精品解析：湖南邵阳市新邵县2025－2026学年下学期八年级期末质量检测数学

2026年上期八年级期末质量检测 数学 （温馨提示：本试卷共三个大题，总分120分，考试时量120分钟） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 将点向左平移1个单位，得到的点的坐标是（） A. B. C. D. 3. 如图，，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 在圆的周长公式中，下列关于变量、常量的说法正确的是（    ） A. 均是变量，是常量 B. 是变量，2、 是常量 C. 和均是变量，2和是常量 D. 是变量，是常量 5. 要估算一个池塘里鱼的数目，可先从池塘各个地方捞出300条鱼，在每条鱼身上做个标记，再全部放回池塘．过几天后从池塘中捞出200条鱼，发现当中有20条做过标记．就可估计池塘里鱼的数目为（ ） A. 3000 B. 4000 C. 6000 D. 60000 6. 如图，小明家相对于学校的位置下列描述最准确的是（ ） A. 距离学校处 B. 北偏东方向上的处 C. 南偏西方向上的处 D. 南偏西方向上的处 7. 已知正比例函数y=(k+5)x，且y随x的增大而减小，则k的取值范围是( ) A. k>5 B. k<5 C. k>−5 D. k<−5 8. 如图，平行四边形的对角线、相交于点，点、分别是线段、的中点，若，则的长为（） A. B. C. D. 9. 若函数是关于x的一次函数，则m的值为（ ） A. 1或 B. C. 1 D. 2 10. 如图，矩形中，为中点，过点的直线分别与、交于点E、F，连结交于点，连结、．若，，下列四个结论中正确的是（） ①为等边三角形；②； ③四边形是菱形；④． A. ①② B. ①②③ C. ①③ D. ①②③④ 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 在平面直角坐标系中，点到轴的距离为_________． 12. 已知一组数据：17、19、21，则该组数据的离差平方和是___________． 13. 如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，试添加一个条件：___，使得平行四边形ABCD为菱形． 14. 老师在计算学生每学期的总评成绩时，按照“平时成绩占，考试成绩占”的比例计算．若小明的平时成绩为95分，考试成绩为90分，则他的总评成绩为______分． 15. 若用图象法解二元一次方程组时所画的图象如图所示，则该方程组的解是___________． 16. 定义：与为“对偶点”，对于函数，若至少有一组对偶点在其图象上，且，则称该函数为“对偶函数”． （1）判断函数___________（填“是”或“不是”）“对偶函数”； （2）写出一个是“对偶函数”的一次函数：___________． 三、解答题（本题有8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 在平面直角坐标系中，有一点． （1）当点在轴上时，求点坐标； （2）当点在第三象限时，求的取值范围． 18. A和B分别是两个多边形，阅读A和B的对话，完成下列各小题． （1）嘉嘉说：“因为B的边数比A多，所以B的___________比A的大．”（填“内角和”或“外角和”） （2）设A的边数为7，求的值； 19. 已知：如图，在四边形中，，，垂足分别为E，F，延长、，分别交于点，交于点，若，并从①，②中选___________作为条件，完成以下问题： （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，，求的长． 20. 农作物出苗率是指在农作物种植过程中，种子在一定条件下能够成功发芽并长出嫩苗的比例．它是农作物种植成功与否的重要指标之一，对于保障农作物的产量和质量具有重要意义．经有关部门研究发现，某农作物出苗率y（单位：）与播种后20天累计降雨量x（单位：）的关系如图所示． （1）求当时，与之间的函数表达式； （2）当该农作物种子种植后20天累计降雨量达到时，该农作物的出苗率是多少？ 21. 学校开展了航天知识竞赛活动，从七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用表示，共分四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生竞赛成绩在B组中的数据是：85，83，84，87，84，88，84． 八年级20名学生竞赛成绩是：63，63，65，71，72，72，75，78，81，82，84，86，86，86，89，95，97，98，98，99． 七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计 年级 七年级 八年级 平均数 82 82 中位数 方差 278.9 134.7 根据以上数据分析信息，解答下列问题： （1）上述图表中___________，___________，___________，___________； （2）如果要从中选一个成绩稳定的年级去参加市里的比赛，请问选___________年级更合适（填“七”或“八”）； （3）该校七年级有学生560人，八年级有学生600人．请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共有多少？ 22. 在2026年春晚舞台上，宇树科技的G1与H2两款机器人表演《武BOT》、松延动力的仿生人形机器人参演小品《奶奶的最爱》等节目惊艳亮相．某酒店受此启发，为吸引顾客，提高服务质量，决定购买机器人来代替部分人工服务．已知购买甲型机器人2台，乙型机器人3台共需17万元；购买甲型机器人1台，乙型机器人2台共需10万元． （1）甲、乙两种型号机器人的单价各为多少万元？ （2）已知1台甲型和1台乙型机器人每天服务的客人数量分别是300人和200人，该酒店计划用不超过23万元的资金购买6台这两种型号的机器人，且至少购买甲型机器人2台，如何购买才能使每天服务客人的数量最大？ 23. 为了探究函数的图象与性质，甲同学根据学习一次函数的经验，借助函数的图象与性质进行了探究．下面是甲同学的探究过程： 第一步：的自变量的取值范围是全体实数； 第二步：与的几组对应值： … 0 1 2 3 4 5 … … 5 3 2 1 0 0 2 … 第三步：建立平面直角坐标系，画出函数图象； 第四步：借助函数图象研究该函数的性质． （1）补全表格，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象： （2）观察的函数图象，完成以下问题： ①当___________时，函数有最小值为___________；当___________时，随的增大而增大． ②写出自变量的取值范围和因变量的取值范围． ③若直线与的图象有且只有一个交点，求的取值范围． 24. 我们不妨约定：若凸四边形对角线相等，叫做“矩基四边形”；若凸四边形对角线垂直，叫做“正交四边形”． （1）判断下列说法的正确性，正确的请在横线处打“√”，错误的打“×”． ①矩形一定是“矩基四边形”：___________ ②平行四边形一定不是“正交四边形”：___________ ③顺次连接“矩基四边形”各边中点所得的四边形是“正交四边形”：___________ （2）如图1，在四边形中，，、的垂直平分线恰好交于边上一点，连接、、、，求证：四边形是“矩基四边形”． （3）如图2，在正方形中，点、点分别在边、上，点在的延长线上，且四边形是“正交四边形”，对角线、相交于点，与边交于点． ①若，，，求的长； ②连接，若点是的中点，且正方形边长为8，请直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年上期八年级期末质量检测 数学 （温馨提示：本试卷共三个大题，总分120分，考试时量120分钟） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，对四个选项中的图形逐一进行判断即可． 【详解】解：A、选项中的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；  B、选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；  C、选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；  D、选项中的图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意． 2. 将点向左平移1个单位，得到的点的坐标是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用横坐标左移减右移加，纵坐标上移加下移减计算即可． 【详解】解：∵将点向左平移1个单位，平移不改变纵坐标，横坐标需要减1， ∴平移后点的横坐标为，纵坐标为， ∴平移后得到的点的坐标为． 3. 如图，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据多边形外角和定理得到，进而代入已知角度求出的度数． 【详解】解：，，，，． 故选：． 4. 在圆的周长公式中，下列关于变量、常量的说法正确的是（    ） A. 均是变量，是常量 B. 是变量，2、 是常量 C. 和均是变量，2和是常量 D. 是变量，是常量 【答案】C 【解析】 【分析】在变化过程中，数值固定不变的量是常量，数值可以发生变化的量是变量，根据定义判断即可得到结果． 【详解】解：∵在圆的周长公式中，是固定系数，是圆周率，二者数值固定不变． ∴和是常量． 又∵半径可取不同数值，周长随的变化而变化． ∴和是变量． 5. 要估算一个池塘里鱼的数目，可先从池塘各个地方捞出300条鱼，在每条鱼身上做个标记，再全部放回池塘．过几天后从池塘中捞出200条鱼，发现当中有20条做过标记．就可估计池塘里鱼的数目为（ ） A. 3000 B. 4000 C. 6000 D. 60000 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查统计中用样本估计总体的思想，熟练掌握并利用样本数量除以所求量占样本的比例即可估计总量． 由题意已知池塘中有记号的鱼所占的比例，用标记的鱼数除以样本中标记鱼的比例，即可求得鱼的总条数． 【详解】解：（条）； 故选：A． 6. 如图，小明家相对于学校的位置下列描述最准确的是（ ） A. 距离学校处 B. 北偏东方向上的处 C. 南偏西方向上的处 D. 南偏西方向上的处 【答案】C 【解析】 【详解】解：， ∴小明家相对于学校的位置描述最准确的是南偏西方向上的处． 7. 已知正比例函数y=(k+5)x，且y随x的增大而减小，则k的取值范围是( ) A. k>5 B. k<5 C. k>−5 D. k<−5 【答案】D 【解析】 【分析】根据正比例函数图象的特点可直接解答． 【详解】解：∵正比例函数y=（k+5）x中若y随x的增大而减小， ∴k+5＜0． ∴k＜﹣5， 故选D． 8. 如图，平行四边形的对角线、相交于点，点、分别是线段、的中点，若，则的长为（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由平行四边形对边相等得，再由三角形中位线定理得，代入计算即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， 点、分别是线段、的中点， 是的中位线， ． 9. 若函数是关于x的一次函数，则m的值为（ ） A. 1或 B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，根据形如、是常数且的函数叫做一次函数进行求解是解题的关键． 根据一次函数的定义列出有关的方程，继而求出的值． 【详解】解：函数是一次函数， ， ， 故选：C． 10. 如图，矩形中，为中点，过点的直线分别与、交于点E、F，连结交于点，连结、．若，，下列四个结论中正确的是（） ①为等边三角形；②； ③四边形是菱形；④． A. ①② B. ①②③ C. ①③ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】先根据矩形得到，，再结合得到是等边三角形， ，即可证明，得到，，再证明在的垂直平分线上，得到，可得是等边三角形，故①正确；由①可得也是等边三角形，，由四边相等的四边形是菱形可得四边形是菱形，故③正确；根据直角三角形的性质得到，，即可得到，故②正确；先得到，再根据，得到即可求出面积比． 【详解】解：四边形是矩形，为中点， ，， ∴， ， 是等边三角形， ， ，， ∵， ∴，，， 在和中，， ， ，，， ，， ∵， ， ， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∵矩形中三点共线， ∴在的垂直平分线上， ， 结合，可得是等边三角形，故①正确； 由①可得也是等边三角形， ， ∴由四边相等的四边形是菱形可得四边形是菱形，故③正确； 是等边三角形， ， ∵，， ∴垂直平分，即， ∵ ∴， 在中，， ， ， ，即，故②正确； ∵，， ∴， ， ∵，， ∴， ， ， ∵， ∴ ∴，故④正确 综上，正确的结论是①②③④． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 在平面直角坐标系中，点到轴的距离为_________． 【答案】1 【解析】 【详解】解：点的横坐标为， 则点到轴的距离为． 12. 已知一组数据：17、19、21，则该组数据的离差平方和是___________． 【答案】 【解析】 【分析】先计算该组数据的平均数，再根据离差平方和的定义，计算每个数据与平均数差的平方的和，即可得到结果． 【详解】解：首先计算该组数据的平均数， 根据离差平方和的定义可得： 离差平方和为 ． 13. 如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，试添加一个条件：___，使得平行四边形ABCD为菱形． 【答案】AD=DC（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据菱形的定义或判定定理得出答案即可． 【详解】由四边形ABCD是平行四边形， 添加AD=DC，根据邻边相等的平行四边形是菱形的判定，可使得平行四边形ABCD为菱形； 添加AC⊥BD，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形的判定，可使得平行四边形ABCD为菱形． 故答案为：AD=DC（答案不唯一）． 【点睛】此题主要考查了菱形的判定以及平行四边形的性质，根据菱形的定义得出是解题关键． 14. 老师在计算学生每学期的总评成绩时，按照“平时成绩占，考试成绩占”的比例计算．若小明的平时成绩为95分，考试成绩为90分，则他的总评成绩为______分． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数，根据总评成绩平时成绩考试成绩即可求解，解题的关键是掌握加权平均数的定义． 【详解】解：总评成绩为：， 故答案为：． 15. 若用图象法解二元一次方程组时所画的图象如图所示，则该方程组的解是___________． 【答案】 【解析】 【分析】二元一次方程组的解就是两个二元一次方程转化为函数的图象的交点坐标，观察图象，找出两条直线的交点坐标，再写出方程组的解． 【详解】解：观察图象可得：直线  和直线  的交点  的坐标为 ，   二元一次方程组  的解为 ． 16. 定义：与为“对偶点”，对于函数，若至少有一组对偶点在其图象上，且，则称该函数为“对偶函数”． （1）判断函数___________（填“是”或“不是”）“对偶函数”； （2）写出一个是“对偶函数”的一次函数：___________． 【答案】 ①. 不是 ②. （答案不唯一） 【解析】 【详解】解：（1）根据定义，若是对偶函数， ∴满足方程组  且  ， 解方程组得 ， 此时，不满足的条件，因此不是对偶函数； （2）设一次函数解析式为， 根据定义可得  ， 整理得 ， 当时，等式对任意成立，总能找到满足要求， 取，得到一个符合要求的一次函数为． 三、解答题（本题有8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 在平面直角坐标系中，有一点． （1）当点在轴上时，求点坐标； （2）当点在第三象限时，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)根据轴上点的纵坐标为0，列方程求出的值，再计算横坐标即可得到点的坐标.； (2)根据第三象限内点的横坐标和纵坐标都小于0，列出一元一次不等式组，解不等式组得到的取值范围． 【小问1详解】 解：点在轴上， ， 解得， 当时，， 点的坐标为； 【小问2详解】 解：点在第三象限， ， 解不等式，得， 解不等式，得， 的取值范围是． 18. A和B分别是两个多边形，阅读A和B的对话，完成下列各小题． （1）嘉嘉说：“因为B的边数比A多，所以B的___________比A的大．”（填“内角和”或“外角和”） （2）设A的边数为7，求的值； 【答案】（1）内角和 （2） 【解析】 【分析】（1）根据多边形的边数与内角和的关系求解即可； （2）分别计算与的内角和，再列方程求解即可. 【小问1详解】 解：因为的边数比多，所以的内角和比的大． 【小问2详解】 解：由题意得：的内角和为，的边数为条， 则的内角和为， ∴， 解得， 即的值为2. 19. 已知：如图，在四边形中，，，垂足分别为E，F，延长、，分别交于点，交于点，若，并从①，②中选___________作为条件，完成以下问题： （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）情况1：选①； 证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； 情况2：选② 证明：∵，， ∴四边形为平行四边形. （2） 【解析】 【分析】（1）情况1：选①；证明，可得，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可解决问题；情况2：选②，直接利用定义证明即可； （2）根据平行四边形的性质证明，然后根据勾股定理可得，进而可以解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 20. 农作物出苗率是指在农作物种植过程中，种子在一定条件下能够成功发芽并长出嫩苗的比例．它是农作物种植成功与否的重要指标之一，对于保障农作物的产量和质量具有重要意义．经有关部门研究发现，某农作物出苗率y（单位：）与播种后20天累计降雨量x（单位：）的关系如图所示． （1）求当时，与之间的函数表达式； （2）当该农作物种子种植后20天累计降雨量达到时，该农作物的出苗率是多少？ 【答案】（1） （2）该农作物种子种植后20天累计降雨量达到时的出苗率是 【解析】 【分析】（1）设当时，与之间的函数表达式为，再把当时，；当时，，代入函数关系式，求出k，b的值即可； （2）把代入（1）中的函数关系式，求出y的值即可． 【小问1详解】 解：设当时，与之间的函数表达式为， 由函数图象可知，当时，；当时，， ， 解得， 与之间的函数表达式为． 【小问2详解】 解：由函数图象可知，当时，值不变． 当时，． 该农作物种子种植后20天累计降雨量达到时的出苗率是． 21. 学校开展了航天知识竞赛活动，从七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用表示，共分四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生竞赛成绩在B组中的数据是：85，83，84，87，84，88，84． 八年级20名学生竞赛成绩是：63，63，65，71，72，72，75，78，81，82，84，86，86，86，89，95，97，98，98，99． 七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计 年级 七年级 八年级 平均数 82 82 中位数 方差 278.9 134.7 根据以上数据分析信息，解答下列问题： （1）上述图表中___________，___________，___________，___________； （2）如果要从中选一个成绩稳定的年级去参加市里的比赛，请问选___________年级更合适（填“七”或“八”）； （3）该校七年级有学生560人，八年级有学生600人．请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共有多少？ 【答案】（1）；；； （2）八 （3） 【解析】 【分析】（1）利用扇形统计图即可求出D组和C组的人数，结合B组的人数，求出A 组的人数，再利用中位数定义即可求出a和b的值，求得A组所占的百分数即可求得m的值, 最后求出第一四分位数即可确定n； （2）根据方差进行分析即可解答； （3）利用样本估计总体进行求解即可． 【小问1详解】 解：七年级20名学生竞赛成绩在D组中有（人），C组有（人）， 根据题意可得B组中有7人，故A组中有人， ∵七年级竞赛成绩的中位数a是数据从小到大排列后的第10和11个数据的平均数，且数据从小到大排列后的第10和11个数据是84，84， ∴， ∵七年级20名学生竞赛成绩在A组中的数据共6个， ∴，即． ∵八年级竞赛成绩的中位数b是数据从小到大排列后的第10和11个数据的平均数，且数据从小到大排列后的第10和11个数据是82，84， ∴， 由八年级所抽取学生成绩的箱线图可知：n是第一四分位数， 方法一：八年级竞赛成绩从小到大排列后前10个数据的中位数， 第5，6个数据的平均数，故． 方法二：∵， ∴第一四分位数为. 【小问2详解】 解：八年级更合适，理由：因为该校八年级的方差小于七年级方差，成绩比七年级稳定，故八年级更合适． 【小问3详解】 解：（人）． 答：估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共有318人． 22. 在2026年春晚舞台上，宇树科技的G1与H2两款机器人表演《武BOT》、松延动力的仿生人形机器人参演小品《奶奶的最爱》等节目惊艳亮相．某酒店受此启发，为吸引顾客，提高服务质量，决定购买机器人来代替部分人工服务．已知购买甲型机器人2台，乙型机器人3台共需17万元；购买甲型机器人1台，乙型机器人2台共需10万元． （1）甲、乙两种型号机器人的单价各为多少万元？ （2）已知1台甲型和1台乙型机器人每天服务的客人数量分别是300人和200人，该酒店计划用不超过23万元的资金购买6台这两种型号的机器人，且至少购买甲型机器人2台，如何购买才能使每天服务客人的数量最大？ 【答案】（1）甲型机器人单价为4万元，乙型机器人单价为3万元 （2）购买甲型机器人5台，乙型机器人1台，每天服务客人的数量最大 【解析】 【分析】（1）根据两种购买方案的总费用设未知数列二元一次方程组，求解得到单价； （2）根据总费用限制和购买要求列不等式组得到甲型机器人购买数量的取值范围，再列出总服务人数关于购买数量的一次函数，根据一次函数增减性得到最大服务人数对应的购买方案． 【小问1详解】 解：设甲型机器人的单价是万元，乙型机器人的单价是万元， 依题意，得， 解得， 答：甲型机器人单价为4万元，乙型机器人单价为3万元. 【小问2详解】 解：设购买甲型机器人台，则购买乙型机器人台， 依题意，得， 解得， 设6台机器人每天服务客人的总人数为人， 则， ， 随的增大而增大， 当时，取得最大值，此时， 答：购买甲型机器人5台，乙型机器人1台，才能使每天服务客人的数量最大． 23. 为了探究函数的图象与性质，甲同学根据学习一次函数的经验，借助函数的图象与性质进行了探究．下面是甲同学的探究过程： 第一步：的自变量的取值范围是全体实数； 第二步：与的几组对应值： … 0 1 2 3 4 5 … … 5 3 2 1 0 0 2 … 第三步：建立平面直角坐标系，画出函数图象； 第四步：借助函数图象研究该函数的性质． （1）补全表格，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象： （2）观察的函数图象，完成以下问题： ①当___________时，函数有最小值为___________；当___________时，随的增大而增大． ②写出自变量的取值范围和因变量的取值范围． ③若直线与的图象有且只有一个交点，求的取值范围． 【答案】（1）解：补全表格如下： … 0 1 2 3 4 5 … … 5 3 2 1 0 0 2 … 描点画图如下： （2）①；；；②自变量的取值范围为任意实数，因变量的取值范围为.③或． 【解析】 【分析】（1）先补全表格，再描点画图即可； （2）①根据图象作答即可；②根据图象作答即可；③由过定点，再结合图象求解即可. 【小问1详解】 解：当时，； 当时，， 当时，； 画图略 【小问2详解】 解：①当时，函数有最小值为；当时，随的增大而增大． ②由图象可得自变量的取值范围为任意实数，因变量的取值范围为. ③如图，当过时， ∴， 解得：， 当时，，此时两函数图象平行， ∴时，直线与的图象有且只有一个交点； 如图，当过时， ∴， 解得：， ∵当时，，此时两函数图象平行， ∴时，直线与的图象有且只有一个交点； 综上：直线与的图象有且只有一个交点，的取值范围为或． 24. 我们不妨约定：若凸四边形对角线相等，叫做“矩基四边形”；若凸四边形对角线垂直，叫做“正交四边形”． （1）判断下列说法的正确性，正确的请在横线处打“√”，错误的打“×”． ①矩形一定是“矩基四边形”：___________ ②平行四边形一定不是“正交四边形”：___________ ③顺次连接“矩基四边形”各边中点所得的四边形是“正交四边形”：___________ （2）如图1，在四边形中，，、的垂直平分线恰好交于边上一点，连接、、、，求证：四边形是“矩基四边形”． （3）如图2，在正方形中，点、点分别在边、上，点在的延长线上，且四边形是“正交四边形”，对角线、相交于点，与边交于点． ①若，，，求的长； ②连接，若点是的中点，且正方形边长为8，请直接写出的最小值． 【答案】（1）①√；②×；③√ （2）证明：如图所示： ∵是的垂直平分线，是的垂直平分线， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴（）， ∴，即四边形是“矩基四边形”； （3）①；② 【解析】 【分析】（1）①根据矩形的性质判断即可；②根据平行四边形的性质判断即可；③根据中位线定理得到，证明四边形是菱形，再根据菱形的性质进而判断即可； （2）根据垂直平分线的性质得到，，根据等边对等角得到，，根据三角形外角的性质得到，，可知，证明，得到，即可得到四边形是“矩基四边形”； （3）①证明，，进一步利用全等三角形的性质求解即可； ②过点E作，过点M作，结合，可得A，E，K三点共线时，的值最小，作交于点G，证明，可得，再进一步求解即可. 【小问1详解】 解：①∵矩形的对角线相等， ∴矩形一定是“矩基四边形”： √ ②∵平行四边形的对角线不一定垂直； ∴平行四边形一定不是“正交四边形”说法错误： × ③如图，∵矩基四边形， ∴， ∵是边中点， ∴是中位线， ∴，， 同理可得，，，， ∴， ∴四边形是菱形， ∴四边形的对角线互相垂直， ∴四边形是正交四边形， ∴顺次连接“矩基四边形”各边中点所得的四边形是“正交四边形”： √ 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①在正方形中，，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∴， ∵四边形是“正交四边形”， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴； ②解：过点E作，过点M作， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴当A，E，K三点共线时，的值最小， ∵四边形是“正交四边形”， ∴，即， 作交于点G， 则， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵正方形边长为，为的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $