精品解析：山东省威海市荣成市实验学校（五四制）2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题

初三数学试题 注意事项： 同学你好！答题前，请仔细阅读以下说明： 1．本试卷共6页，满分120分．考试时间120分钟．考试结束只上交答题卡． 2．答题前，用0.5毫米黑色签字笔将考生信息填涂在答题卡制定的位置上． 3．将选择题答案用铅笔涂在答题卡对应题目的标号上，将非选择题答案用0.5毫米黑色中性笔填写在答题卡上，不能使用涂改液、胶带纸、修正带，不要求保留精确度的题目，计算结果保留准确值． 4．写在试卷上或答题卡指定区域以外的答案一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分） 1. 下列各式不是最简二次根式的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】解：A、是最简二次根式； B、是最简二次根式； C、是最简二次根式； D、不是最简二次根式； 故选：D 2. 如图，，则下列各式不能说明的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定方法，相似三角形的判定定理有：三边对应成比例的两个三角形相似；两个角对应相等的两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．解决本题的关键是根据相似三角形的判定定理进行判断即可． 【详解】解：A选项：， ， ， 又， 根据两组对应边的比相等且夹角相等的两个三角形相似，可得：， 故A选项不符合题意； B选项：是中边和边与中边与边对应成比例，但是无法说明它们的夹角与相等， 无法说明， 故B选项符合题意； C选项：，， 根据两个角对应相等的两个三角形相似，可以说明成立， 故C选项不符合题意； D选项：，， 根据两个角对应相等的两个三角形相似，可以说明成立， 故D选项不符合题意． 故选：B． 3. 如图1，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点0，添加下列条件后，能使▱ABCD成为矩形的是（　　） A. AB=AD B. AC=BD C. BD平分∠ABC D. AC⊥BD 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形的判定方法逐一进行分析即可. 【详解】A. 若添加AB=AD，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可判断四边形ABCD为菱形，故不符合题意； B.若添加AC=BD，根据对角线相等的平行四边形是矩形，可判断四边形ABCD是矩形，故符合题意； C.若添加BD平分∠ABC，则有∠ABD=∠DBC，∵平行四边形ABCD中，AB//CD，∴∠ABD=∠CDB，∴∠DBC=∠CDB，∴BC=DC，∴平行四边形ABCD是菱形，故不符合题意； D. 若添加AC⊥BD，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可判断四边形ABCD是菱形，故不符合题意， 故选B. 【点睛】本题考查了矩形的判定，菱形的判定，熟练掌握相关的判定定理是解题的关键. 4. 关于的方程的两根的平方和是5，则的值是(    ) A. -1或5 B. 1 C. 5 D. -1 【答案】D 【解析】 【分析】设方程的两根为、，根据根与系数的关系得到，，由于，变形得到，则，然后解方程，满足的的值为所求. 【详解】设方程的两根为、，则，， ， ， ， ，， ， . 故选：. 【点睛】本题考查了一元二次方程（）的根与系数的关系：若方程的两根为、，则，，也考查了一元二次方程的根的判别式. 5. 某工厂一月份产值为50万元，计划二、三月份总产值达到120万元，求二、三月份平均每月的增长率为多少？设二、三月份平均每月的增长率为，根据题意，可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的增长率问题，根据题意，二、三月份的总产值需达到120万元，需分别表示这两个月的产值并求和，据此进行列式作答即可． 【详解】解：设每月增长率为，则二月份产值为万元，三月份产值为万元， 可得方程： 故选：B 6. 下列结论中，错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式的性质，比例的基本性质及其应用，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解： 由，设，， 代入，， ∴等式成立，故A正确，不符合题意； 由，两边乘得， 整理得， 即，故B正确，不符合题意； 仅说明与的比为， 但，并非唯一解（如，也满足）， 原结论错误，故C错误，符合题意； ∵，，，， ∴（因，即），故D正确，不符合题意； 故选：C 7. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，二次根式的加减乘除运算，根据相关运算法则进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D 8. 如图，过边长为2的正方形的中心引两条互相垂直的射线，分别与正方形的边交于两点，则线段长的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点O作于点G．易证，从而可得，可得，当最小时，最小，此时与重合，从而可求得线段的最小值，同理求出线段的最大值，即可作答． 【详解】解：过点O作于点G，连接，如图所示， ∵四边形是正方形，且对角线、相交于点O， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴由勾股定理得：， ∴当最小时，最小； ∵， ∴， 即当与重合时，线段最小，最小值为的长， 从而的最小值为 ， ∵，， ∴G点是的中点， ∴， ∴， 当最大时，最大； 当与重合时，则最大，即最大； ∵四边形是正方形， ∴ 即， ∴， ∵， ∴最大， ∴， 故选：A． 【点睛】本题是一个求最值的问题，考查了正方形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，垂线段最短等知识．关键是把求线段的最值转化为求线段的最值． 9. 如图，在中，，，平分，若，则长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据三角形内角和列式计算得，运用角平分线的定义得，整理得，，再证明，代入数值到，进行解方程，即可作答． 【详解】解：∵在中，，， ∴． ∵平分， ∴．， ∴， ∴ 即 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 则 ∴ 即（负值已舍去） 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形内角和，三角形外角性质，等角对等边，相似三角形的判定与性质，公式法进行解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 10. 已知，如图所示的一张三角形纸片ABC，边AB的长为20cm，AB边上的高为25cm，在三角形纸片ABC中从下往上依次裁剪去宽为4cm的矩形纸条，若剪得的其中一张纸条是正方形，那么这张正方形纸条是（　　） A. 第4张 B. 第5张 C. 第6张 D. 第7张 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：根据相似三角形的相似比求得顶点到这个正方形的长，再根据矩形的宽求得是第几张． 解：已知剪得的纸条中有一张是正方形，则正方形中平行于底边的边是4， 所以根据相似三角形的性质可设从顶点到这个正方形的线段为x， 则4:20=x:25， 解得x=5， 所以另一段长为25−5=20， 因为20÷4=5，所以是第5张. 故选B. 点睛：本题是一道动手操作题.主要涉及的知识点是相似三角形的性质.解题的关键在于要在理解题意的基础上，运用相似三角形的性质建立方程求解. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．只要求填出最后结果） 11. =成立，则x的取值范围是______． 【答案】-1＜x≤3 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件及二次根式有意义的条件即可解答. 【详解】∵成立， ∴3-x≥0，x+1＞0， 解得：-1＜x≤3． 故答案为-1＜x≤3． 【点睛】本题考查的是分式有意义的条件及二次根式有意义的条件，掌握分式“有意义的条件：分母不等于0，二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0”是关键. 12. 计算：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式乘法运算，涉及乘法分配律，先由乘法分配律展开，再由二次根式乘法运算法则及加法运算法则求解即可得到答案．熟记二次根式运算律及相关运算法则是解决问题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 已知实数，满足．则___________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则． 根据题意可构造关于的一元二次方程，那么再由根与系数的关系即可求解． 【详解】解：∵实数，满足， ∴为关于的一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴由根与系数的关系可得：， 故答案为：4． 14. 同学在信息技术课上设计了一个程序：当输入实数对时，会得到一个新的实数，例如输入时，就会得到实数（即）．若输入实数对时得到实数3，则___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查程序与实数运算，涉及开平方运算，按照当输入实数对时，会得到一个新的实数，由输入实数对时得到实数3，可得，化简后直接开平方即可得到答案．看懂程序，掌握直接开平方运算是解决问题的关键． 【详解】解：当输入实数对时，会得到一个新的实数， 由输入实数对时得到实数3，可得， 即， 解得或， 故答案为：或． 15. 如图，已知，，和边的高分别为和，连接，若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是含30度角的直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，先证明，可得，，证明，从而可得结论． 【详解】解：∵，和边的高分别为和， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 16. 如图，点是正方形边延长线上一点，连接，过点作交的延长线于点，交的延长线于点，若，，则___________．（用含有的代数式表示） 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．作交于点，证明，推出，根据列式计算即可求解． 【详解】解：作交于点，如图， ∵正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17. 用适当的方法解一元二次方程： （1） （2） 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）移项后用因式分解法求解即可； （2）用公式法求解即可． 【小问1详解】 解：∵ ∴ ∴ ∴或 ∴； 【小问2详解】 解：∵ ∴ ∴ ∴，． 18. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先由二次根式性质化简，再由二次根式加减运算求解即可得到答案； （2）由完全平方公式展开，再由二次根式乘法及加法运算求解即可得到答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 【点睛】本题考查二次根式混合运算，涉及二次根式性质化简、二次根式乘法运算法则、二次根式加减运算法则、完全平方公式等知识．熟记二次根式性质及混合运算法则是解决问题的关键． 19. 如图△ABC的顶点坐标分别为A(1，1)，B(2，3)，C(3，0)． （1）以点O为位似中心画△DEF，使它与△ABC位似，且相似比为2． （2）在（1）的条件下，若M(a，b)为△ABC边上的任意一点，则△DEF的边上与点M对应的点M′的坐标为_______________． 【答案】（1）见解析；（2）(2a，2b)或(﹣2a，﹣2b) 【解析】 【分析】（1）根据△ABC的三点坐标即相似比，求出位似图形的三点坐标，在平面直角坐标系中描出各点，再顺次连结线段即可； （2）根据位似比即可求出． 【详解】解：（1）∵△ABC的顶点坐标分别为A(1，1)，B(2，3)，C(3，0)．相似比为2． ∴D（1×2,1×2）或D′（-1×2，-1×2）即D（2,2）或D′（-2，-2）， 点E（2×2,3×2）或E′（-2×2，-3×2）即E（4,6）或E′（-4，-6）， 点F（3×2,0）或F′（-3×2,0）即F（6,0）或F′（-6,0）， 描点D，E，F，及D′，E′，F′再连线DE，EF，FD及D′E′，E′F′,F′D′， 如图，△DEF和△D′E′F′为所作； （2）点M对应的点M′的坐标为（2a，2b）或（﹣2a，﹣2b）． 故答案为（2a，2b）或（﹣2a，﹣2b）． 【点睛】本题考查三角形位似图形的画法，先求点的坐标，再描点，顺次连结线段，掌握三角形位似图形的画法，先求点的坐标，再描点，顺次连结线段，尤其点的坐标利用放大或缩小坐标法，注意位似图形有两个是解题关键． 20. 关于的方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）是否存在实数，使方程的两个实数根的倒数之和等于0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1），且 （2）不存在实数，使方程的两个实数根的倒数之和等于0 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的情况与判别式关系：当一元二次方程有两个不相等的实数根；当一元二次方程有两个相等的实数根；当一元二次方程无实数根；一元二次方程根与系数的关系：．熟记一元二次方程根的情况与判别式关系、根与系数的关系，得出方程求解是解决问题的关键． （1）由题意可得，且，解不等式即可得到答案； （2）由一元二次方程根与系数的关系得到，代入解方程，再由（1）中，且判断即可得到答案． 【小问1详解】 解：关于的方程有两个不相等的实数根， ，且， 解得，且； 【小问2详解】 解：不存在实数，使方程的两个实数根的倒数之和等于0， 理由如下： 设关于的方程的两个不相等的实数根为，， 则， 方程的两个实数根的倒数之和等于0， ， 则， 解得， 由（1）知，，且， 不存在实数，使方程的两个实数根的倒数之和等于0． 21. 如图，学校有一块直角三角形的闲置绿地（）打算绿化改造．学校计划在这块绿地内开辟出一个矩形的花卉种植区，用来种植各种花卉．已知直角三角形绿地的两条直角边分别长为和．为了满足花卉种植数量的需求，规定矩形花卉种植区的面积要达到，请你求出此时花卉种植区的宽边的长度． 【答案】此时花卉种植区的宽边的长度为． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，一元二次方程的应用．设，利用矩形的性质证明，根据相似三角形的性质列方程，解一元二次方程即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， 设，则，， ∵， ∴， ∴，即， 整理得，即， 解得， 答：此时花卉种植区的宽边的长度为． 22. 荣成海鲜以其丰富的种类，优良的品质和悠久的历史而闻名．近年来，荣成市大力推进科技兴海，以养兴渔的策略．某海鲜店从当地渔民处以20元/斤的价格购进一批爬虾，经市场调研发现，这种虾爬的日销售量（斤）与每斤售价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． （1）求与之间的函数关系式； （2）为使日销售这种爬虾的利润为1750元，而且尽可能让顾客得到实惠，该爬虾的实际售价应定为多少元？ 【答案】（1）； （2）该爬虾的实际售价应定为45元． 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用以及一次函数应用，审清题意正确列出方程和函数的表达式是解题关键． （1）直接利用待定系数法求出一次函数解析式进而得出答案； （2）根据“总利润=单件利润×销售量”列方程求解后，根据要让消费者得到实惠可得答案． 【小问1详解】 解：与的函数关系式为：， 把，代入得： ， 解得：， ∴与的函数关系式为：； 【小问2详解】 解：根据题意知，， 整理得：， 解得：或， ∵要让消费者得到实惠， ∴， 答：该爬虾的实际售价应定为45元． 23. 综合与实践 折纸是一项有趣的活动，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．在折纸过程中，我们可以研究图形的运动和性质，也可以在思考问题的过程中，初步建立几何直观，现在就让我们带着数学的眼光来折纸吧． 实践操作：如图1，将平行四边形沿对角线翻折，使点落在平行四边形所在平面内，和相交于点，连接． 解决问题： （1）在图1中： ①将剪下后展开，得到的图形形状是___________； ②与存在怎样的位置关系？请说明理由； （2）将图1中的平行四边形变成矩形，如图2所示．若，则___________． 【答案】（1）①菱形；②，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）①由折叠的性质结合平行四边形的性质求得，推出，将剪下后展开，得到的四边形四边相等，据此求解即可； ②先证明，推出，由结合三角形内角和定理，求得，即可得到； （2）证明，推出，设，，利用勾股定理求得，据此求解即可． 【小问1详解】 解：①由折叠的性质得， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， 将剪下后展开，得到的四边形四边相等， ∴将剪下后展开，得到的图形形状是菱形； 故答案为：菱形； ②，理由如下， ∵四边形是平行四边形， ∴， 由折叠的性质得， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）知，， ∴， ∴， 设，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，平行四边形的性质，矩形的性质，菱形的判定，三角形的判定和性质，勾股定理等．证明是解题的关键． 24. 如图①，的两外角平分线交于点，过点分别作，，分别交与的延长线于点． （1）判断四边形的形状； （2）求的长； （3）如图②，在正方形内部有一点，且满足，将绕点逆时针旋转，得到，连接，则的最小值为______．（直接写出答案） 【答案】（1）正方形 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先判断四边形是矩形，再由角平分线的性质得到，即可判定四边形是正方形； （2）由（1）知，进而得到，，根据已知，设，则，，在中，由勾股定理列方程求解即可得到答案； （3）连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接，如图所示，结合旋转性质及勾股定理求解相关线段长，在中，由三角形三边关系可知，且三点可以共线，即，当三点共线时，可得的最小值为，即可确定答案． 【小问1详解】 解：四边形是正方形， 理由如下： ，，， ， 四边形是矩形， 过点作，如图所示： 分别是和的角平分线， ，， 即， 四边形是正方形； 【小问2详解】 解：如图所示： 由（1）知， ，，， ，， ， ， 正方形的边长为，， 设，则， ， 在中，，，，，则由勾股定理可得， 即， 解得， ； 【小问3详解】 解：连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接，如图所示： 在正方形内部有一点，且满足， 由旋转性质可得，，， 在中，，，，则由勾股定理可得， ， ， 是等腰直角三角形，则由勾股定理可得， 在中，由三角形三边关系可知，且三点可以共线，即，当三点共线时，可得的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查几何综合，压轴题，难度较大，涉及正方形判定与性质、矩形的判定与性质、角平分线性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、旋转性质、三角形三边关系求最值、等腰直角三角形的判定与性质等知识．熟记相关几何判定与性质，由所求问题准确构造辅助线求解是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三数学试题 注意事项： 同学你好！答题前，请仔细阅读以下说明： 1．本试卷共6页，满分120分．考试时间120分钟．考试结束只上交答题卡． 2．答题前，用0.5毫米黑色签字笔将考生信息填涂在答题卡制定的位置上． 3．将选择题答案用铅笔涂在答题卡对应题目的标号上，将非选择题答案用0.5毫米黑色中性笔填写在答题卡上，不能使用涂改液、胶带纸、修正带，不要求保留精确度的题目，计算结果保留准确值． 4．写在试卷上或答题卡指定区域以外的答案一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分） 1. 下列各式不是最简二次根式的是( ) A. B. C. D. 2. 如图，，则下列各式不能说明的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图1，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点0，添加下列条件后，能使▱ABCD成为矩形的是（　　） A. AB=AD B. AC=BD C. BD平分∠ABC D. AC⊥BD 4. 关于的方程的两根的平方和是5，则的值是(    ) A. -1或5 B. 1 C. 5 D. -1 5. 某工厂一月份产值为50万元，计划二、三月份总产值达到120万元，求二、三月份平均每月的增长率为多少？设二、三月份平均每月的增长率为，根据题意，可列方程（ ） A. B. C. D. 6. 下列结论中，错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若 7. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，过边长为2的正方形的中心引两条互相垂直的射线，分别与正方形的边交于两点，则线段长的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，平分，若，则长度为（ ） A. B. C. D. 10. 已知，如图所示的一张三角形纸片ABC，边AB的长为20cm，AB边上的高为25cm，在三角形纸片ABC中从下往上依次裁剪去宽为4cm的矩形纸条，若剪得的其中一张纸条是正方形，那么这张正方形纸条是（　　） A. 第4张 B. 第5张 C. 第6张 D. 第7张 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．只要求填出最后结果） 11. =成立，则x的取值范围是______． 12. 计算：___________． 13. 已知实数，满足．则___________． 14. 同学在信息技术课上设计了一个程序：当输入实数对时，会得到一个新的实数，例如输入时，就会得到实数（即）．若输入实数对时得到实数3，则___________． 15. 如图，已知，，和边的高分别为和，连接，若，则___________． 16. 如图，点是正方形边延长线上一点，连接，过点作交的延长线于点，交的延长线于点，若，，则___________．（用含有的代数式表示） 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17. 用适当的方法解一元二次方程： （1） （2） 18. 计算 （1）； （2）． 19. 如图△ABC的顶点坐标分别为A(1，1)，B(2，3)，C(3，0)． （1）以点O为位似中心画△DEF，使它与△ABC位似，且相似比为2． （2）在（1）的条件下，若M(a，b)为△ABC边上的任意一点，则△DEF的边上与点M对应的点M′的坐标为_______________． 20. 关于的方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）是否存在实数，使方程的两个实数根的倒数之和等于0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 21. 如图，学校有一块直角三角形的闲置绿地（）打算绿化改造．学校计划在这块绿地内开辟出一个矩形的花卉种植区，用来种植各种花卉．已知直角三角形绿地的两条直角边分别长为和．为了满足花卉种植数量的需求，规定矩形花卉种植区的面积要达到，请你求出此时花卉种植区的宽边的长度． 22. 荣成海鲜以其丰富的种类，优良的品质和悠久的历史而闻名．近年来，荣成市大力推进科技兴海，以养兴渔的策略．某海鲜店从当地渔民处以20元/斤的价格购进一批爬虾，经市场调研发现，这种虾爬的日销售量（斤）与每斤售价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． （1）求与之间的函数关系式； （2）为使日销售这种爬虾的利润为1750元，而且尽可能让顾客得到实惠，该爬虾的实际售价应定为多少元？ 23. 综合与实践 折纸是一项有趣的活动，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．在折纸过程中，我们可以研究图形的运动和性质，也可以在思考问题的过程中，初步建立几何直观，现在就让我们带着数学的眼光来折纸吧． 实践操作：如图1，将平行四边形沿对角线翻折，使点落在平行四边形所在平面内，和相交于点，连接． 解决问题： （1）在图1中： ①将剪下后展开，得到的图形形状是___________； ②与存在怎样的位置关系？请说明理由； （2）将图1中的平行四边形变成矩形，如图2所示．若，则___________． 24. 如图①，的两外角平分线交于点，过点分别作，，分别交与的延长线于点． （1）判断四边形的形状； （2）求的长； （3）如图②，在正方形内部有一点，且满足，将绕点逆时针旋转，得到，连接，则的最小值为______．（直接写出答案） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $