第21章 21.4 二次函数的应用-课时1 几何图形问题-【初中必刷题】2026-2027学年九年级上册数学同步课件（沪科版·新教材）

该初中数学课件聚焦九年级上册“二次函数与反比例函数”中“二次函数的应用（几何图形问题）”，通过矩形框架、公园面积等实际问题导入，衔接二次函数性质与实际应用，以例题解析（设变量、列函数、求最值）为支架，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于分层设计“刷基础、刷提升、刷易错、刷素养”模块，结合模型观念与应用意识，如通过油菜花田改造问题培养学生用数学语言表达现实世界的能力。采用实例驱动教学，学生能提升解决实际问题的推理意识，教师可利用系统例题与易错警示优化教学效率。

数 学 九年级上册 HK 1 2 3 第21章 二次函数与反比例函数 4 21.4 二次函数的应用 课时1 几何图形问题 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点 几何图形问题 1.【2026安徽滁州校级质检】如图，用总长度为 的不锈钢材 料设计成如图所示的矩形框架，所有横档和竖档分别与， 平行，则矩形框架 的最大面积为( ) A A. B. C. D. 【解析】设为米，则米， , ，当 时， 取得最大值，为4， 矩形框架的最大面积为 .故选A. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 7 2.【2026安徽合肥期中】如图，某公园的示意图是对角线互相垂 直的四边形，已知 为160米，则该公园的最大面积 为 _______ 平方米. 3 200 【解析】令，交于.设米，公园的面积为 平方米. ， 米， 米， ， 当 时，有最大值，为 ，故该公园的最大面积为3 200平方米，故答案为 3 200. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 8 3.【2026安徽合肥校级质检】如图，某小区有一块靠墙 （墙的长度为）的空地，为美化环境，用总长为 的 篱笆围成矩形花圃（矩形靠墙一侧不用篱笆，篱笆的厚度不 计）.若四块矩形花圃的面积相等，设的长为 . （1）求的长与 之间的关系式； 【解】 矩形的面积与矩形的面积相等， 四块矩形花 圃的面积相等，，， 篱笆的总长为，，即 ，整理可 得 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 9 （2）设矩形区域的面积为，求 的最大值. 【解】由题意得 .由 题意得 解得, 当时， 取得最大值， 为120. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 10 4. 2026年是中国共产党成立105周年，也是“十五五” 开局之年.如图，为迎接这一重要时刻，某校拟对学校中的 一块矩形油菜花田地（单位： ）进行改造，要在其中修 建一条观花道（阴影部分）.设改造后观花道的面积为 . （1）求与 之间的函数关系式； 【解】由题意可得 . （2）若改造后观花道的面积为，求 的值； 【解】由题意可得，解得， （不合题意，舍去）. 故 的值为1. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 11 （3）若要求 ，求改造后油菜花田地所占面积的最大值. 【解】设改造后油菜花田地所占面积为 ,则 . 当时，随的增大而减小，故当时， 有最大值，为41.25.故 改造后油菜花田地所占面积的最大值为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 12 刷易错 易错点 忽视实际问题中自变量的取值范围导致错误 5.在美化校园的活动中，某兴趣小组想用 长的篱笆沿如图 所示的直角墙角（两边足够长）围成一个矩形花园 （篱笆只围，两边），设.若在 处有一棵树与 墙，的距离分别是和 ，要将这棵树围在花园内 （含边界，不考虑树的粗细），则花园面积的最大值为______． 易错警示 解决实际应用中的二次函数的最值问题时，要注意自变量的取值范围对函数最值 的影响. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 13 【解析】设矩形花园的面积为.在矩形内， ， ， , ，即此 函数图象的开口向下，对称轴为直线, 当时,随 的增大而增 大， 当时，取得最大值，最大值为 .故花园面 积的最大值为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 14 提升 1.【2025安徽池州期末，中】正方形中，， 为 对角线上一动点，为射线上一点，若 ，则 面积的最大值为( ) C A.8 B.6 C.4 D. 思路分析 作于，根据正方形的性质易得，设 ,则 ,根据等腰三角形的性质即可得出 ，根据三角形面积公 式列出关于 的二次函数表达式,然后利用二次函数的性质求得结果. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 15 【解析】如图，作于是正方形 的对角线， ，是等腰直角三角形，.设 ，则 ，， ， 当时， 有最大值,最大值为4.故选C. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 16 2.［中］如图，现有一张五边形的钢板， ，现在 边上取一点，分别以， 为边各切下一个正方形钢板，则所切得的两个正方 形钢板面积和的最大值为______ . 14.5 易错警示 不要误认为本题中的取值范围为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 17 【解析】如图，令点在上，过作，交于点 . 过作于，则易得， 是等腰 直角三角形.设，两个正方形钢板面积和为 ，则 . ，, ，解得 ， .由题意得 ， 当时， 有 最大值，最大值为 ，故答案为14.5. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 18 3.［较难］如图，某牧场准备利用现成的一堵“7”字形的墙面（图中粗线 表示墙面，其中，米， 米）和总长为42米的篱笆 围成一个“日”字形的饲养场（细线表示篱笆，饲养场中间也用篱笆 隔 开），点可能在线段上（如图（1）），也可能在线段 的延长线上 （如图（2）），设的长为 米. 图（1） 图（2） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 19 （1）当点在线段 上时. ①__________米；（用含 的代数式表示） 【解析】 点在线段上， 米.故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 20 ②若要求所围成的饲养场的面积为78平方米，求 的长. 【解】 要求所围成的饲养场的面积为78平方米， ，即 ，解得，，， . 故 的长为13米. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 21 （2）当的长为多少米时，饲养场 的面积最大？最大面积为多少平方米？ 【解】设饲养场的面积为平方米.当点在线段 上时， . ， ， 当时，有最大值，最大值为108.当点在线段 的延长线上时， 设的长为米.由题意可得米， 米， 米.米， 米. ， ， ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 22 ,.又， 当时， 有最大值，最大值为 .， 当的长为9米时，饲养场的面积最大，最大面积为 平方米. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 刷素养 走向重高 4.核心素养 模型观念 ［难］如图，学校准备在长为16米，宽 为12米的矩形草地上规划甲、乙、丙三个区域栽种花卉，正方 形和正方形 面积相等，且各有两边与长方形的边 重合，矩形是这两个正方形的重叠部分，设 为 米，为 米. （1）求关于 的函数表达式； 【解】由题可知， ， ，即， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 24 （2）设甲、乙、丙的总面积为平方米，求关于 的函数表达式及其最大值. 【解】由题可知，， ， , . 又 ， ，整理得 . ，, 当时，随的增大而减小，当时，随 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 25 的增大而增大.又， 当时， 取最大值，最大值为 . 关键点拨 利用两个面积相等的正方形边长相等求出 的长是解题的关键. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 $