1.4两条直线的交点同步练习-2025-2026学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

1.4　两条直线的交点 基础过关练 题组一　两直线的交点及其应用 1.已知直线l1经过A(1,-1),B(2,-2)两点,则直线l2:x-4y-13=0与l1的交点坐标为(　　) A.(1,-1)　　　　B. C.　　　　D.(-3,3) 2.若直线l1:x+2y-4=0与直线l2:kx-y+2k+1=0的交点位于第一象限,则实数k的取值范围是(　　) A.　　　　 B. C.∪　　　　 D.∪ 3.(教材习题改编)(多选题)设a为实数,若三条直线(a2-3a+1)x-2y+5=0,y=2x,x+2y=5交于一点,则a=(　　) A.-2　　　　B.3 C.1　　　　D.2 4.若直线l1:2x-y+1=0与x轴交于点A,直线l2:x-3y-3=0与x轴交于点B,直线l1与l2交于点P,则∠APB=　　　　.  5.若三条直线l1:4x+y=3,l2:x+y=0,l3:x-my=2不能围成三角形,则实数m=　　　　.  题组二　过两直线交点的直线方程 6.已知直线l1:x-y+1=0,l2:2x-y-1=0,则过l1和l2的交点且与直线3x+4y=0垂直的直线方程为(　　) A.3x-4y-1=0　　　　B.3x-4y+1=0 C.4x-3y-1=0　　　　D.4x-3y+1=0 7.已知直线l的方程是(3a-1)x-(a-2)y-1=0,则对任意的实数a,直线l一定经过(　　) A.第一象限　　　　B.第二象限 C.第三象限　　　　D.第四象限 8.在平面直角坐标系xOy中,过直线l1:7x-3y+1=0与l2:x+4y-3=0的交点,且在y轴上的截距为1的直线l的一般式方程为　　　　　　.  9.经过直线l1:y=-2x-1和l2:y=2x+3的交点,且倾斜角是直线l2的倾斜角的两倍的直线方程为　　　　　　.  10.已知直线l1的方程为x+2y-4=0,直线l2过点,且l1⊥l2. (1)求直线l1和直线l2的交点坐标; (2)已知直线l3经过直线l1与直线l2的交点,且在x轴上的截距是在y轴上的截距的,求直线l3的方程. 答案与分层梯度式解析 1.4　两条直线的交点 基础过关练 1.C 2.A 3.CD 6.D 7.A 1.C　因为直线l1经过A(1,-1),B(2,-2)两点, 所以直线l1的方程为=,即y=-x, 联立解得 所以直线l2与l1的交点坐标为. 2.A　解法一:由题意得k≠-,联立解得即交点为, 因为交点位于第一象限,所以解得-<k<. 解法二:对于直线l2:kx-y+2k+1=0,易知其过定点(-2,1),设为P. 对于方程x+2y-4=0,令x=0,得y=2,令y=0,得x=4. 设A(0,2),B(4,0),则问题转化为直线l2与线段AB(不含端点)始终有交点,求斜率问题. 易得kPA==,kPB==-, 故实数k的取值范围是. 3.CD　联立解得故直线y=2x与x+2y=5的交点为(1,2),将(1,2)代入方程(a2-3a+1)x-2y+5=0,解得a=1或a=2. 方法点拨 当三条直线交于同一个点,求直线方程中的参数时,只需求出其中两条直线的交点,利用该交点也在第三条直线上即可求解.若三条直线有三个不同的交点,则需满足其中两条直线的交点不在第三条直线上,且三条直线两两互不平行. 4.答案　 解析　解法一:对于2x-y+1=0,令y=0,得x=-,故A,对于x-3y-3=0,令y=0,得x=3,故B(3,0), 由得所以P,所以=,=,所以cos<,>= ==,所以∠APB=. 解法二:易得直线l1的斜率k1=2,直线l2的斜率k2=,且∠APB为直线l1与l2的夹角, 由夹角公式可得tan∠APB===1, 故∠APB=. 5.答案　-或-1或1 解析　若三条直线不能围成三角形,则l1,l2,l3中有两条直线相互平行(重合)或三条线过同一点. 易知l1与l2不平行.若l1∥l3,则=-4,解得m=-; 若l2∥l3,则=-1,解得m=-1; 若l1,l2,l3交于同一点,联立解得则l1与l2的交点为(1,-1), 将(1,-1)代入直线l3的方程,可得1+m=2,解得m=1. 综上,实数m的值为-或-1或1. 6.D　联立解得所以l1和l2的交点为(2,3), 易得直线3x+4y=0的斜率为-,所以所求直线的斜率为,故所求直线方程为y-3=(x-2),即4x-3y+1=0. 7.A　(3a-1)x-(a-2)y-1=0可化为a(3x-y)-x+2y-1=0, 由得所以直线l一定过点,故直线l一定经过第一象限. 8.答案　9x+5y-5=0 解析　解法一:由解得即直线l1与l2的交点为,又l过点(0,1),所以由直线的两点式方程得=,化简得9x+5y-5=0. 解法二:设l的方程为7x-3y+1+λ(x+4y-3)=0(λ∈R),由已知得l过点(0,1), 所以0-3+1+λ(0+4-3)=0⇒λ=2,故直线l的方程为9x+5y-5=0. 方法技巧 求过两条直线交点的直线方程一般有两种方法,一是直接求出交点坐标,再结合已知条件求直线方程,二是待定系数法,即设过直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ为任意实数),求出λ即可. 9.答案　4x+3y+1=0 解析　联立解得即所求直线过点(-1,1), 设直线l2的倾斜角为α,则tan α=2, 所以所求直线的斜率k=tan 2α===-, 故所求直线的方程为y-1=-(x+1),即4x+3y+1=0. 10.解析　(1)易得l1的斜率为-,因为l1⊥l2,所以l2的斜率为2,又直线l2经过点,所以l2的方程为y-0=2,即2x-y-3=0. 联立解得 所以直线l1和直线l2的交点坐标为(2,1). (2)由题意知直线l3与两坐标轴都相交,故其斜率一定存在且不为0, 又直线l3经过l1与l2的交点(2,1),所以可设l3:y-1=k(x-2)(k≠0), 令x=0,得y=1-2k,令y=0,得x=2-, 所以2-=(1-2k), 解得k=或k=-2, 所以l3的方程为y=x或y=-2x+5. 8 学科网（北京）股份有限公司 $$