21.5 第3课时 反比例函数的应用 课件 2026-2027学年沪科版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦反比例函数的应用，涵盖定义、图象性质、k的几何意义及与一次函数综合等核心知识点。通过知识回顾复习旧知，结合合作探究与例题讲解引入新知，构建从基础到应用的学习支架。 其亮点在于以生活实例（如拉面制作、运动鞋销售）培养数学眼光，通过合作探究k的几何意义发展推理意识，设置数据分析题（如党史竞赛优秀率）提升模型意识。学生能联系实际理解知识，教师可借助分层练习和详细解析提高教学效率。

第21章 二次函数与反比例函数 21.5 第3课时 反比例函数的应用 课堂小结 例题讲解 随堂演练 知识回顾 获取新知 1.什么叫反比例函数? 一般地，形如 (k为常数，k≠0)的函数叫做反比例函数． 其中x是自变量,y是x的函数,k是比例系数. 学科网 知识回顾 反比例函数 (k为常数，k≠0)的图象是双曲线 k＞0 k＜0 双曲线的两支分别在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小。 双曲线的两支分别在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大。 2.反比例函数的图象与性质 利用反比例函数模型解决实际问题的关键是认真阅读，理解题意，明确基本数量关系(即题中的自变量与因变量之间的关系)，抽象出实际问题中的反比例函数模型，由此建立反比例函数，再利用反比例函数的图象与性质解决问题． 获取新知 知识点一 反比例函数的应用 例1 做拉面的过程中，渗透着反比例函数的知识．将一定体积的面团做成拉面，面条的总长度y(m)是面条粗细(横截面积)S(mm2)的反比例函数，其图象如图所示． (1)写出y与S之间的函数表达式； (2)当面条的横截面积为1.6 mm2时，面条的总长度是多少米？ (3)要使面条的横截面积不多于1.28 mm2，面条的总长度至少是多少米？ 例题讲解 Administrator (A) - 教学时，要让学生注意单位长度所表示的数值。让学生相互交流，领会实际问题的数学意义，体会数与形的统一，发展几何直观。 S1的值 S2的值 S1与S2的关系 猜想与k的关系 P（2,2） Q（4,1） 知识点二 反比例函数解析式 中k的几何意义 合作探究 1.在反比例函数 的图象上分别取点P（2,2），Q（4,1）向x轴、y轴作垂线，围成面积分别为S1，S2的矩形，填写表格： 4 4 S1=S2 S1=S2=k 1 2 3 4 5 -1 -3 -2 -4 -5 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 -5 5 x y O Q P S1 S2 获取新知 2.若在反比例函数 中也用同样的方法分别取P（-1,4），Q（-2,2）两点，填写表格： S1的值 S2的值 S1与S2的关系 猜想与k的关系 P（-1,4） Q（-2,2） 4 4 S1=S2 S1=S2=-k y x O P Q S1 S2 由前面的探究过程，可以猜想: 若点P是函数 (k为常数，k≠0)图象上的任意一点，作PA垂直于x轴，PB垂直于y轴，矩形AOBP的面积与k的关系是S矩形 AOBP=|k|. 归纳总结 A O P x y B 如图，A为反比例函数 图象上一点，过点A作AB⊥x轴于点B，连接OA，则△ABO 的面积为 . 方法规律： 过双曲线 上的任意一点向 x轴 或 y轴 作垂线，连接该点与原点，与坐标轴围成的三角形的面积等于 . 2 对应练习 例2 如图所示，直线与双曲线交于 A，B 两点，P 是AB 上的点，△ AOC 的面积 S1、△ BOD 的面积 S2、 △ POE 的面积 S3 的大小关系为 . S1 = S2 < S3 解析：由反比例函数面积的不变性易知 S1 = S2. PE 与双曲线的一支交于点 F，连接 OF，易知，S△OFE = S1 = S2，而 S3＞S△OFE， 所以 S1，S2，S3的大小关系为S1 = S2 < S3 F S1 S2 S3 例题讲解 知识点三 反比例函数与一次函数综合 合作探究 获取新知 例3 已知正比例函数y=kx(k≠0)与反比例函数 的图象都经过点A(m,2). (1)求k,m 的值；. 解：（1） 将点A 的坐标(m,2) 代人反比例函数得 解方程，得m=3. 将点A的坐标(3,2)代人正比例函数得 2=3k. 解方程，得 获取新知 （2）在图中画出正比例函数y=kx 和反比例函数 y = 的图象，并根据图象，写出正比例函数值大于反比例函数值时x 的取值范围. 解： (2)如图： 由图象可知，这两个函数有两个交点，交点坐标分别是(3,2)和(-3,-2). 所以当正比例函数值大于反比例函数值时，x 的取值范围为x>3或 -3<x<0. 1.甲、乙两地相距60 km，汽车由甲地行驶到乙地所用时间y(单位：h)与行驶速度x(单位：km/h)之间的函数图象大致是 ( ) A B C D B 随堂演练 2. 某市举行中学生党史知 识竞赛，如图，用四个点分别描述甲、乙、 丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率 （该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比 C A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 值）与该校参加竞赛人数 的情况，其中描述乙、丁两所学 校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四所学 校在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是( ) 15 3.根据某商场对一款运动鞋五天中的售价与销量关系的调查显示，售价是销量的反比例函数(统计数据见下表).已知该运动鞋的进价为180元/双，要使该款运动鞋每天的销售利润达到2 400元，则其售价应定为 元. 300 售价x/(元/双) 200 240 250 400 销售量y/双 30 25 24 15 4.1888年，某科学家证实了电磁波的存在，这成了后来大部分无线科技的基础.电磁波波长λ(单位：m)、频率f(单位：Hz) 满足函数关系λf＝3×108，下列说法中正确的是 ( ) A.电磁波波长是频率的正比例函数 B.电磁波波长20 000 m时，对应的频率为 1 500 Hz C.电磁波波长小于30 000 m时，频率小于 10 000 Hz D.电磁波波长大于50 000 m时，频率小于 6 000 Hz D 5. [2025长春] 在功 一定的条件下，功率 与做功时间成反比例，与 之 间的函数关系如图所示.当时， 的 值可以为( ) C A. 24 B. 27 C. 45 D. 50 18 【点拨】由题意设关于 的函数表达式为 ,代入点的坐标,得 , 解得,关于 的函数表达式为 ,当时,；当 时, , 在第一象限内,随着 的 增大而减小. 的值可以为45. 19 6.某校举行田径运动会，学校准备了某种气球，这些气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p(单位：kPa)是气体体积V(单位：m3)的反比例函数，其图象如图所示，则这个函数的表达式为p＝ ；当V≤1 m3时，p的取值范围为 . p = p≥60 kPa 7. 调查显示,某商场一款运动鞋的销售量（双）是售价 （元/双）的反比例函数,调查获得的部分数据如下表. 售价 （元/双） 200 240 250 400 销售量 双 30 25 24 15 已知该款运动鞋的进价为180元/双,要使该款运动鞋每天的销 售利润达到2 400元,则其售价应定为_____元/双. 300 21 8.随着私家车的增加，城市的交通也越来越拥挤，某段高架桥上车辆的行驶速度y(单位：km/h)与高架桥上每百米拥有车的数量x(单位：辆)的关系如图所示，当x≥10时，y与x 成反比例函数关系，当车辆速度低于20 km/h，交通就会拥堵，为避免出现交通拥堵，高架桥上每百米拥有车的数量x应该满足的范围是 . 0＜x≤40 9.某饮水机开始加热时，水温每分钟上升20 ℃，加热到100 ℃时，饮水机自动停止加热，水温开始下降.在水温开始下降的过程中，水温y(单位：℃)与通电时间x(单位：min)成反比例关系.当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程.设某天水温和室温均为20 ℃，接通电源后，水温y(单位：℃)与通电时间x(单位：min)之间的关系如图所示. (1)在水温下降的过程中，求水温y(单位：℃)关于通电时间x(单位：min)的函数表达式； (2)若水温从20 ℃开始加热至100 ℃，然后下降至20 ℃，在这一过程中，水温不低于40 ℃ 的时间有多长？ 解：(1)水温下降过程中，y与x的函数表达式是y＝. (2)∵开机加热时每分钟上升20 ℃， ∴水温从20 ℃加热到40 ℃，所需时间为＝1(min)， 在降温过程中，水温为40 ℃时，40＝， 解得x＝10， ∴一个加热周期内水温不低于40 ℃的时间为10－1＝9(min). 10.小华在公园的游客中心售卖大运会陶瓷文创纪念品，她以50元/件的价格购进了一款陶瓷纪念品，在销售过程中发现：每天的销售量y(单位：件)与销售价格x(单位：元/件)的关系如图所示(50≤x≤120)，其中AB为反比例函数图象的一部分，BC为一次函数图象的一部分.设销售这款纪念品的日利润为w(单位：元). (1)求y与x之间的函数关系式； (2)求w与x之间的函数关系式，并求出当日利润为600元时，每件纪念品的售价为多少元？ 解：(1)y与x之间的函数关系式为y＝ (2)当50≤x≤80时， w＝(x－50)y＝(x－50)·＝1 600－， 由1 600－＝600，解得x＝80， 经检验，x＝80是原方程的解； 当80≤x≤120时， w＝(x－50)y＝(x－50) ＝－ x2＋85x－3 000， 由－ x2＋85x－3 000＝600， 解得x1＝80，x2＝90. 综上所述，w与x之间的函数关系式为 w＝ 当日利润为600元时，每件纪念品的售价为80元或90元. 11. 【背景】在一次物理实验中， 小冉同学用一固定电压为 的蓄电池，通 过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控 制灯泡（灯丝的阻值 ）亮度的实验（如图），已知 串联电路中，电流与电阻， 之间的关系 31 为 ，通过实验得出如下数据： … 1 3 4 6 … … 4 3 2.4 2 … （1）___， ____. 2 1.5 32 （2）【探究】根据以上实验，构建出函数 ， 结合表格信息，探究函数 的图象与性质. 33 ①在平面直角坐标系中（如图）画出函数 的 图象； 34 【解】函数 的 图象如图. 35 ②随着自变量的不断增大，函数值 的变化 趋势是__________. 不断减小 （3）【拓展】结合（2）中函数图象分析，当 时， 的解集为_____________. 或 【点拨】画出直线 如图所示.由函数图象知，当 时，的解集为或 . 36 反比例函数的实际应用 实际问题与反比例函数 解题过程： 分析实际情境→建立函数模型→明确数学问题 反比例函数图象中比例系数k的几何意义 课堂小结 反比例函数与一次函数综合应用 37 解：(1)由题意可设y与S之间的函数表达式为y＝eq \f(k,S). ∵点P(4，32)在图象上，∴32＝eq \f(k,4)，∴k＝128. ∴y与S之间的函数表达式为y＝eq \f(128,S)(S>0)． (2)把S＝1.6代入y＝eq \f(128,S)中，得y＝eq \f(128,1.6)＝80. ∴当面条的横截面积为1.6 mm2时，面条的总长度是80 m. (3)把S＝1.28代入y＝eq \f(128,S)中，得y＝100. 由图象可知，要使面条的横截面积不多于1.28 mm2，面条的总长度至少是100 m. $