精品解析：河北省张家口市桥西区2024-2025学年八年级下学期7月期末数学试题

河北省张家口市桥西区2024-2025学年八年级下学期7月期末 数学试题 考生注意： 1．本试卷共4页，总分100分，考试时间90分钟． 2．请务必在答题纸上作答，写在试卷上的答案无效．考试结束，只收答题纸． 3．答卷前，请在答题纸上将姓名、班级、考场、座位号、准考证号填写清楚． 4．客观题答题，必须使用2B铅笔填凃，修改时用橡皮擦干净． 5．主观题答案须用黑色字迹钢笔、签字笔书写． 6．必须在答题纸上题号所对应的答题区域内作答，超出答题区域的书写，无效． 7．保持卷面清洁、完整．禁止对答题纸恶意折损，涂画，否则不能过扫描机器． 一、选择题（本大题共12个小题，每题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 2. 如图，四边形是平行四边形，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 3. 若和成反比例关系，当的值分别为时，的值如表所示，则表中的值是（　　） 3 2 A. B. C. 3 D. 2 4. 如图，在中，，点是的中点，，则的长是（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 10 5. 老师设计了一个接力游戏，用合作的方式解一元二次方程，规则是：每人只能看到前一人计算的结果，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后得到方程的解．部分过程如图所示，接力中，谁负责的一步开始出现错误（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 6. 如图，菱形中，为垂足．若，则菱形的周长是（　　） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 7. 如图，，反比例函数的图象经过对角线的交点，则的值为（　　） A. 3 B. 4 C. 6 D. 12 8. 证明：矩形的对角线相等． 已知：如图，在矩形中，连接，．求证：． 证明：四边形是矩形，，______． 又，，． 则“______”在处应该补充的证明过程是（ ） A. B. C. D. 9. 淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则（ ） A. 1 B. C. D. 1或 10. 如图，已知，，是正边形的三条边，在同一平面内，以为边在该正边形的外部作正方形．若，则的值为（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 11. 若是某个一元二次方程的一个根，则这个一元二次方程可以是（　　） A. B. C. D. 12. 如图，在中，平分，交边于点，过点作交的延长线于点，交于点，则图中一定是等腰三角形的有（　　） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 已知实数，是方程的两根，则_______． 14. 如图，在正方形的外侧作等边三角形，则的度数为______． 15. 如图，A、B两点在双曲线y＝上，分别经过A、B两点向坐标轴作垂线段，已知S阴影＝1，则S1+S2＝_____． 16. 如图，在平行四边形中，，，E是边延长线上一点，连接，以为边作等边三角形，连接，则的最小值是 ________________． 三、解答题（本大题共8个小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 嘉嘉解方程的过程如表所示． 解方程： 解：第一步 第二步 ， 第三步 （1）嘉嘉是用       填“配方法”“公式法”或“因式分解法”来求解的；从第      步开始出现错误； （2）请你用不同于（1）中的方法解该方程． 18. 如图，四边形中，，嘉嘉和琪琪分析所标数据．得到下面结论： 嘉嘉说：四边形是平行四边形； 琪琪说：是直角三角形． 谁的说法正确，请选择其中一人的说法进行说理． 19. 如图，小明想要用撬棍撬动一块大石头，已知阻力为，阻力臂长为．设动力为（单位：N），动力臂长为（单位：m）．（杠杆平衡时，动力动力臂=阻力阻力臂，撬棍本身所受的重力忽略不计） （1）求关于的函数表达式． （2）小明若想使动力不超过，在动力臂最大为的条件下，他能否撬动这块石头？请说明理由． 20. 如图，一次函数的图象与x轴交于点，与反比例函数（k为常数，）的图象在第一象限的部分交于点． （1）求m，n，k的值； （2）若C是反比例函数的图象在第一象限部分上的点，且的面积小于的面积，直接写出点C的横坐标a的取值范围． 21. 已知，是关于的方程的两个不相等的实数根． （1）求的取值范围． （2）若，且，都是整数，请直接写出符合条件的整数的值． 22. 情景： 现有一张锐角三角形纸片（如图1所示），，．嘉嘉经过一刀裁剪，拼成了一个无缝隙、无重叠的平行四边形（如图2所示）． 发现： 如图2，________，________； 操作： 将图1的三角形纸片经过两刀裁剪，拼成一个的无缝隙、无重叠的矩形，且使矩形的一条边落到上（可以与重合）． 探究： 通过计算确定矩形的周长． 23. 某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量（件）与每件售价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 每件售价/元 日销售量/件 （1）求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）该商品日销售额能否达到元？如果能，求出每件售价：如果不能，请说明理由． 24. 如图，矩形中，，动点E、F分别从点A，C同时出发，以相同的速度沿向终点B、D运动，过点E、F作直线，过点作直线的垂线，垂足为，连接． （1）当与重合时，四边形为_________（填菱形、矩形、正方形）； （2）当四边形为菱形时，求的长； （3）当是轴对称图形时，直接写出到的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北省张家口市桥西区2024-2025学年八年级下学期7月期末 数学试题 考生注意： 1．本试卷共4页，总分100分，考试时间90分钟． 2．请务必在答题纸上作答，写在试卷上的答案无效．考试结束，只收答题纸． 3．答卷前，请在答题纸上将姓名、班级、考场、座位号、准考证号填写清楚． 4．客观题答题，必须使用2B铅笔填凃，修改时用橡皮擦干净． 5．主观题答案须用黑色字迹钢笔、签字笔书写． 6．必须在答题纸上题号所对应的答题区域内作答，超出答题区域的书写，无效． 7．保持卷面清洁、完整．禁止对答题纸恶意折损，涂画，否则不能过扫描机器． 一、选择题（本大题共12个小题，每题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为0即可求解． 本题考查了一元二次方程的一般形式“一元二次方程的一般形式是，牢记定义是解题的关键． 【详解】解：原方程化为， 根据一元二次方程的定义可得二次项系数， 故选：C． 2. 如图，四边形是平行四边形，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，熟记平行四边形的各种性质是解题关键．根据平行四边形的对角相等即可解答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 3. 若和成反比例关系，当的值分别为时，的值如表所示，则表中的值是（　　） 3 2 A. B. C. 3 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了变量间成反比例关系，熟练掌握定义是解题的关键．根据反比例的定义，若和成反比例关系，则它们的乘积为定值，利用已知条件时，求出的值，再代入时的情况计算的值． 【详解】解：由反比例关系得：（为常数）， 当时，，代入得：， 当时，，代入关系式得：， 解得：， 因此，表中的值是， 故选：A． 4. 如图，在中，，点是的中点，，则的长是（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查直角三角形斜边中线的性质；熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半求解． 【详解】解：中，是的中点， ， 故选：B． 5. 老师设计了一个接力游戏，用合作的方式解一元二次方程，规则是：每人只能看到前一人计算的结果，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后得到方程的解．部分过程如图所示，接力中，谁负责的一步开始出现错误（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】A 【解析】 【分析】甲在进行计算时，方程两边同除，导致方程少了一个解，可得选项． 【详解】解：甲在解方程时，方程两边同除，导致少了一个解， 所以从甲开始就错了． 正确的解法为：移项得，分解因式得， 解之得或， 故选A 【点睛】本题考查一元二次方程的解法，注意同乘同除时式子是否为零是解题的关键． 6. 如图，菱形中，为垂足．若，则菱形的周长是（　　） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，含角的直角三角形的性质，根据菱形的性质可求出，根据含角的直角三角形的性质可求出的长度，最后根据菱形的性质即可求出其周长． 【详解】解：∵四边形是菱形， ， ， 又， ， ， ， ∴菱形的周长是， 故选：D． 7. 如图，，反比例函数的图象经过对角线的交点，则的值为（　　） A. 3 B. 4 C. 6 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质、中点坐标公式、求反比例函数的解析式．先根据中点坐标公式求得对角线的交点坐标，再待定系数法求k值即可． 【详解】解：如图，设对角线的交点为点，则， ， ， ∵反比例函数的图象经过点， ， 故选：C． 8. 证明：矩形的对角线相等． 已知：如图，在矩形中，连接，．求证：． 证明：四边形是矩形，，______． 又，，． 则“______”在处应该补充的证明过程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题目中的解答过程和可以证明，即可写出需要添加的条件． 【详解】证明：∵四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴． 则在“______”处应该补充的证明过程是， 故选：C． 【点睛】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质、解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 9. 淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则（ ） A. 1 B. C. D. 1或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解一元二次方程，熟练掌握知识点是解题的关键． 由题意得方程，利用公式法求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：或（舍） 故选：C． 10. 如图，已知，，是正边形的三条边，在同一平面内，以为边在该正边形的外部作正方形．若，则的值为（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是正多边形的性质，正多边形的外角和，先求解正多边形的1个内角度数，得到正多边形的1个外角度数，再结合外角和可得答案. 【详解】解：∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∴正边形的一个外角为， ∴的值为； 故选A 11. 若是某个一元二次方程的一个根，则这个一元二次方程可以是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，熟记求根公式是解本题的关键． 根据一元二次方程求根公式，对照得出一元二次方程的字母系数即可得出答案． 【详解】解：∵一元二次方程的根为， ∵是用公式法解一元二次方程得到的一个根， ∴可以为：， ∴满足要求的方程为：， 故选：A． 12. 如图，在中，平分，交边于点，过点作交的延长线于点，交于点，则图中一定是等腰三角形的有（　　） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，角平分线的定义，平行四边形的性质，先由平行线的性质得到，，再由角平分线的定义推出，进而由三线合一定理推出，据此可得答案． 【详解】解：∵在中，，， ，， 平分， ， ， ∴，即是等腰三角形； ， ， ， ∴，即是等腰三角形；，即是等腰三角形；，即是等腰三角形； ∴共有四个等腰三角形．分别是， 故选：B． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 已知实数，是方程的两根，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程的两根之积求解． 【详解】解：， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在正方形的外侧作等边三角形，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形性质得出，，根据等边三角形性质得出，，推出，，根据等腰三角形性质得出，根据三角形的内角和定理求出即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴的度数为． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理． 15. 如图，A、B两点在双曲线y＝上，分别经过A、B两点向坐标轴作垂线段，已知S阴影＝1，则S1+S2＝_____． 【答案】6． 【解析】 【分析】根据题意，想要求S1+S2，只要求出过A、B两点向x轴、y轴作垂线段与坐标轴所构成的矩形的面积即可，而矩形的面积为双曲线y＝的系数k，由此即可求解． 【详解】∵点A、B是双曲线y＝上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段， 则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于|k|＝4， ∴S1+S2＝4+4﹣1×2＝6． 故答案为6． 【点睛】本题主要考查反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是熟练掌握根据反比例函数系数k的几何意义求出矩形的面积． 16. 如图，在平行四边形中，，，E是边延长线上一点，连接，以为边作等边三角形，连接，则的最小值是 ________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定及性质、全等三角形的性质，先作辅助线，根据勾股定理和平行四边形的性质得到线段的长度，证明出四边形为平行四边形，再根据三角形全等得到对应边相等，再根据垂线段最短得到最小值，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：延长，在的延长线上截取，连接，过点G作于点H，过点C作交的延长线于点M，如图所示： ， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当最小时，最小， ∵垂线段最短， ∴当点E与点H重合时，最小，此时， ∴最小值为， 故答案为： ． 三、解答题（本大题共8个小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 嘉嘉解方程的过程如表所示． 解方程： 解：第一步 第二步 ， 第三步 （1）嘉嘉是用       填“配方法”“公式法”或“因式分解法”来求解的；从第      步开始出现错误； （2）请你用不同于（1）中的方法解该方程． 【答案】（1）配方法，二 （2） 解：， ， 则或， 解得，． 【解析】 【分析】（1）根据配方法解一元二次方程的步骤求解即可； （2）利用十字相乘将方程的左边因式分解，继而得出两个关于的一元一次方程，再进一步求解即可． 【小问1详解】 解：嘉嘉是用配方法来求解的；从第二步开始出现错误； 故答案为：配方法，二； 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法． 18. 如图，四边形中，，嘉嘉和琪琪分析所标数据．得到下面结论： 嘉嘉说：四边形是平行四边形； 琪琪说：是直角三角形． 谁的说法正确，请选择其中一人的说法进行说理． 【答案】详见解析 【解析】 【分析】本题主要考查直角三角形的判定和平行四边形的判定，根据得出，从而得出四边形的边长和的长，从而可判断出四边形是平行四边形及是直角三角形． 【详解】解：两人的说法都正确： ， ，解得， ， ， 四边形ABCD是平行四边形， 嘉嘉的说法正确； ， ，解得， ， 在中， ， ， 为直角三角形， 琪琪的说法正确． 19. 如图，小明想要用撬棍撬动一块大石头，已知阻力为，阻力臂长为．设动力为（单位：N），动力臂长为（单位：m）．（杠杆平衡时，动力动力臂=阻力阻力臂，撬棍本身所受的重力忽略不计） （1）求关于的函数表达式． （2）小明若想使动力不超过，在动力臂最大为的条件下，他能否撬动这块石头？请说明理由． 【答案】（1） （2）不能，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，正确得出y与x之间的关系是解题关键． （1）根据动力动力臂阻力阻力臂，即可得出y关于x的函数表达式； （2）根据以及（1）中所求解析式，可得出y的范围，进而与300进行比较即可求解． 【小问1详解】 解：由题意可得：，则， 所以关于的函数表达式为； 【小问2详解】 解：不能撬动，理由如下： ， ， ， ， 不能撬动这块石头． 20. 如图，一次函数的图象与x轴交于点，与反比例函数（k为常数，）的图象在第一象限的部分交于点． （1）求m，n，k的值； （2）若C是反比例函数的图象在第一象限部分上的点，且的面积小于的面积，直接写出点C的横坐标a的取值范围． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键． （1）把点坐标代入求出，得到直线解析式，再把点坐标代入直线解析式求出，把点坐标代入反比例函数解析式求出值即可； （2）根据题意，列出不等式，解答即可． 【小问1详解】 解：把点坐标代入得：， 解得， 直线解析式为， 把点坐标代入直线解析式得， 解得， 把点坐标代入反比例函数解析式得：， 解得， 【小问2详解】 ∵ 反比例函数解析式为， 的面积小于的面积， ，即， 点在反比例函数图象上，且在第一象限， ， ． 21. 已知，是关于的方程的两个不相等的实数根． （1）求的取值范围． （2）若，且，都是整数，请直接写出符合条件的整数的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了已知一元二次方程根的情况求参数的取值范围，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． （1）根据一元二次方程根的判别式可得，然后进行求解即可； （2）根据（1）中得出的的取值范围，得出整数的值为，分别求出方程的解，即可解答． 【小问1详解】 解：根据题意得，， ， ． 【小问2详解】 解：， ， 是整数， ∴整数的值为， 当时，方程为， 解得：，符合题意． 当时，，此时方程解不为整数． 当时，方程为，此时方程解不为整数． 当时，方程为， 解得：，符合题意． 综上所述，的值为2或5． 22. 情景： 现有一张锐角三角形纸片（如图1所示），，．嘉嘉经过一刀裁剪，拼成了一个无缝隙、无重叠的平行四边形（如图2所示）． 发现： 如图2，________，________； 操作： 将图1的三角形纸片经过两刀裁剪，拼成一个的无缝隙、无重叠的矩形，且使矩形的一条边落到上（可以与重合）． 探究： 通过计算确定矩形的周长． 【答案】发现：4，24；操作：见解析；探究：或 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质和判定定理，三角形面积公式，正确理解裁剪拼接过程是解题关键． 发现：根据裁剪过程图形的面积不变，即可求解； 操作：方案一：先取边的中点D，Q，沿的方向剪，然后再点D沿垂直的方向剪，然后拼成一个的无缝隙、无重叠的矩形；方案二：先取边的中点P，Q，沿的方向剪，然后再的中线的方向剪，然后拼成一个的无缝隙、无重叠的矩形；方案三：分别在边的中点P，Q，沿垂直的方向剪，然后拼成一个的无缝隙、无重叠的矩形； 探究：根据矩形的性质以及平行线间的距离解答即可． 【详解】解：发现：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴点A与点C，点D与点F，点E与点E是对应顶点， ∴， ； 故答案为：4；24 操作：如图所示 方案一：先取边的中点D，Q，沿的方向剪，然后再点D沿垂直的方向剪，然后拼成一个的无缝隙、无重叠的矩形； 方案二：先取边的中点P，Q，沿的方向剪，然后再的中线的方向剪，然后拼成一个的无缝隙、无重叠的矩形； 方案三：分别在边的中点P，Q，沿垂直的方向剪，然后拼成一个的无缝隙、无重叠的矩形， 如图，方案一：过点A作于点M，交于点N，设交于点P， ∵，， ∴， ∴， 由发现得：四边形是平行四边形，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 此时方案一：矩形的周长为； 同理方案二：矩形的周长为； 方案三：由操作方法得：， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， 过点A作于点M，则， ∴矩形的周长． 综上所述，矩形的周长为或． 23. 某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量（件）与每件售价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 每件售价/元 日销售量/件 （1）求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）该商品日销售额能否达到元？如果能，求出每件售价：如果不能，请说明理由． 【答案】（1）； （2） 该商品日销售额不能达到元，理由如下： 依题意得， 整理得， ∴， ∴该商品日销售额不能达到元． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出与之间的函数表达式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）根据表格中的数据，利用待定系数法即可求出与之间的函数表达式； （2）利用销售额每件售价销售量，即可得出关于的一元二次方程，利用根与系数的关系求解即可． 【小问1详解】 解：设与之间的函数表达式为， 将，代入得 ， 解得， 与之间的函数表达式为； 【小问2详解】 略 24. 如图，矩形中，，动点E、F分别从点A，C同时出发，以相同的速度沿向终点B、D运动，过点E、F作直线，过点作直线的垂线，垂足为，连接． （1）当与重合时，四边形为_________（填菱形、矩形、正方形）； （2）当四边形为菱形时，求的长； （3）当是轴对称图形时，直接写出到的距离． 【答案】（1）矩形 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的判定，菱形的性质和轴对称的性质，熟练运用相关知识是解答本题的关键． （1）先判断，再运用矩形的判定定理：有三个角是直角的四边形是矩形进行判断即可； （2）根据菱形的性质设，则在中由勾股定理列方程求解即可； （3）分点在矩形内部和外部两种情况讨论求解即可． 【小问1详解】 解：如图， 当与重合时，即点与点重合， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形为矩形， 故答案为：矩形； 【小问2详解】 解：如图，当四边形为菱形时，则, 设，则， 在中，， ∵， ∴， 解得：， 即； 【小问3详解】 解：①当点在矩形外部时，如图： 设，则， ∵四边形是矩形， ， 过点作于点，则， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； ∵是轴对称图形，且， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 解得：，即， 又是等腰直角三角形， 所以，到的距离为； 当点在矩形内部时，如图： 设，则， 过点作,垂足为点，则， 同理可得四边形， ∴；， ∴； ∵是轴对称图形，且， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 解得：， 即， 又是等腰直角三角形， 所以，到的距离为； 综上，到的距离为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $