精品解析：吉林省通化市梅河口市第五中学2023-2024学年高二下学期7月期末数学试题

高二期末数学 一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若复数，则（ ） A. B. 10 C. D. 20 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 为了得到函数的图象，只需要把函数图象（ ） A. 先将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位 B. 先将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位 C. 先向左平移个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变） D. 先向右平移个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变） 4. 等差数列的前项和为，且，则（ ） A. 18 B. 24 C. 27 D. 54 5. 设，，，则（ ）. A. B. C. D. 6. 函数在上的值域为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数是奇函数，当时，，若的图象在处的切线方程为，则（ ） A. 4 B. C. 2 D. 8. 已知，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则实数的可能取值为（ ） A. 3 B. C. 1 D. 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 11. 若不等式成立的必要条件是，则实数的取值可以是（ ） A. B. C. 0 D. 1 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，且，则__________. 13. 已知双曲线的离心率分别为和，则的最小值为__________. 14. 将六个数字填入如图所示的方格中，要求每个方格填个数字，且每个数字不重复，则在这三列数字中，第一列的数字之和最小的概率为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知是椭圆的两点，的中点的坐标为． （1）求直线的方程； （2）求两点间距离． 16. 某乒乓球训练机构以训练青少年为主，其中有一项打定点训练，就是把乒乓球打到对方球台的指定位置（称为“准点球”），在每周末，记录每个接受训练的学员在训练时打的所有球中“准点球”的百分比（），A学员已经训练了1年，下表记录了学员最近七周“准点球”的百分比： 周次（x） 1 2 3 4 5 6 7 52 52.8 53.5 54 54.5 54.9 55.3 若. （1）根据上表数据，计算与的相关系数，并说明与的线性相关性的强弱； （若，则认为与线性相关性很强；若，则认为与线性相关性一般；若，则认为与线性相关性较弱）（精确到） （2）求关于的回归方程，并预测第周“准点球”的百分比.（精确到） 参考公式和数据： ，， . 17. 已知各项均不为零的数列满足：. （1）证明是等差数列，并求的通项公式； （2）记数列的前项和为，证明：. 18. 如图，在四棱台中，平面，四边形为菱形. （1）证明：平面平面； （2）若是棱上靠近点的三等分点，求平面与平面夹角的余弦值. 19. 已知函数，且的极值点为. （1）求； （2）证明：； （3）若函数有两个不同的零点，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二期末数学 一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若复数，则（ ） A. B. 10 C. D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数模的定义求解. 【详解】． 故选：A． 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据并集含义即可得到答案. 【详解】由题意得. 故选：C. 3. 为了得到函数的图象，只需要把函数图象（ ） A. 先将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位 B. 先将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位 C. 先向左平移个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变） D. 先向右平移个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变） 【答案】B 【解析】 【分析】利用平移变换和周期变换的规则来判断. 【详解】为了得到函数的图象，只需要把函数图象 先向右平移个单位，再将横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），CD错； 也可以先将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，A错误，B正确. 故选：B. 4. 等差数列的前项和为，且，则（ ） A. 18 B. 24 C. 27 D. 54 【答案】C 【解析】 【分析】由等差数列的性质和等差数列的前项和公式求解即可. 【详解】因为是等差数列，所以， 故. 故选：C 5. 设，，，则（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性，分别与0和1比较大小即可. 【详解】因为函数在单调递减，， 所以，即； 因为函数在单调递增，， 所以，即； 因为函数在单调递增，， 所以，即， 所以. 故选：A. 6. 函数在上的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，令，转化为二次函数求解. 【详解】解：依题意， 令， 故. 故当时，有最大值，当时，有最小值3， 故所求值域为. 故选：B. 7. 已知函数是奇函数，当时，，若的图象在处的切线方程为，则（ ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，，再根据函数为奇函数可得，，即可得解. 【详解】的图象在处的切线方程为， 则，， 当时，，， 因为是奇函数，图象关于原点对称， 的图象在处及处的切线也关于原点对称， 所以，， 即，所以，，． 故选：D. 8. 已知，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知求出，然后作差计算出，则可得到答案. 【详解】， 则， 因为，所以， 所以； ， 因为，所以， 所以， 所以． 故选:D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则实数的可能取值为（ ） A. 3 B. C. 1 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】分，，，求出实数，利用元素的互异性检验，得到答案. 【详解】①若，即时，此时集合中的元素为，满足题意； ②若，即时，，不满足集合中元素的互异性； ③若，即， 当时，此时集合中的元素为，，满足题意； 当时，此时集合中的元素为，满足题意. 故选：ABD. 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据二项分布的期望、方差公式计算可得； 【详解】解：因为，所以，． 故选：AC 11. 若不等式成立的必要条件是，则实数的取值可以是（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】ABC 【解析】 【分析】化简得，由充分与必要条件判断的取值范围即可. 【详解】由得，因为不等式成立的必要条件是，所以，解得，符合题意的选项有：A，B，C. 故选：ABC 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，且，则__________. 【答案】2 【解析】 【分析】由向量线性运算及垂直的数量积即可求解出. 【详解】由题意得，则，得. 故答案为：2. 13. 已知双曲线的离心率分别为和，则的最小值为__________. 【答案】##1.5 【解析】 【分析】由双曲线离心率公式结合基本不等式即可求解. 【详解】，， 由题意得， 则，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为. 故答案为：. 14. 将六个数字填入如图所示的方格中，要求每个方格填个数字，且每个数字不重复，则在这三列数字中，第一列的数字之和最小的概率为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】先计算存在某两列使得这两列各自的两个数之和同时为最小的概率，然后利用对称性和全概率公式即可. 【详解】设事件表示“存在某两列，使得这两列各自的两个数之和相等且同时为最小”，表示“第一列的数字之和最小”. 若事件发生，由于所有数字之和不是的倍数，所以三列的各自两个数之和不可能都相等. 这就意味着当事件发生时，存在且仅存在两列各自两个数之和相等且同为最小，故根据对称性有. 列举即知，这两列各自的两个数只可能是和，和，和三种可能. 所以. 若事件不发生，则两数之和最小的一列是唯一的，故根据对称性有. 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于，假设事件，利用条件概率公式与全概率公式分析计算得解. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知是椭圆的两点，的中点的坐标为． （1）求直线的方程； （2）求两点间距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，设直线方程为，然后联立方程，结合韦达定理即可得到，从而得到直线方程； （2）根据题意，由韦达定理可得，结合弦长公式代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 由题意知的斜率存在，设为，设，则直线方程为，联立方程 则， 经检验符合题意，则直线的方程为． 【小问2详解】 由（1）可知联立后的方程为， ． 16. 某乒乓球训练机构以训练青少年为主，其中有一项打定点训练，就是把乒乓球打到对方球台的指定位置（称为“准点球”），在每周末，记录每个接受训练的学员在训练时打的所有球中“准点球”的百分比（），A学员已经训练了1年，下表记录了学员最近七周“准点球”的百分比： 周次（x） 1 2 3 4 5 6 7 52 52.8 53.5 54 54.5 54.9 55.3 若. （1）根据上表数据，计算与的相关系数，并说明与的线性相关性的强弱； （若，则认为与线性相关性很强；若，则认为与线性相关性一般；若，则认为与线性相关性较弱）（精确到） （2）求关于的回归方程，并预测第周“准点球”的百分比.（精确到） 参考公式和数据： ，， . 【答案】（1）， 与线性相关性很强； （2）， 【解析】 【分析】（1）根据所给参考数据及相关系数公式求出，即可判断； （2）首先求出，，即可得到与的回归方程，从而得到关于的回归方程，再代入计算可得. 【小问1详解】 依题意， 又，所以与线性相关性很强； 【小问2详解】 依题意， 所以， 所以，又， 所以， 当时， 所以预测第周“准点球”的百分比为. 17. 已知各项均不为零的数列满足：. （1）证明是等差数列，并求的通项公式； （2）记数列的前项和为，证明：. 【答案】（1） 因为，故由， 可得， 又，所以是以1为首项，3为公差的等差数列， 所以，故. （2） 易得， 所以 易知在时是递增的，所以， 因此. 【解析】 【分析】（1）通过构造法，利用等差数列的定义和等差数列的概念求解通项公式. （2）通过裂项法求解，并结合数列的单调性求证不等式. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 如图，在四棱台中，平面，四边形为菱形. （1）证明：平面平面； （2）若是棱上靠近点的三等分点，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 证明：因为平面平面， 所以. 因为四边形为菱形，所以. 因为平面， 所以平面， 又平面， 所以平面平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）由平面，得，再由四边形为菱形，得，然后利用线面垂直的判定定理可证得平面，再利用面面垂直的判定定理可证得结论； （2）在平面内，过点作的垂线交于点，以所在直线分别为轴､轴､轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在平面内，过点作的垂线交于点，以所在直线分别为轴､轴､轴， 建立如图所示的空间直角坐标系. 不妨设，则，因为，所以是等边三角形， 故是的中点，于是. 因为是棱上靠近点的三等分点，所以. 故， 所以. 记平面的法向量为， 则 令，则，即. 易知平面的一个法向量为， 则， 故平面与平面夹角的余弦值为. 19. 已知函数，且的极值点为. （1）求； （2）证明：； （3）若函数有两个不同的零点，证明：. 【答案】（1） （2） 由（1）知，， 要证，只需证，即， 令，则， 当时，单调递减； 当时，单调递增， 所以，即，所以. （3） 因为是的两个不同的零点， 所以， 两式相减并整理，得. 设，由（2）知， 所以要证，只需证，即证. 设，下面只需证， 设，则， 所以在上单调递增，从而， 所以成立，从而. 【解析】 【分析】（1）利用导数研究函数的单调性，结合极值点的定义即可求解； （2）由（1）知，要证只需证.设，利用导数研究函数的单调性，得，即可证明； （3）由零点的定义可得，由（2），只需证，即证.设，结合换元法，只需证，利用导数证得即可. 【小问1详解】 由， 则， 所以当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以为的极大值点，即. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的恒成立问题的求解策略. 形如的恒成立的求解策略： 1、构造函数法：令，利用导数求得函数的单调性与最小值，只需恒成立即可； 2、参数分离法：转化为或恒成立，即或恒成立，只需利用导数求得函数的单调性与最值即可； 3，数形结合法：结合函数的图象在的图象的上方（或下方），进而得到不等式恒成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $