精品解析：河北张家口市桥西区2025-2026学年度第二学期期末学情诊断测试八年级数学试卷

2025—2026学年度第二学期期末学情诊断测试 八年级数学试卷 考生注意：1．本试卷共4页，总分100分，考试时间90分钟； 2．请务必在答题纸上作答，写在试卷上的答案无效．考试结束，只收答题纸． 3．答卷前，请在答题纸上将姓名、班级、考场、座位号、准考证号填写清楚． 4．客观题答题，必须使用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净． 5．主观题答案须用黑色字迹钢笔、签字笔书写． 6．必须在答题纸上题号所对应的答题区域内作答，超出答题区域的书写，无效． 7．保持卷面清洁、完整．禁止对答题纸恶意折损，涂画，否则不能过扫描机器． 一、选择题（本大题共12个小题，每题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 关于x的一元二次方程化为一般形式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用单项式乘多项式运算法则展开原式，即可得到结果． 【详解】解：原方程为， 将方程左边按照单项式乘多项式法则展开 得， 该方程的一般形式为． 2. 如图，嘉嘉想将一张平行四边形纸片沿，剪下后得到一个，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形的对边平行，结合平行线的性质，即可得出结果． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 3. 不透明袋子中有若干个白球（）和灰球（），这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，灰球出现的频率如图所示，则该不透明袋子不可能是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用频率估算概率，概率的计算公式，熟练掌握频率与概率的关系是关键． 当试验次数足够多时，频率会趋近于概率，由此判断选项． 【详解】解：由图可知，试验次数足够多时，频率在附近波动， ∴抽取一个球是灰球的概率为， ∴袋中白球与灰球的数量相等，只有选项C不符合． 故选：C． 4. 如图，在四边形中，对角线与互相垂直平分，，则四边形的周长为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质． 根据线段垂直平分线的性质，可得四边形的四条边长相等，代入已知边长，计算周长即可． 【详解】解：∵在四边形中，对角线与互相垂直平分， ∴，，， ∴， ∵， ∴四边形的周长为， 解法二： ∵在四边形中，对角线与互相垂直平分， ∴四边形为菱形， ∴菱形的周长为，   故选：． 5. 用公式法解方程时，得，则“”处应填（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，确定的值，再对照求根公式即可得到方框内的数值． 【详解】解： ∵， ∴ 移项得， 此处，，， ， 对比题干给出的式子，可知处应填． 6. 如图，一把长为的梯子斜靠在墙上，当梯子的顶端沿墙下滑的过程中，梯子的中点C到墙角O的距离变化情况是（ ） A. 变大 B. 变小 C. 先变小再变大 D. 不变 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质，熟知直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解本题的关键．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出答案． 【详解】解：连接， 根据题意得，，点是的中点， ∴，即当梯子的顶端沿墙在下滑的过程中，梯子的中点到墙角O的距离不变． 故选：D． 7. 中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为步，根据题意可列方程为（　　） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题列一元二次方程，根据题意，设宽为x步，则长为步，利用矩形面积公式即可列出方程. 【详解】解：设宽为x步，则长为步 由题意，得：， 故选：A. 8. 如图，正方形的边长为，的坐标为，平行于轴，则点的坐标为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方形的边长加上点的横坐标得到点的横坐标，正方形的边长加上点的纵坐标得到点的纵坐标，从而得解． 【详解】解：正方形的边长为，点的坐标为， 点的横坐标为， 点的纵坐标为， 点的坐标为． 9. 已知甲方程为，乙方程为，则关于甲、乙两方程的解的情况，下列叙述正确的是（ ） A. 甲有两个不相等的解，乙无解 B. 甲、乙都有两个不相等的解 C. 甲有两个相等的解，乙无解 D. 甲有两个相等的解，乙有两个不相等的解 【答案】A 【解析】 【分析】利用直接开平方法结合实数平方的非负性，分别判断两个方程解的情况即可． 【详解】解：甲方程： ∴两边开平方得， 解得，因此甲有两个不相等的实数解； 乙方程：， ∵任意实数的平方都满足，不可能等于 ∴不存在实数使等式成立，因此乙无解； 综上，甲有两个不相等的解，乙无解． 10. 直线l与正六边形的边分别相交于点M，N，如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和，正多边形的每个内角，邻补角，熟练掌握知识点是解决本题的关键． 先求出正六边形的每个内角为，再根据六边形的内角和为即可求解的度数，最后根据邻补角的意义即可求解． 【详解】解：正六边形每个内角为：， 而六边形的内角和也为， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 11. 如图是小丽与DeepSeek的对话截屏，DeepSeek在深度思考后，给出的正确答案是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设这个数为x，根据对话描述的数量关系列出一元二次方程，然后求解方程得到这个数． 【详解】解：设这个数为x， 则， 整理得， ， 解得． 即这个数是． 12. 如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于，，连接，，若，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 12 B. 24 C. 27 D. 54 【答案】B 【解析】 【分析】由矩形的性质可证明S△PEB＝S△PFD，即可求解． 【详解】解：作PM⊥AD于M，交BC于N． 则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形， ∴S△ADC＝S△ABC，S△AMP＝S△AEP，S△PBE＝S△PBN，S△PFD＝S△PDM，S△PFC＝S△PCN， ∴S△DFP＝S△PBE＝×3×8＝12， ∴S阴＝12＋12＝24， 故选：B． 【点睛】本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是证明S△PEB＝S△PFD． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 如下图，在平行四边形中，增加一个条件后，平行四边形就成为矩形，这个条件可以是___________ 【答案】(答案不唯一) 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定．需要知道及矩形的判定定理，比如有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形．本题从这两个判定角度去考虑添加条件． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， 若， 根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，此时平行四边形就成为矩形， 故答案为：． 14. 如图所示，方案1和方案2都是由2个电子元件和组成的电路系统，其中每个元件正常工作的概率均为，且每个元件能否正常工作互相不影响．当A到B的电路为通路状态时，系统正常工作，当A到B的电路为断路状态，系统不能正常工作．根据电路系统正常工作的概率，连接方案更稳定可靠的电路是方案________？（选填“一”或“二”）． 【答案】二 【解析】 【分析】先列举得到方案一和方案二的所有等可能的结果数与符合条件的结果数，再利用概率公式计算概率，再比较两个概率的大小即可． 【详解】解：设不能正常工作时表示为，， 方案一，从到的电路的所有可能结果为，，共4种等可能结果，其中电路系统正常工作有1种，所以方案一中电路系统正常工作的概率为， 方案二，从到的电路的所有可能结果为，，共4种等可能结果，其中电路系统正常工作有3种，所以方案二中电路系统正常工作的概率为， 方案二更稳定可靠． 故答案为：二． 15. 把方程化成的形式，则m的值是________． 【答案】3 【解析】 【详解】解： ， ， ， ， ∴． 16. 如图，在矩形中，，点E、F分别是边上的动点，连接，点G为的中点，点H为的中点，连接，则的最大值是______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理，通过三角形中位线定理进行转化是解题的关键．连接，先由勾股定理求得，则，再由三角形中位线定理得到，即可求解的最大值． 【详解】解：连接， ∵矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∵点G为的中点，点H为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴当点重合时，取得最大值为5， 故答案为：5． 三、解答题（本大题共8个小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 现要在关于x的一元二次方程中的“”内填入一个实数． （1）若“”内填入0，请求出方程的根； （2）在“”内填入一个合适的数，使此方程有两个相等的实数根，确定“”内的值及方程的根． 【答案】（1）， （2）“”内的值为1，方程的根 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法解方程即可； （2）设在“”内填入的数为m，利用判别式求出m的值，再解方程求出方程的根即可． 【小问1详解】 解：由题意得，原方程为， ∴， ∴或， 解得，； 【小问2详解】 解：设在“”内填入的数为m， 由题意得，， ∴， ∴原方程为， ∴， 解得． 18. 如图，在四边形中，，且，是的中点．下面是甲、乙两名同学得到的结论： 甲：若连接，则四边形是菱形； 乙：若连接，则是直角三角形． 请选择一名同学的结论给予证明． 【答案】 证明：选择甲：如图1， ∵，是的中点． ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； 选择乙：如图，连接、，交于， ∵，是的中点． ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴ ∴， ∴是直角三角形． 【解析】 【分析】选择甲：由，是的中点．得，从而得四边形是平行四边形，再根据，即可证明结论成立；选择乙：连接、，交于，分别证明四边形是平行四边形，四边形是菱形，得，，再根据平行线的性质及垂线定义即可得证． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了菱形、平行四边形的判定及性质、垂线定义、平行线的性质，熟练掌握菱形、平行四边形的判定及性质是解题的关键． 19. 在学习频率与概率时，小明与同伴一起做“同时抛掷2枚质地均匀的硬币”的试验，记录的试验结果如表所示： 抛掷次数 2枚正面都朝上的频数 2枚正面都朝上的频率（精确到0.001） （1）根据表中试验结果，估计“2枚硬币正面都朝上”的概率是_________；（精确到） （2）请你用列表或画树状图的方法解释（1）中的结论． 【答案】（1） （2） 解：列表如下， 正 反 正 正正 正反 反 反正 反反 共有4种等可能结果，其中“2枚硬币正面都朝上”，有1种， 因此“2枚硬币正面都朝上”的概率为． 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，列表法求概率．解题的关键在于明确：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率． （1）根据题意，用频率估计概率即可； （2）根据列表法求概率，即可求解． 【小问1详解】 解：由图表可知，估计“2枚硬币正面都朝上”的概率是， 故答案为：． 【小问2详解】 略 20. 【问题背景】 如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板上剪下机翼状纸板（阴影部分），点E在对角线上． 【数学理解】 （1）该机翼状纸板是由两个全等三角形组成，请写出的证明过程． （2）若裁剪过程中满足，求“机翼角”的度数． 【答案】（1） 证明：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定，等边对等角，三角形内角和定理，熟知相关知识是解题的关键． （1）由正方形的性质可得，据此可利用证明； （2）由正方形的性质可得，再由等边对等角和三角形内角和定理求出的度数即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 21. 在一块长16m、宽12m的矩形荒地上，小明要建造一个花园，并使花园所占的面积为荒地面积的一半，其中花园四周小路的宽度都相等，求小路的宽． 【答案】2m 【解析】 【分析】首先设小路宽为xm，根据题意列出关于x的一元二次方程，从而得出x的值． 【详解】解：设小路宽为xm，由于花园四周小路的宽度相等 则根据题意，可得（16-2x）（12-2x）=×16×12 即x2-14x+24=0, 解之得x=2或x=12 由于矩形荒地的宽是12m，故舍去x=12 答：花园四周小路宽为2m． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，利用题中的图形找到等量关系是解此题的关键． 22. 【动手实践】如图，将一个等腰三角形纸片沿图中虚线剪成四块图形，通过变换，将块图形进行拼接，恰能拼成一个既不重叠、又不留空隙的正方形或长方形（含拼接线）． 【观察发现】 （1）正方形的边长为________，长方形的长为________；（用含，的代数式表示） 【探索应用】 （2）若，求的值； （3）在的条件下，直接写出等腰三角形纸片的面积． 【答案】（1），； （2）； （3）． 【解析】 【分析】根据图形即可求解； 剪成的四块图形中梯形的高为，三角形较长直角边的长为，由剪拼后图形的面积不变，得，然后把代入即可求解； 把，代入即可求解． 【小问1详解】 解：由题图可得，拼成的正方形的边长为，长方形的长为， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：剪成的四块图形中梯形的高为，三角形较长直角边的长为， 由剪拼后图形的面积不变，得， 当时，， 整理得， 解得或（舍去）， 【小问3详解】 解：∵，， ∴等腰三角形纸片的面积． 23. 已知关于x的方程． （1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若，是方程的两根． ①当时，求m的值； ②直接写出代数式的最小值． 【答案】（1）将，整理得 ， ∴， 无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根 （2）①；②0 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式解答即可； （2）①把代入方程，即可求解；②利用一元二次方程根与系数的关系可得，，再代入，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①把代入方程，得， ． ②将，整理得 ∵，是方程的两根， ，， ∴， 所以代数式的最小值为0． 24. 如图，在中，，，，点E为边上一点（不与B点重合，但可与C点重合），连接． （1）利用直尺和圆规作，使点E、F位于的异侧（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下． ①求； ②四边形可以为菱形吗？若能，求其边长；若不能，说明理由！ ③四边形为矩形时，直接写出的长． 【答案】（1）如图：即为所求． （2）①；②四边形可以为菱形，菱形的边长为；③3和6． 【解析】 【分析】（1）以A为圆心，以为半径画弧；以D为圆心，以为半径画弧；两弧交于点F，连接，即可得到； （2）①如图：过E作于H，过A作于G，则四边形是矩形，即，利用平行四边形的性质、含30度直角三角形的性质以及勾股定理可得，易得，最后根据平行四边形的对角线将平行四边形分成面积相等的两部分即可解答；②如图：过E作于H，过A作于G，由①，利用菱形的性质、等腰三角形三线合一以及勾股定理求解即可；③如图：过E作于H，过A作于G，则四边形是矩形，即，，由①，，设，则，易得，，再利用矩形的性质以及勾股定理列方程求得x，进而求得的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①如图：过E作于H，过A作于G， ， ∵在中，， ∴， 则四边形是矩形，即， ∵在中，，，，， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴． ②四边形可以为菱形， 如图：过E作于H，过A作于G，由①， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴，即菱形的边长为； ③如图：过E作于H，过A作于G，则四边形是矩形，即，，由①，, 设，则， ∵， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴或， 当时，； 当时，，此时点E和点C重合，符合题意． 综上，的长为3和6． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期期末学情诊断测试 八年级数学试卷 考生注意：1．本试卷共4页，总分100分，考试时间90分钟； 2．请务必在答题纸上作答，写在试卷上的答案无效．考试结束，只收答题纸． 3．答卷前，请在答题纸上将姓名、班级、考场、座位号、准考证号填写清楚． 4．客观题答题，必须使用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净． 5．主观题答案须用黑色字迹钢笔、签字笔书写． 6．必须在答题纸上题号所对应的答题区域内作答，超出答题区域的书写，无效． 7．保持卷面清洁、完整．禁止对答题纸恶意折损，涂画，否则不能过扫描机器． 一、选择题（本大题共12个小题，每题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 关于x的一元二次方程化为一般形式为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，嘉嘉想将一张平行四边形纸片沿，剪下后得到一个，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 3. 不透明袋子中有若干个白球（）和灰球（），这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，灰球出现的频率如图所示，则该不透明袋子不可能是（ ）． A. B. C. D. 4. 如图，在四边形中，对角线与互相垂直平分，，则四边形的周长为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 5. 用公式法解方程时，得，则“”处应填（ ） A. 1 B. C. 2 D. 6. 如图，一把长为的梯子斜靠在墙上，当梯子的顶端沿墙下滑的过程中，梯子的中点C到墙角O的距离变化情况是（ ） A. 变大 B. 变小 C. 先变小再变大 D. 不变 7. 中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为步，根据题意可列方程为（　　） A. B. C. D. 2 8. 如图，正方形的边长为，的坐标为，平行于轴，则点的坐标为( ) A. B. C. D. 9. 已知甲方程为，乙方程为，则关于甲、乙两方程的解的情况，下列叙述正确的是（ ） A. 甲有两个不相等的解，乙无解 B. 甲、乙都有两个不相等的解 C. 甲有两个相等的解，乙无解 D. 甲有两个相等的解，乙有两个不相等的解 10. 直线l与正六边形的边分别相交于点M，N，如图所示，则（ ） A. B. C. D. 11. 如图是小丽与DeepSeek的对话截屏，DeepSeek在深度思考后，给出的正确答案是（ ） A. B. 1 C. D. 12. 如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于，，连接，，若，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 12 B. 24 C. 27 D. 54 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 如下图，在平行四边形中，增加一个条件后，平行四边形就成为矩形，这个条件可以是___________ 14. 如图所示，方案1和方案2都是由2个电子元件和组成的电路系统，其中每个元件正常工作的概率均为，且每个元件能否正常工作互相不影响．当A到B的电路为通路状态时，系统正常工作，当A到B的电路为断路状态，系统不能正常工作．根据电路系统正常工作的概率，连接方案更稳定可靠的电路是方案________？（选填“一”或“二”）． 15. 把方程化成的形式，则m的值是________． 16. 如图，在矩形中，，点E、F分别是边上的动点，连接，点G为的中点，点H为的中点，连接，则的最大值是______． 三、解答题（本大题共8个小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 现要在关于x的一元二次方程中的“”内填入一个实数． （1）若“”内填入0，请求出方程的根； （2）在“”内填入一个合适的数，使此方程有两个相等的实数根，确定“”内的值及方程的根． 18. 如图，在四边形中，，且，是的中点．下面是甲、乙两名同学得到的结论： 甲：若连接，则四边形是菱形； 乙：若连接，则是直角三角形． 请选择一名同学的结论给予证明． 19. 在学习频率与概率时，小明与同伴一起做“同时抛掷2枚质地均匀的硬币”的试验，记录的试验结果如表所示： 抛掷次数 2枚正面都朝上的频数 2枚正面都朝上的频率（精确到0.001） （1）根据表中试验结果，估计“2枚硬币正面都朝上”的概率是_________；（精确到） （2）请你用列表或画树状图的方法解释（1）中的结论． 20. 【问题背景】 如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板上剪下机翼状纸板（阴影部分），点E在对角线上． 【数学理解】 （1）该机翼状纸板是由两个全等三角形组成，请写出的证明过程． （2）若裁剪过程中满足，求“机翼角”的度数． 21. 在一块长16m、宽12m的矩形荒地上，小明要建造一个花园，并使花园所占的面积为荒地面积的一半，其中花园四周小路的宽度都相等，求小路的宽． 22. 【动手实践】如图，将一个等腰三角形纸片沿图中虚线剪成四块图形，通过变换，将块图形进行拼接，恰能拼成一个既不重叠、又不留空隙的正方形或长方形（含拼接线）． 【观察发现】 （1）正方形的边长为________，长方形的长为________；（用含，的代数式表示） 【探索应用】 （2）若，求的值； （3）在的条件下，直接写出等腰三角形纸片的面积． 23. 已知关于x的方程． （1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若，是方程的两根． ①当时，求m的值； ②直接写出代数式的最小值． 24. 如图，在中，，，，点E为边上一点（不与B点重合，但可与C点重合），连接． （1）利用直尺和圆规作，使点E、F位于的异侧（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下． ①求； ②四边形可以为菱形吗？若能，求其边长；若不能，说明理由！ ③四边形为矩形时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $