精品解析：黑龙江省牡丹江市第一高级中学2024-2025学年高二下学期期末考试数学试卷

2023级高二学年下学期期末考试 数学试题 考试时间：120分钟 分值：150分 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若函数定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 命题“，”为假命题的一个充分不必要条件为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，，若对于任意，都存在，使得，则实数取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，且，求的值为（ ） A. B. C. 0 D. 6. 定义在上的函数，关于的方程有个不同的实根，，，，则（ ） A B. 8 C. D. 12 7. 已知函数是偶函数，函数的最小值为，则实数的值为（ ） A. 3 B. C. D. 8. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若函数是幂函数，则实数的值是或2 B. 幂函数始终经过点和 C. 若函数，则在区间上单调递减 D. 若函数，则对于任意的，有 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若终边上一点的坐标为，则 B. 若角为锐角，则是第一象限角 C. 若，且，则 D. 若圆心角为的扇形的弧长为2，则该扇形的面积为 11. 下列命题，其中正确的命题是（ ） A. 函数最大值为 B. 函数的减区间是 C. 若，则为1 D. 已知在上是增函数，若，则 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知一次函数满足，则______. 13. 若函数的定义域为，则实数取值范围是______. 14. 已知正数，满足，则的最大值是______. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 当地两所高中（校、校）数学一轮复习的进度基本相同，前一阶段完成了前三章的教学内容，为了检测学生对所学内容的掌握情况，两所学校联合组织了.次检测考试，每个学生的成绩只有合格和不合格两种结果.为了解两所学校学生的成绩情况，从校、校两个学校共随机抽取了100名学生，相关数据如下表： 合格 不合格 总计 校 6 校 24 40 总计 （1）请完成列联表，依据小概率值的独立性检验，分析“学生的成绩情况”与“学生所在学校”是否有关？ （2）以频率估计概率，从校学生中抽取3名学生，记合格的人数为，求的分布列和数学期望. 附表及公式： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 ，其中 16. 已知，函数. （1）若2是的极值点，求的值和该极值； （2）讨论函数单调性. 17. 已知函数的定义域为，对任意，都满足，且，当时，且. （1）求，的值； （2）用函数单调性的定义证明在上单调递减； （3）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围. 18. 在国家积极推动美丽乡村建设的政策背景下，各地根据当地生态资源打造了众多特色纷呈的乡村旅游胜地．某人意图将自己位于乡村旅游胜地的房子改造成民宿用于出租，在旅游淡季随机选取100天，对当地已有的六间不同价位的民宿进行跟踪，统计其出租率，设民宿租金为（单位：元/日），得到如图的数据散点图． （1）若用“出租率”近似估计旅游淡季民宿每天租出去的概率，求租金为388元的那间民宿在淡季内的3天中至少有2天闲置的概率． （2）（i）根据散点图判断，与哪个更适合此模型（给出判断即可，不必说明理由）？根据判断结果求经验回归方程． （ii）若该地一年中旅游淡季约为280天，在此期间无论民宿是否出租，每天都要付出的固定成本，若民宿出租，则每天需要再付出的日常支出成本．试用（i）中模型进行分析，旅游淡季民宿租金定为多少元时，该民宿在这280天的收益达到最大． 附：记，，，，， ，，，，，． 19 已知函数，. （1）若为正实数，时，都有，求的最大值. （2）证明：； （3）若函数的最小值为，证明：方程有唯一的实数根. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023级高二学年下学期期末考试 数学试题 考试时间：120分钟 分值：150分 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得，再结合集合的并集即可求解. 【详解】由 又，所以可得集合，则，故C正确. 故选：C. 2. 若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据抽象函数和具体函数的定义域求法，建立不等式组，解之即得. 【详解】依题意，函数有意义，等价于， 解得，即函数的定义域为. 故选：D 3. 命题“，”为假命题的一个充分不必要条件为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由“，”为真命题，从而得，即可求解. 【详解】由命题“，”为假命题，则由“，”为真命题， 则，因，所以，所以可得， 所以原命题为假命题的一个充分不必要条件是，故A正确. 故选：A. 4. 已知函数，，若对于任意，都存在，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意可知分别求得两函数在规定区间上的单调性以及对应值域，再由两函数值域的包含关系，解不等式即可求得实数的取值范围. 【详解】根据题意可知，，当且仅当时取等号， 则由对勾函数性质可得在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以当时，有最小值，又，， 所以在上的值域为. 又函数，则， 令，得，， 当，，则在区间上单调递增； 当，，则在区间上单调递减； 所以当时，取到极大值也是最大值， 又，，所以在上的值域为， 由对于任意，都存在，使得， 则得，即，解得. 故选：D. 5. 已知，且，求的值为（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】B 【解析】 分析】应用诱导公式及同角三角函数关系计算求解. 【详解】因为， 所以，且，所以， 则. 故选：B. 6. 定义在上的函数，关于的方程有个不同的实根，，，，则（ ） A. B. 8 C. D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】作出函数的图象，结合函数的图象的对称性性，确定方程和的根，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，关于的方程，即，解得：或， 作出函数的大致图像，如图所示， 当时，有三个根，其中一个根为2，另两个根关于直线对称； 当时，有两个根，这两个根也关于直线对称. 所以原方程一共有5个根，可得，故A正确. 故选：A. 7. 已知函数是偶函数，函数的最小值为，则实数的值为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由偶函数定义结合对数运算可得，进而整理可得，利用换元法令，根据题意结合分类讨论解决二次函数的最值问题. 【详解】因为函数是偶函数，则， 则，则， 所以，则， 所以， 令，当且仅当，即时取等号，则， 由题意可得的最小值为，因的对称轴为， 则当，即时，在上单调递增，当时取到最小值， 则，解得：； 则当，即时，，在上单调递减，在上单调递增，当时取到最小值， 则，解得：（舍去）， 综上所述：，故B正确. 故选：B. 8. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用不等式，当且仅当时等号成立，可得当时，，所以，，可判断；设，，利用导数分析的单调性可得，即，可判断，继而即可求解. 【详解】令，则， 令，则，令，则， 故在区间上单调递减，在区间上单调递增， 故，即，即，当且仅当时等号成立， 当时，由，得， 所以，，即. 设，， 则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即， 因为，所以， 所以. 故选：D. 【点睛】方法点睛：构造函数比较大小的四种类型. 1.构造相同函数，比较不同函数值； 2.构造不同函数，比较相同函数值； 3.构造不同函数，比较不同函数值； 常用切线不等式；高次不等式放缩；分式不等式放缩. 4.先同构，再构造，再比较. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若函数是幂函数，则实数的值是或2 B. 幂函数始终经过点和 C. 若函数，则在区间上单调递减 D. 若函数，则对于任意的，有 【答案】ABD 【解析】 【分析】由幂函数可得，即可对A判断；由幂函数的性质，即可对B判断；由为偶函数且在上单调递减，即可对C判断；要证，即证，化简得，从而可对D判断. 【详解】A：函数是幂函数，则，解得或，经检验符合题意，故A正确； B：幂函数始终经过点和，故B正确； C：函数，， 则为偶函数且在上单调递减，所以在区间上单调递增，故C错误； D：则对于任意的，要证，即证， 即，即，则成立，故D正确. 故选：ABD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若终边上一点的坐标为，则 B. 若角为锐角，则是第一象限角 C. 若，且，则 D. 若圆心角为的扇形的弧长为2，则该扇形的面积为 【答案】BC 【解析】 【分析】由终边上一点即可求其余弦值，即可对A判断；由角为锐角，则可对B判断；若，则，再结合题意求得，从而可对C判断；利用弧长及扇形面积公式即可求解D. 【详解】A：若终边上一点的坐标为，则，故A错误； B：若角为锐角，则是第一象限角，故B正确； C：若，则，又因为且，所以， 解得，则，故C正确； D：圆心角为的扇形的弧长为2，则该扇形的面积为，故D错误. 故选：BC. 11. 下列命题，其中正确的命题是（ ） A. 函数的最大值为 B. 函数的减区间是 C. 若，则为1 D. 已知在上是增函数，若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用指数函数单调性即可对A判断；由函数的定义域为，可对B判断；运用指对数互化和换底公式，以及对数运算性质可对C判断；利用假设，再结合函数单调性得与题意矛盾，可证假设不成立，则可对D判断. 【详解】A：由，所以，故A正确； B：函数的定义域为，解得，因此函数的单调递减区间为,故B错误； C：若，则，，则，故C正确； D：假设，则，则,由于在上是增函数， 则，，所以，这与矛盾，则假设不成立，所以，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知一次函数满足，则______. 【答案】 【解析】 【分析】设，代入利用恒等式思想建立方程组，解之可得答案. 【详解】设，由， 即，即， 即，解得，所以. 故答案为：. 13. 若函数的定义域为，则实数取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意知恒成立，再求解即可. 【详解】函数的定义域为，则恒成立， 当时显然不成立； 当时，则恒成立， 当时，，解得. 综上所述：实数取值范围是. 故答案为：. 14. 已知正数，满足，则的最大值是______. 【答案】6 【解析】 【分析】变形得到，求出，从而得到，得到答案. 【详解】， 两边同除以得，即， 故， 其中， 当且仅当，即时，等号成立， 故，解得， 故的最大值为6，此时. 故答案为：6 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 当地两所高中（校、校）数学一轮复习的进度基本相同，前一阶段完成了前三章的教学内容，为了检测学生对所学内容的掌握情况，两所学校联合组织了.次检测考试，每个学生的成绩只有合格和不合格两种结果.为了解两所学校学生的成绩情况，从校、校两个学校共随机抽取了100名学生，相关数据如下表： 合格 不合格 总计 校 6 校 24 40 总计 （1）请完成列联表，依据小概率值的独立性检验，分析“学生的成绩情况”与“学生所在学校”是否有关？ （2）以频率估计概率，从校学生中抽取3名学生，记合格的人数为，求的分布列和数学期望. 附表及公式： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 ，其中 【答案】（1）表格见解析，认为“学生的成绩情况”与“学生所在学校”有关 （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）由题意补充完二联表，再计算出，从而可求解. （2）由题意可知符合二项分布，从而可求其分布列及期望. 【小问1详解】 100名学生中B校的学生有40人，A校的学生有60人. 补充完整的列联表，如： 合格 不合格 合计 A校 54 6 60 B校 24 16 40 合计 78 22 100 零假设：“学生的成绩情况”与“学生所在学校”无关. 根据列联表中的数据，得. 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为“学生的成绩情况”与“学生所在学校”有关，此推断犯错误的概率不大于0.001. 【小问2详解】 由（1）得，B校的学生测试成绩合格的频率为. 依题意，得则，， ，. 所以的分布列为： 0 1 2 3 . 16. 已知，函数. （1）若2是的极值点，求的值和该极值； （2）讨论函数单调性. 【答案】（1）， （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）由2是的极值可得，从而得，再经检验即可求解； （2）由题意可得，分别讨论当，当，当三种情况，即可求解. 【小问1详解】 由题意得 2是的极值点， ，即. 经检验符合题意，极值. 【小问2详解】 由题意知：定义域为，， 令，解得：，； ①当，即时，若，；若，； 在，上单调递减，在上单调递增； ②当，即时，且不恒等于，在上单调递减； ③当，即时，若，；若，； 在上单调递减，在上单调递增； 综上所述：当时，在，上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减； 当，在，上单调递减，在上单调递增. 17. 已知函数的定义域为，对任意，都满足，且，当时，且. （1）求，的值； （2）用函数单调性的定义证明在上单调递减； （3）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）对进行赋值，计算即可求得答案； （2）利用函数的单调性定义结合题设条件推理证明即得； （3）利用（1）已得将不等式等价变形得到，再利用函数的单调性得到，求出函数的最小值，代入求解关于的一元二次不等式即可. 【小问1详解】 由，取，可得：， 又当时，，则， 再取，可得：； 【小问2详解】 ， ，且，则，依题， 则， 即在上单调递减； 【小问3详解】 由已知， 又由（1）得，则有， 因在上单调递减，则恒成立， 即恒成立，又， 则，解得， 故实数的取值范围为. 18. 在国家积极推动美丽乡村建设的政策背景下，各地根据当地生态资源打造了众多特色纷呈的乡村旅游胜地．某人意图将自己位于乡村旅游胜地的房子改造成民宿用于出租，在旅游淡季随机选取100天，对当地已有的六间不同价位的民宿进行跟踪，统计其出租率，设民宿租金为（单位：元/日），得到如图的数据散点图． （1）若用“出租率”近似估计旅游淡季民宿每天租出去的概率，求租金为388元的那间民宿在淡季内的3天中至少有2天闲置的概率． （2）（i）根据散点图判断，与哪个更适合此模型（给出判断即可，不必说明理由）？根据判断结果求经验回归方程． （ii）若该地一年中旅游淡季约为280天，在此期间无论民宿是否出租，每天都要付出的固定成本，若民宿出租，则每天需要再付出的日常支出成本．试用（i）中模型进行分析，旅游淡季民宿租金定为多少元时，该民宿在这280天的收益达到最大． 附：记，，，，， ，，，，，． 【答案】（1）0.896； （2）（i）；（ii）181. 【解析】 【分析】（1）由二项分布的概率公式即可求解； （2）（i）根据所给数据直接代入公式计算出即可得回归方程； （ii）根据题意表示出，然后求导，利用导数即可求解. 【小问1详解】 因为每天出租率为0.2，所以每天闲置的概率为， 所以3天中至少有2天闲置的概率． 【小问2详解】 （i）根据散点图的分布情况，各散点连线更贴近的图象， 故的拟合效果更好． 依题意，，， 所以， 所以， 所以经验回归方程为． （ii）设旅游淡季民宿租金为，则淡季该民宿的出租率， 所以该民宿在这280天的收益为： ， 所以． 令，得， 所以， 且当时，，时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得最大值． 所以旅游淡季民宿租金定为181元时，该民宿在这280天的收益达到最大． 19. 已知函数，. （1）若为正实数，时，都有，求的最大值. （2）证明：； （3）若函数的最小值为，证明：方程有唯一的实数根. 【答案】（1）1 （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题可得，则函数在区间上单调递增，且，再分情况讨论当时，当时的单调情况，从而可求解； （2）由（1）可得当，时，，从而可得令时，，再利用累加法即可证明； （3）先利用导数求出即，然要证方程有唯一的实数解即证只要证方程有唯一的实数解，设，再利用导数证明只有一个零点，从而可求解. 小问1详解】 （）a为正实数， 令，则恒成立， 函数在区间上单调递增，且. ①当时，，所以函数在上单调递减，此时，符合题意. ②当时，，，由零点存在定理，时，有，即函数在上递减， 在递增，所以当时，有，此时不符合. 综上所述，正实数a的最大值为1. 【小问2详解】 由（1）知，当，时，， 令时，有，即， 累加得，. 【小问3详解】 因为，所以，即函数在上递增， 又， 由零点存在定理，时，有，即， 因此，而函数上递减，在上递增， 所以， 由于对勾函数在单调递减， 故，则，因此， 即. 要证方程有唯一的实数解， 只要证方程有唯一的实数解. 设，则， 所以函数在上递增，又，， 由零点存在定理，时，，即， 因此，又， 设，则函数在上递增， 于是， 又，故， 而函数在上递减，在上递增， ， 即函数有唯一零点，故方程有唯一的实数解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$