i）设，则． 显然l的斜率不为零，否则， 因为直线TB和NA的斜率之商为2，所以 从而有，解得，此时，l与C不存在公共点，与题设矛盾． 故可设， 由得， 依题意，且， 所以且， 由得，所以 因为直线TB和NA的斜率之商为2，所以 因为点M在C上，所以，即， 所以，即， 解得．此时恒成立，所以，过定点． （ⅱ）由（i）知， ①当，即时，，所以M，N均在C的右支，，如图． 此时 所以是钝角，是钝角三角形． ②当，即或时，， 所以M，N分别在C的两支，不妨设M在C的右支，则，如图． 设，则是以BR为直径的圆的圆心， ， 所以M在以BR为直径的圆外，所以 因为l过点，所以， 所以是钝角，是钝角三角形． 综上可知，不可能是锐角三角形． 解法五：选择③作为条件． （i）设，则 当l的斜率不存在时， 因为直线TB和NA的斜率之商为2，所以 当，解得，此时，直线，过点． 下面我们证明，当l的斜率存在时，M，N，R共线． 显然直线TB斜率存在且不为零，可设直线， 由得，解得 所以 所以 同理可设直线，由得 所以 因为直线TB和NA的斜率之高为2，所以，即， 所以，所以M，N，R共线，即l过点． 综上，l过定点． （ⅱ）同解法二． 解法六： 选择②作为条件． （i）设，则． 当l的斜率不存在时，， 所似 又因为直线TB和NB的斜率之积为6，所以，解得． 此时，直线，过点 当l的斜率存在时，设， 由得． 依题意，且， 所以且，． 因为直线TB和NB的斜率之积为6，所以， 即， 所以，所以，所以，过点． 综上，l过定点． （ⅱ）由（i）知，，故恒成立，且 ①当，即或时，，所以M，N均在C的右支，如图． 此时 所以是钝角，是钝角三角形． ②当，即时，， 所以M，N分别在C的两支，不妨设M在C的右支，则，如图． 设，则， 所以， 因为l过定点，所以， 所以是钝角，是钝角三角形． 综上可知，不可能是锐角三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年赤峰市高二年级学年联考试题 数学 2025.07 本试卷共19题，共150分，共4页，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴条形码区域内． 2．选择题答案必须使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色宇迹的签字笔描黑． 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 一批零件共有10个，其中有3个不合格．随机抽取3个零件进行检测，恰好有1件不合格的概率是（ ） A. B. C. D. 3. 已知复数（为虚数单位），则（ ） A. 5 B. 3 C. D. 4. 的展开式中的系数是（ ） A. 80 B. 16 C. 10 D. 8 5. 函数在上（ ） A. 既无极大值也无极小值 B. 有极小值无极大值 C. 既有极大值又有极小值 D. 有极大值无极小值 6. 已知直线与圆 相切，则（ ） A. B. C. D. 7. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为CC1的中点，点P，Q分别为面A1B1C1D1和线段B1C上动点，则△PEQ周长的最小值为（　　） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，函数的导函数的图象经过点，和，对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 在上单调递增 B. 在上单调递增 C. 在处取得极小值 D. 在处取得极小值 10. “杨辉三角”是中国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中首次记载的，比欧洲早393年．如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．则下列命题中正确的是（ ） A. 第6行中，有两个相等的最大数 B. C. 第行所有数之和为 D. 在第3行以后，还会出现全为奇数的行 11. 已知函数的定义域为，且，，，则下列四个结论正确的是（ ） A. 8是的周期 B. 图象关于直线对称 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上． 12. 已知随机变量满足，若，则期望______． 13. 在中，，则_________. 14. 某学校有、两家餐厅，张同学连续三天午餐均在学校用餐，如果某天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为；如果某天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为．若张同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐，则张同学第3天去餐厅用餐的概率为______． 四、解答题：本题共5小题：共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 甲、乙两个班级的同学进行目测数学教科书长度的游戏，令甲班同学目测的误差为（单位：），乙班同学目测的误差为（单位：）．根据游戏记录，统计结果为，，，，；，，，， （1）分别列出随机变量、的分布列； （2）哪个班目测的数据更接近教科书的真实长度？解释你的理由（可以通过观察给出答案，但必需包含必要的计算过程）． 16. 已知公差不为0的等差数列，，且，，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）记为等比数列的前项和，为的公比且，，，求数列的前项和． 17. 如图所示，⊥平面，四边形为矩形，，. （1）求证：∥平面； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 18. 已知函数． （1）当时，求在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若有两个零点，求的取值范围． 19. 已知点，P是直线AB外的一个动点，，垂足为Q，且Q在线段AB外，，记点P的轨迹为曲线C． （1）求C的方程； （2）若直线l交C于M，N两点，M关于x轴的对称点为T，请再从条件①、②和③中选择一个合适的作为已知，证明以下问题： （i）l过定点； （ⅱ）不可能为锐角三角形． 条件：①直线TB和NA的斜率之和为0； ②直线TB和NB的斜率之积为6； ③直线TB和NA的斜率之商为2． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $