河北张家口市部分学校2025-2026学年高二下学期7月期末巩固训练数学试题

7月高二期末巩固训练 数学 考试说明：1．本试卷共150分．考试时间120分钟． 2．请将各题答案填在答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2．设，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知，则的最小值为 A．3 B． C．2 D． 4．样本数据，，…，（，，，…，不全相等）的散点图中，所有样本点都落在直线上，则这组样本数据的相关系数为 A．1 B． C． D．-1 5．曲线在点处的切线方程为 A． B． C． D． 6．某中学通过随机询问120名学生是否爱好阅读，得到如下列联表： 阅读 性别 合计 男 女 爱好 40 20 60 不爱好 25 35 60 合计 65 55 120 已知，，根据小概率的独立性检验，以下结论正确的是 A．爱好阅读与性别有关 B．爱好阅读与性别有关，这个结论犯错误的概率不超过0.001 C．爱好阅读与性别无关 D．爱好阅读与性别无关，这个结论犯错误的概率不超过0.001 7．已知函数的最大值为1，则 A．1 B． C．0 D．2 8．一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的3个红球和2个蓝球，现从中无放回地随机取球，每次取1个，直到把红球全部取出来为止．设随机变量为取球的次数，则的数学期望 A． B． C． D．4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设A，B为两个事件，且，，则下列结论一定成立的是 A． B． C． D． 10．已知随机变量服从正态分布，且，则下列说法正确的是 A．该正态曲线关于直线对称 B． C． D．若，则 11．已知函数，及其导函数，的定义域均为，，，关于点对称，则 A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．新高考采用“3+1+2”模式，其中“3”为统考科目语文、数学、外语；“1”为首选科目，考生从物理或历史中选一科；“2”为再选科目，考生从化学、生物、思想政治、地理4个科目中选择2科，则不同的选择方案共有_______种．（用数字作答） 13．展开式中项的系数为_______．（用数字作答） 14．甲、乙、丙、丁、戊五人分别参加数学、物理、化学、生物、信息技术五门不同学科竞赛，每人仅参加一科，每科均有一人参加．A、B、C、D、E五位裁判各说了三句话，每位裁判的三句话均恰好两真一假．裁判表述如下： 裁判A：①甲参加数学；②乙不参加物理；③丙参加生物． 裁判B：①丁参加信息技术；②戊参加生物；③丙不参加生物． 裁判C：①甲不参加物理；②乙参加化学；③丁不参加信息技术． 裁判D：①乙参加生物；②丙参加物理；③戊不参加数学． 裁判E：①甲参加信息技术；②乙不参加数学；③丁参加化学． 结合全部条件推理，丙的参赛科目为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 某中学运动会男子米接力项目，近10届（第1届到第10届）冠军成绩（单位：秒）依次为： 48.1，47.9，47.7，47.5，47.3，47.1，47.1，46.8，46.5，46.2． （1）求这组数据的极差与中位数； （2）从这10个数据中任选3个，求恰有2个数据在47.5以上的概率； （3）若比赛成绩关于届数的经验回归方程为，预测第12届的冠军成绩． 16．（本小题满分15分） 已知二项式（）的展开式中常数项为40． （1）求的值； （2）求展开式所有项系数之和； （3）求展开式中系数最大的项． 17．（本小题满分15分） 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）证明：当时，． 18．（本小题满分17分） 设正整数，甲、乙两人进行轮流投篮练习（甲先投），单次投篮甲命中的概率为，乙命中的概率为，各次投篮相互独立．约定如下规则：某一方首次投中则本轮结束，该方得1分，另一方得0分；若连续次投篮（甲、乙交替）均未投中，则本轮结束，双方各得0分．共进行轮投篮练习，每轮独立重复上述规则，最终总得分高者获胜．记为单轮结束时投篮的总次数． （1）当时，求的分布列与数学期望； （2）设为正整数，当时，证明：； （3）当，时，求甲最终获胜的概率． 19．（本小题满分17分） 已知函数，． （1）若，证明：当时，； （2）若，证明：在上存在唯一一个零点，且； （3）若时，恒成立，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 7月高二期末巩固训练 数学参考答案 1．【答案】C 2．【答案】C 3．【答案】B 4．【答案】A 5．【答案】B 6．【答案】C 7．【答案】C 8．【答案】B 9．【答案】BD 10．【答案】ABD 11．【答案】ACD 12．【答案】12 13．【答案】15 14．【答案】物理 15．解：（1）极差为， 2分 中位数为． 4分 （2）从10个数据中任选3个，选法总数为， 5分 47.5以上的数据有3个，选3个恰有2个数据在47.5以上的选法总数为， 6分 所以恰有2个数据在47.5以上的概率． 8分 （3）， 9分 ． 10分 因为回归方程过样本中心点，所以，解得， 所以经验回归方程为． 11分 当时，，所以第12届的冠军成绩约为45.92秒． 13分 16．解：（1）展开式的通项（）． 2分 令，因为n，r为非负整数，且，所以为3的倍数，为5的倍数， 设，，，则，所以，． 5分 （2）令，得所有项的系数之和为． 7分 （3）当时，（）． 9分 设时系数最大，则解得， 13分 又，所以，2， 所以系数最大的项有两项，分别是，． 15分 17．（1）解：的定义域为，． 1分 当时，由于，则，故恒成立，所以在上单调递减． 3分 当时，令，解得， 4分 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增． 6分 综上，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增． 7分 （2）证明：由（1）得，当时，． 9分 要证，即证，即证恒成立． 10分 令（），则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 13分 所以，则恒成立， 所以当时，恒成立． 15分 18．（1）解：的可能取值为1，2，3，4． 表示第一次甲命中，， 1分 表示第一次甲未命中，第二次乙命中，， 2分 表示第一次甲未命中，第二次乙未命中，第三次甲命中，， 3分 表示前三次均未命中，第四次投篮后结束（无论是否命中），， 4分 所以的分布列为 1 2 3 4 数学期望． 5分 （2）证明：根据条件概率公式可知，． 6分 当，即时，表示前次投篮均未投中，其中甲投篮次，乙投篮次，则． 7分 表示前次投篮均未投中，其中甲投篮次，乙投篮次， ， 8分 所以． 9分 （3）解：当，时， 单轮比赛中甲得1分，即第1次甲命中或第3次甲命中，(甲1分,乙0分)， 10分 乙得1分，即第2次乙命中或第4次乙命中，(乙1分,甲0分)， 11分 甲、乙均为0分的概率(甲0分,乙0分)． 12分 设3轮比赛中甲得分为，乙得分为． 当，时，表示3轮比赛甲全得分，， 13分 当，时，表示3轮比赛甲2轮得分，乙1轮得分，， 14分 当，时，表示3轮比赛甲2轮得分，1轮双方0分，， 15分 当，时，表示3轮比赛甲1轮得分，另外两轮双方0分，， 16分 所以甲最终获胜的概率． 17分 19．（1）证明：当时，，则． 1分 令，则，所以函数在上单调递减， 4分 所以当时，，即． 5分 （2）证明：方法一：（判断单调性，求零点的关系） ，． 6分 令，则，所以在上单调递增． 因为，，， 所以存在，使得，当时，，，单调递减， 当时，，，单调递增， 又，当时，，，，所以， 所以存在，使得，即，． 8分 要证，需证，即证． 令（），， 9分 在上单调递增． 又因为，所以，单调递增； 又，所以，单调递增． 又，所以，所以，即． 11分 方法二：（等价变形，转化函数） 当时，， 在上的零点等于函数的零点． ，令，则，所以在上单调递减，在上单调递增． 7分 因为，所以，，所以． 当时，，所以存在，使得． 8分 因为，所以， ． 设（），， 9分 所以函数在上单调递增，， 所以，所以，即． 11分 （3）解：当时，即（）， 所以． 令，， 则，， 当时，，根据在上连续，所以存在，当时，单调递减，，与题设矛盾． 14分 当时，由第（1）问可知（），所以（）． 构造（）， ，由，得． 又时， 所以， 在上单调递增，， 15分 于是，即恒成立． 综上，实数的取值范围为． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $