精品解析：黑龙江黑河市龙西北名校联盟2025-2026学年高二下学期第二次教学质量监测数学试卷

黑龙江黑河市龙西北名校联盟2025-2026学年高二下学期第二次教学质量监测数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称命题与存在命题的关系，准确改写，即可求解. 【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“，”的否定是“，”. 2. 某质点的位移（单位：米）与时间（单位：秒）的关系式为，则当时该质点的瞬时速度为（ ） A. 10米/秒 B. 12米/秒 C. 16米/秒 D. 18米/秒 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，求得，当时，求得，即可得到答案. 【详解】由质点的位移与时间的关系式为，可得， 当时，可得，即当时该质点的瞬时速度为米/秒. 3. 若集合，，且，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】若,则，违反集合的互异性， 因为，所以. 4. 若函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据抽象函数的定义域的求解方法，列出不等式，即可求解，得到答案． 【详解】设，由函数的定义域为，得函数的定义域为， 即，因此，解得． 所以的定义域为. 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数与对数函数的单调性比较大小即可. 【详解】指数函数在上为减函数，所以，即， 也即，所以. 对数函数在上单调递减，因为，所以， 即，所以. 6. 已知等比数列的前项和为，且，，则（ ） A. 12或-15 B. 15或-12 C. 15 D. 12 【答案】B 【解析】 【详解】因为等比数列的前项和为，且，， 所以，且，两式相除得， 解得或， ，故或. 7. “函数存在零点”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】求导，利用导数分析函数的单调性和零点，可得，结合充分、必要条件分析判断. 【详解】由题意可知：的定义域为，且. 令，解得；令，解得； 可知函数在内单调递增，在内单调递减，则， 当趋近于0或时，趋近于， 若函数有零点，等价于，即， 显然是的真子集， 所以“函数存在零点”是“”的必要不充分条件. 8. 在人工智能的图象识别算法优化过程中，模型的准确率提升倍数与训练数据量（单位：）的关系式为，其中为常数.当训练数据量为时，模型的准确率提升倍数为22.5.当准确率提升倍数达到135时，模型在识别复杂图象时能达到极高的准确率，要想达到此标准，应该选择的训练数据量约为（ ）（参考数据：） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题设条件，将代入关系式可求出的值，再利用对数的运算即可求解. 【详解】当时，，即. 当时，，即， 则，即. 因为， 所以.令，则， 所以，则. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数的导数为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【详解】由题可知， 对于A，当时，，得，故A正确， 对于B，当时，，由，得，故B正确， 对于C，当时，由，，故C错误， 对于D，由，得，故D正确. 10. 已知函数，则（ ） A. 是减函数 B. 的图象是轴对称图形 C. 的图象是中心对称图形 D. 曲线存在斜率为的切线 【答案】AC 【解析】 【分析】求导，并判断导数的符号得函数的单调性即可判断A；根据是单调函数得知其图象不是轴对称图形即可判断B；利用结论“若函数关于点对称，则”进行判断即可判断C；通过判断方程是否有解可以判断D. 【详解】函数的定义域为R， 对于A，，是R上的单调减函数，故A正确； 对于B，由A知是R上的单调函数，所以的图象不是轴对称图形，故B错误； 对于C，由 所以的图象关于点成中心对称图形，故C正确； 对于D，由A选项知，，令，则，当且仅当时等号成立. 所以，即，故D错误. 11. 若数列的前项和，则下列结论正确的是（ ） A. 是递增数列 B. ，，成等差数列 C. 的最小值为9 D. 若（），则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据求出，可判断AB，令，结合基本不等式可判断C，根据得，再根据，解不等式可判断D. 【详解】因为数列的前项和，， 当时，，也符合， 所以是等差数列，且公差，. 故是递增数列，A正确； ，，，故，，不成等差数列，B错误； ，令， 则， 当且仅当即时取等号，即的最小值为9，C正确； 即， ，即， 又，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知等差数列的前项和为，若，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用等差数列前项和公式，结合等差数列下标和相等的性质，将转化为含的式子求解. 【详解】因为数列是等差数列，，根据等差数列前项和公式：  ， 当时，， 根据等差数列的性质：由于，因此， 将其代入的表达式得： ，  又，因此，解得. 13. 函数的极大值点与极小值点分别为________，________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【详解】函数的定义域为， 令，得或. 当时，，函数在区间单调递增； 当时，，函数在区间单调递减； 当时，，函数在区间单调递增. 所以函数的极大值点与极小值点分别为. 14. 已知定义域为的函数的图象如图所示，则函数的零点个数为________． 【答案】 【解析】 【分析】将函数的零点个数，转化为在上的图象与函数的图象的交点的个数.结合图象可得. 【详解】因为定义域为，所以的定义域为， 所以的定义域为. 函数的零点个数，即方程在上的实数根的个数， 即方程在上的实数根的个数， 即函数在上的图象与函数的图象的交点的个数. 如图，将定义域为的函数的图象关于原点对称即可得到的图象. 作函数在上的图象，可得该图象与函数的图象有3个交点， 所以函数的零点个数为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）求的子集； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1）子集为 （2） 【解析】 【分析】（1）先确定集合，再求，用列举法列出的子集. （2）根据集合的包含关系求参数的取值范围. 【小问1详解】 由，所以，即. 所以， 所以的子集为. 【小问2详解】 因为， 又，当且仅当时取等号. 所以. 由可得. 所以的取值范围为. 16. 在等比数列中，，． （1）求的通项公式． （2）已知． ①求数列的通项公式； ②求数列的前项和． 【答案】（1）， （2）①②， 【解析】 【分析】（1）由条件求得公比，即可求解； （2）①由等差数列求和公式即可求解；②通过裂项相消法即可求解. 【小问1详解】 设等比数列的公比为，则， 解得，所以，； 【小问2详解】 ①由（1）得：， 所以； ②由①得：， 故数列的前项和.. 17. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若的最小值为，求的最大值． 【答案】（1）当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增； （2）1 【解析】 【分析】（1）求导，分和两种情况讨论，可求得的单调性； （2）利用（1）可得的最小值为，利用导数可求得的最大值． 【小问1详解】 由，得， 当时，，所以在上单调递增； 当时，令，则，解得， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 【小问2详解】 由（1）可知当时，在上单调递增，所以在上无最小值； 当时，在处取得最小值，， 所以， 求导得， 当时，，所以单调递增， 当时，，所以单调递减， 所以. 18. 对于函数，若在定义域内存在实数（），满足，则称为“点对称函数”． （1）已知函数，试判断是否为“点对称函数”，并说明理由； （2）若函数是定义域为的“点对称函数”，求的取值范围． 【答案】（1）是“点对称函数”，若，得，解得，所以是“点对称函数”； （2） 【解析】 【分析】（1）根据定义，得，解出即可判断； （2）由分段函数，根据的情况分类讨论，将问题转化为方程有解问题，利用一元二次方程即可求解. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 当时，恒成立，因为，所以，即对所有恒成立， 所有， 当时，，由得：， 令，则， 若，则， 所以必有，所以，即， 设， 又，所以方程有两个实根，设为， 所以，所以异号，不妨设， 要使时方程有解，只需； 当时，， 所以，所以， 由得：， 所以，即， 要使时方程有解，只需， 综上所述，， 所以的取值范围为. 19. 已知函数，． （1）求曲线在点处的切线方程． （2）定义集合． （Ⅰ）证明：． （Ⅱ）若，且，，，求a的取值范围． 【答案】（1） （2）（Ⅰ）集合D为在R上单调递增的函数的集合 令，得， 令，得， 则在R上单调递增，即在R上单调递增． 又，所以当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增， 则，所以，则在R上单调递增，故． （Ⅱ） 【解析】 【分析】（1）利用导数与切线斜率关系求解即可； （2）（Ⅰ）根据题意可得集合D为在R上单调递增的函数的集合，利用导数研究的单调性即可证明结论； （Ⅱ）根据在R上单调递增，求出，根据单调性求出在上的最小值，在上的最小值，将恒成立转化为恒成立，结合导数研究即可求解. 【小问1详解】 由， 得． 又，所以曲线在点处的切线方程为． 【小问2详解】 （Ⅰ）略 （Ⅱ）因为，所以在R上单调递增，所以对恒成立， 则，解得． 又中的，所以． 由在上单调递增，得在上的最小值为， 由在上单调递增，得在上的最小值为， 则，即． 设，则． 令，得，则在上单调递增； 令，得，则在上单调递减． 故对恒成立，当且仅当时，等号成立． 故的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黑龙江黑河市龙西北名校联盟2025-2026学年高二下学期第二次教学质量监测数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 某质点的位移（单位：米）与时间（单位：秒）的关系式为，则当时该质点的瞬时速度为（ ） A. 10米/秒 B. 12米/秒 C. 16米/秒 D. 18米/秒 3. 若集合，，且，则（ ） A. B. 1 C. D. 4. 若函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知等比数列的前项和为，且，，则（ ） A. 12或-15 B. 15或-12 C. 15 D. 12 7. “函数存在零点”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 在人工智能的图象识别算法优化过程中，模型的准确率提升倍数与训练数据量（单位：）的关系式为，其中为常数.当训练数据量为时，模型的准确率提升倍数为22.5.当准确率提升倍数达到135时，模型在识别复杂图象时能达到极高的准确率，要想达到此标准，应该选择的训练数据量约为（ ）（参考数据：） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数的导数为，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. 是减函数 B. 的图象是轴对称图形 C. 的图象是中心对称图形 D. 曲线存在斜率为的切线 11. 若数列的前项和，则下列结论正确的是（ ） A. 是递增数列 B. ，，成等差数列 C. 的最小值为9 D. 若（），则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知等差数列的前项和为，若，则_______． 13. 函数的极大值点与极小值点分别为________，________． 14. 已知定义域为的函数的图象如图所示，则函数的零点个数为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）求的子集； （2）若，求的取值范围． 16. 在等比数列中，，． （1）求的通项公式． （2）已知． ①求数列的通项公式； ②求数列的前项和． 17. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若的最小值为，求的最大值． 18. 对于函数，若在定义域内存在实数（），满足，则称为“点对称函数”． （1）已知函数，试判断是否为“点对称函数”，并说明理由； （2）若函数是定义域为的“点对称函数”，求的取值范围． 19. 已知函数，． （1）求曲线在点处的切线方程． （2）定义集合． （Ⅰ）证明：． （Ⅱ）若，且，，，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $