吉林通化市梅河口市第五中学2025-2026学年高二下学期7月期末数学试题

高二数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知幂函数在上单调递减，则（ ） A. B. 3 C. D. 3. 已知某放射性同位素的含量（单位：贝克）与时间（单位：天）的关系式为，其中为初始含量，则当该放射性同位素的含量为初始含量的时，的值约为（ ）．附． A. B. C. D. 4. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 设，，则使得成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 6. 若随机变量X的分布列为 X 1 0 P p q 其中，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 某汽车4S店从甲乙丙三个车企分别采购同一款智能汽车500，400，100辆进行销售，甲乙丙三个车企生产的该智能汽车的智驾故障率分别为2%，3%，5%，某消费者从该4S店购买了一台此款智能汽车，在智驾过程中突然出现故障，则根据概率计算出甲乙丙三个车企应承担的责任比为（　　） A. 2：3：5 B. 10：12：5 C. 5：12：10 D. 5：4：1 8. 若函数在区间内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线 B. 可以用相关系数刻画两个变量的相关程度强弱，值越大两个变量的相关程度越强 C. 残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高 D. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断 与有关联，此推断犯错误的概率不超过0.05 10. 下列命题中的假命题是（ ） A. 命题“，”的否定是：， B. 设，则“”是“”的充分而不必要条件 C. 若，则的最小值为4 D. 11. 小郡玩一种跳棋游戏，一个箱子中装有大小质地均相同的且标有的10个小球，每次随机抽取一个小球并放回，规定：若每次抽取号码小于或等于5的小球，则前进1步，若每次抽取号码大于5的小球，则前进2步.每次抽取小球互不影响，记小郡一共前进步的概率为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 小华一共前进3步的概率最大 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知各项均为正数的等比数列满足，则______． 13. 已知双曲线：的右焦点为，坐标原点为，以线段为直径的圆与的一条渐近线交于异于点的另一点 ．若，则的离心率为_________． 14. 在三棱锥 中，侧棱， ，两两互相垂直，且．若为空间内一点，且 ， ，则的最大值为_________________． 附：柯西不等式：，其中，，，，，，当且仅当（约定：若分母为0，则对应的分子也为0）时等号成立． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为深入落实科教兴国战略，提升中学生航天科学素养，某地市教育局联合航天科技馆开展“航天科普进校园”系列研学实践活动，研学参与者均参加科创竞赛．为了解研学活动参与时长与学生科创竞赛获奖的关联性，从参与本系列研学活动的学生中随机抽取100名，统计他们的研学累计参与时长（规定：累计参与时长 课时为长时研学，<6课时为短时研学）与科创竞赛获奖情况，得到如下列联表： 研学时长 科创竞赛 合计 获奖 未获奖 长时研学 25 15 40 短时研学 10 50 60 合计 35 65 100 （1）从本次抽取的科创竞赛获奖的学生中，按研学时间长短分层，采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取7名学生，再从这7名学生中随机选取3名作为代表参加航天科普宣讲会，求选取的3名代表中恰有2名为长时研学的概率； （2）依据的独立性检验，能否认为学生科创竞赛是否获奖与航天科普研学时长有关？ 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16. 在 中，内角，，的对边分别为 ， ，，满足． （1）求角的大小； （2）若 ，求 面积的最大值． 17. 如图，四棱锥中，． （1）当为正三角形时， （i）若，证明：直线平面PBC； （ii）若A，B，D，P四点在以为半径的球面上，则四棱锥的体积是多少？ （2）当为等腰直角三角形时，且，求二面角的余弦值的最小值． 18. 已知椭圆的左顶点为，上顶点为，离心率为，． （1）求椭圆的方程； （2）设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点在圆上，直线，的斜率分别为，，且，求证： （i）； （ii）直线过定点，并求出此定点的坐标． 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若对任意的恒成立，求a的值； （3）若数列的前n项和为，求证：． 高二数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】CD 【10题答案】 【答案】BCD 【11题答案】 【答案】BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】 27 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1） （2）能认为学生科创竞赛是否获奖与航天科普研学时长有关 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1） （i）因为，且，所以， 又为正三角形，所以， 因为，所以，进而． 因为，所以， 又因为，PB，平面PBC， 所以直线平面PBC. （ii） （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2）（i）由（1）知，设直线，直线， 由，消得到，得到，，所以， 由，消得到，得到，，所以， 故，， 所以， 故， （ii）由（i）知， 所以直线的方程为，整理得到， 所以直线过定点，定点为. 【19题答案】 【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）1 （3）证明：， 故只需证明，即， ， 先证明，当时，恒有， 由（2）知，在上恒成立， 即在上恒成立，当且仅当时，等号成立， ，令，则，即， 令，得， 令，得， 上面两式相加得， 即， 当时，，当时，，当时，， ……，当时，， 相加可得，故结论得证； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $