专题2.5 函数的奇偶性 专项训练【5类必考点分类集训】-2027届高考数学一轮复习（全国通用）

**基本信息** 聚焦函数奇偶性的定义、判断及七大应用场景，通过分层考点构建从基础到综合的知识逻辑链，适配一轮复习系统性巩固需求。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |定义与判断|5题|以选择为主，考查奇偶性概念辨析|从定义本质出发，建立奇偶性判断的基本方法| |求解析式|5题|填空形式，需结合定义域对称性|基于奇偶性定义推导解析式，体现概念应用| |奇偶性应用|5题|选择（含多选），结合单调性、周期性|综合奇偶性与函数性质，培养逻辑推理| |抽象函数奇偶性|5题|选择、填空，需抽象推理|提升数学抽象能力，深化对奇偶性本质理解| |求参数|5题|选择、解答，含分类讨论|通过方程思想应用奇偶性条件，强化运算能力| |解不等式|5题|选择、解答，结合单调性|综合奇偶性与单调性解不等式，培养数学思维| |对称性应用|5题|选择、填空，涉及最值、零点|从奇偶性拓展至对称性，构建知识网络|

专题2.5 函数的奇偶性 【考点1：函数奇偶性的定义与判断】 1 【考点2：由奇偶性求函数解析式】 4 【考点3：函数奇偶性的应用】 6 【考点4：抽象函数的奇偶性】 9 【考点5：由奇偶性求参数】 13 【考点6：由函数奇偶性解不等式】 16 【考点7：奇偶函数对称性的应用】 19 【考点1：函数奇偶性的定义与判断】 1．（25-26高二下·天津红桥·期末）下列函数中是偶函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据偶函数的定义逐项判断. 【详解】对于A：的定义域为，不关于原点对称，故是非奇非偶函数，A错误； 对于B：的定义域为，，故不是偶函数，B错误； 对于C：的定义域为，，故是偶函数，C正确； 对于D：的定义域为，，故是奇函数，D错误. 2．（25-26高一上·安徽阜阳·期中）函数的图象（   ） A．关于直线对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．关于x轴对称 【答案】C 【分析】对进行变形，利用奇函数定义判断即可. 【详解】因为，其定义域为R，， 所以是奇函数， 所以函数的图象关于原点对称. 故选：C. 3．（25-26高三上·天津北辰·期末）下列函数中，图象关于原点对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图象关于原点对称，即函数为奇函数，逐个选项判断即可. 【详解】由函数图象关于原点对称， 可得函数是奇函数， 对于A，定义域为， ，故为偶函数，其图象关于轴对称，A错； 对于B，定义域为， 且，故为奇函数，其图象关于原点对称，B正确； 对于C，定义域为， 但其图象为开口向上的抛物线，且对称轴为， 所以既不是奇函数又不是偶函数，C错； 对于D，定义域为， 但，故为偶函数，其图象关于轴对称，D错. 故选：B. 4．（25-26高一上·山东济南·期末）下列函数在定义域上既是增函数又是奇函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出函数的定义域，根据解析式特征判断其单调性，利用奇偶性定义判断其奇偶性即可逐一判断. 【详解】对于A，函数的定义域为， 显然为增函数，且因可得函数为奇函数，故A正确； 对于B，，定义域为， 因即不是奇函数，故B错误； 对于C，的定义域为， 且在每一个区间上为增函数，但不能说函数在定义域上递增，故C错误； 对于D，因的定义域为， 函数在上先增后减，在上先减后增， 故不是定义域上的增函数，故D错误. 故选：A. 5．（25-26高三上·安徽·阶段检测）下列四个函数中，既是奇函数，又在定义域上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用奇函数的定义，再借助导数判断函数的单调性即可. 【详解】对于A，的定义域为， ，是奇函数， 又，在和上单调递增，在和上单调递减，故A错误； 对于B，的定义域为， ，是奇函数， 又，在和上递增，函数在定义域上不单调递增，故B错误； 对于C，的定义域为，，是奇函数， 又，在和上递减，故C错误； 对于D，的定义域为，，是奇函数， 又，在上递增，故D正确. 故选：D. 【考点2：由奇偶性求函数解析式】 1．（25-26高一上·福建漳州·期末）若函数是偶函数，且当时，，则当时，______. 【答案】 【分析】根据偶函数的性质求解即可. 【详解】解：因为数是偶函数，且当时，， 所以当时，， 所以， 即， 所以当时，. 故答案为： 2．（25-26高二下·河北唐山·阶段检测）已知函数是定义在 R上的奇函数，当时， ，若 ，则______． 【答案】 【详解】函数是定义在 R上的奇函数，当时， ，此时， 当时，，则，此时， 所以， 若 ，设 ，则有 ，解得， 由，解得. 3．（25-26高二下·黑龙江·期末）若奇函数的定义域为，当时，，则当时，_______． 【答案】 【分析】设则，将代入已知正区间函数式求出，再利用奇函数化简，得到时的表达式． 【详解】当时，， ， 所以， 即时，． 4．（25-26高一上·上海·阶段检测）若是上的奇函数，当时则当时______ 【答案】 【分析】利用奇函数的对称性，可求得对称区间的解析式. 【详解】当时，，则， 又因为是奇函数，所以， 即当时，有， 故答案为： 5．（专题02函数与函数方程（数学竞赛真题汇编）高中数学全国通用）设函数的定义域为，.若为奇函数，为偶函数，则的最大值为_____. 【答案】/ 【分析】根据奇、偶函数定义可求出的解析式，再由二次函数性质可求得其最大值. 【详解】对任意，有即 所以，即， 因此. 当时，取得最大值. 故答案为： 【考点3：函数奇偶性的应用】 1．（25-26高一下·广东·期末）已知奇函数在上单调递减，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知奇函数在上单调递减， 对于A，，，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，，，C错误； 对于D，，，，D错误． 2．（25-26高一上·贵州铜仁·期末）已知是定义域为的偶函数，且在上单调递减，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性和单调性判断函数值的大小. 【详解】因为是定义域为的偶函数，所以， 又在上单调递减，且，所以， 故选：A 3．（25-26高一上·江苏南京·期末）已知函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分析函数的奇偶性，单调性，再利用中间值比较大小即可. 【详解】函数的定义域为，定义域关于原点对称， 又，所以为偶函数， 函数在上单调递增，函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 又， 所以. 故选：A 4．（25-26高二下·江西南昌·期末）已知函数的定义域为，，是奇函数．且当时，，则函数的零点个数为（    ） A．10 B．9 C．8 D．6 【答案】A 【分析】利用对称性、奇偶性与周期性，结合函数的图象分析判断即可. 【详解】因为函数的定义域为，且满足， 所以函数的对称轴为：， 又是奇函数，则，所以函数关于点中心对称， 由函数关于直线对称，所以， 所以， 又， 所以函数的周期为，且当时，， 根据对称性和周期性可得函数的图象， 由题意知函数的零点个数等价于函数与函数图象交点个数， 由定义域为，且， 所以函数为偶函数，当时，为单调递增函数， 且，如图所示： 由图可知函数与函数图象有个交点，故函数有个零点. 5．（25-26高二下·河北沧州·期末）（多选）已知是定义在R上的奇函数，为偶函数，，则（    ） A．的图象关于直线对称 B．的一个周期为4 C． D．的图象关于点对称 【答案】ABC 【分析】根据抽象函数的对称性，及条件的变形即可判断ABD选项，再通过函数的周期可求解选项C 【详解】对于A：因为为偶函数，所以， 所以关于直线对称，故A正确. 对于B：因为， 因为为奇函数，所以，即， ，所以的最小正周期为4，故B正确. 对于C：因为， 所以； 所以， 故C正确， 对于D：由B的解析可知， 所以的图象关于点对称.故D错误 【考点4：抽象函数的奇偶性】 1．（25-26高二下·辽宁辽阳·阶段检测）已知奇函数的定义域为，为偶函数，则________. 【答案】0 【分析】先利用偶函数的对称性得到，再结合奇函数性质及即可推出结果. 【详解】因为为偶函数，所以， 则， 又因为是上的奇函数，所以. 2．（25-26高二下·上海·期末）已知奇函数的定义域为，且对任何实数，都有，则可以是（     ）． A．4 B．2 C．1 D． 【答案】C 【分析】由奇函数的性质及已知关系，依次代入、、且令得到，再依次验证各项对应值判断即可. 【详解】已知是定义在上的奇函数，所以，且①， 将代入①中，得， 因为，所以，即， 将代入①中，得， 由于是奇函数，因此，这与上面得出的 相符， 将代入①中，设，则 ， 将代入①中， ， 把代入上式，得到②，​ 若，由②得，与矛盾，排除 A， 若，由②得，与矛盾，排除 B， 若，由②得，与没有冲突，且满足奇函数性质， 若，由②得，与矛盾，排除D， 综上可知，的值只能是. 3．（2026·江苏南京·三模）已知定义在上的非常数函数满足：对于任意都有：，.下列选项正确的是（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件赋值，根据指数型函数方程的结构，通过换元，再结合非常数函数的条件，推出，即可判断四个选项. 【详解】解：令，则， 则，解得或， 因为，所以， 化简得，设，则， 当时，，令，则， 即，即为常数函数，与已知矛盾，因此，，选项错误； 因为，所以，结合，可得， 所以，则，因此，， 所以既不是奇函数，也不是偶函数，选项和选项错误， 此时，选项正确， 4．（2026·广西河池·三模）（多选）已知定义在上的函数满足，且为偶函数，则下列结论正确的是（     ） A．函数为奇函数 B．函数为奇函数 C．函数是偶函数 D．函数是偶函数 【答案】BCD 【分析】根据抽象函数的对称性、周期性，结合函数奇偶性的定义逐项分析判断即可. 【详解】由为偶函数，得，即， 所以的图象关于直线对称. 由及，得. 令，则，所以， 又，所以，即. 所以，因此是偶函数，故A错误，C正确. 由，得， 又是偶函数，所以， 所以，故为奇函数，故B正确. 由，得，又是偶函数，所以， 所以，即是偶函数，故D正确. 5．（25-26高二下·湖北武汉·期末）（多选）已知函数在上单调递增，且对任意，，则（     ） A． B． C．是奇函数 D．函数是奇函数 【答案】AD 【分析】先赋值求出排除常函数，构造转化为指数型函数，得到，再分别代入验证ABC个选项，对于D，利用变形即可证明函数是奇函数． 【详解】对于A，令，得： 整理得，解得，或， 若，令， 得，即， 解得，这与在上单调递增矛盾， 所以，A正确； 对于B，由， 得， 令，则，且， 由在上单调递增，得在上单调递增， 由指数函数性质，单调递增且满足的函数为， ，B错误； 对于C，由，得， 不恒等于， 所以不是奇函数，C错误； 对于D，令，得， 所以，即， 所以函数是奇函数，D正确． 【考点5：由奇偶性求参数】 1．（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知，函数为奇函数，则（   ） A．13 B．24 C．56 D．72 【答案】D 【详解】由， 则， 又函数为上的奇函数，则， 即对任意成立， 整理得． 所以，即，结合，且关于的函数单调递增，所以解得， 所以，即． 2．（25-26高二下·江西南昌·期末）若函数是偶函数，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据偶函数的定义对定义域内任意恒成立，通过代数化简、系数对应相等即可求解. 【详解】已知函数为偶函数，因此对定义域内任意，均满足，即： ， 移项合并含指数的项： ， 左边化简得： ， 因此等式转化为： ， 当时，两边同除以，将右侧通分： ， 去分母展开整理得： ， 该式对任意恒成立，故各项系数均为0， 由项系数得，代入验证其余项系数均为0，符合要求， 经验证时，是定义在上的偶函数. 3．（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知函数为偶函数，则（   ） A．-1 B．1 C．1或-1 D．1或-1或0 【答案】D 【分析】根据偶函数的定义，结合定义域关于原点对称，对a的可能整数值逐一验证. 【详解】函数为偶函数需满足两个条件：①定义域关于原点对称；②对定义域内任意x，均有。 当时，，定义域为，关于原点对称，对任意，都有，满足偶函数定义； 当时，，定义域为，关于原点对称， ，满足偶函数定义； 当时： ，定义域为，关于原点对称， ， 满足偶函数定义； 综上，或或 4．（25-26高二下·上海宝山·期末）设（常数，），若函数为奇函数，且在处取得极值，则__________． 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性以及导数判断极值即可求得结果. 【详解】因为函数在上为奇函数， 所以， 又，在处取得极值， 所以，可得， 经检验，时，为极小值点，满足要求， 所以. 5．（广东汕尾市2025-2026学年高一第二学期期末教学质量监测数学试题）（1）已知函数，，判断的奇偶性． （2）是奇函数，求的值，并判断函数的单调性． 【答案】（1）为偶函数；（2），在上单调递增 【分析】（1）利用函数奇偶性的判断方法直接判断即可； （2）根据奇函数性质即可求出参数的值，然后利用定义法判断函数单调性. 【详解】（1）依题意，得，解得， 故的定义域为， 令，即， 则， 所以为偶函数，即为偶函数． （2）因为，所以函数的定义域为， 又因为为奇函数，所以， 即， 解得. ，且， 则． 因为，所以，，，故， 即，所以在上单调递增． 【考点6：由函数奇偶性解不等式】 1．（专题05函数（7大考点期末真题汇编，吉林内蒙古专用）高二数学下学期人教A版）设函数，则使得成立的的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】探讨函数的奇偶性和单调性，再借助性质求解不等式即可. 【详解】函数的定义域为R， 因为，所以是偶函数， 因为函数，在上单调递增， 因此函数在上单调递增， 若，则，得，解得或， 所以的取值范围为. 2．（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则不等式的解集为（   ） A． B． C．[0，2] D． 【答案】C 【分析】由偶函数定义可得，再通过偶函数的性质，对称区间上单调性相反，可得到函数在定义域上的单调性情况，通过单调性求解不等式即可. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，且，所以． 又函数在上单调递减，所以函数在上单调递增． 所以等价于,即，解得． 3．（25-26高二下·安徽宿州·期末）已知为上的奇函数，，若对，当时，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由条件确定的单调性和奇偶性，进而可求解. 【详解】由，得， 因为，所以，即， 设，则在上单调递减， 而，则，解得； 因为为上的奇函数，所以， 则为上的偶函数，故在上单调递增， 而，则，解得； 当时，，故该点不在解集内. 综上，原不等式的解集为. 4．（25-26高一下·河南焦作·期末）已知函数是定义在上的奇函数，且对于任意，都有，，若，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用奇函数的性质化简给定不等式，得到，再结合的单调性求解对数不等式，即可得到的取值范围. 【详解】因为是定义在上的奇函数，故，，且， 代入原不等式得，即，整理得， 因为对于任意，都有，所以在单调递增，又是奇函数， 所以在单调递增，令， ① 当时，，则， 因为在单调递增，所以，即，解得； ② 当时，，所以， 因为在单调递增，故， 即，解得； 综上，实数的取值范围为. 5．（25-26高一上·福建泉州·期中）已知函数是定义在上的奇函数． (1)求函数的解析式； (2)判断函数在定义域上的单调性，并用定义加以证明； (3)解不等式： . 【答案】(1) (2)在上单调递增.              证明如下：任取且， ， ，且，，， 所以，即，   所以在上单调递增. (3) 【分析】（1）利用奇函数的性质即可求出函数的解析式； （2）利用函数单调性的定义证明即可； （3）结合函数的单调性以及奇函数的性质将问题转化为，解不等式即可求解. 【详解】（1）是定义在上的奇函数， ，则，                           又，则.                         . （2）略 （3）在上是奇函数且单调递增， 由得  ，          ，解得：  ，         不等式的解集为. 【考点7：奇偶函数对称性的应用】 1．（25-26高二下·湖南岳阳·期末）已知函数的定义域为，且对于任意实数，，都有，若函数在定义域内的最大值为，最小值为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题可得为奇函数，为奇函数，然后由奇函数性质可得答案. 【详解】因对于任意实数，，都有， 令，可得， 再令，则，从而为奇函数. 注意到， 结合为R上奇函数，为R上偶函数， 可得为R上奇函数， 由题可得存在，且为，存在，且为. 又由奇函数性质可得， 从而. 2．（25-26高三·全国·一轮复习）已知，设函数的最大值是，最小值是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先得到函数的对称中心，从而得到为奇函数，利用奇函数性质得到结果. 【详解】， 故函数水平渐近线为，当时，趋向于， 故对称中心的纵坐标为， 联立与得， 由上述分析知的图像关于点对称， 变形函数，令， 则 ， 则在上是奇函数， 故有，即，． 3．（2026·浙江·二模）已知且，若函数有唯一零点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断函数的奇偶性，结合偶函数图像对称性与唯一零点的性质确定零点为，推导得到与的等量关系，再利用基本不等式求解的最小值. 【详解】∵ 函数的定义域为，且， ∴ 为偶函数. ∵ 存在唯一零点，若存在非零零点，则也为函数零点，与唯一零点矛盾， 故函数唯一零点为. ∴ ，整理得. 由基本不等式可得， 将代入得，当且仅当时等号成立. 联立，解得，满足条件，故等号可取. 综上，的最小值为. 【点睛】方法归纳：对于含奇偶性的函数零点问题，优先利用对称性分析零点分布，得到参数关系后结合基本不等式、导数等工具求解最值. 4．（25-26高一上·四川凉山·期末）已知函数，则函数的图象与轴和直线围成的封闭区域的面积为__________． 【答案】2 【分析】首先求出函数的定义域，分析函数的对称性，作出图形，结合对称性与三角形的面积公式可求得所求区域的面积. 【详解】首先求函数的定义域，由,得,解得,所以函数的定义域为, 又,所以, 所以函数的图象关于点对称，又,,记点，如下图所示： 结合函数的对称性可知，函数的图象与轴和直线围成的封闭区域的面积等于的面积， 故所求区域的面积等于. 故答案为：2. 5．（25-26高一上·重庆·阶段检测）我们知道，函数的图像关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．若，其中，则图像的对称中心是______． 【答案】 【分析】根据题意可得中心对称的性质，然后利用中心对称的性质，即可求解. 【详解】由题知，若为奇函数， 可得， 即， 所以的图像关于点成中心对称可得， 又， 且， 所以图像的对称中心是. 故答案为： 一、单选题 1．（25-26高三·宁夏·期中）已知 分别是定义在上的偶函数和奇函数， 且， 则（    ） A．3 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性可知，代入解析式中即可. 【详解】 故选：C 2．（25-26高一·新疆吐鲁番·课后作业）下列函数中，是奇函数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依次判断选项的定义域和即可得到答案. 【详解】对选项A，函数，由于， 因此，定义域为，关于原点对称， ，因此为奇函数. 对选项B，，不是奇函数. 对选项C，，不是奇函数. 对选项D，，不是奇函数. 故选：A 【点睛】本题主要考查奇函数的判断，属于简单题. 3．（25-26高二下·辽宁沈阳·期末）已知函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，即可判断为奇函数，则，再根据奇偶性求出函数值； 【详解】解：因为，令，，则定义域为，，即为奇函数，，所以，所以，所以 故选：C 4．（25-26高一上·安徽阜阳·阶段检测）设偶函数的定义域为，当时，是增函数，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据偶函数的性质，结合单调性即可求解. 【详解】由于为偶函数，故，， 由于时，是增函数，， 故， 故选：A. 5．（25-26高一上·甘肃兰州·期中）是偶函数，且f(x)不恒等于零，则f(x)（    ） A．是奇函数 B．可能是奇函数，也可能是偶函数 C．是偶函数 D．不是奇函数，也不是偶函数 【答案】A 【分析】根据已知函数的奇偶性，利用奇偶性的定义判断函数的奇偶性即可. 【详解】解：因为， 所以， 所以， 所以函数是奇函数. 故选：A. 6．（3.2.3函数的单调性与奇偶性习题-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册限时作业）已知函数的定义域为，且同时满足下列条件：（1）是奇函数；（2）在定义域上单调递减；（3），则m的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由函数的奇偶性可将不等式变形为，再根据函数的定义域与单调性列不等式组求解. 【详解】是奇函数且，， 又函数在上单调递减，. 故选：B 【点睛】本题考查利用函数的单调性解不等式、函数的奇偶性，属于基础题. 二、多选题 7．（25-26高一上·全国·课后作业）设函数的定义域为，和均为奇函数，则下列选项正确的是（    ） A．函数满足 B．函数的图象关于直线对称 C．函数的图象关于点对称 D．函数为上的偶函数 【答案】AC 【分析】通过奇函数得到两个等量关系，再通过对自变量进行取值后化简得到，判断A选项；根据函数的奇偶性可推出函数的对称性，判断B,C选项；结合函数周期，通过化简知道函数的奇偶性，判断D选项. 【详解】因为为奇函数，所以， 又为奇函数，所以， 所以， ∴，A选项正确； 由为奇函数可知关于点对称，由为奇函数， 可知关于点对称，B错误，C正确； 因为是奇函数，D选项错误. 故选：AC. 8．（25-26高一上·安徽安庆·阶段检测）（多选）已知函数对任意的都有，函数的图象关于直线对称，且对任意的，，都有．则下列结论正确的是（    ） A．是偶函数 B． C． D．的图象关于点对称 【答案】ABD 【分析】根据函数的周期性、奇偶性、单调性等知识对选项逐一进行分析，即可得出正确答案. 【详解】选项A，因为函数对任意的都有， 所以，所以是周期为4的周期函数． 因为函数的图象关于直线对称，所以的图象关于直线对称，所以是偶函数，所以A正确． 选项B，由且是以4为周期的偶函数，以替换， 得，则，所以， 所以，所以B正确． 选项C，因为对任意的，都有， 所以在区间上单调递增，又因为， 且，所以，即，所以C错误． 选项D，由选项B知，所以的图象关于点对称，所以D正确． 故选：ABD． 三、填空题 9．（[新教材精创]2.4.1函数的奇偶性练习（2）-北师大版高中数学必修第一册）已知奇函数是定义在区间上的减函数，满足的实数的取值范围为_________； 【答案】 【分析】由奇函数定义把不等式变为，然后再由单调性求解，注意函数定义域． 【详解】不等式即为，函数单减，则，解得， 故答案为：. 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，解题方法是由奇函数定义化不等式为，然后再由单调性求解．同时注意函数定义域，否则易出错． 10．（25-26高一下·湖南长沙·期末）设是定义域为的奇函数，且在上是增函数，又满足，则不等式的解集是______． 【答案】 【分析】根据函数奇偶性和单调性得到当或时，，当或时，，从而符号法得到不等式的解集. 【详解】因为是定义域为的奇函数，则， 又在上是增函数，则在上也单调递增， 因为，所以， 当或时，，当或时，， 故当时，，满足， 当时，，满足， 综上，的解集为. 故答案为： 四、解答题 11．（25-26高一下·青海海东·期末）已知函数． (1)判断的奇偶性并证明； (2)若函数，求的值． 【答案】(1)是偶函数， 证明如下：由，可得， 则的定义域为，关于原点对称． ， 所以是偶函数． (2)2 【分析】（1）由奇偶函数的定义证明即可. （2）令函数，先求出是奇函数，则，即可求出的值. 【详解】（1）略 （2）令函数，则， 由（1）可知是偶函数， 因为 所以是奇函数，从而， ． 12．（25-26高二下·重庆·期末）已知函数是奇函数，且 (1)求和的值； (2)若，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据奇函数的定义求解即可. （2）先利用函数的奇偶性和单调性将抽象不等式转化为具体的不等式 ，再对分类讨论，最后用基本不等式求最小值，得到实数的取值范围． 【详解】（1）的定义域为，又为奇函数，则. 又，即，解得. 则， 由，则，满足条件. （2）由（1）知， ，均在上单调递增， 在上单调递增. 在时恒成立，是上单调递增的奇函数， 所以，即在时恒成立， ，成立，此时，时，得到． 且令，即在时恒成立. 又，当且仅当时等号成立， 即，故. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.5 函数的奇偶性 【考点1：函数奇偶性的定义与判断】 1 【考点2：由奇偶性求函数解析式】 2 【考点3：函数奇偶性的应用】 2 【考点4：抽象函数的奇偶性】 3 【考点5：由奇偶性求参数】 4 【考点6：由函数奇偶性解不等式】 5 【考点7：奇偶函数对称性的应用】 6 【考点1：函数奇偶性的定义与判断】 1．（25-26高二下·天津红桥·期末）下列函数中是偶函数的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·安徽阜阳·期中）函数的图象（   ） A．关于直线对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．关于x轴对称 3．（25-26高三上·天津北辰·期末）下列函数中，图象关于原点对称的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·山东济南·期末）下列函数在定义域上既是增函数又是奇函数的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·安徽·阶段检测）下列四个函数中，既是奇函数，又在定义域上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【考点2：由奇偶性求函数解析式】 1．（25-26高一上·福建漳州·期末）若函数是偶函数，且当时，，则当时，______. 2．（25-26高二下·河北唐山·阶段检测）已知函数是定义在 R上的奇函数，当时， ，若 ，则______． 3．（25-26高二下·黑龙江·期末）若奇函数的定义域为，当时，，则当时，_______． 4．（25-26高一上·上海·阶段检测）若是上的奇函数，当时则当时______ 5．（专题02函数与函数方程（数学竞赛真题汇编）高中数学全国通用）设函数的定义域为，.若为奇函数，为偶函数，则的最大值为_____. 【考点3：函数奇偶性的应用】 1．（25-26高一下·广东·期末）已知奇函数在上单调递减，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·贵州铜仁·期末）已知是定义域为的偶函数，且在上单调递减，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·江苏南京·期末）已知函数，若，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·江西南昌·期末）已知函数的定义域为，，是奇函数．且当时，，则函数的零点个数为（    ） A．10 B．9 C．8 D．6 5．（25-26高二下·河北沧州·期末）（多选）已知是定义在R上的奇函数，为偶函数，，则（    ） A．的图象关于直线对称 B．的一个周期为4 C． D．的图象关于点对称 【考点4：抽象函数的奇偶性】 1．（25-26高二下·辽宁辽阳·阶段检测）已知奇函数的定义域为，为偶函数，则________. 2．（25-26高二下·上海·期末）已知奇函数的定义域为，且对任何实数，都有，则可以是（     ）． A．4 B．2 C．1 D． 3．（2026·江苏南京·三模）已知定义在上的非常数函数满足：对于任意都有：，.下列选项正确的是（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C． D． 4．（2026·广西河池·三模）（多选）已知定义在上的函数满足，且为偶函数，则下列结论正确的是（     ） A．函数为奇函数 B．函数为奇函数 C．函数是偶函数 D．函数是偶函数 5．（25-26高二下·湖北武汉·期末）（多选）已知函数在上单调递增，且对任意，，则（     ） A． B． C．是奇函数 D．函数是奇函数 【考点5：由奇偶性求参数】 1．（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知，函数为奇函数，则（   ） A．13 B．24 C．56 D．72 2．（25-26高二下·江西南昌·期末）若函数是偶函数，则（   ） A．1 B． C． D． 3．（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知函数为偶函数，则（   ） A．-1 B．1 C．1或-1 D．1或-1或0 4．（25-26高二下·上海宝山·期末）设（常数，），若函数为奇函数，且在处取得极值，则__________． 5．（广东汕尾市2025-2026学年高一第二学期期末教学质量监测数学试题）（1）已知函数，，判断的奇偶性． （2）是奇函数，求的值，并判断函数的单调性． 【考点6：由函数奇偶性解不等式】 1．（专题05函数（7大考点期末真题汇编，吉林内蒙古专用）高二数学下学期人教A版）设函数，则使得成立的的取值范围为（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则不等式的解集为（   ） A． B． C．[0，2] D． 3．（25-26高二下·安徽宿州·期末）已知为上的奇函数，，若对，当时，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·河南焦作·期末）已知函数是定义在上的奇函数，且对于任意，都有，，若，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·福建泉州·期中）已知函数是定义在上的奇函数． (1)求函数的解析式； (2)判断函数在定义域上的单调性，并用定义加以证明； (3)解不等式： . 【考点7：奇偶函数对称性的应用】 1．（25-26高二下·湖南岳阳·期末）已知函数的定义域为，且对于任意实数，，都有，若函数在定义域内的最大值为，最小值为，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三·全国·一轮复习）已知，设函数的最大值是，最小值是，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·浙江·二模）已知且，若函数有唯一零点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·四川凉山·期末）已知函数，则函数的图象与轴和直线围成的封闭区域的面积为__________． 5．（25-26高一上·重庆·阶段检测）我们知道，函数的图像关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．若，其中，则图像的对称中心是______． 一、单选题 1．（25-26高三·宁夏·期中）已知 分别是定义在上的偶函数和奇函数， 且， 则（    ） A．3 B．1 C． D． 2．（25-26高一·新疆吐鲁番·课后作业）下列函数中，是奇函数的为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·辽宁沈阳·期末）已知函数，若，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·安徽阜阳·阶段检测）设偶函数的定义域为，当时，是增函数，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·甘肃兰州·期中）是偶函数，且f(x)不恒等于零，则f(x)（    ） A．是奇函数 B．可能是奇函数，也可能是偶函数 C．是偶函数 D．不是奇函数，也不是偶函数 6．（3.2.3函数的单调性与奇偶性习题-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册限时作业）已知函数的定义域为，且同时满足下列条件：（1）是奇函数；（2）在定义域上单调递减；（3），则m的取值范围（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（25-26高一上·全国·课后作业）设函数的定义域为，和均为奇函数，则下列选项正确的是（    ） A．函数满足 B．函数的图象关于直线对称 C．函数的图象关于点对称 D．函数为上的偶函数 8．（25-26高一上·安徽安庆·阶段检测）（多选）已知函数对任意的都有，函数的图象关于直线对称，且对任意的，，都有．则下列结论正确的是（    ） A．是偶函数 B． C． D．的图象关于点对称 三、填空题 9．（[新教材精创]2.4.1函数的奇偶性练习（2）-北师大版高中数学必修第一册）已知奇函数是定义在区间上的减函数，满足的实数的取值范围为_________； 10．（25-26高一下·湖南长沙·期末）设是定义域为的奇函数，且在上是增函数，又满足，则不等式的解集是______． 四、解答题 11．（25-26高一下·青海海东·期末）已知函数． (1)判断的奇偶性并证明； (2)若函数，求的值． 12．（25-26高二下·重庆·期末）已知函数是奇函数，且 (1)求和的值； (2)若，恒成立，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $