21.2.3 二次函数表达式的确定 课件 2026-2027学年沪科版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数表达式的确定，通过回顾一次函数待定系数法，引导学生思考二次函数不同形式中待定系数数量及所需条件，搭建从一次函数到二次函数的学习支架，帮助学生逐步掌握新知识。 其亮点在于结合多种例题（顶点式、一般式、交点式）及变式训练，融入几何图形面积计算，培养学生数学思维中的推理与运算能力，课堂小结分类归纳方法适用条件，强化数学语言的模型意识。学生能灵活选择方法解决问题，教师可借助资料系统实施教学，提升效率。

第21章　二次函数与反比例函数 21.2 二次函数的图象和性质 3 二次函数表达式的确定 回顾复习 函数y=ax²+bx+c a > 0 a < 0 抛物线开口方向 抛物线开口向上 抛物线开口向下 抛物线顶点坐标 顶点坐标是（- ， ） 顶点坐标是（- ， ） 抛物线对称轴 对称轴是直线x=- 对称轴是直线x=- 函数增减情况 当x>- 时，函数y随x的增大而增大 当x<- 时，函数y随x的增大而减小 当x>- 时，函数y随x的增大而减小 当x<- 时，函数y随x的增大而增大 函数最大值或最小值 当x=- 时，函数取得最小值，y最小值 = 当x=- 时，函数取得最大值，y最大值 = 1.一次函数y=kx+b(k≠0)有几个待定系数？通常需要已知几个点的坐标求出它的表达式？ 答：有两个待定系数;通常需要已知2个点的坐标. 2.求一次函数表达式的方法是什么？它的一般步骤是什么？ 待定系数法. (1)设：（表达式） (2)代：（坐标代入） (3)解：方程（组） (4)还原：（写表达式） 探索新知 知识点1 求二次函数表达式. 思考： 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中有几个待定系数？ 二次函数y=a(x-h)2+h(a≠0)中有几个待定系数？ 分别需要几个条件才能求出来? 有三个待定系数，需要知道3个点的坐标. 有三个待定系数，需要知道顶点和其他任一点的坐标. 探索新知 例1 已知二次函数图象的顶点坐标为(1，-1)，且经过原点，求这个二次函数的表达式？ 分析：已知条件是顶点坐标和过原点， 所以可设顶点式：,然后用待定系数法求解. 解：设二次函数的表达式为y=a(x-1)2-1， 由函数图象经过原点，得·(0-1)2-1=0. 解方程，得=1. 所求二次函数的表达式为. 例2 已知二次函数y=x2+bx+c，当x=-2时，y=0；当x=时，y=0，求这个二次函数的表达式. 分析：二次函数中含有两个未知数， 根据条件列方程组即可. 解：根据题意，得解方程组，得 所求二次函数的表达式为. 还有其他解法吗？ 例2 已知二次函数y=x2+bx+c，当x=-2时，y=0；当x=时，y=0，求这个二次函数的表达式. 分析：根据条件可知，点(-2，0)和(，0)是图象上两点，根据一元二次方程的解法，可设两点式求解.（下节课会重点讲解） 解：根据题意，得. 例3 已知抛物线经过(-1，12.5)，(1，4.5)，(0，8)三点. （1）求这条抛物线对应的函数表达式. 分析：已知三点，设一般式，列三元一次方程组求解. 解：设所求抛物线对应的函数表达式为y=ax2+bx+c， 由题意，得解方程组，得 所求抛物线对应的函数表达式为. （2）若该抛物线的顶点为A，且与直线y=x+1交于B，C两点，在同一直角坐标系中画出它们的图象，并求△ABC的面积. 解：如图，画出直线y=x+1与抛物线. 由 ，得点A的坐标为(4,0). 解方程组 得B，C两点的坐标为B(2,2),C(7,4.5). 过B，C两点分别作x轴的垂线，垂足分别为B1，C1， 则S△ABC=S梯形BC-S△AB-S△AC = = =7.5. 解：设所求的二次函数的表达式为y=ax²+bx+c, a-b+c=10, 由题意得 a+b+c=4, 4a+2b+c=7. 解得a=2,b=-3,c=5. 则所求二次函数表达式为 . 例题示范 例1 已知一个二次函数的图象经过(-1，10)，(1，4)，(2，7)三点，求这个二次函数的表达式. 变式训练 解：设所求的二次函数的表达式为y=ax²+bx+c,由题意得 解得 所求的二次函数为 已知关于x的二次函数,当x=0时, y=-1;当x=-2时, y=0；当x= 时,y=0,求这个二次函数的表达式. 例题示范 解：∵抛物线的对称轴是过(3,0)的直线，与y轴交于点C(0，4)， ∴设该抛物线的表达式为. 又∵A,C点的坐标分别为(8，0),(0，4)， , ∴ 解得a=,b=. ∴y=. 例2 已知抛物线的对称轴是过(3，0)的直线，它与x轴交于A,B两点，与y轴交于C点，点A ,C的坐标分别为 (8，0) ,(0，4)，求这个抛物线的表达式． 求二次函数表达式的方法. 这种设出一般式求二次函数表达式的方法叫作一般式法. 其步骤是： ①设函数表达式为y=ax2+bx+c; ②代入后得到一个三元一次方程组; ③解方程组得到a,b,c的值; ④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式. 归纳小结 随堂练习 1.下面是我们用描点法画二次函数的图象所列表格的一部分： x -3 -2 -1 0 1 2 y 0 1 0 -3 -8 -15 问题：请同学们选择合适的方法求该二次函数的表达式. 分析:试求出这个二次函数的表达式,选取(-3，0)，(-1，0)，(0，-3). 9a-3b+c=0， a-b+c=0， c=-3， 解得 a=-1， b=-4， c=-3. ∴所求的二次函数的表达式是y=-x2-4x-3 解：设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c,把(-3，0)，(-1，0)，(0，-3),代入y=ax2+bx+c,得 2.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过(1,2)和(-1,-6)两点，则a+c= ． 3.已知二次函数的图象经过点(4,-3),并且当x=3时有最大值4,则其表达式为______________. -2 y=-7(x-3)2+4 拓展提升 1.抛物线 经过 和 两点，则a值为____. 2.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c与一次函数y＝x的图象如图所示，给出以上结论： ①b2－4ac>0; ②a＋b＋c＝1; ③当1<x<3时，ax2＋(b－1)x＋c<0; ④二次函数y＝ax2＋(b－1)x＋c的图象经过点(1，0)和(3，0). 其中正确的有：_______(把你认为正确结论的序号都填上). 3 ②③④ 解：(1)把点(1，－2)，(－2，13)的坐标代入y＝ax2＋bx＋1，得 解得 (2)由(1)得函数表达式为y＝x2－4x+1，把x＝5代入y＝x2－4x＋1得，y1＝6，∴y2＝12－y1＝6.∴y1＝y2. 又∵抛物线的对称轴为直线x＝2， ∴ ＝2.解得m＝－1. 3.已知抛物线y＝ax2＋bx＋1经过点(1，－2)，(－2，13)． (1)求a，b的值. (2)若(5，y1)，(m，y2)是抛物线上不同的两点，且y2＝12－y1，求m的值. 课堂小结 ①已知三点坐标 ②已知顶点坐标或对称轴或最值 ③已知抛物线与x轴的两个交点 已知条件 所选方法 用一般式法：y=ax2+bx+c 用顶点法：y=a(x-h)2+k 用交点法：y=a(x-x1)(x-x2) (x1,x2为交点的横坐标） 待定系数法 求二次函数解析式 课后作业 1.完成课后习题. 2.完成练习册本课时的习题. $