专题1.4 正方形的性质与判定（专项练习+七大题型）2026-2027学年北师大版数学九年级上册

专题1.4 正方形的性质与判定 题型一 根据正方形的性质与判定求面积 1．如图所示为“赵爽弦图”，其中、、、是四个全等的直角三角形，且两条直角边之比为1∶2，连接、，分别交、于点、，则四边形和四边形的面积比为（    ） A．5∶2 B．2∶1 C． D． 【答案】B 【分析】先求出，证明△HGM≌△EBM，得到BM=GB，再根据两个平行四边形的底与高的关系即可求解． 【详解】∵、、、是四个全等的直角三角形， ∴AB=BC=CD=AD,∠ABE+∠FBC=∠ABE+∠BAE=90° ∴四边形ABCD是正方形 ∵BE：AE=1:2 ∴BE=HE=DG ∵∠GHM=∠BME=90°，∠HMG=∠EMB ∴△HGM≌△EBM ∴BM=GB，故BG：MG=2:1 又BFDH，BE=DG ∴四边形    是平行四边形 ∴BGDE ∵AECG ∴四边形    是平行四边形 ∵平行四边形与平行四边形的高相等 ∴四边形和四边形的面积比为BG：MG=2:1 故选B． 【点睛】此题主要考查正方形的判定与性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质． 2．如图，四边形ABCD是正方形，AB＝1，以AB为对角线作第二个正方形AEBF，以EB为对角线作第三个正方形EGBH，以此类推，则第n个正方形的面积是_______ ． 【答案】 【分析】由正方形ABCD的边长为1，求出，，分别算出第二个、第三个正方形的面积，即可推导得出答案； 【详解】∵正方形ABCD的边长为1， ∴，， ∴， ， ∴，， , ， ∴． 故答案是： 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，准确分析计算是解题的关键． 3．如图，在平行四边形中，点是对角线中点，过点作交于点，交于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若是的中点，且平分，当时，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)64 【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定，解题的关键是： （1）根据线段垂直平分线的性质，可得，，，然后由四边形是矩形，再证明，则可得，继而证得结论； （2）证明，并结合邻补角的性质可得出，则得出菱形是正方形，然后根据正方形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：点是中点，， 是的垂直平分线， ∴，，． 四边形是平行四边形， ， ． 在和中， ， ． ， ， 四边形是菱形． （2）解：四边形是菱形， ，， 又是的中点， ， ， 平分， ， 四边形是菱形， ， 菱形是正方形， 又， 正方形的面积是． 题型二 根据正方形的性质与判定证明 4．如图，在正方形中，，，，分别为各边上的点，，连接，，，，交点分别为，，，．如果四边形的面积为，那么正方形的边长是（   ） A． B．10 C．12 D． 【答案】A 【分析】先证明四边形是平行四边形，利用平行线分线段成比例可得出，，证明得出，则可得出，同理，得出平行四边形是矩形，证明，得出，进而得出，得出矩形是正方形，在中，根据用正方形的面积公式得出，进而根据得出，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，，， ∵，，，分别为各边上的点，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 同理， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， 同理， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，同理， ∴平行四边形是矩形， ∵，，， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴矩形是正方形， ∵四边形的面积为， ∴， ∴， ∵ ∴ 在中， 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形判定与性质，平行线分线段成比例，勾股定理，正切的定义等知识，明确题意，灵活运用相关知识求解是解题的关键． 5．如图，在直角梯形中，， E是上一点，且，则__________． 【答案】10 【分析】过C作CG⊥AD，交AD延长线于G，先证四边形ABCG是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）．再设DE＝x，在Rt△AED中利用勾股定理可求出DE． 【详解】解：过C作CG⊥AD于G，并延长DG，使GF＝BE， 在直角梯形ABCD中，∵AD∥BC，∠A＝∠B＝90°，∠CGA＝90°，AB＝BC， ∴四边形ABCG为正方形， ∴AG＝BC＝GC=12， ∵∠DCE＝45°， ∴∠ECB+∠GCD=45°， ∵BE＝GF，∠B＝∠FGC=90°，BC＝GC， ∴△EBC≌△FGC， ∴∠ECB＝∠FCG， ∴∠FCG+∠GCD=∠DCF =45°=∠DCE， ∵CE＝CF，∠DCF＝∠DCE，DC＝DC， ∴△ECD≌△FCD， ∴ED＝DF， ∴DE＝GF＋DG＝BE＋GD， 设DE＝x，则DG＝x−4， ∴AD＝16−x， 在Rt△AED中，∵DE2＝AD2＋AE2， ∴x2＝（16−x）2＋82， ∴x＝10， 即DE＝10． 故答案为：10 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、勾股定理的应用，掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题的关键． 6．在菱形中，，点是边上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． (1)如图1，，求的度数； (2)如图2，，用的度数（含的代数式表示）； (3)如图3，，，点是边上一动点，连接，若，是延长线上一点，且，连接，请直接写出的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，菱形的性质，正方形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的形状，熟练掌握一线三等角全等模型，并会利用条件构造一线三等角全等模型是解题的关键． （1）过点作，交延长线于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得，再根据等腰三角形的性质可得，由此即可得； （2）延长到点，使，连接，先根据菱形的性质、平行线的性质可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，，然后根据等腰三角形的性质可得，由此即可得； （3）先由（2）知当时，，过点作于点，且使，连接，构造出，得出，，再得出，取中点，连接，，得出， ，由两点之间线段最短得，即可求解． 【详解】（1）解：如图1，过点作，交延长线于点， ∵在菱形中，， ∴四边形是正方形，， ∴，， 由旋转的性质得：，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解：如图2，延长到点，使，连接， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 由旋转的性质得：，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）解：由（2）知当时，， 如图，过点作于点，且使，连接， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图，取中点，连接，， ∵，， ∴， ∴， 由两点之间线段最短得，且当、、依次共线时，取得最大值． 题型三 中点四边形 7．如图，顺次连接四边形各边中点得到四边形．将一个飞镖随机投掷到四边形上，则飞镖落在阴影区域（飞镖落在区域分界线时，忽略不计）的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查几何概率，理解几何概率的意义，是正确计算的前提． 利用三角形中位线的性质以及相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：∵中点四边形． ∴．， ∴，， ∴， ∴ ∴， 同法可证，，，， ∴ ， ∴则飞镖落在阴影区域的概率为 故选：B． 8．如图，点是四边形内一点，且满足，，，，，，分别为边，，，的中点，则四边形的形状为______.    【答案】菱形 【分析】连接、，证得，由、，，，则，可得四边形是菱形． 【详解】解：如图，连接、，   ， ，即， 在和中， ， ， ， 点、、分别为、、的中点， 、，，， ， 四边形是菱形． 故答案为：菱形． 【点睛】本题主要考查了中点四边形，解题的关键是熟练掌握三角形中位线定理、平行四边形和菱形、正方形的判定与性质． 9．已知：如图，四边形四条边上的中点分别为，顺次连接，得到四边形EFGH（即四边形的中点四边形）． (1)求证：四边形的形状是平行四边形； (2)当四边形的对角线满足______条件时，四边形是矩形； (3)当四边形的对角线满足______条件时，四边形是菱形． 【答案】(1)证明见解析 (2)互相垂直 (3) 【分析】本题考查的是中点四边形． （1）连接、，根据三角形中位线定理、平行四边形的判定定理证明； （2）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形解答； （3）根据邻边相等的平行是四边形是菱形解答． 【详解】（1）证明：如图，连接、， 点、、、分别为、、、的中点， 、分别为、的中位线， ，，，， ，， 四边形的形状是平行四边形； （2）解：当时，四边形是矩形， ∵，，， ， 平行四边形是矩形， 故答案为：互相垂直； （3）解：当时，四边形是菱形， ，，， ， 平行四边形是菱形， 故答案为：相等． 题型四 利用（特殊）平行四边形的对称性求阴影面积 10．如图，在四边形中，，，，，．点从点出发，以的速度沿．向点运动；点从点同时出发，以的速度沿边向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为．当为何值时，四边形为平行四边形？（ ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】当时，四边形是平行四边形，列方程求解即可． 【详解】由题意可得，，， 当时， 由可得四边形是平行四边形 ∴，解得， 故选：C． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定和性质，表示出对应边的长度是解本题的关键． 11．如图，在长方形中，，．延长到，使，连接．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向终点运动．设点运动的时间为．当取某个值时，使得和全等，则满足条件的值是______． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的判定、矩形的性质、动点问题，分情况讨论即可作答． 【详解】①当点在上时，由题意得 要使，则需 解得： ②当在上时，不构成 ③当在 上时，由题意得 要使，则需，即 解得： 综上，当或时， 故答案为或． 12．如图，矩形中， ，．动点从点出发，以的速度沿向终点运动．过点作，与折线、分别交于，两点，连接、．设点的运动时间为，的面积为． (1)当点与点重合时，的长为________． (2)当点在边上运动时，直接写出的长．（用含的代数式表示） (3)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． 【答案】(1)1 (2) (3)时，；当时，；当时， 【分析】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、锐角三角函数定义、三角形面积以及分类讨论等知识． （1）由矩形的性质得，当点与点重合时，在中，，再由锐角三角函数定义求出即可； （2）由锐角三角函数定义得，，再求出，当点在边上运动时，，，则，然后由锐角三角函数定义得，即可解决问题； （3）当点与点重合时，，则，得，由（2）知，当点与点重合时，，然后分三种情况，①当时，②当时，③当时，由三角形面积公式分别求解即可． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ， ， ， ， 如图1，当点与点重合时， 在中，， ， 故答案为：1； （2）由题意得：， 在中，， 四边形是矩形， ， 如图2，当点与点重合时， ， ， 此时，， ， 当点在边上运动时，， ，， ， 在中，， 在中，； （3）由（1）知，当点与点重合时，， ， 此时，， 由（2）知，当点与点重合时，， ①如图3，当时， ， ，， ； ②如图4，当时， ； ③如图5，当时， 由（2）知，， ； 综上所述，． 题型五 （特殊）平行四边形的动点问题 13．如图，在一块长为a，宽为的长方形铁皮中，若，时，则剩下的铁皮的面积（取）为（　　）． A．5 B．7 C．8 D．12 【答案】A 【分析】本题主要考查求不规则图形面积，解答本题的关键在于将不规则图形转化为规则图形面积再去求解即可． 【详解】解：剩下的铁皮的面积＝长方形的面积﹣圆的面积， 故选：A． 14．如图，菱形的对角线，长分别为3和8，是对角线上的任一点（点不与点，重合），且交于，交于点，则阴影部分的面积是________． 【答案】6 【分析】设与相交于点．先证明四边形是平行四边形．利用平行四边形的性质可得，即，然后结合菱形的面积为对角线积的一半求解即可． 【详解】解：设与相交于点． ∵四边形为菱形， ，． ，， ，． 四边形是平行四边形． ． ． 15．如图，点O是边长为2的正方形的对称中心，过点O作，分别交正方形边于M、N、G、H，则当绕点O旋转时，图中的阴影部分是否关于O点成中心对称？这两部分的面积是否改变？请说明理由． 【答案】图中阴影部分关于O点成中心对称，两部分的面积不改变．理由见解析 【分析】连接AC，根据点O是边长为2的正方形ABCD的对称中心，得到AC过点O，推出△AOG≌△CON，得到OG=OC，同理△AOH≌△COM，得到OH=OM，于是得到图中的阴影部分是否关于O点为中心对称，两部分的面积不改变． 【详解】解：图中阴影部分关于O点成中心对称，两部分的面积不改变． 理由：如图，连接， ∵点O是边长为2的正方形的对称中心， ∴过点O， ∴， 在和中， ∴，， 同理可证， ∴， ∴图中的阴影部分关于O点成中心对称，连接， ∵点O是正方形的对称中心， ∴，，． ∵垂直， ∴， ∴，即， ∴， ∴的面积的面积， ∴四边形的面积的面积正方形的面积． 同理四边形的面积正方形的面积． ∴两部分的面积不改变． 【点睛】本题考查了中心对称，全等三角形的判定与性质，能证得三角形全等是解题的关键． 题型六 四边形中的线段最值问题 16．如图，已知菱形的边长为6，点是对角线上的一动点，且，则的最小值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作于点，连接，根据垂线段最短，此时最短，即最小，根据菱形性质和等边三角形的性质即可求出的长，进而可得结论． 【详解】解：如图，过点作于点，连接，   菱形中，， ，， 是等边三角形， ， ， ， ， 根据垂线段最短，此时最短，即最小， 菱形的边长为6， ， ． 的最小值是． 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质，等边三角形的判定与性质． 17．如图，在矩形中，，，E，F分别在边，上，，连接，，则的最小值是_____． 【答案】 【分析】延长，在上截取，连接，先证明得到，从而推出当三点共线时，有最小值，即有最小值，最小值为，再由勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，延长，在上截取，连接， ∵四边形是矩形， ， ，，， ， ， ， ∴当三点共线时，有最小值，即有最小值，最小值为， 在中，， ∴的最小值是． 18．如图1，两个正方形和共一个直角顶点，连接、交于点，连接、、、． (1)当，时， ①作图：请在图1中分别取、、的中点、、（不要求尺规作图），并直接写出和的关系：______； ②若，求此时的长； (2)当，求的最小值． 【答案】(1)①作图见解析，；② (2) 【分析】（1）①，先证明是的中位线，是的中位线，推出；再证明，得到，，即可推出，再证明，即可得到；②②由①知：，利用勾股定理得到，求出，，即可求解； （2）如图，分别取、、、的中点、、、，连接同理（1）①可得；当三点共线时，有最小值，最小值为的长，即有最小值，最小值为的长，同理（1）①得，，，，利用勾股定理求出，即可解答． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵点、、分别是、、的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ∴； ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴，即， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ②由①知：， ∴， ∴， ∴， ∵四边形和四边形都是正方形，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即（负值舍去）； （2）解：如图，分别取、、、的中点、、、，连接 同理（1）①可得是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线， ∴； ∴ ∵， ∴当三点共线时，有最小值，最小值为的长，即有最小值，最小值为的长， 同理（1）①得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即的最小值为． 【点睛】本题考查了四边形中点问题的综合，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形中位线的判定与性质，正方形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 题型七 四边形其他综合问题 19．如图所示，在矩形纸片中，，点分别是矩形的边上的动点，将该纸片沿直线折叠．使点落在矩形边上，对应点记为点，点落在处，连接与交于点．则下列结论成立的是（    ） ①； ②当点与点重合时； ③的面积的取值范围是； ④当时，． A．①③ B．③④ C．②③ D．②④ 【答案】D 【分析】①根据题意可知四边形BFGE为菱形，所以EF⊥BG且BN=GN，若BN=AB，则BG=2AB=6，又因为点E是AD边上的动点，所以3<BG<．从而判断①不正确； ②如图，过点E作EH⊥BC于点H，再利用勾股定理求解即可； ③当点E与点A重合时，的面积有最小值，当点G与点D重合时的面积有最大值．故<<． ④因为，则EG=BF=6-=．根据勾股定理可得ME= ，从而可求出△MEG的面积． 【详解】解：①根据题意可知四边形BFGE为菱形， ∴EF⊥BG且BN=GN， 若BN=AB，则BG=2AB=6， 又∵点E是AD边上的动点， ∴3<BG<． 故①错误； ②如图，过点E作EH⊥BC于点H，则EH=AB=3， 在Rt△ABE中 即 解得：AE=， ∴BF=DE=6-=． ∴HF=-=． 在Rt△EFH中 =； 故②正确； ③当点E与点A重合时，如图所示，的面积有最小值= =， 当点G与点D重合时的面积有最大值==． 故<<． 故③错误． ④因为，则EG=BF=6-=．根据勾股定理可得ME= ， ∴． 故④正确． 故选D． 【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，菱形的判定与性质，勾股定理，翻折的性质等知识，掌握相关知识找到临界点是解题的关键． 20．已知：如图，在正方形外取一点E，连接，过点A作的垂线交于点P，若，下列结论中正确的是_________． ①；②；③；④；⑤．    【答案】①②③④ 【分析】根据正方形的性质可得，再根据同角的余角相等求出，然后利用“边角边”证明，从而判断①正确，根据全等三角形对应角相等可得，可证，从而判断②正确，根据等腰直角三角形的性质求出，再利用勾股定理列式求出的长，根据列式计算即可判断出③正确；过点B作，交的延长线于点F，先求出，由等腰三角形的性质可求，由勾股定理可求的长，即可求正方形的面积，从而判断④正确；连接PC，连接，过点P作，交于M，交于N，利用三角形的面积关系可求的长，同理可求的长，由勾股定理可求的长，从而判断⑤错误． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ∵，，， ∴，故①正确； ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确， 如图，过点B作，交的延长线于点F，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确， 如图，连接，过点P作，交于M，交于N，    ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 同理， ∴，故⑤错误， 故答案为：①②③④ 【点睛】此题分别考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、三角形的面积及勾股定理，综合性比较强，解题时要求熟练掌握相关的基础知识才能很好解决问题． 21．如图①，在正方形中，点，分别在边，上，连接，，．，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到． (1)求证：．并直接写出，与之间的数量关系； (2)在图①条件下，若，，求正方形的边长； (3)如图②，点，分别在边、上，且．点、分别在、上，，连接，猜想三条线段、、之间满足的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)∵四边形是正方形， ∴， 由旋转可得： ∴，，，， ∴， ∴点，，三点共线； ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． (2)正方形的边长为． (3)．理由如下： 将绕点顺时针旋转，点于点重合，得到，连接， ∴，，，， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴． 【分析】（1）由旋转可得，得出点，，三点共线；根据，，推出，根据全等三角形的判定和性质，得到，则，等量代换，即可； （2）由正方形的性质，可得，，根据勾股定理求出，推出，根据线段的数量关系，可得，求出，即可； （3）将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到，连接，推出，，，，由全等三角形的判定和性质，可得，根据平行四边形的判定和性质，可得四边形是平行四边形，推出，最后根据勾股定理，求出，即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴正方形的边长为． （3）略 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.4 正方形的性质与判定 题型一 根据正方形的性质与判定求面积 1．如图所示为“赵爽弦图”，其中、、、是四个全等的直角三角形，且两条直角边之比为1∶2，连接、，分别交、于点、，则四边形和四边形的面积比为（    ） A．5∶2 B．2∶1 C． D． 2．如图，四边形ABCD是正方形，AB＝1，以AB为对角线作第二个正方形AEBF，以EB为对角线作第三个正方形EGBH，以此类推，则第n个正方形的面积是_______ ． 3．如图，在平行四边形中，点是对角线中点，过点作交于点，交于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若是的中点，且平分，当时，求四边形的面积． 题型二 根据正方形的性质与判定证明 4．如图，在正方形中，，，，分别为各边上的点，，连接，，，，交点分别为，，，．如果四边形的面积为，那么正方形的边长是（   ） A． B．10 C．12 D． 5．如图，在直角梯形中，， E是上一点，且，则__________． 6．在菱形中，，点是边上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． (1)如图1，，求的度数； (2)如图2，，用的度数（含的代数式表示）； (3)如图3，，，点是边上一动点，连接，若，是延长线上一点，且，连接，请直接写出的最大值． 题型三 中点四边形 7．如图，顺次连接四边形各边中点得到四边形．将一个飞镖随机投掷到四边形上，则飞镖落在阴影区域（飞镖落在区域分界线时，忽略不计）的概率是（   ） A． B． C． D． 8．如图，点是四边形内一点，且满足，，，，，，分别为边，，，的中点，则四边形的形状为______.    9．已知：如图，四边形四条边上的中点分别为，顺次连接，得到四边形EFGH（即四边形的中点四边形）． (1)求证：四边形的形状是平行四边形； (2)当四边形的对角线满足______条件时，四边形是矩形； (3)当四边形的对角线满足______条件时，四边形是菱形． 题型四 利用（特殊）平行四边形的对称性求阴影面积 10．如图，在四边形中，，，，，．点从点出发，以的速度沿．向点运动；点从点同时出发，以的速度沿边向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为．当为何值时，四边形为平行四边形？（ ）    A． B． C． D． 11．如图，在长方形中，，．延长到，使，连接．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向终点运动．设点运动的时间为．当取某个值时，使得和全等，则满足条件的值是______． 12．如图，矩形中， ，．动点从点出发，以的速度沿向终点运动．过点作，与折线、分别交于，两点，连接、．设点的运动时间为，的面积为． (1)当点与点重合时，的长为________． (2)当点在边上运动时，直接写出的长．（用含的代数式表示） (3)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． 题型五 （特殊）平行四边形的动点问题 13．如图，在一块长为a，宽为的长方形铁皮中，若，时，则剩下的铁皮的面积（取）为（　　）． A．5 B．7 C．8 D．12 14．如图，菱形的对角线，长分别为3和8，是对角线上的任一点（点不与点，重合），且交于，交于点，则阴影部分的面积是________． 15．如图，点O是边长为2的正方形的对称中心，过点O作，分别交正方形边于M、N、G、H，则当绕点O旋转时，图中的阴影部分是否关于O点成中心对称？这两部分的面积是否改变？请说明理由． 题型六 四边形中的线段最值问题 16．如图，已知菱形的边长为6，点是对角线上的一动点，且，则的最小值是（    ）    A． B． C． D． 17．如图，在矩形中，，，E，F分别在边，上，，连接，，则的最小值是_____． 18．如图1，两个正方形和共一个直角顶点，连接、交于点，连接、、、． (1)当，时， ①作图：请在图1中分别取、、的中点、、（不要求尺规作图），并直接写出和的关系：______； ②若，求此时的长； (2)当，求的最小值． 题型七 四边形其他综合问题 19．如图所示，在矩形纸片中，，点分别是矩形的边上的动点，将该纸片沿直线折叠．使点落在矩形边上，对应点记为点，点落在处，连接与交于点．则下列结论成立的是（    ） ①； ②当点与点重合时； ③的面积的取值范围是； ④当时，． A．①③ B．③④ C．②③ D．②④ 20．已知：如图，在正方形外取一点E，连接，过点A作的垂线交于点P，若，下列结论中正确的是_________． ①；②；③；④；⑤．    21．如图①，在正方形中，点，分别在边，上，连接，，．，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到． (1)求证：．并直接写出，与之间的数量关系； (2)在图①条件下，若，，求正方形的边长； (3)如图②，点，分别在边、上，且．点、分别在、上，，连接，猜想三条线段、、之间满足的数量关系，并说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $