专题2-3 函数的单调性、奇偶性与对称性（6重难点题型+高考真题）-2027届高考数学一轮复习

专题2-3 函数的单调性、奇偶性与对称性 1．（2026·全国二卷·高考真题）已知是定义域为R的偶函数，，且当时，，则（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】由奇偶性求参数、函数奇偶性的应用、函数周期性的应用 【分析】根据推出周期性，分析可得，得到，再由可得. 【详解】，则， ，即的周期为， 结合奇偶性，周期性，故， 在上满足，说明的对称轴为， 则，解得， 又根据知，而， 则，于是， 即，解得 2．（2025·全国一卷·高考真题）已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的应用、由函数的周期性求函数值 【分析】根据周期性和奇偶性把待求自变量转化为的范围中求解. 【详解】由题知对一切成立， 于是. 故选：A 3．（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、求含cosx的函数的奇偶性 【分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可. 【详解】对A，设，函数定义域为，但，，则，故A错误； 对B，设，函数定义域为， 且，则为偶函数，故B正确； 对C，设，， ，则不是偶函数，故C错误； 对D，设，函数定义域为， 因为，且不恒为0， 则不是偶函数，故D错误. 故选：B. 4．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数．记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】比较函数值的大小关系、比较指数幂的大小 【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可. 【详解】令，则开口向下，对称轴为， 因为，而， 所以，即 由二次函数性质知， 因为，而， 即，所以， 综上，， 又为增函数，故，即. 故选：A. 5．（2023·全国乙卷·高考真题）已知是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】指数幂的化简、求值、由奇偶性求参数 【分析】根据偶函数的定义运算求解. 【详解】因为为偶函数，则， 又因为不恒为0，可得，即， 则，即，解得. 故选：D. 6．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）若为偶函数，则（    ）． A． B．0 C． D．1 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】由奇偶性求参数、函数奇偶性的应用 【分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出值，再检验即可. 【详解】因为 为偶函数，则 ，解得， 当时，，，解得或， 则其定义域为或，关于原点对称. ， 故此时为偶函数. 故选：B. 7．（2025·全国二卷·高考真题）（多选题）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B．当时， C．当且仅当 D．是的极大值点 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】求已知函数的极值点、函数奇偶性的应用、由奇偶性求函数解析式 【分析】对A，根据奇函数特点即可判断；对B，利用代入求解即可；对C，举反例即可；对D，直接求导，根据极大值点判定方法即可判断. 【详解】对A，因为定义在上奇函数，则，故A正确； 对B，当时，，则，故B正确； 对C，， 故C错误； 对D，当时，，则， 令，解得或（舍去）， 当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 则是极大值点，故D正确； 故选：ABD. 8．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）（多选题）已知函数的定义域为，，则（    ）． A． B． C．是偶函数 D．为的极小值点 【答案】ABC 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数极值点的辨析 【分析】方法一：利用赋值法，结合函数奇偶性的判断方法可判断选项ABC，举反例即可排除选项D. 方法二：选项ABC的判断与方法一同，对于D，可构造特殊函数进行判断即可. 【详解】方法一： 因为， 对于A，令，，故正确. 对于B，令，，则，故B正确. 对于C，令，，则， 令， 又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确， 对于D，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误. 方法二： 因为， 对于A，令，，故正确. 对于B，令，，则，故B正确. 对于C，令，，则， 令， 又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确， 对于D，当时，对两边同时除以，得到， 故可以设，则， 当肘，，则， 令，得；令，得； 故在上单调递减，在上单调递增， 因为为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减，    显然，此时是的极大值点，故D错误. 9．（2026·上海·高考真题）已知函数是偶函数，当时，，若，则__________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由奇偶性求参数、函数奇偶性的应用 【分析】根据偶函数的性质求解. 【详解】因为函数是偶函数，当时，， 所以，解得. 10．（2024·上海·高考真题）若函数是奇函数，则实数______. 【答案】0 【难度】0.94 【知识点】由奇偶性求参数 【分析】根据奇函数的定义求解． 【详解】是奇函数，则恒成立， 所以，解得 故答案为：0． 11．（2023·全国甲卷·高考真题）若为偶函数，则________． 【答案】2 【难度】0.65 【知识点】由奇偶性求参数、诱导公式二、三、四、诱导公式五、六 【分析】利用偶函数的性质得到，从而求得，再检验即可得解. 【详解】因为为偶函数，定义域为， 所以，即， 则，故， 此时， 所以， 又定义域为，故为偶函数， 所以. 故答案为：2. 12．（2022·全国乙卷·高考真题）若是奇函数，则_____，______． 【答案】 ； ． 【难度】0.85 【知识点】对数的运算性质的应用、由奇偶性求参数 【分析】根据奇函数的定义即可求出． 【详解】[方法一]：奇函数定义域的对称性 若，则的定义域为，不关于原点对称 若奇函数的有意义，则且 且， 函数为奇函数，定义域关于原点对称， ，解得， 由得，， ， 故答案为：；． [方法二]：函数的奇偶性求参 函数为奇函数 [方法三]： 因为函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称． 由可得，，所以，解得：，即函数的定义域为，再由可得，．即，在定义域内满足，符合题意． 故答案为：；． 重难点题型1 函数奇偶性的判断 1、函数奇偶性的判断方法 （1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等． （2）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称． （3）性质法：同名加减不变，异名加减不可；同名乘除得偶，异名乘除得奇． 2、常见的奇函数与偶函数 （1）（）为偶函数； （2）（）为奇函数； （3）（）为奇函数； （4）（）为奇函数； （5）（）为奇函数； （6）为偶函数； （7）为奇函数． 1．（2026·北京海淀·三模）以下函数既是偶函数又在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.82 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据解析式直接判断函数的单调性、用导数判断或证明已知函数的单调性 【详解】选项A：，定义域为， 因为在单调递减，在单调递增，且是周期函数，在单调递增，在单调递减， 所以在上不能满足单调递增，所以A错误； 选项B：，定义域为，，是奇函数，所以B错误； 选项C：，定义域为，不关于原点对称，为非奇非偶函数，所以C错误； 选项D：，定义域为，，是偶函数； 又， 且当时，，所以， 所以在上单调递增，所以D正确. 2．（2026·宁夏石嘴山·模拟预测）已知函数的定义域为，则下列函数一定为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、抽象函数的奇偶性 【分析】根据奇函数，偶函数的定义，逐一判断各选项即可. 【详解】选项A：设， 由，可知是偶函数，不能确定是奇函数，A错误. 选项B：设， 由，可知是奇函数，B正确. 选项C：设， 由，可知是偶函数，不能确定是奇函数，C错误. 选项D：设， 由，可知是偶函数，不能确定是奇函数，D错误. 3．（2026·天津宝坻·三模）下列函数中，在区间上单调递减，且是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】判断一般幂函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、研究对数函数的单调性、判断指数函数的单调性 【分析】逐一验证各选项是否同时满足在区间上单调递减且为奇函数两个条件即可求解． 【详解】对A选项，的定义域为，， 既不满足也不满足，为非奇非偶函数，不符合要求，故A错误； 对B选项，的定义域为， 满足，是奇函数， 根据幂函数性质，在上单调递增，在上单调递增，不符合单调递减的要求，故B错误； 对C选项，的定义域为，关于原点对称， 满足，是奇函数， 由反比例函数的性质可知，在上单调递减，两个条件均满足，故C正确； 对D选项，的定义域为，定义域不关于原点对称，为非奇非偶函数，且根据对数函数性质，在上单调递增，不符合要求，故D错误． 4．（2026·天津河西·三模）下列函数中，在内单调递增的偶函数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据解析式直接判断函数的单调性、用导数判断或证明已知函数的单调性 【详解】选项A：，定义域为，，为奇函数； 选项B：，定义域为，，为偶函数， ，求导可得， 设函数，求导可得， 设函数，求导可得， 当时，，单调递增，所以， 所以当时，，单调递增，所以， 因此当时，，在内单调递增； 选项C：，定义域为，，为奇函数； 选项D：，定义域为，，为偶函数， 当时，令，则，函数变为，根据对勾函数性质可知函数在上单调递减，在上单调递增，即函数在上单调递减，在上单调递增. 5．（2026·北京房山·二模）下列函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求含tanx的函数的单调性、判断一般幂函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、判断指数函数的单调性 【详解】选项A，函数的定义域为，定义域关于原点对称， ，， 是奇函数， 在上是单调递增函数， 在定义域上不是单调递增函数，故选项A错误； 选项B，函数的定义域为，定义域关于原点对称， ，， 不是奇函数，故选项B错误； 选项C，函数的定义域为，定义域关于原点对称， ，， 是奇函数， 都是定义域上的单调递增函数，是定义域上的单调递增函数， 故选项C正确； 选项D，函数的定义域为，定义域关于原点对称， ，，是奇函数， 当时，，当且仅当时，即时等号成立， 当时，单调递减；当时，单调递增， 当时，单调递减；当时，单调递增； 故选项D错误. 6．（2026·天津·二模）下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.7 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据解析式直接判断函数的单调性、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】根据特殊值结合单调性的性质判断选项ABC；根据奇偶性的定义以及利用导数证明单调性即可判断D选项． 【详解】，定义域为， 又，所以为奇函数， 易知，则不单调，故A不符合题意； 因为， ，则为偶函数，故B不符合题意； ，定义域为， 又，所以为奇函数， 又在单调递减， 则在单调递减，故C不符合题意； ，定义域为， 又，所以为奇函数， ，所以在上单调递增，故D符合题意． 7．（25-26高三上·江苏盐城·阶段检测）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则（   ） A．1 B．3 C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】求函数值、函数奇偶性的应用、由奇偶性求函数解析式 【分析】由题意求出，再由函数的奇偶性代值计算即得. 【详解】因函数是定义在上的奇函数，当时， 则，解得，则当时，， 故. 故选：C. 重难点题型2 利用函数的奇偶性，求参数范围 1、由函数的奇偶性求参数：若函数解析式中含参数，则根据或，利用待定系数法求参数；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点值之和为0求参数． 2、由函数的奇偶性求函数值：若所给的函数具有奇偶性，则直接利用或求解；若所给函数不具有奇偶性，一般利用所给的函数构造一个奇函数或偶函数，然后利用其奇偶性求值． 1．（2026·河北秦皇岛·一模）已知函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】指数幂的化简、求值、由奇偶性求参数 【详解】函数的定义域为. 因为函数为奇函数，所以，即，得. 当时，， ，. 所以函数为奇函数. 所以. 2．（2026·河南开封·模拟预测）“”是“函数为奇函数”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【难度】0.76 【知识点】充要条件的证明、由奇偶性求参数 【分析】求函数定义域后分析函数为奇函数的条件，最后根据充分、必要条件判断即可 【详解】由，解得,即函数的定义域为，关于原点对称， 令，因为，所以为奇函数. 此时，则， 若为奇函数，则，即， 因为不恒为0，所以对所有成立，展开得，即. 若，则,,则为奇函数. 故“”是“函数为奇函数”的充要条件. 3．（2026·陕西榆林·模拟预测）若函数为奇函数，则实数的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】对数的运算、对数的运算性质的应用、由奇偶性求参数 【分析】根据奇函数性质建立关于方程求解. 【详解】由可得， ， 若为奇函数，则有， 即，整理得， 则，解得， 当时，，令，解得或， 此时定义域为关于原点对称， 符合为奇函数，故符合题意． 4．（2026·重庆九龙坡·模拟预测）若函数是奇函数，则（    ） A．2 B．1 C．0 D．-1 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】特殊角的三角函数值、函数奇偶性的定义与判断、由奇偶性求参数、函数奇偶性的应用 【分析】先求出函数的定义域，根据奇函数的性质代入特殊值求出的值，再进行检验即可. 【详解】由，可得， 即函数的定义域为， 显然， 又因为函数奇函数， 所以. 当时，，定义域为， 且，满足题意. 所以. 5．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时，__________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求含cosx的函数的奇偶性、由奇偶性求函数解析式 【分析】由奇函数的性质即可求解，注意当时要单调独验证. 【详解】解：当，又因为为上的奇函数， 所以，解得， 又，所以当． 故答案为：. 6．（2026·福建福州·三模）若函数为奇函数，则____． 【答案】1 【难度】0.85 【知识点】求指数（型)函数的定义域、由奇偶性求参数 【详解】函数定义域为，关于原点对称，因为函数为奇函数， 所以，，， 所以，即，整理得对定义域内的恒成立，解得. 7．（2026·河北沧州·模拟预测）若函数为奇函数，则__________. 【答案】 【难度】0.78 【知识点】由奇偶性求参数 【分析】根据奇函数的性质计算即可. 【详解】由题意得，则且， 因为为奇函数，其定义域关于原点对称， 所以，故， 又，即， 所以，则. 重难点题型3 利用单调性与奇偶性，比较大小 一般解法是先利用奇偶性，将不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值，转化为同一单调区间上的自变量的函数值，然后利用单调性比较大小． 1．已知奇函数在上单调递增，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】比较对数式的大小、比较函数值的大小关系、函数奇偶性的应用 【分析】根据函数奇偶性及单调性判断即可求解. 【详解】由题意得在上单调递增. 因为， 所以. 又，所以，所以. 故. 2．（25-26高三下·河南周口·阶段检测）已知函数是定义在上的偶函数，当且时，不等式恒成立，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、比较对数式的大小、比较函数值的大小关系、函数奇偶性的应用 【分析】由题意判断函数在上的单调性，根据偶函数的性质及指数、对数的运算性质，结合单调性判断即可. 【详解】因为当且时，不等式恒成立， 所以函数在上单调递增. 因为函数是定义在上的偶函数， 所以. 因为， 所以，即. 3．（2026·湖北·三模）已知函数，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、比较对数式的大小、函数奇偶性的定义与判断、比较函数值的大小关系 【分析】由函数为偶函数，在上递增求解即可. 【详解】因为，所以为定义在上的偶函数， 因为，当时，即时，解得， 所以在上递增，， 由，，故. 4．（2026·山西朔州·二模）已知偶函数在上单调递增，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.72 【知识点】比较正弦值的大小、比较函数值的大小关系、函数奇偶性的应用 【分析】结合单调性和偶函数的性质求解即可. 【详解】 因为，所以，故， 又易知，即，所以. 因为偶函数在上单调递增，所以在上单调递减， 故. 重难点题型4 利用单调性与奇偶性，解不等式 解决此类问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成或的形式，再根据奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反，列出不等式（组），同时不能漏掉函数自身定义域对参数的影响． 【注意】在转化时，自变量的取值必须在同一单调区间上；当不等式一边没有符号“”时，需转化为含符号“”的形式． 1．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数 则不等式的解集为（    ） A． B． C．(1，0) D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式、由对数函数的单调性解不等式 【分析】首先化简函数，再判断函数的奇偶性和单调性，根据函数的性质解不等式. 【详解】， 设，，所以为偶函数， 所以，是偶函数， 当时，， 所以在单调递增，根据复合函数单调性可知，在单调递增， 所以不等式， 即，两边平方，整理为， 解得：或 所以不等式的解集为. 2．（2026·四川广安·模拟预测）已知函数，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.68 【知识点】根据函数的单调性解不等式、函数奇偶性的定义与判断、由函数奇偶性解不等式、函数奇偶性的应用 【分析】先判断函数的奇偶性和时的单调性，将函数值不等式转化为绝对值不等式求解即可. 【详解】函数的定义域为R， 且满足， 故为偶函数； 当时，，其中在上单调递增， 在上单调递减，则在上单调递增， 因此在上单调递增； 由偶函数性质，等价于， 结合函数的单调性得 两边均非负，平方后不等号方向不变， 得，展开整理得， 即 ，解得，即的解集为. 3．（2026·内蒙古呼伦贝尔·模拟预测）已知函数，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.62 【知识点】根据函数的单调性解不等式、对数的运算性质的应用、由函数奇偶性解不等式 【分析】判断函数的奇偶性，结合复合函数单调性的性质、对数函数、指数函数的单调性进行求解即可. 【详解】函数的定义域为全体实数， ， 所以函数是偶函数， 当时，， 因为函数是单调递增函数，且， 所以函数是单调递增函数， 因为是单调递增函数，且， 所以函数是单调递增函数，且， 所以函数在上单调递增， 所以由 ，或，解得，或， 所以不等式的解集. 4．（2026·河北邢台·二模）已知函数 则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性解不等式、研究对数函数的单调性、由函数奇偶性解不等式 【分析】根据函数的奇偶性以及单调性即可求解. 【详解】的定义域为，，故为偶函数， 当时，，由于为上的单调递增函数，故 为上的单调递增函数，结合为单调递增函数，故为上的单调递增函数， 由可得，解得. 5．（2025·四川·模拟预测）已知函数，则的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式、判断与幂函数相关的复合函数的单调性 【分析】是上的奇函数且在上递减，即可将原不等式等价转化为，求解即可. 【详解】由于的定义域为，且，故是奇函数， 又因为均为在上的减函数， 则在上单调递减. 从而不等式等价于，即. 此即，即，解得. 故选：B. 6．（2025·河北石家庄·一模）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】由函数奇偶性、单调性即可求解. 【详解】易知函数定义域为， 又，故为偶函数， 当时，，所以， 令，结合对勾函数在单调递增，在单调递增， 由复合函数的单调性可知：在上单调递增， 又在上单调递增， 故在上单调递增， 易知在上单调递增， 结合函数为偶函数， 所以由可得， 平方得：， 解得或， 所以不等式的解集为， 故选：D 7．（2024·辽宁大连·模拟预测）已知定义在R上的偶函数在上的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】由函数奇偶性解不等式 【分析】利用偶函数的图象特征，将不等式转化成或 【详解】根据偶函数的图象特征， 可知当时，，当时， 由，得， 等价于或 解得，或． 所以不等式解集为： 故选：D 8．（2024·湖南永州·三模）已知函数，其中是自然对数的底数.若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】求导后结合基本不等式可得在上单调递增，令g，从而可得在上单调递增，且为奇函数，从而可化为，求解即可. 【详解】， 在上单调递增. 令，在上单调递增， 因为，所以为奇函数， 则化为 所以，解得， . 故选：C 重难点题型5 函数的对称性与周期性 1、关于线对称：若函数满足，则函数关于直线对称，特别地，当a＝b＝0时，函数关于y轴对称，此时函数是偶函数． 2、关于点对称：若函数满足，则函数关于点(a，b)对称，特别地，当a＝0，b＝0时，，则函数关于原点对称，此时函数是奇函数． 3、函数的周期性 （1）若，则； （2）若，则； （3）若，则； （4）若，则； （5）若，则； （6）若，则（） （7）若，则； （8）若，则； 1．（2026·北京·三模）设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则一定有（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】函数对称性的应用、函数奇偶性的应用、由函数的周期性求函数值 【分析】根据奇函数与偶函数的定义可知，是奇函数，是偶函数，那么，，通过代换计算出函数的周期及特殊点的函数值即可求解. 【详解】根据奇函数与偶函数的定义可知，是奇函数，是偶函数， 那么，， 又函数的定义域为， 所以，令，得 ， 即， 令，得 即，所以，， 又，所以，， 令，得，所以， 令，得 ，即 由可得 ，故函数周期为4, ，故选项D正确， 对于选项A，构造函数,，周期为4，但， 选项A不一定成立，故A错误； 对于选项B，同样构造函数，， 选项B不一定成立，故B错误； 对于选项C，，结合选项A可知，不一定成立，故C错误. 2．（2026·陕西安康·模拟预测）已知定义在上的函数的图象关于对称，且，若，则（    ） A．0 B．1 C．-1 D．-2 【答案】B 【难度】0.42 【知识点】函数对称性的应用、函数周期性的应用、由函数的周期性求函数值 【分析】利用函数的周期性求解. 【详解】由 ，得， 两式相减：，周期， ， 原式：， 令： ， 关于对称，得, 所以，因为，得：， ，即 ， ， ， ， 一个周期：， 一个周期和：，     . 3．（2026·四川成都·三模）已知奇函数满足，当时，，则（    ） A．0 B．1 C．3 D．5 【答案】B 【难度】0.72 【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、由函数的周期性求函数值 【分析】首先根据可求出的周期，再结合可求出值，结合周期性可将转化到自变量在区间上的函数值，根据奇函数的性质及已知解析式可求解. 【详解】因为函数满足， 所以，即是以4为周期的函数. 由题意知奇函数的自变量可取0，所以. 又因为当时，，所以，解得， 所以当时，， 所以 . 4．（2026·吉林·三模）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（    ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．的最小正周期为4 D．在上单调递增 【答案】B 【难度】0.66 【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用 【分析】通过对和的平移换元，结合函数的奇偶性与周期性，转化出自身的对称轴和对称中心，进而推导出其奇偶性与周期性. 【详解】因为为偶函数，所以， 将替换为，则有①， 因为为奇函数，所以， 将替换为，则有， 再将替换为，则有②， 将替换为，则有③， 结合①③得④， 结合②④得，因此为偶函数，选项A错误，B正确； 因为，结合偶函数，将替换为得， 则，即2为的周期，选项C错误， 对于D选项，如满足偶函数且周期为2， 但不满足在上单调递增. 5．（2026·四川遂宁·二模）已知定义域为的函数满足，当时，，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】对数的运算、求函数值、由函数的周期性求函数值 【分析】先根据周期性得出，再根据解析式及对数运算求解. 【详解】因为函数满足，所以， 当时，，则. 6．（2026·吉林白山·模拟预测）已知是定义域为的奇函数，是定义域为的偶函数，若，，则（   ） A． B． C．0 D．3 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用 【分析】利用函数奇偶性推导函数的周期，求出一个周期内各项的值，再计算50包含多少个完整周期和余下的项，最后求和. 【详解】是上奇函数，因此满足 ，且 ； 是上偶函数，因此满足 ，则关于直线对称. 由，换元得， 结合奇函数性质，得： 再替换为，得：， 因此是周期为. 已知，， 一个周期的和：. ，即50项包含6个完整周期， 剩余最后两项，， 所以. 7．（2026·湖南·模拟预测）（多选题）下列函数的图象关于直线对称的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【难度】0.78 【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、函数对称性的应用、求cosx（型）函数的对称轴及对称中心 【详解】的图象关于直线对称，A正确． 令，则，所以的图象关于直线对称，B正确． 的图象关于直线对称，且在上单调递减，在上单调递增，故C错误． 令，则，所以的图象关于直线对称，D正确． 8．（2026·安徽合肥·模拟预测）（多选题）下列函数中，其图像是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【难度】0.62 【知识点】函数对称性的应用、函数奇偶性的应用 【分析】根据函数的对称性求解判断即可. 【详解】对于A，，满足，图像关于中心对称，故A满足； 对于B，是偶函数，关于轴对称，故B错误； 对于C，定义域为，若存在对称中心，则其横坐标只能为， ，所以函数图像的对称中心为，故C满足； 对于D，定义域为，若存在对称中心，则其横坐标只能为1， 所以函数图像的对称中心为，故D满足． 9．（2026·安徽·模拟预测）（多选题）已知定义域为R的函数的图象关于直线对称，且对任意的，恒有．若，则下列说法正确的是（    ） A．的一个周期为3 B．直线为的图象的一条对称轴 C． D． 【答案】BCD 【难度】0.42 【知识点】函数对称性的应用、函数周期性的应用 【分析】由题设易得，即可判断A；由直线是对称轴可得，进而得到，即可判断B；先根据周期性可得，再利用赋值法求解判断C；由易得，再求出，进而求解判断D. 【详解】依题意，，则， 即，故的周期，故A错误； 已知直线是对称轴，则， 而，则， 故为的图象的一条对称轴，故B正确； 由，则， 令，可得，则， 由，令，可得，故C正确； 由 ， 所以， 已知，而，则， 则，故D正确． 10．（2026·甘肃·模拟预测）（多选题）已知函数，则（   ） A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称 C．的值域为 D．在定义域上单调递减 【答案】ABC 【难度】0.65 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数对称性的应用、复杂（根式型、分式型等）函数的值域、判断或证明函数的对称性 【分析】先通过分离常数将函数表达式转化为平移后的反比例函数形式，然后借助反比例函数的性质依次判断各选项即可. 【详解】因为， 对于A：因为的对称中心为，将其向右平移1个单位， 再向上平移2个单位得到，所以对称中心变为，故A正确； 对于B：任取上一点，其关于直线的对称点为， 而， 因此其对称点也在上，所以的图象关于对称，故B正确； 对于C：因为，所以， 即的值域为，故C正确； 对于D：的定义域为，它仅在区间和上分别单调递减， 不能说在整个定义域上单调递减，例如：取， 有，不符合单调递减定义，故D错误. 11．（2026·江苏南京·模拟预测）已知定义在上的函数的图象关于直线对称，且．当时，，则__________________． 【答案】 / 【难度】0.62 【知识点】函数对称性的应用、函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、由函数的周期性求函数值 【分析】先根据函数的对称性和已知等式推导函数周期，再利用周期性、对称性将所求函数值转化到已知解析式的区间内计算. 【详解】由函数的图象关于直线对称，可得对任意，， 替换得①， 由已知，整理得：②， 联立①②得，替换得， 进一步推导得： ， 即是周期为的周期函数. 故. 12．（2026·河北保定·模拟预测）已知定义在上的函数的图象关于直线对称，且为偶函数，当 时， 则 _______. 【答案】/0.25 【难度】0.62 【知识点】函数对称性的应用、函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、由函数的周期性求函数值 【详解】因为的图象关于对称，所以， 将替换为，可得， 因为是偶函数，所以， 将替换为，可得， 联立可得， 将替换成，可得，即是周期为的周期函数， 因此， 因为，所以， 当时，，所以， 即. 重难点题型6 函数性质的综合应用 1、灵活运用数形结合的思想：根据函数的性质，如奇偶性、周期性等，先画出函数在某个基本区间上的图象，然后利用对称性、周期性等性质，将图象进行平移、翻转或复制，得到函数在整个定义域上的大致图象； 2、代数推导与运算：根据题目给出的函数性质条件，进行代数推导，得到函数的其他性质或具体表达式，若题目给出了函数的具体表达式，可根据表达式进行代数运算，如求导、因式分解、配方等，以求解相关问题； 3、分类讨论与转化思想：当题目中的条件或结论存在多种可能性时，需要进行分类讨论；将复杂的问题转化为简单的问题，或将陌生的问题转化为熟悉的问题． 1．（24-25高三上·广东深圳·阶段检测）已知函数的定义域为为奇函数，，则（    ） A．为奇函数 B．的图象关于直线对称 C．的最小正周期为4 D．的图象关于点对称 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】函数基本性质的综合应用 【分析】根据为奇函数，得，从而可知的对称中心；根据题意令可知，从而，结合对称中心可判断的对称轴与奇偶性和最小正周期. 【详解】因为为奇函数，所以， 所以的图象关于点对称，则的图象关于点对称，项正确； 因为函数的定义域为，易知的定义域为， 因为为奇函数，所以， 则，所以， 根据的图象关于点对称，得， 所以，故为偶函数，项错误； 因为， 所以，所以的最小正周期为， 则的最小正周期为，项错误； 根据为偶函数，且关于点对称，最小正周期为， 易知的所有对称轴为直线，故项错误. 故选：. 2．已知定义在上的函数满足，当时，，若，其中，则当取最小值时，（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】函数基本性质的综合应用、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】根据已知可得周期，利用周期性和对称性，结合可得，然后妙用“1”求最值，根据最值取得条件即可得a，然后可得答案. 【详解】根据可得的图象关于对称， 因为，所以， 的周期为4， ，，， ，， ，即， ， 当且仅当，即时，等号成立， ． 故选：D． 3．钟灵大道是连接新余北站和新余城区的主干道，是新余对外交流的门户之一，而仰天岗大桥就是这一条主干道的起点，其桥拱曲线形似悬链线，桥型优美，被广大市民们美称为“彩虹桥”，是我市的标志性建筑之一，函数解析式为，则下列关于的说法正确的是（    ） A．，为奇函数 B．，在上单调递增 C．，在上单调递增 D．，有最小值1 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】函数基本性质的综合应用、函数奇偶性的定义与判断、含参指数函数的最值 【分析】根据函数奇偶性的定义及复合函数的单调性逐一判定即可. 【详解】由题意易得定义域为R，，即为偶函数， 故A错误； 令，则且随增大而增大， 此时，由对勾函数的单调性得单调递增， 根据复合函数的单调性原则得在上单调递增，故B正确； 结合A项得在上单调递减，故C错误； 结合B项及对勾函数的性质得，故D错误. 故选：B. 4．（多选题）表示不超过的最大整数，已知，函数满足，，且当时，单调递增，下列说法正确的是（    ） A． B．为周期函数 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【难度】0.15 【知识点】函数基本性质的综合应用、函数新定义 【分析】A选项利用条件，令取特殊值即可求解；B选项列举出一个符合已知条件的函数，但不是周期函数进行判断；C选项利用条件，将时的性质转化为即可进行判断；D选项借助图象进行判断. 【详解】对于A选项，∵，令，则，∴， 当时，，∴，故A正确； 对于B选项，当时符合题意，但不为周期函数，故B错误； 对于C选项，∵当时，单调递增，且， ∴当时，， ∴当时，，故C正确； 对于D选项，如图为函数当时的部分图象，显然该函数符合题意， 但，故D错误. 故选：AC. 5．（2021·辽宁大连·一模）（多选题）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．是奇函数 B．的图象关于点对称 C．若函数在上的最大值、最小值分别为、，则 D．令，若，则实数的取值范围是 【答案】BCD 【难度】0.4 【知识点】函数基本性质的综合应用、利用对数函数的性质综合解题、判断指数型复合函数的单调性、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】利用函数的奇偶性的定义，可判定A错误；利用图像的平移变换，可判定B正确；利用函数的图象平移和奇偶性，可得判定C正确；利用函数的单调性，可判定D正确. 【详解】由题意函数， 因为恒成立，即函数的定义域为， 又因为，所以不是奇函数，所以错误； 将的图象向下平移两个单位得到， 再向左平移一个单位得到， 此时，所以图象关于点对称， 所以的图象关于对称，所以B正确； 将函数的图象向左平移一个单位得， 因为， 即，所以函数为奇函数， 所以函数关于点对称， 所以若在处 取得最大值，则在处取得最小值， 则，所以C正确； 由，可得， 由， 设，， 可得，所以为减函数， 可得函数为减函数， 所以函数为单调递减函数， 又由为减函数，所以为减函数， 因为关于点对称， 所以，即， 即，解得，所以D正确. 故选：BCD. 【点睛】求解函数有关的不等式的方法及策略： 1、解函数不等式的依据是函数的单调性的定义， 具体步骤：①将函数不等式转化为的形式； ②根据函数的单调性去掉对应法则“”转化为形如：“”或“”的常规不等式，从而得解. 2、利用函数的图象研究不等式，当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数的图象上、下关系问题，从而利用数形结合求解. 6．（2026·河南新乡·三模）已知函数的图象连续不断，且，都有，当时，，若，且函数，则与的图象交点个数为______. 【答案】 【难度】0.42 【知识点】函数对称性的应用、函数奇偶性的应用、函数周期性的应用 【分析】可利用函数恒等式对应的几何性质判断对称关系，由判定中心对称、由判定轴对称，再依据一条对称轴加一个对称中心必可求周期的规律直接推出周期，也可通过变量代换递推得到确定周期，再结合函数在给定区间的解析式求出参数，借助函数值域、对数偶函数图象的增减与取值范围，限定有效区间后分段数形结合统计交点总数即可. 【详解】依题意由得关于点中心对称，即. 由得关于直线对称. 联立得，进而，故周期. 当时，，由得. 结合，得. 由对称性，，故. 由，，得. 即时. 结合周期性、对称性可得值域为，且为连续周期函数. 函数是偶函数，时单调递增，时单调递减. 令，解得. 结合与的图象性质，逐区间统计交点个数时共个交点. 由对称性可知时共个交点. 综上，与的图象交点个数为. 7．（2025·湖南益阳·模拟预测）已知定义在上的奇函数满足，且当时，.函数与函数的图象的所有交点的横坐标之和为__________. 【答案】 【难度】0.4 【知识点】函数图象的应用、函数对称性的应用、函数奇偶性的应用、函数周期性的应用 【分析】根据条件先得出函数的周期性与对称性，函数的对称性，然后再利用函数与函数的图像交点研究问题即可. 【详解】因为定义在上的奇函数满足， 所以， 所以，即函数是以为周期的函数， 当时，，所以函数的图象是以为圆心，为半径的圆的一部分， 由函数的图象可知函数关于直线对称， 因为， 所以函数关于直线对称， 因为，，， 所以函数与函数在有一个交点， 因为，，，，，    所以函数与函数在上有两个交点， 当时，，，此时函数与函数无交点， 因为，所以时，函数与函数无交点， 综上，当时，函数与函数有三个交点， 根据对称性可知，函数与函数的交点关于直线对称， 作出函数与函数的图象如下图所示： 所以函数与函数的图象的所有交点的横坐标之和为. 故答案为： 8．（2026·北京门头沟·一模）对于定义域为的函数，令，给出下列四个结论： ①若对于，恒成立，则恒成立； ②若对于，恒成立，则恒成立； ③若是周期函数，则是周期函数； ④若偶函数的图象关于直线对称，则的图象关于直线对称． 其中所有正确结论的序号是______． 【答案】①④ 【难度】0.41 【知识点】函数基本性质的综合应用、三角函数图象的综合应用、二倍角的正弦公式、函数奇偶性的应用 【分析】根据函数值域判断①；根据已知条件结合函数性质举反例判断②③，根据已知条件和函数的对称性判断④. 【详解】对于①，故对于，因为， 要使恒成立，即且恒成立， 那么恒成立，所以①正确； 对于②，对于，恒成立，即恒成立， 等价于且恒成立， 当时，，但当时，不一定大于， 例如，此时满足， 但不恒大于，所以②错误； 对于③，例如是周期函数， 对于函数， 由可知是偶函数， 故画出它的图象取轴右边部分，再将其右边部分关于轴对称，即可得到图象， 可知不是周期函数（因为不是周期函数）， 所以③错误； 对于④，由为偶函数，得， 由函数的图象关于直线对称得， 从而， 所以， 即的图象关于直线对称，所以④正确. 9．已知函数给出下列四个结论： ①存在实数，使函数为奇函数； ②对任意实数，函数既无最大值也无最小值； ③对任意实数和，函数总存在零点； ④对于任意给定的正实数，总存在实数，使函数在区间上单调递减.其中所有正确结论的序号是______________. 【答案】① ②  ④ 【难度】0.4 【知识点】函数基本性质的综合应用、分段函数的性质及应用、函数与方程的综合应用 【分析】分别作出，和的函数的图象，由图象即可判断① ② ③ ④的正确性，即可得正确答案. 【详解】 如上图分别为，和时函数的图象， 对于① ：当时，， 图象如图关于原点对称，所以存在使得函数为奇函数，故①正确； 对于② ：由三个图知当时，，当时，，所以函数既无最大值也无最小值；故② 正确； 对于③ ：如图和图中存在实数使得函数图象与没有交点，此时函数没有零点，所以对任意实数和，函数总存在零点不成立；故③ 不正确 对于④ ：如图，对于任意给定的正实数，取即可使函数在区间上单调递减，故④正确； 故答案为：① ② ④ 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是分段函数图象，涉及二次函数的图象，要讨论，和即明确分段区间，作出函数图象，数形结合可研究分段函数的性质. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2-3 函数的单调性、奇偶性与对称性 1．（2026·全国二卷·高考真题）已知是定义域为R的偶函数，，且当时，，则（     ） A．， B．， C．， D．， 2．（2025·全国一卷·高考真题）已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 3．（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的为（   ） A． B． C． D． 4．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数．记，则（    ） A． B． C． D． 5．（2023·全国乙卷·高考真题）已知是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 6．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）若为偶函数，则（    ）． A． B．0 C． D．1 7．（2025·全国二卷·高考真题）（多选题）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B．当时， C．当且仅当 D．是的极大值点 8．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）（多选题）已知函数的定义域为，，则（    ）． A． B． C．是偶函数 D．为的极小值点 9．（2026·上海·高考真题）已知函数是偶函数，当时，，若，则__________． 10．（2024·上海·高考真题）若函数是奇函数，则实数______. 11．（2023·全国甲卷·高考真题）若为偶函数，则________． 12．（2022·全国乙卷·高考真题）若是奇函数，则_____，______． 重难点题型1 函数奇偶性的判断 1、函数奇偶性的判断方法 （1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等． （2）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称． （3）性质法：同名加减不变，异名加减不可；同名乘除得偶，异名乘除得奇． 2、常见的奇函数与偶函数 （1）（）为偶函数； （2）（）为奇函数； （3）（）为奇函数； （4）（）为奇函数； （5）（）为奇函数； （6）为偶函数； （7）为奇函数． 1．（2026·北京海淀·三模）以下函数既是偶函数又在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·宁夏石嘴山·模拟预测）已知函数的定义域为，则下列函数一定为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·天津宝坻·三模）下列函数中，在区间上单调递减，且是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·天津河西·三模）下列函数中，在内单调递增的偶函数为（     ） A． B． C． D． 5．（2026·北京房山·二模）下列函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 6．（2026·天津·二模）下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·江苏盐城·阶段检测）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则（   ） A．1 B．3 C． D． 重难点题型2 利用函数的奇偶性，求参数范围 1、由函数的奇偶性求参数：若函数解析式中含参数，则根据或，利用待定系数法求参数；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点值之和为0求参数． 2、由函数的奇偶性求函数值：若所给的函数具有奇偶性，则直接利用或求解；若所给函数不具有奇偶性，一般利用所给的函数构造一个奇函数或偶函数，然后利用其奇偶性求值． 1．（2026·河北秦皇岛·一模）已知函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026·河南开封·模拟预测）“”是“函数为奇函数”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2026·陕西榆林·模拟预测）若函数为奇函数，则实数的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 4．（2026·重庆九龙坡·模拟预测）若函数是奇函数，则（    ） A．2 B．1 C．0 D．-1 5．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时，__________． 6．（2026·福建福州·三模）若函数为奇函数，则____． 7．（2026·河北沧州·模拟预测）若函数为奇函数，则__________. 重难点题型3 利用单调性与奇偶性，比较大小 一般解法是先利用奇偶性，将不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值，转化为同一单调区间上的自变量的函数值，然后利用单调性比较大小． 1．已知奇函数在上单调递增，且，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三下·河南周口·阶段检测）已知函数是定义在上的偶函数，当且时，不等式恒成立，设，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·湖北·三模）已知函数，若，，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2026·山西朔州·二模）已知偶函数在上单调递增，若，，，则（    ） A． B． C． D． 重难点题型4 利用单调性与奇偶性，解不等式 解决此类问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成或的形式，再根据奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反，列出不等式（组），同时不能漏掉函数自身定义域对参数的影响． 【注意】在转化时，自变量的取值必须在同一单调区间上；当不等式一边没有符号“”时，需转化为含符号“”的形式． 1．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数 则不等式的解集为（    ） A． B． C．(1，0) D． 2．（2026·四川广安·模拟预测）已知函数，则的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·内蒙古呼伦贝尔·模拟预测）已知函数，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·河北邢台·二模）已知函数 则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·四川·模拟预测）已知函数，则的解集为（　　） A． B． C． D． 6．（2025·河北石家庄·一模）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·辽宁大连·模拟预测）已知定义在R上的偶函数在上的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 8．（2024·湖南永州·三模）已知函数，其中是自然对数的底数.若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 重难点题型5 函数的对称性与周期性 1、关于线对称：若函数满足，则函数关于直线对称，特别地，当a＝b＝0时，函数关于y轴对称，此时函数是偶函数． 2、关于点对称：若函数满足，则函数关于点(a，b)对称，特别地，当a＝0，b＝0时，，则函数关于原点对称，此时函数是奇函数． 3、函数的周期性 （1）若，则； （2）若，则； （3）若，则； （4）若，则； （5）若，则； （6）若，则（） （7）若，则； （8）若，则； 1．（2026·北京·三模）设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则一定有（     ） A． B． C． D． 2．（2026·陕西安康·模拟预测）已知定义在上的函数的图象关于对称，且，若，则（    ） A．0 B．1 C．-1 D．-2 3．（2026·四川成都·三模）已知奇函数满足，当时，，则（    ） A．0 B．1 C．3 D．5 4．（2026·吉林·三模）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（    ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．的最小正周期为4 D．在上单调递增 5．（2026·四川遂宁·二模）已知定义域为的函数满足，当时，，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 6．（2026·吉林白山·模拟预测）已知是定义域为的奇函数，是定义域为的偶函数，若，，则（   ） A． B． C．0 D．3 7．（2026·湖南·模拟预测）（多选题）下列函数的图象关于直线对称的有（    ） A． B． C． D． 8．（2026·安徽合肥·模拟预测）（多选题）下列函数中，其图像是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 9．（2026·安徽·模拟预测）（多选题）已知定义域为R的函数的图象关于直线对称，且对任意的，恒有．若，则下列说法正确的是（    ） A．的一个周期为3 B．直线为的图象的一条对称轴 C． D． 10．（2026·甘肃·模拟预测）（多选题）已知函数，则（   ） A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称 C．的值域为 D．在定义域上单调递减 11．（2026·江苏南京·模拟预测）已知定义在上的函数的图象关于直线对称，且．当时，，则__________________． 12．（2026·河北保定·模拟预测）已知定义在上的函数的图象关于直线对称，且为偶函数，当 时， 则 _______. 重难点题型6 函数性质的综合应用 1、灵活运用数形结合的思想：根据函数的性质，如奇偶性、周期性等，先画出函数在某个基本区间上的图象，然后利用对称性、周期性等性质，将图象进行平移、翻转或复制，得到函数在整个定义域上的大致图象； 2、代数推导与运算：根据题目给出的函数性质条件，进行代数推导，得到函数的其他性质或具体表达式，若题目给出了函数的具体表达式，可根据表达式进行代数运算，如求导、因式分解、配方等，以求解相关问题； 3、分类讨论与转化思想：当题目中的条件或结论存在多种可能性时，需要进行分类讨论；将复杂的问题转化为简单的问题，或将陌生的问题转化为熟悉的问题． 1．（24-25高三上·广东深圳·阶段检测）已知函数的定义域为为奇函数，，则（    ） A．为奇函数 B．的图象关于直线对称 C．的最小正周期为4 D．的图象关于点对称 2．已知定义在上的函数满足，当时，，若，其中，则当取最小值时，（    ） A． B． C． D． 3．钟灵大道是连接新余北站和新余城区的主干道，是新余对外交流的门户之一，而仰天岗大桥就是这一条主干道的起点，其桥拱曲线形似悬链线，桥型优美，被广大市民们美称为“彩虹桥”，是我市的标志性建筑之一，函数解析式为，则下列关于的说法正确的是（    ） A．，为奇函数 B．，在上单调递增 C．，在上单调递增 D．，有最小值1 4．（多选题）表示不超过的最大整数，已知，函数满足，，且当时，单调递增，下列说法正确的是（    ） A． B．为周期函数 C．若，则 D．若，则 5．（2021·辽宁大连·一模）（多选题）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．是奇函数 B．的图象关于点对称 C．若函数在上的最大值、最小值分别为、，则 D．令，若，则实数的取值范围是 6．（2026·河南新乡·三模）已知函数的图象连续不断，且，都有，当时，，若，且函数，则与的图象交点个数为______. 7．（2025·湖南益阳·模拟预测）已知定义在上的奇函数满足，且当时，.函数与函数的图象的所有交点的横坐标之和为__________. 8．（2026·北京门头沟·一模）对于定义域为的函数，令，给出下列四个结论： ①若对于，恒成立，则恒成立； ②若对于，恒成立，则恒成立； ③若是周期函数，则是周期函数； ④若偶函数的图象关于直线对称，则的图象关于直线对称． 其中所有正确结论的序号是______． 9．已知函数给出下列四个结论： ①存在实数，使函数为奇函数； ②对任意实数，函数既无最大值也无最小值； ③对任意实数和，函数总存在零点； ④对于任意给定的正实数，总存在实数，使函数在区间上单调递减.其中所有正确结论的序号是______________. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $