广东茂名市2025-2026学年高二下学期7月期末质量抽测数学试题

**基本信息** 以2026年省运会志愿者安排、AI软件用户统计、短视频推荐算法（波利亚罐子模型）等现实情境为载体，通过高尔顿板概率模型、函数极值与证明等设计，考查数列、概率统计、函数导数等核心知识，注重数学建模与数据分析素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|等比数列求和、独立性检验、经验回归|结合省运会志愿服务考查排列组合（第5题），AI用户数据考查正相关判断（第9题）| |填空题|3题/15分|等差数列前n项和、切线方程、高尔顿板概率|高尔顿板模型（第14题）融合概率期望计算，体现数学眼光| |解答题|5题/77分|数列通项与求和、概率分布列、函数单调性与证明、波利亚罐子模型|波利亚罐子模型（第18题）结合短视频推荐算法，考查期望方差与数列通项，凸显数学应用；函数证明（第17、19题）考查逻辑推理，符合高考命题趋势|

参考答案及解析 ·高二数学· 2025一2026学年高二年级期末质量抽测 数学参考答案及解析 一、选择题 ×日故选A 1.D【解标]C·A-×2X1=20故选D 7.A【解析】由题意可知：a2n=an十3，a2m-1=2n-an, 2.B【解析】对cos2x求导，根据复合函数的求导法 两式相加得：a2n十a2m-1=2n十3，∴.S2o26=(a1十a2) 则：(cos2x)'=-sin2x·(2x)/=-2sin2x,对sinx 十(a3十a1)十(a5十a6)十…十(a2o2s十a226)=5十7 求导，(sinx)'=cosx.因此f(x)=-2sin2x+ +9+…+2029=1013×(5+2029)=1013× 2 cosx.故选B. 3.D【解析】由题意可知数列{an}的公比g≠1，a= 1017.故选A. 8.B【解析】由题意令t=x十1得：x=t-1,代入原式 3,s,=5S,故a0二92=5a1二92,1-g 1一q 1-g 得：1+(t-1)十(t-1)2十…+(t-1)8=a。十a1t+ 5(1-g),即1十q2=5,解得：g=4.因此as=a1g= a2t十…十ast产，易得：a2即为t的系数.经观察，等 a1(g)=3×4=3×16=48.故选D. 式左边从第三项起，每一项均含有项，其系数之和 4.C【解析】根据题意知，观测值×2=765.625，参照附 为：1+C×(-1)十C+C×(-1)3+Cg+C× 表，得x>10,828.所以在犯错误的概率不超过 (-1)5+C9=1-3+6-10+15-21十28=16..a2 0.1%的前提下，认为“超声波检查结果与患该病有 =16.故选B. 关”.故选C. 二、选择题 5.D【解析】解法一：4项工作分给2人，每人至少1 9.AC【解析】对于A,由表格数据可得y随着x的增 项，工作分组有两类：①1项十3项：②2项十2项.情 大而增大，故变量正相关，故A正确：对于B,由表格 况①：从4项工作里选1项给其中一人，剩下3项自 数据可得x=3,y=1.06,因y=x+0.16过点 动给另一人：C×A=4×2=8;情况②：从4项工作 (3,1.06),则b=0.3,故B错误；对于C,由B可得经 里选2项给第一人，剩下2项给第二人：号×A=号 验回归方程为：y=0.3x十0.16，当x=7时，y=0.3 ×7+0.16=2.26,故C正确；对于D,当x=4时，由 ×2=6.两种情况相加：8十6=14.故选D. 解法二：每项工作都可以分配给两名志愿者中的任意 经验回归方程可得预测值为y=0.3×4十0.16= 1.36,而实际用户数量为1.3，故D错误.故选AC. 一人，共有2=16种分配方式，由于要求“每人至少 10.ACD【解析】因为X~N(1,2),所以E(X)=1, 完成一项”，故排除“所有工作都分配给其中一名志愿 者”两种情况，所以，符合条件的安排方式有16一2= D(X)=4,故A正确，B错误；：f(1十x)= 14种情况.故选D. P(X≤1+x)=P(X>1-x)=1-P(X≤1-x)=1 -f(1-x),.f(1-x)十f(1十x)=1,故C正确： 6.A【解析】：P(A)=号，∴P(A=1-P(A)=1 P(2-x≤X≤x)=1-2P(X>x)=1-2[1-f(x)] 号-告又：P(A)=P(AB)+P(AD,P(AB)= =2f(x)-1,故D正确.故选ACD. 11.BC【解析】若a>b>1或0<ba<1时，f(x)是 PA)-PAB)=吉-号-是PBA)-8 P(A) 单调函数，最小值均趋于一○，与已知矛盾，不满足 %1 ·高二数学· 参考答案及解析 条件，∴a>1>b>0,故A错误，B正确；又f(x) -1得：X=y+1,故E(X)=EY)十1=子，而 =alna十（十i)lnbx>-1),而alna单调递 D(X)=D)=5×分×(1-)=号，由方差公 5 1 增，x+)ln单调递增.f(r)在(-1，+o)上 式D(X)=E(X)-(E(X))得：E(X)=D(X)+ 单调递增，且x→-1+时，f(x)→一o∞；x→十∞ (E(X)=号+（子）广==罗.故答案为 时，f'(x)→十∞，.存在唯一x0使得x∈ (一1，xo)时，满足f'(x)<0,此时f(x)单调递 127 322 减；x∈(x,十o∞)时，满足f(x)>0,此时f(x)单 四、解答题 调递增.又f(0)=1,∴.x=0,即f(0)=na十 15.解：(1)am+1=3Sa+1,a1=1, nb=0.故C正确：而a=心不一定成立，故D错误。 1 当n=1时，S=a1,故a2=3S:十1=3a1十1=4； 故选BC. 当n≥2时，an=3Sm-1十1， 三、填空题 故两式相减得：an+1一an=3(S,一S,-1)=3an, 12.20【解析】由题意可知：ag十a?=2a=8,∴.as=4, 即an+1=4an, ∴.S,-S2=ag十a1十a;十a6十a;=5a5=20.故答案 当n=1时，也有a2=4a1成立. 为20 故数列{a,}是以1为首项，4为公比的等比数列，其 13.专【解析】设f(x)=ae十x,g(x)=lnx十x,直 通项公式为：an=1×4"1=4"-1 (6分) 线y=kx一1与曲线y=(x)相切于点(x1,y), (2)由(1)可知：an=4=1, 与曲线y=g(x)相切于点(x2,2),则f(x)= ∴.bn=log2am十5=log24"-1十5=l0g222m-2+5 ae1+1,g()=1+1,则k=n十十=1 =(2n-2)十5=2n十3， 1 1 x2=1 六6.(2m+3)2n十5 +1=ae十十1-ae1+1,解得 x=2.故答案 =×(23)小 (a=e-2 1 为品 127 14.322 【解析】设A=“向右下落”，则A=“向左下 = 合×[（合）+（分-）+…十 落”，且P(A)=P(不)=，记每次碰到钉子时小 ( 球向右落下的次数为Y,则Y=X-1,因为小球在下 落过程中共碰撞5次，所以Y~B(5,号)，于是 (13分) PY=)=P(x=+1)=C(3)'(1-之) 16.解：从9个数字中任取3个不同的数，基本事件的 总数为：C8=84. =C(3)）'k=01,23,4,5).所以pX=1)=C (1)根据题意，随机变量X的可能取值为0,1,2,3， ×()广=又因为E=5×-号，由Y=X P(X=0)=C=10=5 C88442 ·%2· 参考答案及解析 ·高二数学· P(X=1）=CC=40-10 综上：当a≥0时，f(x)在(0，十oo)单调递增； C88421 P(X=2)= CC_30_5 当a<0时，f(x)在(0，二a+公4a)上单调递 2 C88414 C_41 减，在（二a十aa,十）上单调递增.(7分) P(X=3)= -8M-2 所以X的分布列为： (2》解法一：由题意得，要证明f(x)<号x(x十2e), 0 1 2 3 即证明xe-a(x十lnx)>0, 5 10 即证明e+x-a(x十lnx)>0, 42 21 14 2 令t=x十lnx,则t∈R. 数学期望：BX0)=0X是+1×9+2X 十3×27 即证明e-at>0(t∈R,a∈(0，e)), 令h(t)=e-at,则h'(t)=e-a, =器台 (8分) 令h'(t)=0,得t=lna. (2)根据题意，不妨设抽取出来的这组数字从小到大 ∴.t∈(-o∞，lna),h'(t)<0,h(t)单调递减； 依次为a,b,c,则2b=a十c, t∈(lna,十o∞)，h'(t)>0,h(t)单调递增， ①当a与c同为奇数时：a,c是从1,3,5,7,9中任取 .'.h(t)min=h (In a)=el "-aln a 的两个数字，共有C=10种可能； =a(1-lna)>0, ②当a与c同为偶数时：a,c是从2,4,6,8中任取的 ∴.h(t)=e-at>0恒成立， 两个数字，共有C号=6种可能： 故当a∈(0e)时fx)<x(x+20),证华. 故抽取的这三个数字能构成等差数列的概率P= (15分) 10+6_16_4 C8=84-21 (15分) 解法二：由题意得，要证明f(x)<号x(x+2c). 17.解：(1)f(x)定义域为(0，十∞)，(x)=x+ 即证明xe-alnx-a.x>0. ta-:tarta 令h(x)=xe2-alnx-ax(x>0,a∈(0，e), x 即证明h(x)=xe2-alnx-a.x>0. ∴.当a≥0时，f(x)>0,f(x)在(0，十o)上单调 递增； N(x)=e(x+1)-是-a=e(x+1)-aa 当a<0时，令g(x)=x2十ax十a, =(x+1).e-4(x>0,a∈(0，e), 则△=a-4a=a(a-4)>0, 令p(x)=xe-a(x>0), 令g(x)=0,解得：=一a十a-4a x 则'(x)=e(x十1)>0， 2 9(x)在(0，十∞)单调递增， 二a-/4a<0(舍)， 2 又p(0)=-a<0,p(1)=e-a>0, 当x∈(0，x1)时，g(x)<0,f(x)<0,f(x)单调 .存在唯一x0∈(0,1)，满足9(x0)=0, 递减； 即xoe'o=a. 当x∈(1，十∞)时，g(x)>0,f(x)>0,f(x)单 当x∈(0，x)时，9(x)<0,h'(x)<0,h(x)单调 调递增. 递减； ·%3 ·高二数学· 参考答案及解析 当x∈(xo,十oo)时，0(x)>0,h'(x)>0,h(x)单 3}发生且第n十1次点击的是生活类视频. 调递增. 因此，p.1=P(X1=3)=.n53=· n十5 ∴.h(x)min=h(xo)=xoeo-aln ro一axo =a(1-In zo-xo), 7号即1=p,≥lweN n+5 0<x6<1,.lnxo<0, 由得A=号 又0ae,.∴.h(x)mi>0, .h(x)>0恒成立， 当≥2时，色=×D×X…×2×奥 P1 Pn-1 Pn-2 Pn-3 故当a∈(0，e)时，f(x)<号x(x+2e),证毕. p1n十4n十3n十2 87人6 (15分) 3×4×5 18.解：(1)根据题意：X1=3或X1=4,且P(X1=3)= (n+2)×(n+3)X(n+4) 子：PX=0=是： 60 (n十2)×(n十3)×(n十4)' 六X的数学期塑E(X)=3×号+4X号-品 24 55 即p.=(m十2)X(n+3)×(n+4)' 方差D(X)=(3-)广×号+(4-8)°×号 因为p:=号也清足上式， 器嘉 24 (4分) 所以p.=(n十2)×(n十3)×(n+41 (17分) (2)根据题意：第n次点击更新后，推荐池中的总视 19.解：(1)若a=2,b=-2, 频数量为n十5：而X,=i表示第n次点击更新后， f(x)=|sin 2x+2 sinl 推荐池中的科技类视频数量为i,生活类视频数量为 当x∈(0，变)时，sin2x>0,sinx>0, n+5-i. ①若第n十1次点击的是生活类视频，则其概率为： f(r)=sin 2x+2sin () 片号，放回并再新培1条生活类视期加入推荐 .f(x)=2cos 2x+2cos x =2(2c0sx十c0sx-1) 池，科技类视频数量仍为i个，此时m=i, =2(2cosx-1)(cosx十1)， P(X+1=mX,=i)=+5 n+5 令∫(x)=0,解得：1=号，=x(舍)， ②若第n十1次点击的是科技类视频，则其概率为： 广放回并再新指1条科技类视频加人推荐池，科 ∴.当x∈(0，受)时，∫(x)>0,f(x)单调递增： 技类视频数量为i十1个，此时m=i十1. 当x∈（号，受)时，f(x)<0,f(x)单调递减， P(X+1=mX。=i)=n干5 ∴f(x)的极大值点为x=否，无极小值点.（4分) 综上当=i时，PX1=mX=)-号， (2)(i)当b=1时，f(x)=|sina.x|-|sinx|, 当xe(o,2)时，f(x)=|sin ar-sinx, 当m=计1时，P(X+1=mX.=)=m十5(10分） (3)根据题意，事件{X+1=3}发生当且仅当{X,= 下证：当x∈(o,乏)时，sinx>2 x: ·4· 参考答案及解析 ·高二数学· 令gr)=sinx-2,g(x）=cosx-2 π ·要证x∈R时，命题成立，只需证x∈(0，受)时， g(0)>0,g(受)<0，且x∈(0，受)时g(x) 命题成立， 单调递减， 当xe(o,受)时，smx<a台sn< a ·存在唯一x∈(0，受)，使得g(x)=0, ∴.asin x1, a. 2 且x∈(0，xo),g(x)>0,g(x)单调递增； 又.由(i)知sinx> asin<l, x∈(x,受)，g(x)<0,g(x)单调递减， 0<a<受， “g(0)=g(Ξ)=0，g(x)>0,即sin>2 .f(x)=sin ax-sin r|=sin ax-sin x, , 又sma<1.fx)<1-名，证华，0分) 又：a∈N,xe(o,), (i):f(x+π)=|sina(x+π)| 0<≤a<受， Isin(x+n)=sin az-sin x|=f(x), 又“y=sinx在(0，乏)单调递增， ∴(x)的周期为元. .sin ax≥sinx,即f(x)≥0，证毕. (17分) 又：f(π-x)=|sina(r-x)|-|sin(π-x)| I sin ax|-sinx|=f(x), f(x)的对称轴为x=受， ·%5 2025—2026学年高二年级期末质量抽测 数学 2026.7.15 本试卷共4页，19题。全卷满分150分。考试用时120分钟。 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1． A．8 B．9 C．10 D．20 2．若函数，则 A． B． C． D． 3．等比数列的前项和为，，，则 A．12 B．15 C．24 D．48 4．为研究某疾病与超声波检查结果是否有关，利用独立性检验的方法从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，利用列联表，计算可得，参照下表，得到的正确结论是 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A．有的人超声波结果正常 B．有以上的把握认为“超声波检查结果与患该病无关” C．在犯错误的概率不超过的前提下，认为“超声波检查结果与患该病有关” D．在犯错误的概率不超过的前提下，认为“超声波检查结果与患该病无关” 5．2026年广东省运动会在茂名市举办，某个活动安排2名志愿者完成4项不同的赛事服务工作，每人至少完成一项，每项工作由一人完成，则不同的安排方式共有 A．11种 B．12种 C．13种 D．14种 6．已知两个随机事件、，，，则 A． B． C． D． 7．数列的前项和为，，，，则 A． B． C． D． 8．已知，则 A．15 B．16 C．17 D．18 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某AI软件的开发团队为迎合市场需求开发了一款手机软件，该软件最近5个月的用户数量如下表所示： 月份代码 1 2 3 4 5 用户数量（百万） 0.5 0.7 1.1 1.3 1.7 若关于的经验回归方程为，则 A．变量，正相关 B． C．可以预测当时，用户数量首次突破2百万 D．当时，实际用户数量高于预测值 10．已知随机变量，定义函数为取值不超过的概率，即，则 A． B． C． D．时， 11．已知函数（，且，）的最小值为1，则下列式子一定正确的是 A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．等差数列的前项和为，，则_____________． 13．若直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则_____________． 14．如图是一块高尔顿板示意图．在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为1，2，3，4，5，6，用表示小球落入格子的号码，则_____________，_____________．（第一空2分，第二空3分） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 数列的前项和为，，． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 16．（本小题满分15分） 从1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字中任取3个不同的数字． （1）设为抽取的3个数字中偶数的个数，求的分布列和数学期望； （2）求抽取的这3个数字能构成等差数列的概率． 17．（本小题满分15分） 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）证明：当时，． 18．（本小题满分17分） 波利亚罐子模型为经典随机过程模型，抽样后增补同类样本，可体现概率正反馈效应，多用于算法、社会统计领域。某短视频平台为用户初始推送3条科技类视频、2条生活类视频，平台更新推荐池规则如下：用户每次随机点击观看1条视频后，平台将该视频保留在推荐池，同时额外新增1条同类型视频加入推荐池。设第次点击更新后，推荐池中科技类视频的数量为。 （1）求的数学期望与方差； （2）求（其中，，…；或）； （3）若，求数列的通项公式。 19．（本小题满分17分） 已知函数。 （1）若，，求在上的极值点； （2）若，，证明： （ⅰ），； （ⅱ），当时，。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $