精品解析：黑龙江牡丹江市第二高级中学2025-2026学年高二下学期7月期末考试数学试卷

2025—2026学年度第二学期期末试题 数学 考生注意 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在试题卷、草稿纸上作答无效． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，若，则（ ） A. 1 B. 3 C. D. 2. 已知函数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 的最小值为（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 6 4. 已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 或 5. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 6. 设定义域为R，对任意的都有，且当时，，则有（    ） A. B. C. D. 7. 2名女生、4名男生排成一排，则2名女生不相邻的不同排法种数为（ ） A. 72 B. 144 C. 240 D. 480 8. 小明常用人工智能大模型DeepSeek解决学习疑问．当小明输入的问题表达清晰时，DeepSeek的回复被采纳的概率为0.8；当小明输入的问题表达不清晰时，DeepSeek的回复被采纳的概率为0.3．若小明输入的问题表达清晰的概率为0.7，则DeepSeek的回复被采纳的概率为（ ） A. 0.56 B. 0.65 C. 0.77 D. 0.8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数在区间上单调递减，则实数的可能取值为（ ） A. 0 B. C. D. 1 10. 下列说法正确的是（   ） A. 已知 若则 B. 已知则 C. 不等式对一切实数恒成立的充要条件是 D. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 11. 下列说法正确的有（ ） A. 成对样本数据的线性相关程度越强，则样本相关系数的值越接近于1 B. 命题：“，”的否定为“，” C. 若随机变量，，则 D. 已知，，，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. ______． 13. 的展开式中的系数为_____________.（用数字作答） 14. 设是周期为4的奇函数，当时，，则______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数 （1）当时，求不等式的解集； （2）当时，有，求的最小值，并求取最小值时的值. 16. 已知是定义在上的偶函数，当时，． （1）当时，求的解析式； （2）求满足不等式的的取值范围． 17. 设函数，且. （1）求实数的值及函数的定义域； （2）求函数在区间上的最小值及此时x的值. 18. 某医学研究院为了解患肝病与长期持续饮酒的关系，随机抽取200名中老年人对其肝脏的状态和饮酒习惯进行调查，得到成对样本分类统计数据如下表： 肝病患者 非肝病患者 合计 长期持续饮酒 40 60 100 非长期持续饮酒 20 80 100 合计 60 140 200 （1）依据小概率值的独立性检验，分析长期持续饮酒与患肝病是否有关联； （2）从肝病患者样本中按比例用分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，求这3人中至少有2人长期持续饮酒的概率. 附：. 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 19. 在2025年春节期间，某实体百货店铺向外公开举办商品促销活动，在全场商品中，顾客只要愿意消费元，即可在下列两个方案中任选一种抽奖一次． 方案①：A号抽奖箱内装有形状、大小、重量完全一样的个蓝球和个白球，每名抽奖顾客从中有放回地随机摸出球．中奖规则为：每摸出个蓝球，减免元． 方案②：B号抽奖箱内装有形状、大小、重量完全一样的个蓝球和个白球，每名抽奖顾客从中无放回地随机摸出球，中奖规则为：若摸出个蓝球，享受免费优惠；若摸出个蓝球，1个白球，则按原价的折优惠；若摸出2个白球，则抵扣现金元. （1）若某顾客消费元，选择抽奖方案①，求该顾客实际支付现金的分布列和期望； （2）若某顾客消费元，请从实付金额的期望值分析顾客选择哪一种抽奖方案更划算? 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期期末试题 数学 考生注意 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在试题卷、草稿纸上作答无效． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，若，则（ ） A. 1 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为， 所以或， 当时，与集合元素的互异性矛盾； 当时，可得，此时,满足 故. 2. 已知函数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【详解】由复合函数的单调性可得在上单调递增，所以“”是“”的充要条件. 3. 的最小值为（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 6 【答案】B 【解析】 【详解】因为， 当且仅当，即，时，等号成立, 所以的最小值为9. 4. 已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】条件可转化为命题“，”是真命题，结合二次函数性质可得结论. 【详解】因为命题“，”是假命题， 所以命题“，”是真命题， 由题意可得，解得， 故实数的取值范围是. 5. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先确定函数的定义域与单调性，再计算各区间端点的函数值，结合零点存在性定理判断零点所在区间. 【详解】由函数可知，函数的定义域为， 又与在上单调递增，所以函数在上单调递增， 因为， 所以，根据零点存在性定理可知，函数的零点所在区间为. 6. 设定义域为R，对任意的都有，且当时，，则有（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，可得关于对称，所以，根据时的解析式，可得其单调性，根据对称性，可得时的单调性，根据自变量的大小关系，可得函数值的大小关系，即可得答案. 【详解】因为，所以关于对称， 因为当时，，单调递增， 所以当时，单调递减， 因为， 所以. 故选：B 7. 2名女生、4名男生排成一排，则2名女生不相邻的不同排法种数为（ ） A. 72 B. 144 C. 240 D. 480 【答案】D 【解析】 【分析】本题为排列中的不相邻问题，采用插空法求解，先排男生再将女生插入男生形成的空隙，结合分步乘法计数原理计算即可. 【详解】先排列4名男生，因个体互不相同，全排列的种数为， 4名男生排列完成后，共形成个空隙（包含两端位置）， 从5个空隙中任选2个插入2名女生，女生为不同个体，排列顺序影响结果， 故插入女生的排法种数为， 根据分步乘法计数原理，2名女生不相邻的总排法种数为. 8. 小明常用人工智能大模型DeepSeek解决学习疑问．当小明输入的问题表达清晰时，DeepSeek的回复被采纳的概率为0.8；当小明输入的问题表达不清晰时，DeepSeek的回复被采纳的概率为0.3．若小明输入的问题表达清晰的概率为0.7，则DeepSeek的回复被采纳的概率为（ ） A. 0.56 B. 0.65 C. 0.77 D. 0.8 【答案】B 【解析】 【详解】设输入的问题表达清晰为事件，回答被采纳为事件, 则， 根据全概率公式. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数在区间上单调递减，则实数的可能取值为（ ） A. 0 B. C. D. 1 【答案】AC 【解析】 【分析】先将分离常数得，结合在区间上单调递减，则有，进而可解得的取值范围. 【详解】由分离常数法可知，反比例型函数可化为， 因为在区间上单调递减，所以，即， 故选项中只有AC满足， 故选：AC. 10. 下列说法正确的是（   ） A. 已知 若则 B. 已知则 C. 不等式对一切实数恒成立的充要条件是 D. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】BD 【解析】 【详解】选项A：由，得. 因为，所以 ，即. 所以，，即，.故A不正确. 选项B：设，，则，. 由，得，. 所以，. 由得，. 由得，. 所以，.故B正确. 选项C：当时，恒成立； 当时，要使得不等式对一切实数恒成立，则需要满足： ，解得，. 综上所述，的取值范围为.故C项不正确. 选项D：因为函数的定义域为，所以，函数的定义域满足: ，解得，. 则函数的定义域为.故D项正确. 11. 下列说法正确的有（ ） A. 成对样本数据的线性相关程度越强，则样本相关系数的值越接近于1 B. 命题：“，”的否定为“，” C. 若随机变量，，则 D. 已知，，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，根据样本相关系数的性质进行判断；B选项，含有存在量词的命题的否定，需要存在量词变全称命题，并对结论进行否定；C选项，根据正态分布的对称性计算即可；D选项，根据独立事件的条件概率推断即可． 【详解】对于A，样本相关系数，成对样本数据的线性相关程度越强，则越接近于，负相关时越接近，故A错误； 对于B，特称命题的否定为全称命题，需将存在量词改为全称量词并否定结论，因此命题的否定为“，”，故B正确； 对于C，根据正态分布可知，，正确； 对于D，由，可得，即事件相互独立，因此，故D正确． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. ______． 【答案】0 【解析】 【详解】. 13. 的展开式中的系数为_____________.（用数字作答） 【答案】 【解析】 【详解】展开式的通项为， 令，解得， 则的系数为. 14. 设是周期为4的奇函数，当时，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性及周期性求解即可. 【详解】因为是周期为4的奇函数，所以， 又当时，，所以. 所以. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数 （1）当时，求不等式的解集； （2）当时，有，求的最小值，并求取最小值时的值. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）利用一元二次不等式的解法可得答案； （2）由可得，再利用基本不等式“1”的妙用可得答案. 【小问1详解】 当时，不等式可化为， 即：，解得：， 即原不等式的解集为 【小问2详解】 由可知，即：. 因为， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 即当时，取得最小值. 16. 已知是定义在上的偶函数，当时，． （1）当时，求的解析式； （2）求满足不等式的的取值范围． 【答案】（1） （2）或． 【解析】 【分析】（1）利用偶函数性质以及时的解析式即可求得结果； （2）根据偶函数在对称区间上的单调性得出不等式关系，即可解得的取值范围. 【小问1详解】 由，则，所以， 因为是偶函数，所以． 【小问2详解】 易知在上单调递增， 由偶函数关于轴对称可得在单调递减， 所以由及定义域可得， 解得或． 17. 设函数，且. （1）求实数的值及函数的定义域； （2）求函数在区间上的最小值及此时x的值. 【答案】（1），定义域为 （2）最小值为0，x 【解析】 【分析】（1）将代入可得的值，由对数函数的定义解不等式组可得的定义域； （2）利用换元法求最值. 【小问1详解】 因为， 由，得，则，解得， 又，解得，所以的定义域为； 【小问2详解】 由（1）得， 因为，令， 令，则函数上单调递增， 故，故的最小值为0， 即时，取最小值. 18. 某医学研究院为了解患肝病与长期持续饮酒的关系，随机抽取200名中老年人对其肝脏的状态和饮酒习惯进行调查，得到成对样本分类统计数据如下表： 肝病患者 非肝病患者 合计 长期持续饮酒 40 60 100 非长期持续饮酒 20 80 100 合计 60 140 200 （1）依据小概率值的独立性检验，分析长期持续饮酒与患肝病是否有关联； （2）从肝病患者样本中按比例用分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，求这3人中至少有2人长期持续饮酒的概率. 附：. 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）认为长期持续饮酒与患肝病有关联 （2） 【解析】 【分析】（1）计算的值，由此作出判断. （2）利用超几何分布的概率计算公式求得这3人中至少有2人长期持续饮酒的概率. 【小问1详解】 零假设为：长期持续饮酒与患肝病之间无关. 根据列联表中的数据，得， ∴根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为长期持续饮酒与患肝病有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005. 【小问2详解】 由题意知，抽取的6人中，长期持续饮酒的有4人，非长期持续饮酒的有2人， 再从这6人中随机抽取3人，记这3人中长期持续饮酒的人数为， 则. 19. 在2025年春节期间，某实体百货店铺向外公开举办商品促销活动，在全场商品中，顾客只要愿意消费元，即可在下列两个方案中任选一种抽奖一次． 方案①：A号抽奖箱内装有形状、大小、重量完全一样的个蓝球和个白球，每名抽奖顾客从中有放回地随机摸出球．中奖规则为：每摸出个蓝球，减免元． 方案②：B号抽奖箱内装有形状、大小、重量完全一样的个蓝球和个白球，每名抽奖顾客从中无放回地随机摸出球，中奖规则为：若摸出个蓝球，享受免费优惠；若摸出个蓝球，1个白球，则按原价的折优惠；若摸出2个白球，则抵扣现金元. （1）若某顾客消费元，选择抽奖方案①，求该顾客实际支付现金的分布列和期望； （2）若某顾客消费元，请从实付金额的期望值分析顾客选择哪一种抽奖方案更划算? 【答案】（1） （2）选择方案②更划算 【解析】 【分析】（1）确定的可能的取值，求出每个值对应的概率，即可得分布列，根据期望公式求得期望. （2）计算两种方案下的实付金额得期望值，比较其大小，即可做出判断. 【小问1详解】 设实付金额为元，则可能取值为，，， 则，， ， 则的分布列为 所以（元）． 【小问2详解】 若选方案①，设摸到蓝球的个数为，实付金额为， 则， 由题意得，故． 所以（元）． 若选方案②，设实付金额为，则的可能取值为，，． 则，，． 所以的分布列为 所以（元）， 因为，故选择方案②更划算． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $