精品解析：山东省威海荣成市实验联盟（五四制）2025-2026学年八年级下学期期末数学试题

初三数学试题 注意事项： 同学你好！答题前，请仔细阅读以下说明： 1.本试卷共5页，满分120分．考试时间120分钟．考试结束只上交答题卡． 2.答题前，用0.5毫米黑色签字笔将考生信息填涂在答题卡制定的位置上． 3.将选择题答案用2B铅笔涂在答题卡对应题目的标号上，将非选择题答案用0.5毫米黑色中性笔填写在答题卡上，不能使用涂改液、胶带纸、修正带，不要求保留精确度的题目，计算结果保留准确值． 4.写在试卷上或答题卡指定区域以外的答案一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分） 1. 下列各式计算正确的是(　　) A. B. C. 3+=3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据合并同类项的法则以及二次根式的乘除法法则即可求解． 【详解】解：和不是同类二次根式，不能相减，故选项A计算错误； ，故选项B计算正确； 3和不能合并，故选项C计算错误； ，故选项D计算错误． 故选B． 【点睛】主要考查了实数的运算，正确理解、掌握同类二次根式的概念是关键． 2. 如图，，，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵，， ∴相似三角形对应边成比例可得，故选项A错误； 相似三角形对应角相等可得，故选项B错误； 相似三角形面积比等于相似比的平方可得，故选项C错误； 相似三角形周长比等于相似比可得，故选项D正确． 3. 如图，数轴上点表示的数是，化简为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：根据数轴上点的位置得：，则， ∴． 4. 将一元二次方程配方后变形为，则的值为（ ） A. －1 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵方程两边同时加得， 整理为完全平方形式得， 对比，可得． 5. 关于的方程中，若满足和，则该方程的根是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据方程根的定义，能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根，将题目给出的等式与一元二次方程的一般形式对比，即可得到对应满足方程的x的值． 【详解】解：∵ 方程为 当时，代入方程左边得， 由题可知， ∴ 是方程的根， 当时，代入方程左边得， 由题可知， ∴ 是方程的根 ∴方程的根为． 6. 若，则的值（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，分式的求值，由已知得，再把分式转化为，进而代入计算即可求解，掌握比例的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：． 7. 如图，要设计一本书的封面，封面长，宽，正中央是一个与整个封面长度比例相同的长方形．如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度？若设上、下边衬的宽均为，左、右边衬的宽均为．那么满足的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由于四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，所以中央矩形的面积封面的面积，依此列出方程即可． 【详解】解：设上、下边衬的宽均为，左、右边衬的宽均为，则中央矩形的长与宽为，， 由题意得：． 8. 如图，两张相同的矩形纸片交叉叠放在一起，重合的部分构成了一个四边形．过点分别作于点于点，若，则的长为（ ） A. 4 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】先证明四边形是菱形，得到，，，再证明是等边三角形，得到，即可代入解方程即可． 【详解】解：∵纸片是矩形， ∴，纸片的高相等，即， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴的面积， ∴， ∴四边形是菱形， ∵ ∴，，， ∴， ∴，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 解得（负值舍去）． 9. 在直角坐标平面上有、两点，以原点为位似中心把线段缩小到原来的一半，得到线段，那么的坐标是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查以原点为位似中心的位似变换的坐标规律，在平面直角坐标系中，若位似变换以原点为位似中心，相似比为，则位似图形对应点的坐标等于原坐标乘或，据此计算即可得到结果． 【详解】解：∵已知点，以原点为位似中心把线段缩小到原来的一半，得到线段， ∴相似比，的坐标为或， ∴的坐标为或． 10. 设，用含的式子表示，则下列表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将分解变形为含有和的形式，再代入已知条件即可得到结果． 【详解】解：， 又， ， ． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．只要求填出最后结果） 11. 要使有意义，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，确定被开方数需大于，据此列不等式求解即可． 【详解】解：要使有意义，需同时满足分式分母不为和二次根式的被开方数非负， 因此可得， 解不等式得． 12. 已知是一元二次方程的一个根，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的定义，得到满足的等式，将所求代数式提取公因式变形后，利用整体代入法计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根 ∴将代入方程得移项整理得 ∴． 13. 《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中记载着这样一道题：今有树，不知其高，去树五十步，立表高五尺，人却退七步，望表末，与树末参直，人目高四尺，问树高几何？大致意思是：如图，为求树高，在距离树50步的地方，竖立一根5尺长标杆，再向后退7步，此时眼睛、标杆顶端、树顶端在一条直线上，眼睛离地面的高为4尺，则树高为_______尺． 【答案】 【解析】 【分析】将实际问题转化为几何模型，利用相似三角形对应边成比例的性质列方程求解即可． 【详解】解：如图，过作，分别交标杆、树于点， 设树高为尺，由题意可知（尺），步，（步），尺， ∵标杆、大树均与地面垂直， ∴， ∴， ∴， 解得． 14. 如图，在矩形中，点的坐标为，则___________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵点的坐标为， ∴， ∴在矩形中，． 15. 如图，正方形在等边三角形的内部，点分别在上，且．若，则点到的距离为___________． 【答案】 【解析】 【分析】解：延长交于，根据正方形和等边三角形，先证明是等边三角形，得到，，即可得到是直角三角形，最后求得点到的距离． 【详解】解：延长交于， ∵正方形，等边三角形，， ∴，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴，， ∴点到的距离． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 化简： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 用适当的方法解一元二次方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 因式分解： ； 【小问2详解】 解： 配方法： ． 18. 如图，矩形中，点在上，，垂足为．求证：． 【答案】证明：如图，连接 ∵矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】利用证明即可． 【详解】略 19. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求实数k的取值范围． （2）设方程的两个实数根分别为，，若，求k的值． 【答案】（1）且 （2） 【解析】 【分析】（1）根据所给一元二次方程有两个不相等的实数根，得出关于k的不等式，据此可解决问题． （2）利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 本题主要考查了根与系数的关系及根的判别式，熟知一元二次方程根与系数的关系及根的判别式是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， 解得且， 故答案为：且． 【小问2详解】 解：是方程的两个根， 则，， ∵， ∴， ∴， 解得． 20. 某农场要建一个矩形养鸡场，鸡场的一边靠墙，另外三边用木栅栏围成．已知墙长，木栅栏长，在与墙垂直的一边留出宽的出入口（另选材料建出入门）．当鸡场的面积为时，求垂直于墙的一边的长． 【答案】 【解析】 【分析】设与墙垂直的一边长为，然后根据矩形面积列方程求解即可． 【详解】解：设垂直于墙的一边长，平行于墙的栅栏总长：（出入口1不用栅栏） 当鸡场的面积为时，， 解得， ∵墙长25， ∴， 解得， ∴， 答：垂直墙一边长． 21. 如图，点，分别是的边，上的点，连接，，的角平分线交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查三角形相似的判定和性质，平行线的性质； （1）由得，，即可得结论； （2）由得，求得，再根据计算即可． 【小问1详解】 证明：， ，， 【小问2详解】 解：，的角平分线交于点， ， ，， ， ， ． 22. 如图，在中，是对角线上的一点，过点作，且，连接． （1）求证：； （2）若，试判断四边形的形状并说明理由． 【答案】（1）∵平行四边形， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∵， ； （2）四边形是菱形，理由如下： ∵，且， ∴四边形是平行四边形 ∴，且， ∵平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 由（1）得， ∴， ∵，， ∴， ， 即平行四边形一组邻边相等， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）由平行四边形，得到，结合，可得，即可证明； （2）先证明，得到四边形是平行四边形，再根据，，，得到，则，即可得到四边形是菱形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 在平面直角坐标系中，正方形的位置如图所示，点，点在线段上，满足，动点从点出发以每秒3个单位长度的速度沿运动，动点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿运动，两点同时出发，其中一点到达点时两点运动停止．设运动时间为秒． （1）分别求出的长； （2）求证：； （3）当是直角三角形时，求出的值． 【答案】（1） （2）证明：由运动可得， ∴， ∴， ∴， ∵正方形， ∴， ； （3）或 【解析】 【分析】（1）根据正方形，点，得到，再根据，得到，； （2）由运动可得，结合得到，再根据正方形，得到，即可证明； （3）过作于，于，则四边形是矩形，，当时，点到达，点到达，此时；当时，，此时，是钝角三角形；当时，，此时，，，然后根据和分类讨论，利用一线三垂直模型证明相似，代入列方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵正方形，点， ∴，， ∵点在线段上，满足， ∴，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由运动可得，，，则，， ∵是直角三角形， ∴或或， 过作于，于，则四边形是矩形，， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 同理可得， ∵， ∴， 当时，点到达，点到达，此时； 当时，，此时，是钝角三角形； 当时，，此时，，， 当时，，， ∴， ∴， 代入数值得， 解得， 满足的只有； 当时，同理可得， ∴， 代入数值得， 整理得，方程无解； 综上所述，当是直角三角形时，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三数学试题 注意事项： 同学你好！答题前，请仔细阅读以下说明： 1.本试卷共5页，满分120分．考试时间120分钟．考试结束只上交答题卡． 2.答题前，用0.5毫米黑色签字笔将考生信息填涂在答题卡制定的位置上． 3.将选择题答案用2B铅笔涂在答题卡对应题目的标号上，将非选择题答案用0.5毫米黑色中性笔填写在答题卡上，不能使用涂改液、胶带纸、修正带，不要求保留精确度的题目，计算结果保留准确值． 4.写在试卷上或答题卡指定区域以外的答案一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分） 1. 下列各式计算正确的是(　　) A. B. C. 3+=3 D. 2. 如图，，，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，数轴上点表示的数是，化简为（ ） A. B. 2 C. D. 4. 将一元二次方程配方后变形为，则的值为（ ） A. －1 B. 1 C. D. 5. 关于的方程中，若满足和，则该方程的根是（ ） A. B. C. D. 无法确定 6. 若，则的值（ ） A. B. C. D. 7. 如图，要设计一本书的封面，封面长，宽，正中央是一个与整个封面长度比例相同的长方形．如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度？若设上、下边衬的宽均为，左、右边衬的宽均为．那么满足的方程是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，两张相同的矩形纸片交叉叠放在一起，重合的部分构成了一个四边形．过点分别作于点于点，若，则的长为（ ） A. 4 B. C. D. 2 9. 在直角坐标平面上有、两点，以原点为位似中心把线段缩小到原来的一半，得到线段，那么的坐标是（ ） A. B. C. 或 D. 或 10. 设，用含的式子表示，则下列表示正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．只要求填出最后结果） 11. 要使有意义，则的取值范围是___________． 12. 已知是一元二次方程的一个根，则___________． 13. 《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中记载着这样一道题：今有树，不知其高，去树五十步，立表高五尺，人却退七步，望表末，与树末参直，人目高四尺，问树高几何？大致意思是：如图，为求树高，在距离树50步的地方，竖立一根5尺长标杆，再向后退7步，此时眼睛、标杆顶端、树顶端在一条直线上，眼睛离地面的高为4尺，则树高为_______尺． 14. 如图，在矩形中，点的坐标为，则___________． 15. 如图，正方形在等边三角形的内部，点分别在上，且．若，则点到的距离为___________． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 化简： （1）； （2） 17. 用适当的方法解一元二次方程： （1） （2） 18. 如图，矩形中，点在上，，垂足为．求证：． 19. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求实数k的取值范围． （2）设方程的两个实数根分别为，，若，求k的值． 20. 某农场要建一个矩形养鸡场，鸡场的一边靠墙，另外三边用木栅栏围成．已知墙长，木栅栏长，在与墙垂直的一边留出宽的出入口（另选材料建出入门）．当鸡场的面积为时，求垂直于墙的一边的长． 21. 如图，点，分别是的边，上的点，连接，，的角平分线交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 22. 如图，在中，是对角线上的一点，过点作，且，连接． （1）求证：； （2）若，试判断四边形的形状并说明理由． 23. 在平面直角坐标系中，正方形的位置如图所示，点，点在线段上，满足，动点从点出发以每秒3个单位长度的速度沿运动，动点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿运动，两点同时出发，其中一点到达点时两点运动停止．设运动时间为秒． （1）分别求出的长； （2）求证：； （3）当是直角三角形时，求出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $