精品解析：山东省泰安市宁阳县2025-2026学年八年级下学期期末学情检测数学试题

八年级数学试题 （满分：150分时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列二次根式中，能与合并的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程，变形后结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 四条线段、、、是成比例线段，其中、、，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 7 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，对角线，相交于点，添加下列条件不能判定是菱形的只有（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，．嘉嘉想用尺规作图法，在的边上找一点，使得．其中不能实现的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知方程的一根为，则方程的另一根为（ ） A. B. C. D. 3 8. 如图，在中，，，点是边上一点，，点在边上．若，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 2 9. 如图，，是矩形的对角线，点是边上一点，连接．若，且，则的长度为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，是正方形的对角线，分别是边的中点，作点关于的对称点，连接，交于点，延长交于点． 给出下面四个结论： ①；②；③；④． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④ 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分． 11. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是________． 12. 菱形的一条对角线长为8，其边长是方程的一个根，则该菱形的周长为________． 13. 中国纸扇历史悠久，古代工匠凭审美与经验形成了稳定的“东方黄金律”，设计中多处暗合黄金分割．如扇面高度（）与扇柄长度（）之比就符合黄金比，此时重心适中，持握舒适．若，则___________．（结果保留根号） 14. 如图，在中，点、分别是、的中点，连接、交于点，交于点，那么________． 15. 将1，，，按右侧方式排列．若规定表示第m排从左向右第n个数，则与表示的两数之积是________． 三、解答题：本题共8小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算 （1）； （2）； （3）． 17. 解一元二次方程： （1）； （2）； （3）． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为4，求的值以及另一个根． 19. 如图，在中，点D，E分别在边上且，连接，． （1）求证：． （2）若点E为中点，，若，求的长． 20. 淇淇和嘉嘉在学习了利用相似三角形测高之后分别测量两个旗杆的高度． （1）如图①所示，淇淇采用镜面反射法．将镜子放在地面点处，此时淇淇恰好能从镜子中看到旗杆顶端，已知淇淇眼睛到地面的距离，且，旗杆．，，求旗杆的高度． （2）嘉嘉利用自制的直角三角形硬纸板来测量旗杆的高度，他通过调整测量位置，使斜边与地面保持平行，并使一直角边与旗杆顶点在同一直线上．已知米，米，目测点到地面的距离为1.6米，到旗杆的水平距离为18米，求旗杆的高度． 21. 为庆祝中国航天事业成立70周年，某航天科普基地推出了一款运载火箭纪念品，深受青少年喜爱． （1）该纪念品今年1月份的销售量为600件，3月份的销售量为864件．若1月份到3月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率． （2）该纪念品的进价为每件50元，据市场调查发现，若售价为每件90元，每天能销售30件；售价每降价1元，每天可多售出2件．为推广航天知识，基地决定降价促销，同时尽快减少库存．若使销售该纪念品每天获利1400元，则售价应降低多少元？ 22. 菱形的对角线，相交于点，取中点，连接并延长，使得，连接，． （1）如图1，求证：四边形为矩形； （2）如图2，若，，连接．求：的面积和菱形的面积． 23. 手工实践课上，老师带领同学们开展趣味折纸活动，每位同学都领到三张平整的长方形卡纸，其中，．大家跟随老师的步骤动手折叠、探究图形变化中的数学问题： （1）动手操作一： 将一张长方形卡纸进行折叠，使顶点与顶点重合，压出平整折痕，然后展平得到图1，请写出四边形是什么特殊四边形：___________________； （2）动手操作二： 为进一步探究折叠规律，大家在第二张卡纸上先找出线段的中点，再沿着线段向内折叠，使顶点落在长方形内部的点处，连接，如图2， ①试判断线段与折痕的位置关系，并说明理由， ②求线段的长； （3）动手操作三： 大家在第三张卡纸上先找出线段的中点，沿线段折叠卡纸，让顶点落在点处，连接并延长，交边于点．展平后再次折叠纸片得到，如图3，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学试题 （满分：150分时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列二次根式中，能与合并的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化为最简二次根式后被开方数相同的二次根式是同类二次根式，只有同类二次根式可以合并，将各选项化简后判断被开方数即可确定． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并； B、，与不是同类二次根式，不能合并； C、，与不是同类二次根式，不能合并； D、，与是同类二次根式，可以合并． 2. 用配方法解方程，变形后结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用完全平方公式对等式左边进行配方，即可得结论． 【详解】解：， ∴， ∴． 3. 四条线段、、、是成比例线段，其中、、，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】四条线段a、b、c、d成比例，满足，根据比例的基本性质变形可得，将已知线段长度代入即可计算出d的值． 【详解】解：∵四条线段、、、是成比例线段， ∴， 即， 将，，代入等式，得， 整理得， 解得． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A、，原式计算正确，符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意． 5. 如图，在中，对角线，相交于点，添加下列条件不能判定是菱形的只有（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质．菱形的判定方法即可一一判断． 【详解】解：A、对角线垂直的平行四边形是菱形，该选项不符合题意； B、一组邻边相等的平行四边形是菱形，该选项不符合题意； C、对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形，该选项符合题意； D、因为四边形是平行四边形，所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以平行四边形是菱形，该选项不符合题意． 6. 如图，在中，，．嘉嘉想用尺规作图法，在的边上找一点，使得．其中不能实现的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据，得，观察各选项中是否满足即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， 选项A：图中所作为的角平分线， 故，满足； 选项B：图中所作为线段的垂直平分线， 得， ∴， ∴，满足； 选项C：图中所作为的垂线， ∴，故不满足； 选项D：图中所作为， ∴，满足； 综上，不满足的做法为选项C． 7. 已知方程的一根为，则方程的另一根为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】一元二次方程根与系数的关系：两根之积等于常数项与二次项系数的比，据此求解即可． 【详解】解：设方程的两根为， 由根与系数的关系得：， ∵， ∴， 因此方程的另一根为． 8. 如图，在中，，，点是边上一点，，点在边上．若，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】求出的长，证明得到，据此代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 9. 如图，，是矩形的对角线，点是边上一点，连接．若，且，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意容易证明，则，计算得，由矩形的性质可得． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 10. 如图，是正方形的对角线，分别是边的中点，作点关于的对称点，连接，交于点，延长交于点． 给出下面四个结论： ①；②；③；④． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】证明，得由对称性得，可判断①正确；记交于点，由三角形内角和定理得可判断②正确；证明可得，可判断③；分别证明，，可判断④ 【详解】解：①四边形是正方形， 分别是边的中点， ， 点关于对称， ， ，故①正确； ②如图，记交于点， 由①知 ， ，故②正确； ③四边形是正方形， ， 是正方形的对角线， 关于对称， 三点共线， 是的中点， ，故③错误； ④如图，连接， 四边形是正方形， ， 又 ， ， 由①知 点关于对称， ， 又 ， ，故④正确， 综上所述，正确的结论序号为①②④． 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分． 11. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，可得被开方数为非负数，据此列出关于的不等式求解即可． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴， 解得． 12. 菱形的一条对角线长为8，其边长是方程的一个根，则该菱形的周长为________． 【答案】20 【解析】 【分析】解方程得出x=4，或x=5，分两种情况：①当AB=AD=4时，4+4=8，不能构成三角形；②当AB=AD=5时，5+5＞8，即可得出菱形ABCD的周长． 【详解】解：如图所示： ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC=CD=AD， ∵ 因式分解得：（x-4）（x-5）=0， 解得：x=4，或 x=5， 分两种情况： 当AB=AD=4时，4+4=8，不能构成三角形； 当AB=AD=5时，5+5＞8，可构成三角形； ∴菱形ABCD的周长=4AB=20． 故答案为：20． 【点睛】本题考查了菱形的性质、一元二次方程的解法、三角形的三边关系；熟练掌握菱形的性质，由三角形的三边关系得出AB是解决问题的关键． 13. 中国纸扇历史悠久，古代工匠凭审美与经验形成了稳定的“东方黄金律”，设计中多处暗合黄金分割．如扇面高度（）与扇柄长度（）之比就符合黄金比，此时重心适中，持握舒适．若，则___________．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】根据黄金分割的定义，确定线段与的数量关系，即较短线段与较长线段的比等于黄金比，代入的长度进行计算即可求解． 【详解】解：由题意可知，与之比符合黄金比，且由图形可知为较长线段，为较短线段， 根据黄金分割的定义可得  因为  所以  14. 如图，在中，点、分别是、的中点，连接、交于点，交于点，那么________． 【答案】 【解析】 【分析】根据中位线的性质，可知，进而可知，根据线段关系可知相似比，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可知，进而可转化出答案． 【详解】解：∵点分别是的中点， ∴是的中位线， 则，， ，， ， ， ∵， ， ， ， ， ， 则． 15. 将1，，，按右侧方式排列．若规定表示第m排从左向右第n个数，则与表示的两数之积是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题中所给排列方式，求出与表示的数，再相乘即可解决问题． 【详解】解：由题知， 因为第1排有1个数，第2排有2个数，第3排有3个数，， 所以第排有个数， 则前排数的总个数为：； 当时， ， 即前9排数的总个数为45， 所以第10排第一个数是的总第46个数， 又因为， 所以表示的数为； 当时， ， 即前14排数的总个数为105， 又因为， 所以表示的数为； 即与表示的两数之积为． 三、解答题：本题共8小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算 （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ． 17. 解一元二次方程： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）， （2）， （3）， 【解析】 【分析】（1）变形后使用直接开平方法求解， （2）无法因式分解，使用求根公式法求解， （3）整理为一般形式后使用因式分解法求解． 【小问1详解】 解：对于方程， 两边同时除以得， 开平方得， 解得，． 【小问2详解】 解：对于方程， 可得，，， ∴， ∴， 解得，． 【小问3详解】 解： ∴， 因式分解得， 可得或， 解得，． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为4，求的值以及另一个根． 【答案】（1）证明：∵， ∴ ∴ ， ∵， ∴， ∴无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2），另一个根为 【解析】 【分析】（1）先把原方程化为一般式，再利用判别式证明即可； （2）把代入到原方程中求出m的值，再解原方程求出另一个根即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵该方程的一个根为4， ∴把代入得， 解得， ∴原方程为，即， ∴， ∴或， 解得或， ∴原方程的另一个根为． 19. 如图，在中，点D，E分别在边上且，连接，． （1）求证：． （2）若点E为中点，，若，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，三角形中线的性质，证明是解题的关键． （1）根据已知条件得到，再根据两边对应成比例且它们的夹角相等的两三角形相似进行证明即可； （2）先求出，再根据，求出，根据，求出，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵点E为中点，， ∴， ∵， ∴， 根据解析（1）可知：， ∴， 解得：， ∴． 20. 淇淇和嘉嘉在学习了利用相似三角形测高之后分别测量两个旗杆的高度． （1）如图①所示，淇淇采用镜面反射法．将镜子放在地面点处，此时淇淇恰好能从镜子中看到旗杆顶端，已知淇淇眼睛到地面的距离，且，旗杆．，，求旗杆的高度． （2）嘉嘉利用自制的直角三角形硬纸板来测量旗杆的高度，他通过调整测量位置，使斜边与地面保持平行，并使一直角边与旗杆顶点在同一直线上．已知米，米，目测点到地面的距离为1.6米，到旗杆的水平距离为18米，求旗杆的高度． 【答案】（1）旗杆的高度为 （2）旗杆的高度米 【解析】 【分析】（1）根据题意得出，进而利用相似三角形的性质得出答案． （2）证明四边形为矩形，则和，进一步证明，则，即可求得，结合即可． 【小问1详解】 解：根据光的反射的性质，， 又∵， ∴， ∴， 将，，，代入上式， 得， 解得， 故旗杆的高度为； 【小问2详解】 解：∵， ∴四边形为矩形， ∵目测点到地面的距离为1.6米，到旗杆的水平距离为18米， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵米，米， ∴， 解得， ∴， 答：旗杆的高度米． 21. 为庆祝中国航天事业成立70周年，某航天科普基地推出了一款运载火箭纪念品，深受青少年喜爱． （1）该纪念品今年1月份的销售量为600件，3月份的销售量为864件．若1月份到3月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率． （2）该纪念品的进价为每件50元，据市场调查发现，若售价为每件90元，每天能销售30件；售价每降价1元，每天可多售出2件．为推广航天知识，基地决定降价促销，同时尽快减少库存．若使销售该纪念品每天获利1400元，则售价应降低多少元？ 【答案】（1）月平均增长率为 （2）售价应降低20元 【解析】 【分析】（1）设月平均增长率为，因为1月销售量为600件，月平均增长率相同，所以3月销售量满足，直接求解该一元二次方程即可。 （2）设售价应降低元，因为每降价1元多售2件，所以降价后每天销售量为件，每件利润为元，根据总利润=单件利润×销售量，列方程，求解后结合“尽快减少库存”的条件选取符合要求的解。 【小问1详解】 解：设月平均增长率为x 根据题意得：， 解得（不符合题意，舍去） 答：月平均增长率为． 【小问2详解】 解：设售价应降价y元． 根据题意可得： 整理可得： 解得： 为了尽快减少库存，应降价20元 答：售价应降低20元． 22. 菱形的对角线，相交于点，取中点，连接并延长，使得，连接，． （1）如图1，求证：四边形为矩形； （2）如图2，若，，连接．求：的面积和菱形的面积． 【答案】（1）见解析 （2）的面积为，菱形的面积为 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的判定，含度角的直角三角形的性质； （1）根据菱形的性质可得，证明得出，即可得出，，即可证明四边形是平行四边形，进而根据，即可得证； （2）过点作于点，根据含30度角的直角三角形的性质得出，进而根据三角形的面积公式求得的面积，根据（1）的结论可得矩形的面积等于的面积，进而可得菱形的面积，即可求解． 【小问1详解】 解：∵四边形是菱形， ∴， ∵是的中点，则 又∵，， ∴ ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵ ∴四边形为矩形； 【小问2详解】 解：如图所示，过点作于点， ∵四边形是菱形， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 又∵， ∴， ∴菱形的面积， ∴的面积为，菱形的面积为． 23. 手工实践课上，老师带领同学们开展趣味折纸活动，每位同学都领到三张平整的长方形卡纸，其中，．大家跟随老师的步骤动手折叠、探究图形变化中的数学问题： （1）动手操作一： 将一张长方形卡纸进行折叠，使顶点与顶点重合，压出平整折痕，然后展平得到图1，请写出四边形是什么特殊四边形：___________________； （2）动手操作二： 为进一步探究折叠规律，大家在第二张卡纸上先找出线段的中点，再沿着线段向内折叠，使顶点落在长方形内部的点处，连接，如图2， ①试判断线段与折痕的位置关系，并说明理由， ②求线段的长； （3）动手操作三： 大家在第三张卡纸上先找出线段的中点，沿线段折叠卡纸，让顶点落在点处，连接并延长，交边于点．展平后再次折叠纸片得到，如图3，请直接写出的长． 【答案】（1）四边形是菱形 （2）①位置关系：，理由如下： 连接交于点，如图， 由翻折可知：垂直平分， ∴，， ∵点为的中点， ∴是的中位线， ∴，即； ②线段的长为； （3） 【解析】 【分析】（1）连接，，设与交于点，由翻折可知，，是的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质可得，，由矩形的性质可得，推出，，证明得出，即可得证； （2）①连接交于点，由翻折可知垂直平分，由线段垂直平分线的性质可得，，证明是的中位线，得出，即可得解；②根据①可求出，由勾股定理可得，由等面积法求出，得出，最后再由勾股定理计算即可得解； （3）延长交的延长线于点，则，，，，根据矩形的性质即可证明，有，结合平行线的性质得到，即有，设，则，利用勾股定理，求得和，设，则和，在中，利用勾股定理求得即可． 【小问1详解】 解：如图，连接，，设与交于点， 由翻折可知：，，是的垂直平分线， 即有，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：①略 ②如图， 由①可知：，， 在矩形纸片中，，， ∵点为的中点， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：延长交的延长线于点，如图， 则，，，， ∵四边形是矩形， ∴， ∵点为线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由折叠得， ∴， 则， 设， ∵， ∴， ∵，点为线段的中点， ∴， ∵， ∴， 解得， 则， 设，则，， ∵，， ∴， 在中，， 即， 解得， 则． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $