精品解析：吉林省长春市二道区2024-2025学年七年级下学期期末考试数学试题

七年级数学学科试题 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程中，解为的是（　　） A. B. C. D. 2. 某班级开展项目式学习课程——动手操作，感受对称之美．下列图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列方程的变形正确的是（ ） A 由，得 B. 由，得 C. 由，得 D. 由，得 4. 不等式的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点E在线段上，，则线段长度为（ ） A B. C. D. 6. 如图所示，是工人师傅用边长均为a的两块正方形和一块正三角形地砖绕着点O进行的铺设．若将一块边长为a的正多边形地砖恰好能无空隙、不重叠地拼在处，则这块正多边形地砖的边数是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 7. 如图，根据下列图形折叠后的情况，可以判定是的角平分线的是（ ） A. B. C. D. 8. 一个工程队原定在10天内至少要挖土，前两天一共完成了，由于整个工程调整工期，要求提前两天完成挖土任务，问：后6天内平均每天至少要挖土多少立方米？若设后6天内平均每天要挖土，根据题意可列不等式为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 把方程变形为用含x的代数式表示为y，则___________． 10. 已知两条线段a、b，其长度分别为与．另有长度分别为和的5条线段，其中能与线段a、b一起组成三角形的有___________条． 11. 若方程组的解为，则___________． 12. 从镜中看到的一串数字如图所示，这串数字应为___________． 13. 将一个三角板和圆规按如图方式摆放在同一水平桌面上，圆规的两脚恰好接触三角板的一组邻直角边．已知，，则___________度． 14. 如图，在中，平分于点E，点F为的中点，连结．给出下面五个结论：①；②；③；④当点E是线段的中点时，；⑤当时，．上述结论中，正确结论的序号有___________． 三、解答题：本题共10小题，共78分． 15. 下面是小明同学解方程的过程，请认真阅读并回答问题． 解： 第①步 第②步 第③步 ． 第④步 （1）小明解方程时，从第___________步开始出现错误； （2）写出正确的解方程过程． 16. 解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来：． 17. 一个n边形的每个外角都相等，它的一个内角与相邻的外角的度数之比为． （1）求这个n边形边数； （2）求这个n边形的内角和． 18. 图①、图②、图③均是的正方形网格．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法． （1）在图①中，作出所给图形向下平移4格后的图形； （2）在图②中，虚线为对称轴，作出所给图形的轴对称图形； （3）在图③中，作出所给图形绕点O顺时针旋转后的图形． 19. 整理一批图书，由1人整理需要完成．现计划由一部分人先整理，然后增加2人与他们一起整理，完成这项工作．假设这些人的工作效率相同，应先安排多少人进行整理？ 20. 如图，在中，是斜边上的高，． （1）求的度数； （2）求的度数． 对于上述问题，在以下答题过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． 解：（1）（已知）， ___________． （ ）， （已知）， ______________________（等量代换）． （2）， ___________（等式的性质）． （已知）， ______________________（等量代换）． 21. 小明同学在解方程组时发现：如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量大，且易出现运算错误，若采用下面的解法则比较简单： 得：，即． 再得：， 最后重新组成方程组，进而求得方程组的解．这种解二元一次方程组的方法我们称为二元一次方程组的轮换对称解法． （1）方程组的解为___________； （2）利用轮换对称解法解方程组． 22. 【教材呈现】下面是华师版七年级下册数学教材习题8.1第6题部分内容． 如图，在中，的平分线与的外角平分线相交于点D．试找出与的内角之间的关系． （1）小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试代入的度数，即可求的度数． ①当时，___________度；当时，___________度； ②于是小明猜想与之间的数量关系为___________； （2）以下是小明完成猜想证明的部分过程： 证明：平分， ． 平分， ． 证明过程缺失 请你补全缺失证明过程． 【结论应用】（3）如图，在四边形中，平分平分外角，连结．若，，则___________度． 23. 为丰富同学们的体育锻炼活动，我校准备新进一批移动羽毛球网和羽毛球拍，若购进5个移动羽毛球网和10副羽毛球拍需2200元，若购进4个移动羽毛球网和15副羽毛球拍需2600元． （1）请分别求出移动羽毛球网和羽毛球拍的单价． （2）若购进移动羽毛球网和羽毛球拍的数量之和为50，且羽毛球拍的数量不大于移动羽毛球网数量的3倍，购买总金额低于7280元，请问共有哪几种购买方案，哪种购买方案费用最低，最低费用为多少？ 24. 在中，，，，将绕着边的中点O顺时针旋转得到，点E是边上的一点，．如图①，动点P从点A出发沿折线的方向以每秒的速度向终点D运动，连结．设点P的运动时间为t秒． （1）______________________度； （2）当点P在边上运动（不与点C重合）时，的长为___________；（用含t的代数式表示） （3）当将四边形的周长分成两部分时，求t的值； （4）如图②，在点P从A点到C点的运动过程中，作点A关于直线的对称点，连结，当与的边平行时，请直接写出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 七年级数学学科试题 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程中，解为的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查方程的解，根据方程的解的定义，把分别代入各方程，若方程左右两边相等，即可为方程的解． 【详解】解：A、把代入方程，左边右边，所以不是方程的解； B、把代入方程，左边，右边，左边≠右边，所以不是方程的解； C、把代入方程，左边右边，所以是方程的解； D、把代入方程，左边，右边，左边≠右边，所以不是方程的解． 故选：C 2. 某班级开展项目式学习课程——动手操作，感受对称之美．下列图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的识别，一个图形绕着某固定点旋转后能够与原来的图形重合，则称这个图形是中心对称图形，这个固定点叫做对称中心；如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，则称这个图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴；根据这两个概念逐项判断即可． 【详解】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意； C、轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； 故选：A． 3. 下列方程的变形正确的是（ ） A. 由，得 B. 由，得 C. 由，得 D. 由，得 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，根据等式的基本性质逐一分析各选项的变形是否正确． 【详解】解：选项A：由，正确解法是两边减3，得，而选项A写为，错误． 选项B：由，两边除以7，得，与选项B一致，正确． 选项C：由，两边除以2，得，但选项C写为，错误． 选项D：由，正确解法是两边加2，得，而选项D写为，错误． 故选：B 4. 不等式的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式以及不等式解的数轴表示，根据移项，未知数系数化为1，求出不等式的解，再画出数轴表示即可得出答案． 【详解】解：， ， 在数轴上表示解集为： 故选：C 5. 如图，点E在线段上，，则线段的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的性质可得出，，再根据线段的和差关系求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故选：A． 6. 如图所示，是工人师傅用边长均为a的两块正方形和一块正三角形地砖绕着点O进行的铺设．若将一块边长为a的正多边形地砖恰好能无空隙、不重叠地拼在处，则这块正多边形地砖的边数是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查平面密铺，熟练掌握多边形内角和是解题的关键．根据多边形的内角和求出，计算多边形的外角为即可得到答案． 【详解】解：正三角形的内角为，正方形的内角为， ， 这块正多边形地砖的边数是， 故选B． 7. 如图，根据下列图形折叠后的情况，可以判定是的角平分线的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的角平分线和翻折的性质，解题的关键在于观察图形，根据是的角平分线，可推出是 的角平分线，再根据翻折可知道 与 是对称点，即可求出答案． 【详解】解：由图形可知，若是的角平分线，根据折叠关系可得 ，选项中符合这一条件只有B． 故选：B． 8. 一个工程队原定在10天内至少要挖土，前两天一共完成了，由于整个工程调整工期，要求提前两天完成挖土任务，问：后6天内平均每天至少要挖土多少立方米？若设后6天内平均每天要挖土，根据题意可列不等式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了列一元一次不等式，根据题意，工程队原计划10天内至少挖土600立方米，前两天完成120立方米后，因工期提前两天，剩余任务需在接下来的6天内完成．设后6天每天挖土x立方米，则总挖土量为前两天完成的量加上后6天的量，应至少达到600立方米．由此可列不等式． 【详解】解：总任务量：原计划10天内至少挖土600立方米． 已完成量：前两天共完成120立方米． 剩余时间：总工期提前两天后变为8天，已用2天，剩余天． 列不等式：后6天每天挖土x立方米，总挖土量为，需满足至少600立方米，即， 故选：A 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 把方程变形为用含x的代数式表示为y，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程，解题的关键是首先将x看做已知数，y看做未知数通过移项、去系数解得y． 【详解】解：， 移项得，即， 故答案：． 10. 已知两条线段a、b，其长度分别为与．另有长度分别为和的5条线段，其中能与线段a、b一起组成三角形的有___________条． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，掌握三角形的三边关系是解题的关系．根据三角形的三边关系，确定第三边的取值范围，进而可得结果． 【详解】解：两条线段a、b，其长度分别为与 ∴， ∴能与a、b一起组成三角形的第三边c满足， ∴可选、，共有2条， 故答案为：2． 11. 若方程组的解为，则___________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的解，已知字母的值求代数式的值，解题的关键是：理解二元一次方程组的解的含义． 将代入，解得，代入，即可求解， 【详解】解：将代入，得 ， 解得：， ∴ 故答案为：6． 12. 从镜中看到的一串数字如图所示，这串数字应为___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了镜面对称的知识，镜面对称的知识实际上是数学上的轴对称的知识，由于在镜子中看到的顺序是颠倒的，根据这个特点来解决问题即可． 【详解】解：这串数字应为， 故答案为：． 13. 将一个三角板和圆规按如图方式摆放在同一水平桌面上，圆规的两脚恰好接触三角板的一组邻直角边．已知，，则___________度． 【答案】43 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的应用，连接，由三角形内角和定理可得出，根据角的和差关系即可得出，最后根据三角形内角和定理即可求出答案． 【详解】解：如图，连接， 由题意可知，， 在中，， ∴， 又 ，， ， 即， 在中，， ∴， 故答案为：43． 14. 如图，在中，平分于点E，点F为的中点，连结．给出下面五个结论：①；②；③；④当点E是线段的中点时，；⑤当时，．上述结论中，正确结论的序号有___________． 【答案】②③⑤ 【解析】 【分析】①在中，，平分、虽然，但仅根据现有条件不能得出点D是中点，所以，结论①错误；②由三角形外角的定义和性质可判定结论②正确． 判断结论③，根据三角形中线的性质可判断结论③正确，根据角平分线的有关计算即可判定④错误，根据角的和差关系即可判定⑤正确． 【详解】解：中，，平分、 ∴， ∵点D不是中点， ∴，故①错误，不符合题意； ∵是的一个外角， ∴； ∵于点E， ∴， ∴，即，故②正确，符合题意； ∵点F是的中点， ∴， ∴；故③正确，符合题意； ∵于点E，当点E是线段的中点时，则是的垂直平分线， ∴， ∴平分， ∴， ∵平分， ∴ ∴，故④错误，不符合题意∶ 当时， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴．故⑤正确，符合题意， 故答案为∶②③⑤． 【点睛】本题主要运用角平分线的定义、三角形外角定理、中点的性质、线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理来判断各个结论的正确性．掌握这些性质是解题的关键． 三、解答题：本题共10小题，共78分． 15. 下面是小明同学解方程的过程，请认真阅读并回答问题． 解： 第①步 第②步 第③步 ． 第④步 （1）小明解方程时，从第___________步开始出现错误； （2）写出正确的解方程过程． 【答案】（1）① （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程： （1）根据乘法分配律判断即可； （2）根据去括号，移项，合并同类项，系数化成1的步骤求解即可． 【小问1详解】 解∶ 小明解方程时，从第①步开始出现错误，错误原因在去括号时，没有将括号内所有项都乘以2，常数项1漏乘了2， 故答案为∶①； 【小问2详解】 解∶ ． 16. 解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来：． 【答案】，见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了求一元一次不等式组的解集，并把数轴上表示出解集．先分别求出两个不等式的解集，进而求出不等式组解集，并把解集在数轴上表示出来即可． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴该不等式组得解集为． 解集在数轴上表示如图： 17. 一个n边形的每个外角都相等，它的一个内角与相邻的外角的度数之比为． （1）求这个n边形的边数； （2）求这个n边形的内角和． 【答案】（1）这个n边形的边数为6 （2） 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角与外角关系、方程的思想．关键是记住多边形的每一个内角与其相邻的外角互补、及外角和的特征． （1）先根据多边形的内角和外角的关系，列式求解一个外角，再求解边数即可； （2）利用多边形的内角和公式求解即可． 【小问1详解】 解： ， ． ∴这个n边形的边数为6． 【小问2详解】 解：这个n边形的内角和为． 18. 图①、图②、图③均是的正方形网格．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法． （1）在图①中，作出所给图形向下平移4格后的图形； （2）在图②中，虚线为对称轴，作出所给图形的轴对称图形； （3）在图③中，作出所给图形绕点O顺时针旋转后的图形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图-旋转变换，作图-轴对称变换，作图-平移变换， （1）利用平移变换的性质分别作出各特征点的对应点，然后顺次连接即可； （2）利用轴对称变换的性质分别作各特征点的对应点，然后顺次连接即可； （3）利用旋转变换的性质分别作出各特征点的对应点，然后顺次连接即可． 【小问1详解】 解：如图， ； 【小问2详解】 解∶如图， ； 【小问3详解】 解∶如图， ． 19. 整理一批图书，由1人整理需要完成．现计划由一部分人先整理，然后增加2人与他们一起整理，完成这项工作．假设这些人的工作效率相同，应先安排多少人进行整理？ 【答案】应先安排2人进行整理 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，把总工作量设为1，则人均效率（一个人完成的工作量）为，人先整理完成的工作量为，增加2人后再整理完成的工作量为，这两个工作量之和应等于总工作量，据此列出方程求解． 【详解】解：设先安排人整理，总工作量设为1， 根据先后两个时段的工作量之和等于总工作量，列得方程， 解方程，得． 答：应先安排2人进行整理． 20. 如图，在中，是斜边上的高，． （1）求的度数； （2）求的度数． 对于上述问题，在以下答题过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． 解：（1）（已知）， ___________． （ ）， （已知）， ______________________（等量代换）． （2）， ___________（等式的性质）． （已知）， ______________________（等量代换）． 【答案】（1）；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；；；（2）；； 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角的性质，垂直的定义，等量代换，等式的性质. （1）根据三角形外角的性质，垂直的定义，等量代换补全过程即可； （2）根据等量代换，等式性质补全过程即可. 【详解】解：（1）（已知）， ． （三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， （已知）， （等量代换）． 故答案为：；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；；； （2）， （等式的性质）． （已知）， （等量代换）． 故答案：；； 21. 小明同学在解方程组时发现：如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量大，且易出现运算错误，若采用下面的解法则比较简单： 得：，即． 再得：， 最后重新组成方程组，进而求得方程组的解．这种解二元一次方程组的方法我们称为二元一次方程组的轮换对称解法． （1）方程组的解为___________； （2）利用轮换对称解法解方程组． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】题目主要考查加减消元法解二元一次方程组，熟练掌握求解方法是解题关键． （1）根据例题过程，利用加减消元法求解即可； （2）仿照例题方法求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意得：， 得：， 解得：， 将代入③得：， ∴方程组的解为， 故答案为：； 【小问2详解】 ， ，得，即③， ，得④， ，得，解得， 把代入③，得， ． 22. 【教材呈现】下面是华师版七年级下册数学教材习题8.1第6题部分内容． 如图，在中，的平分线与的外角平分线相交于点D．试找出与的内角之间的关系． （1）小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试代入的度数，即可求的度数． ①当时，___________度；当时，___________度； ②于是小明猜想与之间的数量关系为___________； （2）以下是小明完成猜想证明的部分过程： 证明：平分， ． 平分， ． 证明过程缺失 请你补全缺失的证明过程． 【结论应用】（3）如图，在四边形中，平分平分外角，连结．若，，则___________度． 【答案】（1）①30；60；②；（2）见解析；（3）205 【解析】 【分析】本题考查三角形的外角性质，三角形内角和定理，角平分线定义，关键是灵活应用三角形的外角性质． （1）①当分别是60度和120度时，得到的度数； ②猜想得到； （2）由角平分线定义得到，，由三角形的外角性质推出，即可证明； （3）延长和交于M，延长和交于N，由三角形的外角性质求出，由（2）的结论即可求出，由三角形的外角性质即可求出． 【详解】（1）解：①当时，设，则， ∵平分，平分， ∴，， ∴； 当时，设，则， ∵平分，平分， ∴，， ∴； 故答案为：30，60； ②于是小明猜想与之间的数量关系为， 故答案为：； （2）证明：∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）如图，延长和交于M，延长和交于N， ∵平分，平分外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：205． 23. 为丰富同学们的体育锻炼活动，我校准备新进一批移动羽毛球网和羽毛球拍，若购进5个移动羽毛球网和10副羽毛球拍需2200元，若购进4个移动羽毛球网和15副羽毛球拍需2600元． （1）请分别求出移动羽毛球网和羽毛球拍的单价． （2）若购进移动羽毛球网和羽毛球拍的数量之和为50，且羽毛球拍的数量不大于移动羽毛球网数量的3倍，购买总金额低于7280元，请问共有哪几种购买方案，哪种购买方案费用最低，最低费用为多少？ 【答案】（1）移动羽毛球网的单价是200元，羽毛球拍的单价是120元 （2）共有三种购买方案，分别是：（方案一）购买移动羽毛球网13个、羽毛球拍37副，（方案二）购买移动羽毛球网14个、羽毛球拍36副，（方案三）购买移动羽毛球网15个、羽毛球拍35副；（方案一）购买移动羽毛球网13个、羽毛球拍37副费用最低，最低费用为7040 【解析】 【分析】（1）设移动羽毛球网的单价是元，羽毛球拍的单价是元，根据“5个移动羽毛球网和10副羽毛球拍需2200元，若购进4个移动羽毛球网和15副羽毛球拍需2600元”列二元一次方程组解答即可； （2）设购买移动羽毛球网个，则购买羽毛球拍副，根据题意求出m的取值范围，利用m的整数解求出方案，并利用一次函数求出最值即可． 【小问1详解】 解：设移动羽毛球网的单价是元，羽毛球拍的单价是元． 根据题意，得， 解得． 答：移动羽毛球网的单价是200元，羽毛球拍的单价是120元． 【小问2详解】 解：设购买移动羽毛球网个，则购买羽毛球拍副． 根据题意，得， 解得， 为非负整数， ，14，15， 当时，（副）， 当时，（副）， 当时，（副）， 共有三种购买方案，分别是： （方案一）购买移动羽毛球网13个、羽毛球拍37副， （方案二）购买移动羽毛球网14个、羽毛球拍36副， （方案三）购买移动羽毛球网15个、羽毛球拍35副； 设购买的费用是W元，则， ∵， ∴W随m的减小而减小， ∵，14，15， ∴当时W值最小，， ∴（方案一）购买移动羽毛球网13个、羽毛球拍37副费用最低，最低费用为7040元． 24. 在中，，，，将绕着边的中点O顺时针旋转得到，点E是边上的一点，．如图①，动点P从点A出发沿折线的方向以每秒的速度向终点D运动，连结．设点P的运动时间为t秒． （1）______________________度； （2）当点P在边上运动（不与点C重合）时，的长为___________；（用含t的代数式表示） （3）当将四边形的周长分成两部分时，求t的值； （4）如图②，在点P从A点到C点的运动过程中，作点A关于直线的对称点，连结，当与的边平行时，请直接写出的度数． 【答案】（1）8；60 （2） （3）或 （4）或 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，旋转的性质，轴对称的性质等知识，解题的关键是： （1）根据旋转的性质求解即可； （2）用点P的路程减去求解即可； （3）根据“将四边形的周长分成两部分”可得出为的四边形的周长的或，据此即可求解； （4）分两种情况讨论：当时；当时，然后根据平行线的性质和轴对称的性质求解即可． 【小问1详解】 解∶∵绕着边的中点O顺时针旋转得到，，， ∴，，， 故答案为∶ 8；60； 【小问2详解】 解∶ 当点P在边上运动（不与点C重合）时，的长为， 故答案为∶； 【小问3详解】 解：∵将四边形的周长分成两部分， ∴或， 解得或； 【小问4详解】 解：∵，， ∴， 当时，如图， 则， ∵点A，点关于直线的对称， ∴； 当时，如图， 则， ∴， ∵点A，点关于直线的对称， ∴； 综上，当与的边平行时，的度数为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$