21.4 二次函数的应用 第1课时 课件 2026-2027学年沪科版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数求几何图形面积最值，通过回顾二次函数图象与性质，结合铝合金窗框透光面积问题创设情境，搭建旧知到新知的学习支架，衔接知识点脉络。 其亮点是以真实情境问题驱动，运用数学思维（配方求最值、分析自变量范围）培养推理能力，通过归纳三步法和分层练习提升模型意识。学生能增强用数学语言表达问题的能力，教师可借助系统例题优化教学流程。

第21章　二次函数与反比例函数 21.4 二次函数的应用 第1课时 利用二次函数求几何图形面积的最值 回顾复习 二次函数y=ax²+bx+c的图象特点和函数性质如下： y=ax²+bx+c a＞0 a＜0 函数图象 图象特点 抛物线开口方向 抛物线顶点坐标 抛物线对称轴 函数性质 函数增减情况 函数最大值或最小值 开口向上 开口向下 直线 直线 当x>时，y随x的增大而增大； 当x< 时，y随x的增大而减小 当x>时，y随x的增大而减小； 当x< 时，y随x的增大而增大 当x=时，y取得最小值，y最小值= 当x=时，y取得最大值，y最大值= 创设情境 用长为8 m的铝合金制成如图窗框，问窗框的宽和高各为多少米时，窗户的透光面积最大？最大面积是多少？ 8 m 4 m x m x m 4 m （4 － x） m （4 － x） m 解：设窗框的一边长为x m，窗框的透光面积为y m².则另一边的长为(4－x)m，那么 y = x（4－ x ）且0 ＜ x ＜ 4. 即 y = ﹣ x 2＋ 4x = -（x -2）2 +4. 又有：a=﹣1 ＜ 0，该函数的图象开口向下，故函数有最大值. 当x = 2时，该函数达到最大值为4. 答：该窗框的宽和高相等，都为2 m时透光面积达到最大的4 m². 教材例题 例 某水产养殖户用长40 m的围网，在养鱼塘中围一块矩形的水面投放鱼苗. 要使围成的水面面积最大，它的边长应是多少米？它的最大面积是多少平方米？ 解：设一边长为x m，面积是S m2，得S=x(20-x) (0＜x＜20). 将这个函数的表达式配方，得S= -(x-10)²+100. 这个函数的图象是一条开口向下的抛物线的一部分， 如图，它的顶点坐标是(10，100). 所以，当x=10时，函数取得最大值，即S最大值=100 . 此时，这一边长与邻边长都为10 m. 答：当围成的矩形水面边长都为10 m时，它的面积最大为100 m2. 例题示范 例 如图，在一面靠墙的空地上用长为24 m的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x m，面积为S m². （1）求S与x的函数表达式及自变量的取值范围. （2）当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少? （3）若墙的最大可用长度为8 m，则求围成花圃的最大面积. A B C D 解： (1)∵ AB为x m、篱笆长为24 m, ∴花圃宽为（24－4x）m, ∴ S ＝ x （24 － 4 x ） ＝ ﹣4 x 2 ＋ 24 x (0 ＜ x ＜ 6). (2)当x＝时，S最大值＝＝36(m²). (3)∵墙的可用长度为8 m, ∴0<24-4x≤8;4≤x<6, ∴当x=4m时，S最大值＝ 36(m²). 归纳小结 二次函数解决几何面积最值问题的方法： 1.求出函数解析式和自变量的取值范围; 2.配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值; 3.检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值是否在自变量的取值范围内. 1. [2025淮北段考]用总长度为12 m的不锈钢材料设计成如图所示的矩形框架，所有横档和竖档分别与AD，AB平行，则矩形框架ABCD的最大面积为（　A　） A. 4 m2 B. 6 m2 C. 8 m2 D. 12 m2 A 随堂练习 2. （易错题）【教材变式题】如图，有一直角墙角，CM的长为12 m，CN的长为5 m，在CM，CN上分别取点A，B，使AC＋BC＝12 m，则△ABC的最大面积为 　　17.5　m2. 17.5　 3. [2025巴中]如图，计划用长为40 m的绳子围一个矩形围栏，其中一边靠墙（墙长25 m）. （1） 矩形围栏的面积为150 m2时，三边长分别为多少米？ 解：（1） 设垂直于墙的一边长x m，则x（40－2x）＝150，解得x1＝5，x2＝15.当x＝5时，40－2x＝30＞25（不符合题意，舍去）；当x＝15时，40－2x＝10＜25（符合题意）. ∴ 三边长分别为10 m，15 m，15 m （2） 矩形围栏的面积最大时，三边长分别为多少米？ 解：（2） 设矩形围栏的面积为S m2.∴ S＝x（40－2x）＝－2（x－10）2＋200.当x＝10时，S有最大值200，此时，40－2x＝20＜25（符合题意）， ∴ 三边长分别为20 m，10 m，10 m 3. [2025巴中]如图，计划用长为40 m的绳子围一个矩形围栏，其中一边靠墙（墙长25 m）. 4. [2025宿迁]在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，AD＝4，BC＝10，CD＝6，按如图所示的方式设计一个矩形EFCG（点E在边AB上）.当EF＝ 　　5　时，矩形EFCG的面积最大. 5　 5. 为了节省材料，某水产养殖户利用水库的一角∠MON（∠MON＝135°）的两边，用总长为120 m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块区域，其中区域①为直角三角形，区域②③为矩形，且四边形OBDG为直角梯形. （1） 若①②③这三块区域的面积相等，则OB的长为 　　24　m. （2） 设OB＝x m，四边形OBDG的面积为y m2. ① 求y与x之间的函数表达式，并写出自变量 x的取值范围. 24　 ② 当x为何值时，y取最大值？最大值为多少？ 解：∵ 区域②③为矩形，∴ ∠EOB＝∠D＝∠DBO＝90°.∴ 四边形OBDE是矩形，∠EGO＝360°－∠MON－∠DBO－∠D＝45°，∠EOG＝∠MON－∠EOB＝45°.∴ BD＝OE，∠EGO＝∠EOG. ∴ BD＝OE＝GE. ∵ 区域②③为矩形，OB＝x m，∴ CF＝DE＝OB＝x m.∴ GE＝OE＝BD＝ （120－2x）＝ m.① ∵ S四边形OBDG＝S△GEO＋S矩形OBDE，∴ y＝ ＋x· .整理，得y＝－ x2＋ x＋800.∵ 40－ x＞0，∴ x＜60.∴ y与x之间的函数表达式为y＝－ x2＋ x＋800（0＜x＜60）　 ② 由①，得y与x之间的函数表达式为y＝－ x2＋ x＋800＝－ （x－15）2＋900.∵ － ＜0，∴ 当x＝15时，y取最大值，最大值为900 课堂小结 最大面 积问题 一个关键 一个注意 建立函数关系式 常见几何图形的面积公式 依 据 最值有时不在顶点处，需要利用函数的增减性来确定 课后作业 1.完成课后习题. 2.完成练习册本课时的习题. $