广东潮州市2025-2026学年第二学期高二期末教学质量监测数学试卷

2025—2026学年度第二学期高二级期末教学质量监测 数学 本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟． 注意事项：1．考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考号填写在答题卡上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束，将答题卡交回． 一、选择题（本题共11道小题，其中1至8小题为单项选择题，9至11小题为多项选择题） （一）单项选择题（本题共8道小题，每小题只有一个选项正确，每小题5分，共40分） 1．某项测试的成绩近似服从正态分布，若，则（ ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6 2．曲线在处的切线斜率为（ ） A．3 B．1 C．2 D．0 3．已知是等差数列的前项和，，则（ ） A． B． C．66 D．33 4．展开式中所有项的二项式系数之和与所有项的系数之和分别为（ ） A．； B．； C．； D．； 5．将，，，，，共6本书平均分给甲、乙、丙三个学生，且书本分给学生甲，则不同的分书方法共有（ ）种 A．15 B．20 C．30 D．60 6．若函数的单调递减区间为，则等于（ ） A． B． C． D． 7．双曲线的一条渐近线倾斜角为，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 8．若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． （二）多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，每小题有多个选项正确，每小题全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9．下列说法正确的是（ ） A．若随机变量，满足，则 B．在独立性检验中，随机变量的观测值越大，“认为两个变量有关”这种判断犯错误的概率越小 C．变量关于变量的经验回归方程为，则样本点的残差为1 D．若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的值越大 10．如图，在直三棱柱中，，，则（ ） A．向量在向量上的投影向量为 B．向量在向量上的投影向量为 C． D．与的夹角为锐角 11．抛物线的焦点为，直线过点且与抛物线交于，两点，点在第一象限，则（ ） A．抛物线的焦点到准线的距离为4 B．若点的坐标为，则周长的最小值为9 C．当时， D．当变化时，的最小值为8 二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．设等比数列的前项和为，已知，，则________． 13．有一批产品共10件，其中7件是正品，3件是次品．质检员对这批产品进行抽检，从中随机抽取3件，若至少有2件是次品，则这批产品不合格，那么质检员检测到这批产品不合格的概率为________． 14．已知点是矩形内的动点，且，，，点为边上的动点，则的最小值为________． 三、解答题：本题共5小题，第15题13分，第16、17题每题15分，第18、19题每题17分，共77分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分13分）设等差数列的前项和为，，． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 16．（本题满分15分）四棱锥中，底面，，，且，，是的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17．（本题满分15分）有4支队伍参加一场知识竞赛，其中2支强队，2支弱队．每队派1名代表进行比赛，小明来自强队．在某一轮比赛中，随机挑选两名代表进行比赛．若强队与弱队进行比赛，则强队获胜的概率为；若同类队伍进行比赛，则双方获胜的概率均为． （1）已知小明参赛，求在一轮比赛中，小明获胜的概率； （2）现增加新的比赛规则：与强队比赛获胜得2分，与弱队比赛获胜得1分，失败均得0分．若小明分别与每个代表进行一轮比赛，记比赛结束时小明获得的积分为，求的分布列与期望． 18．（本题满分17分）已知函数． （1）当时，求的极值； （2）讨论的单调性； （3）若对任意的，都有恒成立，求实数的取值范围． 19．（本题满分17分）已知椭圆经过点，其右焦点为，左、右顶点分别为，． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知点为椭圆上任意一点（不与左、右顶点，重合），求证：直线，的斜率之积为定值，并求出该定值； （3）若过点的直线与椭圆交于，两点，求的面积的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $2025一2026学年度第二学期高二级期末教学质量监测 数学参考答案 一、选择题 题号 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B D B D AB BCD ABC 二、填空题 11 第12题：5 第13题：60 第14题：V65-2 三、解答题 15.(本题满分13分)(1)设等差数列{a,}的公差为d, 1分 由S,=2S,+5,可得5a+10d=2(3a+3)+5,即a=4d-5, 2分 又因为4，=2a-1,即4+d=2a-1,即4，=d+1； 3分 解得4=3，d=2, 5分 故{a,}的通项公式为，=a+(n-l)d=2n+1 7分 a阿-点 9分 a9》 10分 1 23557+ '2n+12n+3 11分 非 1 12分 n 6n+9 13分 16.(本题满分15分)(1)取AB中点E,连接ME,CE, 因为AElIDC,AE=DC,所以四边形AECD为平行四边形， 1分 因为AB⊥AD,所以AB⊥EC, 2分 所以AC=BC=V2, 3分 所以AC2+BC2=AB,所以AC⊥BC, 4分 因为PA⊥平面ABCD,BCC平面ABCD,所以PA⊥BC, 5分 因为PA∩AC=A,PA,ACC平面PAC, 6分 所以BC⊥平面PAC. 7分 (2)如图，以点A为原点，以AD,AB,AP所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，8分 M ()..C0)) 9分 ac=.0),c-0- BP=(0,-2,1) 设平面MAC的一个法向量为m=(x,h,乙)】 m.AC=+=0 w=2=0,取m=-12), 1 则( 12分 设直线PB与平面AMC所成角为B, sin=cos(PB.m PB.m 4 2V30 则 P V4+1×V1+1+415 14分 2√30 所以，直线PB与平面AMC所成角的正弦值为15· 15分 17.(本题满分15分)(1)设A=“对手为强队代表”，A,=“对手为弱队代表”，C=“小明获胜”1 分 由题意可 P).P4)号.PC40.PC4)- 3分 Na-C0+PrCA)-5}号品 6分 (2)由题意可知X的取值为0,1,2,3,4， 7分 8分 326 P(X==xC×× 5525 9分 10分 3、26 P(X=3)=2xCg×x 5525」 11分 P- 50 12分 故X的分布列为： X 0 1 3 4 2 6 13 6 P 9 25 25 50 25 50 13分 (X)=0x25+1×25 2 13 6 911 +2× +3× 所以 5025 4*30 15分 f(x)=Inx+e-1 18.(本题满分17分)(1)当a=e时， xx2x,x∈(0，+o) 1分 令f'()=0,得x=c 令f"()>0,解得x∈(e,,故f)在(e,+∞）单调递增， 2分 令f'()<0,解得re(0,e),故f()在(0，e)单调递减， 3分 所以，f()在x=c处取得极小值 f(e)=Ine-e-1=1 ,无极大值 5分 e料e0o.r--。 6分 当a≤0时，f'(>0在x∈(0，+o）恒成立，所以f()在0，+o单调递增： 7分 当a>0时，令()>0，解得x∈(a,+o),故f()在(a,+o)单调递增， 8分 令∫'()<0，解得xe(0,a）,故()在(0，a)单调递减。 9分 综上所述，当a≤0时，f(:)在(0，+o）单调递增： 当a>0时，f)在(0，a)单调递减，在(a,+）单调递增。 10分 nx+a-1>0 (3)因为对任意的x∈(0，+∞），都有f(>0恒成立，所以nr+x ,即a>x-xnx,1l分 令g()=x-r,x∈(0，+o),则g()=-lnx 12分 令8'(=0，得x=1, 13分 令8()>0，解得x∈(0,1)，故8(：)在(0，)单调递增， 14分 令8()<0，解得x∈(L,+∞），故8(x)在（山，+o)单调递减， 15分 所以8(x)在x=1处取得唯一的极大值，所以8=8四=1， 16分 故当a>1时，对任意的x∈(0，+o),a>x-xnx恒成立，即f()>0恒成立. 17分 c=5 31 a2=b2+c2 19.(本题满分17分)(1)依题意可得， 2分 解得a=2,b=1, 4分 x2 +y2=1 所以椭圆C的标准方程为4 5分 +乃= (2)设点P(%,则4 ,即=40-) 6分 4k6=h-0.为-0 =一 因为4(-2,0)，4(2,0），所以 +2,-2号-441-)-4-4 4 1 所以直线PA,P4,的斜率之积为定值，该定值为4， 9分 (3)易知直线P不垂直于坐标轴，且过点B(-3,0), 故可设P:x=my-3,m≠0，P(x,）,(x,2) 10分 4+2=1 由x=mv-3可得，(4+m2)y2-6my+5=0 11分 6m 5 所以 +必= 4+m2 4+m,自4=36m-20(4+m)>0,得m㎡2>5(*)12分 因为4(2,0)，所以4B=5 S=P-0 -以-0+r-4四 所以 27 5 36m 20 m2-5 =1 2V(4+m22 4+m2 V(4+m2)7 14分 设m2-5=t,则由(*)得t>0, t t 1 1 S△4P阳=10， a+9y=102+81+18 =10 ≤10 81 V++18 81 3 t 2 +18 所以 ,15分 81 t= 当且仅当t,即t=9时取等号， 16分 5 此时△A,P9的面积的最大值为3. 17分