第3讲 数阵与幻方——数字的巧妙排列（讲义）-2025-2026学年四年级下册数学人教版

【人教版】小学四年级下册奥数培优讲义·第3讲 数阵与幻方——数字的巧妙排列前言 教学目标与学情分析 数阵与幻方就是数学之美的绝佳体现——把数字按照特定规律填入图形中，使每行、每列、每条线上的数字之和都相等，仿佛数字在跳着整齐的舞蹈，却藏着无穷的变化与智慧。 本讲我们将学习辐射型、封闭型、复合型三类数阵，以及幻方的基本构造方法，掌握"整体求和、找突破口、枚举排除"三大核心技巧，培养观察力、计算能力和逻辑推理能力。 罗素说：数学，如果正确地看，不但拥有真理，而且也具有至高的美。让我们一起探索数字排列的奥秘，感受数学的和谐之美！ 三维教学目标 · 知识与技能： · 理解数阵与幻方的概念；掌握辐射型、封闭型、复合型数阵的解题方法；能构造简单的幻方；学会用整体求和法解决数阵问题。 · 过程与方法： · 通过观察、计算、推理，掌握数阵问题的一般解题思路；培养整体思维、有序思考和逻辑推理能力。 · 情感态度与价值观： · 感受数阵幻方的趣味性与数学美，培养耐心细致、勇于探索的学习品质，提升数学学习兴趣。 教学重难点 · 重点： · 整体求和法（计算重叠数）；辐射型与封闭型数阵的基本解法；幻方的构造规律。 · 难点： · 复合型数阵的多条件分析；特殊数阵（不相邻、立方体等）的推理；多个重叠数的处理。 【高频易错总提示】 1.忘记重叠数：数阵中有些位置的数被多条线共用，计算总和时要注意重复计算的次数； 2.验算不完整：只验算一条线，没有把所有线都检查一遍； 3.数字重复使用：题目说“填入1～n”时，每个数字只能用一次，不能重复； 4.忽略图形对称性：对称位置的数字往往有互补关系，不会利用对称性会走很多弯路； 5.枚举不全面：有多种可能时，只试了一种就下结论，漏掉其他可能。 📚一、知识点总结 （一）什么是数阵与幻方 数阵：将一些数按照一定的要求，填入特定图形的空格中，使图形中某些线上的数字之和（或积）相等的数字谜题。 幻方：一种特殊的数阵，在n×n的方格中填入1～n²的自然数，使每行、每列、每条对角线上的数字之和都相等，这个相等的和叫做"幻和"。 （二）数阵的三大类型 1. 辐射型数阵 特点：从一个中心出发，向外辐射出几条线，中心数是重叠数，被多次计算。 关键：先确定中心数，再确定每条线上的和。 示例：十字形、三角形辐射、五角星等。 2. 封闭型数阵 特点：数字填在封闭图形的顶点或边上，每个顶点数属于两条边，被计算两次。 关键：利用"各边和×边数 = 数字总和 + 顶点数之和"的关系求解。 示例：三角形、四边形、六边形等封闭图形。 3. 复合型数阵 特点：既有辐射型又有封闭型的特点，或者有多个条件需要同时满足。 关键：分步解决，先满足一个条件，再调整满足其他条件。 （三）幻方的基本知识 名称 阶数 数字范围 幻和 中心数 三阶幻方 3×3 1～9 15 5 四阶幻方 4×4 1～16 34 无（偶数阶） 幻和公式：n阶幻方的幻和 = n×(n²+1)÷2 中心数公式：奇数阶幻方，中心数 = 幻和÷n 小知识：洛书——世界上最早的幻方 中国古代传说中，大禹治水时，洛水里浮出一只神龟，背上有一幅图案，就是著名的"洛书"。 洛书其实就是一个三阶幻方： 4 9 2 3 5 7 8 1 6 每行、每列、每条对角线的和都是15。这是世界上最早的幻方，比西方早了一千多年！ （四）四大核心解题方法 1. 整体求和法（最核心、最常用） 先算出所有要填的数字的总和，再算出各条线上的和的总和，两者的差就是重叠数被多算的部分，从而求出重叠数。 公式：各线和总和 - 数字总和 = 重叠数×(重复次数-1) 2. 找突破口法 从数字最多、限制最严的地方入手，先确定某些位置的数字，再逐步推理其他位置。 3. 枚举排除法 当某个位置有几种可能时，把所有可能列出来，逐一尝试，排除不符合条件的。 4. 对称分析法 利用图形的对称性，对称位置的数字往往有某种对应关系（如和相等、互补等）。 （五）通用解题四步法（速记：算→定→填→验） 算总和：计算所有要填数字的总和，以及各条线的和的总和； 定关键：通过对比，求出重叠数或关键位置的数字； 逐步填：从确定的数字出发，逐步推理、尝试，填出其他数字； 全验算：填完后检查每条线的和是否都相等，是否满足所有条件。 【小技巧集锦】 辐射型数阵：先算中心数，再配对 封闭型数阵：顶点数是关键，先求顶点和 有图的题：先数清楚每个位置被几条线共用 数字不重复：用完一个划掉一个，避免重复 🌟二、经典例题 标注说明：★基础 / ★★提升 / ★★★拔高 / ★★★★挑战 【例1 辐射型数阵——质数配对】★基础 【题目】 把20以内的质数分别填入下图的○中，使得图中用箭头连接起来的四个数之和都相等。 （图形说明：左右两端各有一个○，中间有三行，每行两个○，用箭头从左到右连接，形成三条线，每条线四个数，共8个○） 【解题思路】 三组数都包括左右两端的数，所以每组中间两数之和必然相等。先找出20以内的所有质数，再从中找出两两之和相等的三组。 【完整解析】 1. 列出20以内的质数： 2、3、5、7、11、13、17、19，共8个质数。 2. 分析图形特点： 三条线，每条线四个数，左右两端的数是公共的。 设左端数为a，右端数为b，中间三对数字分别为(c,d)、(e,f)、(g,h)。 每条线的和 = a + 中间两数 + b，都相等。 所以中间三对数字的和必须相等。 3. 找出和相等的三对： 从8个质数中去掉两个端点，剩下6个分成三对，每对和相等。 尝试发现：5+19=24，7+17=24，11+13=24 ✓ 正好三对，和都是24！ 剩下的质数是2和3，作为左右两端。 4. 确定填法： 左端填2，右端填3（或反过来），中间三对分别是(5,19)、(7,17)、(11,13)，顺序可以互换。 每条线的和 = 2 + 24 + 3 = 29。 5. 验证： 第一条线：2+5+19+3=29 ✓ 第二条线：2+7+17+3=29 ✓ 第三条线：2+11+13+3=29 ✓ 三条线和相等 ✓ 8个质数都用上了，没有重复 ✓ 答：左右两端填2和3，中间三对分别是5与19、7与17、11与13，每条线和为29。 【随堂小练1】 将1～6这六个数分别填入三角形数阵的六个○内（三个顶点+三条边中点），使得每条边上三个数字的和都相等。 小练答案：三个顶点填1、2、3，对应边中点填6、4、5，每条边和为9（答案不唯一）。 【方法总结】 辐射型数阵解题技巧： 1. 先找重叠数：中心数被几条线共用，就被计算几次 2. 算总和对比：各线和总和 - 数字总和 = 重叠数 × (重复次数-1) 3. 配对法：剩下的数配成对，每对和相等 4. 最后验算：每条线都要检查一遍 【例2 四阶对角线拉丁方 —— 对称构造】★★提升 【题目】 在4×4的每个方格中填入一个数字，使得每行、每列以及每条对角线上的方格中的四个数字都是1，2，3，4。 1 2 3 4 2 【解题思路】 这是一个特殊四阶拉丁方问题（每行每列都是1-4不重复），还要加上对角线的条件。普通拉丁方只要求每行、每列数字不重复；本题额外增加两条对角线约束，属于特殊拉丁方。从限制最多的位置入手，逐步推理，或用对称构造法。 【完整解析】 1. 理解题意： 4×4方格，填入1、2、3、4，要求： 每行四个数字都是1、2、3、4（不重复） 每列四个数字都是1、2、3、4（不重复） 每条对角线上四个数字也是1、2、3、4（不重复） 2. 对称构造法： 第一行： 1 2 3 4 （按顺序填） 第二行： 3 4 1 2（前两位交换，后两位交换） 第三行： 4 3 2 1（倒序填） 第四行： 2 1 4 3（前两位交换，后两位交换） 3. 验证行： 每行都有1、2、3、4 ✓ 4. 验证列： 第一列：1、3、4、2→ 1、2、3、4 ✓ 第二列：2、4、3、1 → 1、2、3、4 ✓ 第三列：3、1、2、4 → 1、2、3、4 ✓ 第四列：4、2、1、3 → 1、2、3、4 ✓ 5. 验证对角线： 左上到右下：1、4、2、3 → 1、2、3、4 ✓ 右上到左下：4、1、3、2 → 1、2、3、4 ✓ 5. 最终答案： 1 2 3 4 3 4 1 2 4 3 2 1 2 1 4 3 6.说明： 这只是其中一种填法，答案不唯一。用不同的对称方式还能构造出其他解。 答：一种填法如上，每行、每列、每条对角线都是1、2、3、4各一个。 【随堂小练2】 在3×3的方格中填入1、2、3，使得每行、每列都有1、2、3各一个。 （提示：第一行1 2 3，第二行2 3 1，第三行3 1 2） 小练答案： 1 2 3 2 3 1 3 1 2 验算：每行每列都有1、2、3 ✓（答案不唯一） 方法总结 拉丁方解题技巧： 1. 对称构造法：利用倒序、交换等对称方式，快速构造出解 2. 逐行逐列排除：已经出现的数字不能再出现，逐步缩小范围 3. 答案不唯一：拉丁方通常有多个解，只要符合条件都正确 4. 对角线是加分项：有对角线要求的拉丁方更难，也更有趣 【例3 不相邻数阵——8字形填数】★★提升 【题目】 将1～8填入下图的○内，要求按照自然数顺序相邻的两个数不能填入有直线连接的相邻的两个○内。 （图形说明：两个并排的正方形，共用一条边，形成"8"字形，共8个○） 【解题思路】 1和8是两个端点，各只有一个相邻数（2和7），所以它们应该填在相邻位置最少的地方。中间两个位置比较特殊，各自只与一个○不相邻，正好适合填1和8。 【完整解析】 1. 分析数字特点： 1只有一个相邻数（2），8只有一个相邻数（7）。 2～7每个数都有两个相邻数（如2的邻居是1和3）。 2. 分析图形特点： 中间的两个○位置最特殊——它们除了彼此之间没有连线外，与其余六个○都有直线相连。也就是说，它们“不能相邻”的对手各只有1个，恰好适合放置只有1个“数字邻居”的1和8。 所以中间两个○最适合填1和8。 3. 确定中间两个数： 左边中间填1，右边中间填8（或反过来）。 4. 填2和7： 2只能填在与1不相邻的那个○内（因为2和1是相邻数，不能相邻）。 7只能填在与8不相邻的那个○内。 5. 填剩余数字： 剩下的数字是3、4、5、6，填入剩下的四个○。 注意：3不能与2相邻，4不能与3和5相邻，5不能与4和6相邻，6不能与5和7相邻。 按照规则逐步填入即可。 6. 核心结论： 中间两个○填1和8，2填在与1不相邻的位置，7填在与8不相邻的位置，其余数字按不相邻规则填入。 答：中间两个○填1和8，其余数字按相邻自然数不相邻的规则填入。 方法总结 不相邻数阵解题技巧： 1. 找特殊数字：只有一个相邻数的数字（如1和n）是突破口 2. 找特殊位置：相邻位置最少的地方放特殊数字 3. 从大到小或从小到大填：按顺序一个一个填，每次检查不相邻 4. 灵活调整：填不下去了就换换位置，多试几次 🚀三、拓展例题 标注说明：★★★拔高 / ★★★★挑战 【拓展1 封闭型数阵——三角形质数】★★★拔高 【题目】 在下图的六个○内各填入一个质数（可取相同的质数），使它们的和等于20，而且每个三角形（共5个）顶点上的数字之和都相等。 （图形说明：一个大三角形，每条边中点各有一个○，内部有一个倒三角形，连接各边中点，形成6个○：三个顶点+三个中点） 【解题思路】 六个○的和是20。大三角形三个顶点 + 倒三角形三个顶点 = 六个○。每个三角形顶点和相等，设为S。大三角形和倒三角形的和加起来 = 2S = 六个数总和 = 20，所以S=10。每个三角形三个顶点都是质数，和为10，找出三个质数和为10的组合。 【完整解析】 1. 分析图形： 六个○，组成5个三角形（3个角上的小三角形 + 1个倒三角形 + 1个大三角形）。 大三角形的三个顶点 + 倒三角形的三个顶点 = 全部六个○。 2. 求每个三角形的和S： 大三角形三个顶点和 = S 倒三角形三个顶点和 = S 六个数总和 = 大三角形和 + 倒三角形和 = S + S = 2S 已知六个数和为20，所以2S=20 → S=10。 3. 找出和为10的三个质数： 质数：2、3、5、7、11... 三个质数和为10： 2+3+5=10 ✓ （唯一组合，不考虑顺序和重复） 4. 分析五个三角形： 除了大三角形和倒三角形，还有3个小三角形（在大三角形的三个角上）。 每个小三角形包括：大三角形的一个顶点 + 倒三角形的两个顶点。 所以：大三角形每个顶点 + 倒三角形两个相邻顶点 = 10。 5. 构造填法： 设大三角形顶点为a、b、c（2、3、5各一个），倒三角形顶点为d、e、f（2、3、5各一个）。 a+d+e=10，b+e+f=10，c+f+d=10 取a=2，b=3，c=5： 2+d+e=10 → d+e=8 → d=3,e=5（3+5=8） 3+e+f=10 → e+f=7 → e=5,f=2（5+2=7） 验证：c+f+d=5+2+3=10 ✓ 所以d=3，e=5，f=2。 6. 验证所有三角形： 大三角形：2+3+5=10 ✓ 倒三角形：3+5+2=10 ✓ 小三角形1：2+3+5=10 ✓ 小三角形2：3+5+2=10 ✓ 小三角形3：5+2+3=10 ✓ 六个数总和：2+3+5+3+5+2=20 ✓ 都是质数 ✓ 答：大三角形三个顶点填2、3、5，倒三角形三个顶点对应填3、5、2，每个三角形和为10。 方法总结 封闭型数阵解题技巧： 1. 顶点数是关键：顶点数被两条边共用，计算时要注意 2. 整体求和法：各边和总和 = 数字总和 + 顶点数之和 3. 先求顶点和：通过整体关系先求出顶点数的和 4. 枚举验证：顶点和确定后，枚举可能的顶点组合 【拓展2 立方体数阵——面和相等】★★★拔高 【题目】 在右图所示立方体的八个顶点上标出1～9中的八个，使得每个面上四个顶点所标数字之和都等于k，并且k不能被未标出的数整除。 （图形说明：一个立方体，八个顶点各有一个○） 【解题思路】 设未标出的数为a，先求被标出的八个数之和。每个顶点属于三个面，六个面的总和 = 3×八个数之和 = 6k，从而建立关系，找出a和k。 【完整解析】 1. 设未知数： 设未被标出的数为a，则被标出的八个数之和 = (1+2+...+9) - a = 45 - a。 2. 建立面和关系： 立方体有6个面，每个面4个顶点，每个顶点属于3个面。 所以六个面的数字总和 = 3×八个数之和 = 3×(45-a)。 又因为每个面的和都是k，六个面总和 = 6k。 所以：6k = 3×(45-a) 化简：2k = 45 - a 3. 分析奇偶性： 2k是偶数，所以45-a也必须是偶数。 45是奇数，奇数-奇数=偶数，所以a必须是奇数。 1～9中的奇数：1、3、5、7、9。 4. 逐一验证： 若a=1，则2k=44 → k=22。22能被1整除（任何数都能被1整除），不符合条件，排除。 若a=3，则2k=42 → k=21。21÷3=7，能整除，排除。 若a=5，则2k=40 → k=20。20÷5=4，能整除，排除。 若a=7，则2k=38 → k=19。19÷7≈2.71，不能整除 ✓ 符合条件！ 若a=9，则2k=36 → k=18。18÷9=2，能整除，排除。 5. 结论： 未标出的数a=7，每个面的和k=19。 标出的八个数是：1、2、3、4、5、6、8、9（去掉7）。 6. 构造填法思路： 9是最大的数，与9在一个面上的另外三个数和=19-9=10。 在1、2、3、4、5、6、8中，三个数和为10的组合有三组： 10 = 1+3+6 10 = 1+4+5 10 = 2+3+5 将这三组数分别填入9所在的三个面上，合理安排公共顶点即可（如下图）。 答：未标出的数是7，每个面的和k=19。 方法总结 立方体数阵解题技巧： 1. 数清楚每个顶点属于几个面：立方体每个顶点属于3个面 2. 建立整体关系：面和总和 = 每个顶点被计算次数 × 数字总和 3. 奇偶性分析：利用奇偶性快速缩小范围 4. 逐一验证：范围缩小后，每个情况都试一遍 ✏️四、基本练习 1. 【封闭型三角形数阵】 ★基础 将1～6这六个数分别填入三角形数阵的六个○内（三个顶点+三条边中点），使得每条边上三个数字的和都相等。 2.【复合型数阵】 ★★提升 将1～8这八个数分别填入3×3去掉中心的八个方格内（形成环形），使上面四格、下面四格、左边四格、右边四格、中间四格及四角四格内四个数相加的和都是18。 3.【四阶拉丁方】 ★★提升 在4×4的每个方格中填入一个数字，使得每行、每列以及每条对角线上的方格中的四个数都是1，2，3，4。 1 2 2 3 4 ✏️五、拓展练习 1. 【不相邻数阵】 ★★★拔高 将1～8填入2×4的八个空格中，使得横、竖任何两个相邻空格中的数都不是相邻的两个自然数。 2. ★★★拔高 20以内共有10个奇数，去掉9和15还剩八个奇数。将这八个奇数填入辐射型数阵的八个○中（其中3已填好在左端），使得用箭头连接起来的四个数之和都相等。 📝六、基本练习完整分步答案 第1题 题型：封闭型三角形数阵 解析： 1. 计算总和：1+2+3+4+5+6=21。 2. 设未知数：设每条边和为S，三个顶点数分别为a、b、c。 3. 建立关系：三条边总和 = 3S = 数字总和 + 顶点数之和 = 21 + (a+b+c)。 所以21 + (a+b+c) 必须是3的倍数，即a+b+c必须是3的倍数。 4. 构造一种填法（顶点和=6，S=9）： 顶点：1、2、3（和=6） 边1-2中点：9-1-2=6 边2-3中点：9-2-3=4 边3-1中点：9-3-1=5 5. 验证： 1+6+2=9 ✓ 2+4+3=9 ✓ 3+5+1=9 ✓ 数字不重复 ✓ 答：一种填法：三个顶点填1、2、3，对应边中点填6、4、5，每条边和为9（答案不唯一，见下图）。 第2题 题型：复合型数阵（环形） 解析： 1. 数字总和：1+2+3+4+5+6+7+8=36。 2. 分析条件： 上面四格+下面四格 = 全部8格 = 36，所以每部分和=18，正好符合。 左边四格+右边四格 = 全部8格 = 36，每部分和=18，也符合。 中间四格+四角四格 = 全部8格 = 36，各=18，也符合。 3. 构造填法（3×3去掉中心）： 4. 验证： 上面四格：8+3+1+6=18 ✓（上边4个） 下面四格：5+2+4+7=18 ✓（下边4个） 左边四格：8+5+1+4=18 ✓（左边4个） 右边四格：3+2+6+7=18 ✓（右边4个） 中间四格：1+6+4+7=18 ✓（中间4个） 左上右下对角线四格：8+1+7+2=18 ✓ 右上左下对角线四格：3+6+4+5=18 ✓ 答：一种填法如上，各区域和均为18（答案不唯一）。 第3题 题型：四阶拉丁方 解析：必须先满足题目中已给数字，参考例2的对称构造法。 1.一种填法： 1 3 4 2 4 2 1 3 2 4 3 1 3 1 2 4 2.验证： 每行：都有1、2、3、4 ✓ 每列：每列都有1、2、3、4 ✓ 对角线：两条对角线都有1、2、3、4 ✓ 答：一种填法如上（答案不唯一）。 📝七、拓展练习完整分步答案 拓展1 题型：不相邻数阵 【题目】：1～8填入2×4八个空格，横、竖相邻的数都不是相邻自然数。 解析： 1. 分析：1只有一个邻居2，8只有一个邻居7，它们适合放在角落（相邻位置少）。 2. 构造一种填法： 1 3 5 7 4 6 8 2 3. 验证： 横向：1-3（差2）、3-5（差2）、5-7（差2）；4-6（差2）、6-8（差2）、8-2（差6），均不相邻✓ 竖向：1-4（差3）、3-6（差3）、5-8（差3）、7-2（差5），均不相邻 ✓。 答：一种填法如上（答案不唯一）。 拓展2 题型：辐射型数阵 【题目】：20以内八个奇数（去掉9和15）填入八个○，3已填好在左端，箭头连接的四数和相等。 解析： 1. 八个奇数：1、3、5、7、11、13、17、19（去掉9、15）。 2. 图形特点：三条线，每条线四个数，左右两端公共，中间三对。 3. 设未知数：左端=3（已知），右端=b，中间每对和为S。 每条线和 = 3 + b + S。 八个数总和 = 3 + b + 3S = 1+3+5+7+11+13+17+19 = 76。 所以 b + 3S = 73。 4. 找三对和相等的数： 从剩下的数中去掉b，六个数分成三对，每对和相等。 尝试：1+17=18，5+13=18，7+11=18 ✓ 三对，和为18！ 剩下的数是3和19，所以b=19。 5. 验证： 每条线和 = 3 + 19 + 18 = 40。 第一条：3+1+17+19=40 ✓ 第二条：3+5+13+19=40 ✓ 第三条：3+7+11+19=40 ✓ 答：右端填19，中间三对分别是1与17、5与13、7与11，每条线和为40。 📋八、本讲总结（思维导图速记） 🗺️ 知识地图 📋 核心公式速查表 类型 关键公式/规律 辐射型数阵 各线和总和 - 数字总和 = 重叠数 × (重复次数-1) 封闭型数阵 各边和总和 = 数字总和 + 顶点数之和 标准幻方 幻和 = n × (n² + 1) ÷ 2 奇数阶幻方 中心数 = 幻和 ÷ n 幻方对称性 对称位置两数和 = 中心数 × 2 ⚠️ 避坑清单 1. ❌ 忘记重叠数 → 先数清楚每个位置被计算几次 2. ❌ 验算不完整 → 每条线都要检查一遍 3. ❌ 数字重复使用 → 用掉一个划掉一个 4. ❌ 忽略对称性 → 对称位置往往有互补关系 5. ❌ 枚举不全面 → 有多种可能时每种都要试 6. ❌ 幻方公式乱用 → 幻和公式只适用于1～n²的标准幻方 💡 解题小口诀 数阵解题歌： 拿到数阵不要慌，先看图形啥形状； 辐射先算中心数，封闭先把顶点想； 整体求和是法宝，重叠次数要数好； 填完一定要验算，每条线都查一遭。 学科网（北京）股份有限公司 $