6.3.3 余角和补角（教学课件）2026--2027学年人教版七年级数学上册

该初中数学课件聚焦余角和补角的概念、性质及应用，涵盖方位角知识。通过“三角尺中大发现”导入，从三角尺锐角和为90°引出余角定义，再对比引出补角，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点是以小组合作探究为主，结合积分规则激发参与，通过三角尺观察（数学眼光）、性质推理证明（数学思维）培养能力，用表格对比互余互补（数学语言）梳理知识。例题与练习结合助学生掌握应用，教师可直接使用提升教学效率。

6.3 角 6.3.3余角和补角 1. 理解并掌握余角和补角的概念，了解方位角的概念． 2. 掌握余角和补角的性质，能运用余角与补角的性质解决实际问题． 学习目标 1 2 比萨斜塔 1 3 新课引入 三角尺中大发现 下图是我们经常用到的一副三角尺，观察每个三角尺各个角的大小，你有什么发现呢？ 每个三角尺都有一个角是90°，而其他两个角的和是90°. 30°+60°＝90° 45°+45°＝90° 发现 定义 如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角 （简称这两个角互余） 三角尺中大发现 如图所示，∠1和∠2互余，那么∠3和∠4呢？ 如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，简称这两个角互补 结论 ∠1+∠2=90° 互余 ∠3+∠4=180° 互补 规则： 1.以小组形式展示 +2分 2.认真倾听 +1分 3.质疑补充 +2分 余角补角来类比 活动二 规则： 1.小组代表汇报展示 +2分 2.认真倾听 +1分 3.质疑 +2分 ∠1与∠2和∠3都互为余角，∠2与∠3有什么大小关系呢？ 操作 解：因为∠1与∠2和∠3都互为余角 所以∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90° 所以 ∠2=∠3 结论 同角（等角）的余角相等． 如何证明？ 如果∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，且∠1=∠3, 那么∠2=∠4吗？ ∠2=∠4. 通过加权平均数的学习，可以培养学生的压缩能力。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。理解三角形中线的本质有助于更好地描点。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。在条件概率的探究活动中，学生需要自主预习。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。通过三角形面积的学习，可以培养学生的数字化能力。 证明：因为∠1与∠2互补， 所以∠1+∠2=180º， 所以∠2=180º－∠1. 同理，因为∠3与∠4互补， 所以∠3+∠4=180º . 所以∠4=180º－∠3. 因为∠1=∠3， 所以∠2=∠4. 已知：∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，且∠1=∠3, 求证：∠2=∠4. 等角的补角相等. 余角补角来类比 活动二 总结 同角 （等角）的补角相等 你能说明为什么 “同角 （等角）的补角相等” 吗？ 解：因为∠1与∠2和∠3都互为补角 所以∠1+∠2=180°，∠1+∠3=180° 所以 ∠2=∠3 新知运用显身手 活动三 规则： 1.小组代表汇报展示 +2分 2.认真倾听 +1分 3.质疑 +2分 经典例题 如图，两个三角板直角顶点重合，∠BOD=39°，求∠AOC的大小. O A C D B 分析 本题主要考察同角或等角的余角相等 如果∠1+∠2=180º，∠1+∠3=180º ，那么∠2=∠3吗？ 等角的补角相等. ∠2=∠3. 通过加权平均数的学习，可以培养学生的压缩能力。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。理解三角形中线的本质有助于更好地描点。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。在条件概率的探究活动中，学生需要自主预习。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。通过三角形面积的学习，可以培养学生的数字化能力。 知识点二 余角和补角的应用 例1 如图，A，O，B在同一直线上,射线OD和射线OE分别平分∠AOC 和 ∠BOC，图中哪些角互为余角？ 典例精析 新知运用显身手 活动三 规则： 1.小组代表汇报展示 +2分 2.认真倾听 +1分 3.质疑 +2分 1.图中给出的各角中，哪些互为余角？哪些互为补角？ 教材练习 10°与80°的角互为余数；30°与60°的角互为余角. 10°与170°的角互为补角；30°与150°的角互为补角； 60°与120°的角互为补角；80°与100°的角互为补角. 结论 新知运用显身手 活动三 规则： 1.小组代表汇报展示 +2分 2.认真倾听 +1分 3.质疑 +2分 2.一个角是70°39′，求它的余角和补角 教材练习 分析 如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角，两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角. 例2 如图，货轮 O 在航行过程中，发现灯塔 A 在它南偏东 60° 的方向上. 同时， 在它北偏东 40°、南偏西 10°、西北 (即北偏西 45°) 方向上又分别发现了客轮 B、货轮 C 和海岛 D. 仿照表示灯塔方位的方法，画出表示客轮 B、 货轮 C 和海岛 D 方向的射线. 解：如图所示. B C D 总结 ①以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，如 “北偏东 30°” “南偏东 25°”； ②表示方向的角在航行、测绘等工作中经常用到. 课堂总结 1. 已知∠1 与∠2 互余，∠2 与∠3 互补，∠1 = 65°，则∠3 = . 2. 一个角是它的余角的1.5倍，则这个角的补角是 . 155° 分析：1. ∠2 = 90° - ∠1 2. 设这个角的余角为 α，则这个角为 1.5α. 126° = 90° - 65° = 25° ∠3 = 180° - ∠2 = 180° - 25° = 155° α + 1.5α = 90° 解得 α = 36°，1.5α = 54°. 方程思想 当堂检测 互余 互补 两角间的数量关系 对应图形 性质 4 3 1 2 ∠1 +∠2 = 90° 或∠1 = 90° -∠2 ∠1 +∠2 = 180° 或∠1 = 180° -∠2 同角或等角的 补角相等 同角或等角的 余角相等 114 32° 160° 7. 如图，∠AOC=∠BOD=90°.比较∠AOB 与∠COD的大小，并说明理由. 解：∠AOB=∠COD. 理由如下: 因为∠AOC=∠BOD， 所以∠AOC-∠BOC=∠BOD-∠BOC， 即∠AOB=∠COD. 8. 如图，∠COD=35°，OC平分∠AOB，OD 平分∠AOC. 求∠AOB 的度数. 解：因为 OD 平分∠AOC， 所以∠AOC=2∠COD=2×35°=70° 因为 OC平分∠AOB， 所以∠AOB=2∠AOC=2×70°=140°. ∠EOC, ∠BOD, ∠BOC 有，分别是∠BOF, ∠COE. 解析：因为 与 互为补角，所以 ， 故A选项正确，不符合题意； 因为 与 互为余角， 与 互为补角， 所以 ， ， 所以 ， ， 故B，C选项正确，不符合题意； 因为与互为余角，所以， 故D选项错误，符合题意.故选D. 练习5 1.已知 ,则 的补角的度数为______°. 2.已知 与 互为余角,若 ,则 ______. 3.如果一个角的余角是 ，那么这个角的补角的度数是______. 练习7 如图所示，已知O是直线AB上一点， ， 平分 . （1）图中与互余的角有 . （2）图中是否有与互补的角？如果有，直接写出全部结果；如果没有，说明理由. $