6.3.3余角和补角 课件 2026-2027学年人教版数学七年级上册

该初中数学课件聚焦余角和补角的定义、性质及应用，通过三角尺角度观察导入，从“两个锐角和为90°”“两个直角和为180°”的具体现象出发，逐步抽象出互余、互补概念，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以数学眼光观察三角尺角度关系，通过类比推理探究余角补角性质，用符号语言规范表达并以表格对比小结。例如角平分线综合例题，培养学生抽象能力与推理意识，助力学生构建知识体系，也为教师提供结构化教学流程。

6.3.3 余角和补角 人教版（2024） 七年级上册 素养目标 1.认识一个角的余角和补角,并会求一个角的余角和补角. 2.掌握余角和补角的性质，并能用它解决相关问题. 3.经历观察、类比等探究过程，培养学生的推理能力和表达能力。 2 问题 这是我们常用的一副三角尺，三角尺中各个角的度数分别是多少？ 45° 90° 45° 30° 90° 60° 这两个三角尺中，每块都有一个角是90°， 那么另外两个锐角有什么关系呢？ 如图，∠1 +∠2 = 5 6 3 4 O A C B A B A C O O A B C 当∠AOB = 90° 时， ∠3 +∠4 = 当∠AOB = 180° 时， ∠5 +∠6 = 90°. 180°. ∠AOB 1 2 新知探究，理解概念 定义：一般地，如果两个角的和等于 90°(直角)，就说这两个角互为余角，简称这两个角互余，其中每一个角是另一个角的余角. 符号语言： ∵∠1+∠2= 90 ∴∠1 与∠ 2互为余角 反之 符号语言： ∴∠1+∠2= 90 ∵∠1 与∠ 2互为余角 注意： 互余是两个角之间的数量关系，只与两个角的度数有关，与位置无关. 互余研究的是两个角之间的关系，必须成对出现； 1 2 5 新知探究，引出概念 问题2：在一副三角尺中，每个三角尺都有一个直角，这两个角的和是多少？ 2 1 两个直角的和是180 ∠ 1+∠ 2=180 余角： 【知识要点】 如果两个角的和等于 90° (直角)，就说这两个角互为余角，简称这两个角互余. ∠3 与∠4 互余； ∠3 是∠4 的余角； ∠4 是∠3 的余角. 3 4 探究点1：余角和补角的概念 ∠3 与∠4 依然互余. 讨论1：此时∠3 与∠4 还互余吗？ 讨论2：钝角有余角吗？ 没有. 总结 角的数量关系与位置无关. 总结 只有锐角有余角. 3 4 探究点1：余角和补角的概念 新知探索 这是我们常用的一副三角尺，三角尺中各个角的度数分别是多少？ 30° 60° 90° 90° 45° 45° 这两个三角尺中，每块都有一个角是 90°，那么另外两个锐角有什么关系呢？ 30°+60°=90° 45°+45°=90° 其他两个角的和是 90°． 新知探索 余角 一般地，如图，如果两个角的和等于 90°（直角），就说这两个角互为余角，简称这两个角互余，其中一个角是另一个角的余角． 文字语言：∠1 是 ∠2 的余角或 ∠2 是 ∠1 的余角 符号语言：∠2=90°−∠1，∠1=90°−∠2 新知探索 补角 一般地，如图，如果两个角的和等于 180°（平角），就说这两个角互为补角，简称这两个角互补，其中一个角是另一个角的补角． 文字语言：∠3 是 ∠4 的补角或 ∠4 是 ∠3 的补角 符号语言：∠3=180°−∠4，∠4=180°−∠3 新知探究，理解概念 定义：如果两个角的和等于 180°(平角)，就说这两个角互为补角，简称这两个角互补，其中一个角是另一个角的补角. 符号语言： ∵∠1+∠2= 180 ∴∠1 与∠ 2互为补角 反之 符号语言： ∴∠1+∠2= 180 ∵∠1 与∠ 2互为补角 注意： 互补是两个角之间的数量关系，只与两个角的度数有关，与位置无关. 互补研究的是两个角之间的关系，必须成对出现； 1 2 12 经典练习，巩固新知 1. 图中给出的各角中，哪些互为余角？哪些互为补角？ 几何语言： 因为∠3 与∠4 互余， 所以 ∠3 +∠4 = 90°， 或 ∠3 = 90°－∠4， 或 ∠4 = 90°－∠3. 因为∠3 +∠4 = 90°， 所以∠3 与∠4 互余. 互余定义 3 4 探究点1：余角和补角的概念 补角： 如果两个角的和等于 180° (平角)，就说这两个角互为补角，简称这两个角互补． 问题：如果两个角的和等于 180° (平角)，那么怎么描述这两个角的关系呢？ 1 2 追问：此时∠1 与∠2 还互补吗? 依然互补. 探究点1：余角和补角的概念 新知探索 （1）无论是互补或互余，都是描述两个角之间的关系 注意 （2）互补或互余描述的是数量关系，与两个角位置无关 新知探索 下面，我们进一步研究余角、补角的性质． 思考：∠1 与 ∠2，∠3 都互为余角，∠2 与 ∠3 的大小有什么关系？ 因为 ∠1 与 ∠2，∠3 都互为余角， 所以 ∠2=90°−∠1，∠3=90°−∠1． 所以 ∠2=∠3 ． 同角（等角）的余角相等． 余角的一个性质 新知探究，引出性质 问题3 : 你能画出∠1的余角吗？ 1 解： ∠2 =∠ 3，理由如下： 追问：如上图，∠1与∠2， ∠ 3都互为余角，那么∠2和∠ 3的大小有什么关系？ 2 3 ∵∠1与∠2， ∠ 3都互为余角 ∴∠1+∠2= 90 ， ∠1+∠ 3= 90 ∴∠2= 90－ ∠1 ，∠ 3= 90 － ∠1 ∴∠2 =∠ 3 结论1: 同角的余角相等. 新知探究，引出性质 问题4 : 如果∠1与∠2互余， ∠ 3与∠ 4互余，且∠ 1=∠ 3，那么∠ 2与∠ 4的大小有什么关系？ 解： ∠2 =∠ 4，理由如下： ∵∠1与∠2互余， ∠ 3与∠ 4互余 ∴∠1+∠2= 90 ， ∠3+∠ 4= 90 ∴∠2= 90－ ∠1 ，∠ 4= 90 － ∠3 又∵∠1 =∠ 3 结论2: 等角的余角相等. 4 2 1 3 ∴∠2 =∠ 4 几何语言： 1 2 因为∠1 与∠2 互补， 所以 ∠1 +∠2 = 180°， 或 ∠1 = 180°－∠2， 或 ∠2 = 180°－∠1. 因为∠1 + ∠2 = 180°， 所以∠1 与∠2 互补. 互补定义 探究点1：余角和补角的概念 思考：能不能说单独的一个角是余角或补角呢? 不能. 余(补)角指的是两个角之间的数量关系，与位置无关，且它们是成对出现的，单独的一个角或两个以上的角不能称为余(补)角. 例1 若∠α = 35°，求∠α 的余角和补角的度数. 解：∠α 的余角为 90°－35° = 55°， ∠α 的补角为 180°－35° = 145°. 探究点1：余角和补角的概念 问题：∠1 与∠2，∠3 都互为余角，∠2 与∠3 的大小有什么关系？ 因为∠1 与∠2，∠3 都互为余角， 所以∠2 = 90°－∠1，∠3 = 90°－∠1. 所以∠2 = ∠3 . 余角的性质： 同角 (等角) 的余角相等． 【知识要点】 探究点2: 余角和补角的性质 新知探索 相关拓展 1.同角是指同一个角，等角指的是度数相等的角，同角一定是等角，但是等角不一定是同角； 2.锐角的补角为180°−这个锐角，余角为90°−这个锐角，所以锐角的补角比它的余角大90°； 3.多个等角的余角（或补角）也全部相等，不局限于两个角的情况． 新知探究，理解性质 余角的性质： 同角（等角）的余角相等. 同角的余角相等. 等角的余角相等. 符号语言： ∵∠1+∠2= 90 且∠1 =∠ 3 ∴∠2 =∠ 4 ∠3+∠ 4= 90 符号语言： ∵∠1+∠2= 90 ∴∠2 =∠ 3 ∠1+∠ 3= 90 新知探究，引出性质 1 2 3 比如： ∠1 与∠2、∠3 都互为补角，∠2 与∠3 的大小有什么关系？ 解： ∠2 =∠ 3，理由如下： ∵∠1与∠2， ∠ 3都互为补角 ∴∠1+∠2= 180 ， ∠1+∠ 3= 180 ∴∠2= 180－ ∠1 ，∠ 3= 180 － ∠1 ∴∠2 =∠ 3 补角的性质： 同角（等角）的补角相等. 问题5 : 类比余角的性质，那么补角是否有类似的性质呢？ 解：因为∠AOB =∠COD = 90°， 例2 如图，∠AOB = ∠COD = 90°，∠1 = 23°， 求∠BOD 的度数. A B O C D 因为∠1 = 23°，所以∠2 = 23°. 所以∠2 = ∠1. 所以∠COB +∠1 =∠COB +∠2 = 90°. 探究点2: 余角和补角的性质 1 2 问题：类比探究，∠1 与∠2，∠3 都互为补角，∠2 与∠3 的大小有什么关系？ 因为∠1 与∠2，∠3 都互为补角， 所以∠2 = 180°－∠1，∠3 = 180°－∠1. 所以∠2 =∠3. 补角的性质： 【知识要点】 同角 (等角) 的补角相等. 探究点2: 余角和补角的性质 例题练习 例题练习 新知探究，理解性质 符号语言： ∠1+∠ 3= 180 ∴∠2 =∠ 3 ∵∠1+∠2= 180 符号语言： ∠3+∠ 4= 180 且∠1 =∠ 3 ∵∠1+∠2= 180 ∴∠2 =∠ 4 等角的补角相等. 同角的补角相等. 补角的性质： 同角（等角）的补角相等. 例3 如图，点 A，O，B 在同一条直线上，射线 OD 和射线 OE 分别平分∠AOC 和∠BOC，图中哪些角互为余角？ 解：因为点 A，O，B 在同一条直线上， 所以∠AOC 和∠BOC 互为补角． A O B C D E 补角的定义 探究点2: 余角和补角的性质 A O B C D E 又因为射线 OD 和射线 OE 分别平分∠AOC 和∠BOC， 所以∠COD +∠COE = ∠AOC + ∠BOC = (∠AOC +∠BOC ) = 90° 所以∠COD 和∠COE 互为余角， 同理，∠AOD 和∠BOE，∠AOD 和∠COE，∠COD 和∠BOE 互为余角． 等式的性质 余角的定义 探究点2: 余角和补角的性质 课堂小结 余角 补角 定义 符号语言 性质 符号语言 如果两个角的和等于 90°(直角)，就说这两个角互余． 如果两个角的和等于180° (平角)，就说这两个角互补． ∵∠ 1＋∠ 2＝90° ∴∠ 1 和∠ 2 互为余角 ∵∠ 1＋∠ 2＝180° ∴∠ 1 和∠ 2 互为补角 同角(等角)的余角相等． 同角(等角)的补角相等． ∵ ∠ 1 +∠ 2 ＝ 90 ° ∠1+∠ 3 ＝ 90 ° ∴∠ 2 ＝ ∠ 3 ∵∠ 1 +∠ 2 ＝ 180 ° ∠1+∠ 3 ＝ 180 ° ∴∠ 2 ＝ ∠ 3 33 $