专题1.5 等腰三角形（暑假预习讲义）2026-2027学年苏科版八年级数学上学期培优讲义

专题1.5 等腰三角形 【本节预习目标】 1.经历等腰三角形性质与判定的探究过程，理解等腰三角形、等边三角形的轴对称特征，掌握其核心性质与判定方法。 2.掌握含角的直角三角形、直角三角形斜边上中线的性质，能运用相关定理进行线段、角度的计算与简单几何证明。 3.能完成“已知底边及底边上的高作等腰三角形”的尺规作图，提升几何操作能力与空间观念。 4.体会分类讨论、转化、建模等数学思想，发展逻辑推理与几何直观核心素养，能解决简单的实际情境问题。 【前置旧知回顾】 知识模块 已学旧知内容 本节新知关联 三角形基础 三角形内角和为；三角形三边关系；三角形的高、中线、角平分线概念 等腰三角形的角度计算依赖内角和定理，分类讨论需验证三边关系，“三线合一”对应三类特殊线段 全等三角形 三角形全等的判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）；全等三角形对应边、对应角相等 等腰三角形的性质与判定均可通过全等三角形推导，是定理证明的核心依据 轴对称的性质 轴对称图形的定义；对称轴两侧图形全等，对应线段、对应角相等 等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在直线是对称轴，“三线合一”可由轴对称性推导 线段垂直平分线 垂直平分线上的点到线段两端距离相等；到线段两端距离相等的点在垂直平分线上 可用于证明等腰三角形，也是尺规作等腰三角形的核心依据 知识点1：等腰三角形的性质 1.核心性质定理 等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，具备两大核心性质： 性质名称 文字叙述 符号语言 图例 等边对等角 等腰三角形的两个底角相等 在中，， 三线合一 等腰三角形底边上的高线、底边上的中线、顶角平分线互相重合 在中，： ①若，则AD平分，且 ②若，则，且AD平分 ③若AD平分，则，且 >注意：“三线合一”的前提是等腰三角形，且必须是底边上的中线、底边上的高、顶角平分线，腰上的三类线段不具备该性质。 2.尺规作图：已知底边及底边上的高作等腰三角形 步骤：①作线段（底边）；②作线段BC的垂直平分线MN，交BC于点；③在MN上截取（高）；④连接AB、AC，即为所求。 知识点2：等腰三角形的判定 1.两种判定方法 判定方法 文字叙述 符号语言 主要应用 图例 定义法 有两条边相等的三角形是等腰三角形 在中，，是等腰三角形 由边相等直接判定等腰三角形 判定定理（等角对等边） 有两个角相等的三角形是等腰三角形 在中，，，是等腰三角形 由角相等推导边相等，进而判定等腰三角形 2.性质与判定的区别 类别 条件 结论 作用 性质（等边对等角） 同一个三角形中两边相等 两边所对的角相等 由边相等证明角相等 判定（等角对等边） 同一个三角形中两角相等 两角所对的边相等 由角相等证明边相等 知识点3：等边三角形的性质与判定 1.性质 等边三角形是特殊的等腰三角形，具备等腰三角形的所有性质，同时具有自身特殊性： 三边都相等，三个内角都相等，且每一个角都等于； 是轴对称图形，共有3条对称轴； 每一条边上都满足“三线合一”。 符号语言：是等边三角形，，。 2.判定方法 判定方法 文字叙述 符号语言 适用场景 图例 定义法 三边都相等的三角形是等边三角形 ，是等边三角形 已知三边关系时使用 三角相等法 三个角都相等的三角形是等边三角形 ，是等边三角形 已知角度关系时使用 等腰+60°法 有一个角是的等腰三角形是等边三角形 ，且（或），是等边三角形 已知等腰三角形，结合一个60°角时使用最简便 知识点4：直角三角形的两个特殊性质 1.含角的直角三角形的性质 文字语言：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 符号语言：在中，，，。 >拓展：逆命题同样成立：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于。 2.直角三角形斜边上的中线的性质 文字语言：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 符号语言：在中，，是AB的中点，。 >注意：应用前提是直角三角形，且中线必须是斜边上的中线，直角边上的中线不具备该性质。 【基础巩固题型】 【题型1】等腰三角形的边角分类计算 1.核心知识点 等腰三角形等边对等角；三角形内角和定理；三角形三边关系 2.解题方法技巧 ①已知角不确定是顶角还是底角时，分“顶角为已知角”“底角为已知角”两类讨论； ②已知边不确定是腰还是底边时，分“腰为已知边”“底边为已知边”两类讨论； ③所有结果必须验证三角形三边关系与内角和合理性，舍去不成立的情况。 【例题1】.（25-26六年级下·山东济南·期末）如果等腰三角形的周长是，其中一边长为，则该等腰三角形的底边长为（     ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【分析】本题需分两种情况讨论，即已知边长为腰长或已知边长为底边长，再结合三角形三边关系（两边之和大于第三边）验证，排除不符合的情况即可得到结果. 【详解】解：分两种情况讨论： 若为腰长，则底边长为； ∵，不满足三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形， ∴此情况舍去； 若为底边长，则腰长为； ∵，满足三角形三边关系，可以构成三角形， ∴该等腰三角形底边长为. 【变式题1-1】.（25-26七年级下·河南周口·期末）等腰三角形的两边长为4和9，则该三角形的周长为________． 【答案】22 【分析】本题考查等腰三角形的性质与三角形三边关系，解题时需分情况讨论腰长，再根据三角形三边关系判断能否构成三角形，舍去不符合的情况后即可计算得到周长． 【详解】解：等腰三角形的两边长为和，分两种情况讨论： 当腰长为时，三角形三边长为，因为，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形，因此舍去该情况； 当腰长为时，三角形三边长为，满足三角形三边关系，能构成三角形，此时三角形周长为． 【变式题1-2】.（25-26八年级下·江西抚州·期末）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，若，则的长为（     ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】D 【分析】连接，由等边对等角得出，由三角形内角和定理得出，由线段垂直平分线的性质可得，从而可得，求出，再由直角三角形的性质计算即可得出结果． 【详解】解：连接，如图： ， ， ， 为的垂直平分线， ， ， 在中，， ， ， ∵， ， ． 【变式题1-3】.（25-26七年级下·山东青岛·期末）等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的腰长为（     ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】分两种情况：①当腰长为时，②当底边长为时，再结合三角形的三边关系解答即可． 【详解】解：①当腰长为时，则底边长为， 三角形的三边长分别为，，，此时，不满足三角形三边关系，不能组成三角形，不符合题意，舍去； ②当底边长为时，则腰长为， 三角形的三边长分别为，，，此时，满足三角形三边关系，能组成三角形，符合题意； 综上，该等腰三角形的腰长为． 【题型2】“三线合一”的基础应用 1.核心知识点 等腰三角形三线合一性质；线段与角的和差计算 2.解题方法技巧 ①认准前提：先确认三角形为等腰三角形，再识别“一线”是底边上的高/中线/顶角平分线； ②知一线推两线：给出其中一个身份，可直接推出另外两个身份； ③常与三角形内角和结合，快速推导角度、计算线段长度。 【例题2】.（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在等腰中，，于点，，则点到所在直线的距离是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，， ，即点到所在直线的距离是． 【变式题2-1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，是的高，，求的度数． 【答案】 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质，等腰三角形底边上的高平分顶角，结合已知的的度数即可求出的度数 【详解】解：∵在中，，是的高， ∴平分， ∵， ∴ ． 【变式题2-2】.（25-26八年级下·江西抚州·期末）如图，在中，，点是边上的中点，于点，于点． (1)求证：； (2)若，，求周长． 【答案】(1)证明：，点是边上的中点， 平分， 又，， ； (2) 【分析】利用等腰三角形“三线合一”的性质可得平分，再根据角平分线的性质即可求证； 先证明为等边三角形，再利用等边三角形的性质解答即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：，， 为等边三角形， ∵点是边上的中点，， ， ， 的周长为． 【变式题2-3】.（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，，过A点作交于点D，连接． (1)试说明：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)解：理由如下： 是的垂直平分线， ． ， ． ， ； (2) 【分析】（1）首先根据垂直平分线的性质可得，进而可知，然后由等腰三角形“三线合一”的性质即可得出结论； （2）首先根据“等边对等角”得出，然后由三角形外角的性质求出，最后由“等边对等角”求出即可． 【详解】（1）略 （2）解：，， ， ． ， ． 【题型3】等腰三角形的判定证明 1.核心知识点 等角对等边判定定理；平行线的性质；角平分线定义 2.解题方法技巧 ①判定等腰三角形优先找等角，通过“等角对等边”证明边相等； ②掌握经典模型：角平分线+平行线→等腰三角形，角平分线+垂线→等腰三角形； ③也可通过证明两边相等（全等、垂直平分线性质）用定义法判定。 【例题3】.（25-26八年级下·陕西渭南·期末）如图，已知在和中，，，与相交于点，过点作于点，求证：垂直平分． 【答案】证明：在和中，，， ， ， ， 是等腰三角形， 又， ， 垂直平分． 【分析】根据证明，得出，根据等角对等边得出，根据三线合一得出，即可得证． 【详解】略 【变式题3-1】.（25-26八年级下·全国·单元复习）如图，的高与相交于点，，的延长线交于点． (1)从图中找出几对全等直角三角形，并给出证明． (2)求证：是等腰三角形． 【答案】(1)，，，，， 证明：∵与是的高， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， 在和中， ， ∴． (2)证明：由（1）可知，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【分析】（1）根据题意容易证明，则，进而证明和，则，，因此．由等腰三角形的性质可得，，，从而证明和． （2）证明步骤见（1）． 【详解】（1）略 （2）略 【变式题3-2】.（25-26八年级下·陕西西安·期末）在中，，，平分，交边于点D，点A与点E关于所在直线对称，连接，延长交于点F．求证： (1)是等腰三角形； (2)． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∵点A与点E关于直线对称， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴是等腰三角形； (2)证明：过D作于K，如图： ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】（1）由，是的平分线，可得，即得，根据点A与点E关于直线对称，可得，故，从而是等腰三角形； （2）过D作于K，证明，得，又，可得是等腰直角三角形，，即知，而，有，故． 【详解】（1）略 （2）略 【变式题3-3】.（25-26八年级下·江西九江·阶段检测）如图，在中，，点在的延长线上，过点作于点，交于点． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用等腰三角形得，结合，推出；再由对顶角相等，得，根据“等角对等边”得，从而证明结论． （2）过作，由（1）的结论，用“等腰三角形三线合一”得；再由及，推得；最后用证明，得，等量代换得结论． 【详解】（1）证明：， ． ， ， ，， ． ， ， ， 是等腰三角形． （2）证明：如图，过点作于点． ， ． ，，， ， ． ，， ， ， ． 【题型4】等边三角形的性质与判定应用 1.核心知识点 等边三角形的内角性质；等边三角形的判定定理 2.解题方法技巧 ①等边三角形中任意一个内角均为，可直接用于角度推导； ②判定时，若已知等腰三角形，只需再找一个角即可，无需证明三个角都相等； ③结合三线合一，等边三角形任意一边的中线、高、对角平分线都重合。 【例题4】.（25-26八年级下·山西运城·期末）如图，是的中线，，，把沿直线折叠后，点落到的位置上，那么为（     ） A．1 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】根据中点的性质得．再根据折叠得，判定为等边三角形即可求． 【详解】解：∵，是的中线， ∴． 由折叠可得：，， ∴， ∴为等边三角形， ∴． 【变式题4-1】.（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，在等边中，与的平分线相交于点，且，． (1)试判定的形状，并说明你的理由； (2)若，求的周长． 【答案】(1)是等边三角形；理由如下： 是等边三角形， ； ，， ，， 为等边三角形． (2)10 【分析】（1）证明，证明，，即可解决问题． （2）证明，同理可证；即可解决问题． 【详解】（1）略 （2）解：平分，， ，， ， ， 同理可证； 的周长． 【变式题4-2】.（25-26八年级下·陕西渭南·期末）如图，在中，，，点是外一点，连接、，，过点作分别交、于点、． (1)求证：是等边三角形； (2)连接交于点，若，，求的长． 【答案】(1)证明：在中，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴是等边三角形； (2) 【分析】（1）可证得是等边三角形，由，得到，，即可证得是等边三角形； （2）由等边三角形、线段垂直平分线、等腰三角形的性质可求得，由即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式题4-3】.（25-26八年级下·江西吉安·阶段检测）如图，点为线段上一点．，是等边三角形，线段，交于点，线段，交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：为等边三角形； (3)将绕点按逆时针方向旋转，其他条件不变，如图．试判断第（1）、（2）两小题的结论是否仍然成立（不要求证明）． 【答案】(1)证明：，是等边三角形， ，，，， ， 即， 在和中， ， ， ． (2)证明：， ， 又， ． 在和中， ， ， ， 为等腰三角形． 又， 为等边三角形． (3)结论（1）成立，结论（2）不成立 【分析】（1）根据“”证明即可； （2）先证明，得出，再根据有一个角为的等腰三角形为等边三角形，即可证明结论； （3）证明，得出，即可证明结论（1）成立；根据旋转得出，从而得出，说明不可能是等边三角形，证明结论（2）不成立． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：结论（1）成立，结论（2）不成立； ，是等边三角形， ，，， ，即 在和中， ， ， ． 如图，交的延长线于点，交的延长线于点， 将绕点按逆时针方向旋转， ， 此时， 不可能为等边三角形． 【培优提升题型】 【题型5】“角平分线+平行线”等腰三角形模型应用 1.核心知识点 角平分线定义；平行线的性质；等角对等边 2.解题方法技巧 ①识别模型特征：一条角平分线+一组平行线，必然出现等腰三角形； ②利用平行线的内错角、同位角相等，结合角平分线的等角关系，传递得到等角； ③由等角对等边得到等腰三角形，实现边的等量代换。 【例题5】.（25-26七年级下·山东济宁·期末）如图，在中，，，平分，点到的距离为，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先证明，过点D作于点E，根据角平分线的性质定理得到，再由直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 过点D作于点E， ∵平分，， ∴， ∴， ∴． 【变式题5-1】.（25-26八年级下·四川达州·期末）如图，已知平分，平分，且，设，则的周长是 _______． 【答案】30 【分析】根据平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边推出，再根据三角形的周长公式和等量代换进行求解即可. 【详解】解：∵平分，平分，且， ∴， ∴， ∴， ∴的周长. 【变式题5-2】.（25-26八年级上·重庆渝北·期末）如图，已知，平分交于点． (1)尺规作图：作的角平分线交于点，交于点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）问的条件下，求证：，请完成下列证明的填空． 证明：平分， _____①_____． 又， _____②_____． ． _____③_____． 同理_____④_____． ． 【答案】(1)见解析 (2)，，， 【分析】此题考查了尺规作角平分线，平行线的性质，等角对等边等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据角平分线的作图方法作图即可； （2）由平行线和角平分线的定义得到，推出，，即可得到． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）证明：平分， ． 又， ． ． ． 同理． ． 【变式题5-3】.（25-26八年级上·河北邯郸·期末）如图①，在中，，分别平分和，过点作直线，交于点，交于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)求证：； (3)如图②，若将题干中的条件“，分别平分和”改成“，分别平分和的外角”，其他条件不变，则（2）中的结论还成立吗？若不成立，直接写出和，的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)不成立， 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，角平分线的性质，平行线的性质，解决本题的关键是证明等角对等边． （1）由平分，可得，再根据，可得内错角相等，即，由此可证； （2）证明，再由等角对等边可得，即可证明； （3）先证明，，再由等角对等边可得，，再由边的关系即可得． 【详解】（1）证明：（1）∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴是等腰三角形； （2）证明：由（1）， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ； （3）解：不成立，，理由如下： ∵，分别平分和的外角， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 即． 【题型6】含30°角的直角三角形性质应用 1.核心知识点 含30°角的直角三角形的性质；角平分线性质 2.解题方法技巧 ①遇到30°角+直角，直接得出30°对的直角边是斜边的一半，用于线段倍分证明； ②无现成直角时，作垂线构造含30°角的直角三角形，转化线段关系； ③常与角平分线结合，利用角平分线的等角性构造30°角，推导线段比例。 【例题6】.（25-26八年级下·江西萍乡·期末）在等腰中，已知，，则的面积为________． 【答案】25 【分析】过点作，交的延长线于点，先求出的度数，得到的长度，再利用三角形面积公式计算即可． 【详解】解：过点作，交的延长线于点，如图， ，， ， ∴， 的面积为． 【变式题6-1】.（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，在中，，，是斜边上的高，若，则的长度是______． 【答案】6 【分析】先根据直角三角形的两个锐角互余求得，再利用含30度角的直角三角形的性质求得，，进而可求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴，， ∵是斜边上的高， ∴，则， ∴， ∴，则． 【变式题6-2】.（2026·四川攀枝花·中考真题）在中，是边上的中线，，则的面积为_______． 【答案】 【分析】先根据中线定义求出长度，再过作构造含角的直角三角形，利用直角三角形性质求高，最后用三角形面积公式计算面积。 【详解】解：∵是边上的中线，， ∴， 过点作于， ∴， ∵，， ∴， ∴ 【变式题6-3】.（25-26八年级下·河南开封·期末）如图，在中， 平分，交边上的高于点．已知，则的值为（     ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】先证，再证，推出，在中，利用含30度的直角三角形的性质，得，即可求解． 【详解】解：，， ， 平分， ， ， ， ， ， 中，， ， ， ． 【题型7】直角三角形斜边中线的性质应用 1.核心知识点 直角三角形斜边中线性质；等腰三角形性质 2.解题方法技巧 ①直角三角形遇斜边中点，优先连接斜边中线，得到等线段与等腰三角形； ②斜边中线将直角三角形分成两个等腰三角形，可用于角度推导与线段证明； ③可用于证明线段倍分关系，是除30°性质外的另一重要倍分依据。 【例题7】.（25-26八年级下·广西南宁·期末）如图所示，两条公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则，两点间的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边一半的性质即可求解． 【详解】解：∵，互相垂直， ∴， ∵的长为， ∴， ∴，两点间的距离为． 【变式题7-1】.（25-26八年级下·河南南阳·期末）小红将一个直角三角板放在一个直尺上，如图所示，点，所对应的数字分别为1和9，为上一点，它对应的数字为5，则的长为（    ） A．4 B．4.5 C．5 D．无法确定 【答案】A 【详解】解：∵点，所对应的数字分别为1和9，为上一点，它对应的数字为5， ∴， ∴D为中点， ∵直角三角板， ∴． 【变式题7-2】.（25-26八年级下·甘肃张掖·期中）如图，在中，，D为的中点，，，求的长． 【答案】6 【分析】在直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半． 【详解】解：，， ， ，D为的中点， ． 【变式题7-3】.（25-26八年级下·安徽亳州·期中）已知：如图，分别是的中点．求证：． 【答案】证明：如图：连接， ∵分别是的中点． ∴在中，，在中，， ∴ 又∵N是的中点， ∴． 【分析】如图：连接，利用直角三角形斜边上的中线长度等于斜边长度的一半可得、，即；再利用等腰三角形三线合一的性质即可证明结论． 【详解】证明：略． 【压轴素养题型】 【题型8】等腰三角形实际情境应用 1.核心知识点 等腰三角形性质与判定；数学建模思想 2.解题方法技巧 ①将钢架、屋顶、测量工具等实际物体抽象为等腰三角形几何模型； ②提取已知边长、角度，利用等边对等角、三线合一计算未知量； ③结合三角形外角、内角和推导规律，如等长钢管叠加的极限数量问题。 【例题8】.（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，灯塔在海岛的北偏西方向，一条船上午8时从海岛出发，以15海里/时的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛处，此时，测得灯塔在海岛处的北偏西方向． (1)求海岛到灯塔的距离； (2)已知在以灯塔为中心，周围16海里的范围内均有暗礁，若该船继续向正北方向航行，当航行至灯塔的正东方向时，是否有触礁的危险？请你说明理由． 【答案】(1)处到灯塔的距离为海里； (2)有触礁的危险，理由见解析 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，方向角，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）根据已知条件得到，求得，根据等腰三角形的性质即可得到结论； （2）过作交的延长线于点，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：根据题意得，，（海里）， ， ， （海里）， 故处到灯塔的距离为海里； （2）解：有触礁的危险，理由如下： 过作交的延长线于点， （海里），， （海里）， ， 若该船继续向正北方向航行会有触礁的危险． 【变式题8-1】.（25-26八年级上·河南周口·期中）油布伞是中国传统手工艺的重要代表，融合了实用性与艺术性，被多省列入非物质文化遗产名录．油布伞的截面如图所示，伞骨，支撑杆．当点O沿伞杆滑动时，可使雨伞开闭． (1)问雨伞开闭过程中，与有何关系？说明理由． (2)若，当雨伞由闭合撑开到时，点O沿滑动的距离是多少？ 【答案】(1)，理由见解析 (2)点O沿滑动的距离是 【分析】本题主要考查了全等三角形的应用，等边三角形的判定及性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键． （1）与相等，证角相等，常常通过把角放到两个全等三角形中来证，本题公共边，可考虑证明三角形全等，从而推出角相等； （2）利用闭合时的长度减去当雨伞由闭合撑开到时的长度即可． 【详解】（1）解：雨伞开闭过程中二者关系始终是：， 理由如下： ，，， ， 在与中， ， ， ． （2）解：∵伞骨， ∴， ∴， 当雨伞闭合时，， 当时，则， ， 为等边三角形，故， 故O沿滑动的距离是． 【变式题8-2】.（24-25八年级上·陕西西安·期末）王晓想测量一棵树的高度，如图，树杆上的处开始有分枝长出，王晓在地面上的点处测得，他操控一架无人机，使无人机停留在空中点处时，恰好测得，，且、、三点在一条直线上，、、三点在一条直线上，点在的延长线上，若米，米，于点，请你求出这棵树的高度． 【答案】米 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定；先证明得出，进而根据是等腰直角三角形，得出可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴是等腰直角三角形， ∴ 在与中， ∴ ∴ ∴即 ∵米，米， ∴米 ∴米 【变式题8-3】.（25-26八年级上·陕西西安·期末）【问题探究】 （1）如图1，若，，平分交于点，点是上一点，且，连接，请写出线段，，之间的数量关系，并说明理由； 【问题应用】 （2）如图2，在乡村振兴的农田规划项目中，有一块三角形的试验田．农技人员为了划分种植区域，作和的角平分线，两条角平分线交于点．在试验田的边AB上有一处灌溉接口，边上各有一处施肥接口N、G，经测量发现点恰好是线段的中点，且．已知，，．现在需要计算试验田的顶点到施肥接口的距离，以便规划田埂的建设，请你帮农技人员求出的长． 【答案】（1），理由见解析；（2）的长为． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，角平分线的意义，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）证明，再根据全等三角形的性质和等角对等边求解即可； （2）在上截取，连接，证明，，是等边三角形，进而求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：在上截取，连接，如图， ∵和的平分线交于点， ∴， ∵， ∴，， ∴，，，，， ∵点为中点，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴的长为． 【题型9】等边三角形“手拉手”模型探究 1.核心知识点 等边三角形的性质；全等三角形判定与性质；旋转思想 2.解题方法技巧 ①模型特征：共顶点的两个等边三角形，必存在一组旋转全等（SAS）； ②核心结论：对应边相等，对应边夹角为，可衍生出新的等边三角形、角平分线等结论； ③推导时抓住“公共角+60°”推导等角，结合等边三角形边相等证明三角形全等。 【例题9】.（24-25七年级下·山东济南·期末） 和是两个角都是的等腰直角三角形（，，）的三角板， 【问题初探】 （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B、C在同一直线上，连接、，请证明：； 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 【答案】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴； （2）解：，，理由如下： 如图，过点C作垂直于的延长线于点H，交于点O， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形． （1）由判定，推出； （2）过点C作垂直于的延长线于点H，交于点O，判定，推出，，由三角形内角和定理推出，推出． 【详解】（1）略 （2）略 【变式题9-1】.（24-25八年级上·重庆云阳·期中）如图1，在与是两个等腰直角三角形，即于点且，且，连接，交于点F． (1)求证：，； (2)如图2，若将（1）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变． ①试猜想与的数量关系，并说明理由； ②你能求出的度数吗？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①，理由见解析；②能，，理由见解析 【分析】本题考查了等边三角形性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用． （1）由等腰直角三角形求出，证出，推出，，根据求出，求出即可； （2）①如图3中，结论：，只要证明即可； ②由，得到，再结合，得到 ． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ， ， 在和中， ， ∴， ，， 如图，与交于点， ， ， ， ， ， ， ∴，； （2）解：①，理由如下： ∵与是等边三角形， ，，，， ， ， 在和中， ， ∴， ； ②能，理由如下： 与交于点， ∵， ， ∵，，， ∴， 即的度数为． 【变式题9-2】.（25-26七年级下·四川成都·期末）在中，，． (1)点是内部一点，且． ①如图1，求证：； ②如图2，当，，三点共线时，连接，若，，求的面积； (2)如图3，点是外一点，且，若的面积为8，求的长． 【答案】(1)①证明：，， ， ，， . ，， ． ②30 (2)4 【分析】（1）①利用直角的性质，通过等量代换求出，结合已知条件，利用即可证明．②利用等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质推出和相应的度数，和相应的长度，以及，根据直角三角形的面积公式即可求出的面积． （2）利用旋转的性质和已知条件，证明三点共线、以及，根据面积法即可求出的长度． 【详解】（1）①证明：略． ②解：，， ， ， 由①可得，， ， 为直角三角形， ，， ． ， ． （2）解：将绕点逆时针旋转使和重合，得到，如图所示， ，，，， 为等腰直角三角形， ， ， ， 在线段的延长线上， ， ， ． ，， ， ． 【点睛】本题考查了三角形全等，旋转的性质，等腰直角三角形的性质与判定，解题的关键在于判断三点共线，巧妙将边上的高转化为． 【变式题9-3】.（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，已知为等边三角形，D，E分别为，边上的点，，连接，交于点F． (1)如图1，求证：； (2)如图2，以为边作等边，连接， ①求证：； ②若G为的中点，连接，求证：； (3)如图3，P为上一点，连接，H为中点，连接，M，N分别为，上的点，连接，交于点O，若，，，，求的长． 【答案】(1)证明：∵为等边三角形， ∴，， ∵在与中， ∴ ． (2)证明：①∵ 是等边三角形， ∴，， 延长至点，使得，连接， ， 为中点， ， ∵在与中， ， ， ， ， ，即． ∵在与中， 由（1）得， ∴， ， ， ， ，即，，即， ②由①可知． 在与中， ， ， ， ． (3)2.4 【分析】（1）利用等边三角形的性质进一步证明即可得出结论； （2）①延长至点，使得，连接，则，证明，得到．由得到，从而证明，得到，因此．即可证明， ②证明，因此，进而即可得出结论； （3）延长至点K，使得，连接，则，证明，得到，，得出，因此．延长至点L，使得，连接，根据，，得到，从而证明，得到，，证明，得到，求出，得到． 【详解】（1）证明：略； （2）证明：①略；②略； （3）解：延长至点K，使得，连接，则 ∵点H是的中点， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 延长至点L，使得，连接， ∵，， ∴在四边形中，， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 易错点 1、分类讨论不全面或未验证：已知等腰三角形的一个角或一条边时，遗漏顶角/底角、腰/底边的分类；或得出结果后不验证三角形三边关系，保留不符合的答案。 2、“三线合一”误用：在非等腰三角形中使用三线合一，或将腰上的高、中线、底角平分线当作三线合一使用，忽略“底边+顶角”的前提。 3、性质与判定混淆：混淆“等边对等角”与“等角对等边”的条件与结论，证明过程中逻辑颠倒；在不同三角形中错误套用等边对等角、等角对等边。 4、直角三角形特殊性质前提遗漏：使用30°直角三角形性质、斜边中线性质时，忽略“直角三角形”这一大前提，在一般三角形中直接套用结论。 重点 1、等腰三角形的“等边对等角”性质、“三线合一”性质，以及“等角对等边”判定定理，能熟练进行边角计算与基础证明。 2、等边三角形的性质与三种判定方法，含角的直角三角形、直角三角形斜边中线的两大特殊性质。 3、等腰三角形常见模型与辅助线构造方法，能解决简单的综合应用与实际情境问题。 难点 1、等腰三角形分类讨论的全面性，以及复杂图形中辅助线的合理构造与逻辑推理。 2、等边三角形手拉手模型、动态探究类综合问题的分析思路，以及多知识点融合的推理论证。 一、单选题 1．为了使电线杆垂直于地面，如图所示，工程人员的操作方法是：从电线杆上一点往地面拉两条长度相等的固定绳，，当固定点，到电线杆底端的距离相等且点，，在同一直线上时，电线杆就垂直于了，工程人员这种操作方法的依据是（     ） A．等腰三角形“三线合一”的性质 B．垂线段最短 C．等角对等边 D．垂直平分线上的点到两个端点的距离相等 【答案】A 【分析】根据题意，得到，三线合一得到. 【详解】解：由题意，工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”的性质. 2．如图，一根长为8米的钢缆斜拉在竖直的电线杆与地面之间，电线杆与地面垂直，垂足为点．若点是钢缆的中点，则，两点间的距离为（     ） A．6米 B．5米 C．4米 D．3米 【答案】C 【分析】连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：连接， ∵电线杆与地面垂直， ∴， ∵点D是的中点， ∴在中，（米）， 即，两点间的距离为4米． 3．如图，在中，，，点在上，点在的延长线上，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 二、填空题 4．如图，在中，，，平分，过点作于点，，则_____________． 【答案】12 【分析】延长交的延长线于点F，证，得，再证，得，然后由等腰三角形的性质得，即可得出结论． 【详解】解：如图，延长交的延长线于点F， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 5．如图，在中，，，点在直线上，连接，在不添加其它辅助线的情况下，当图中存在两条互相垂直的线段时，的度数为_______． 【答案】的度数为或或 【分析】分、三种情况，利用等腰三角形的性质及直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 若，则； 若，如图， 则； 若，如图， 则； 综上，的度数为或或． 6．在中，，和的平分线分别交于点，若，，求______． 【答案】 【分析】先运用平行线的性质推出，，再运用角平分线的性质推出，，运用等量代换结合等角对等边的性质推出，，最后根据，代入数值即可求解． 【详解】∵， ∴，， ∵平分， ∴，即， ∴， ∵平分， ∴，即， ∴， ∴， ∵，， ∴． 三、解答题 7．如图，和均为等边三角形，将绕点旋转（在直线的右侧）． (1)求证：； (2)若点，，在同一条直线上，点是的中点，求证：． 【答案】(1)证明：∵和是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴； (2)证明：∵点M是的中点， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴． 【分析】（1）根据等边三角形的性质及各角之间的关系得出，再由全等三角形的判定证明即可； （2）根据题意得出，再由等边三角形的性质得出，，利用线段垂直平分线的判定证明即可． 【详解】（1）略； （2）略． 8．如图，在中，，，于点，且，，分别是边，上的点，且． (1)求证：是等边三角形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：在中，，，于点， ， ， 是等边三角形， (2)的长为 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一可知，又因为，则题目可证； （2）由已知可证，则即可求解． 【详解】（1）略； （2）解：，， ，       由（1）可知：是等边三角形，， ，， ， 在和中， ， ，       ， 即的长为． 9．小萌同学与爸妈周末去公园游玩——荡秋千，如图所示，小萌坐在秋千的起始位置处，与地面垂直并交于点，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的处接住她后用力一推，爸爸在处接住她，若妈妈与爸爸到的水平距离，分别为和，，爸爸在处接住小萌时． (1)判断与是否全等，并说明理由； (2)求处距离地面的高度． 【答案】(1)，理由如下： 由题意可知，， 故， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． (2) 【分析】（1）根据等角的余角相等和直角三角形的性质得出，即可证明； （2）根据全等三角形的性质得出，，结合题意，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴，， ∵，分别为和， ∴， ∵， ∴， ∴处距离地面的高度为． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.5 等腰三角形 【本节预习目标】 1.经历等腰三角形性质与判定的探究过程，理解等腰三角形、等边三角形的轴对称特征，掌握其核心性质与判定方法。 2.掌握含角的直角三角形、直角三角形斜边上中线的性质，能运用相关定理进行线段、角度的计算与简单几何证明。 3.能完成“已知底边及底边上的高作等腰三角形”的尺规作图，提升几何操作能力与空间观念。 4.体会分类讨论、转化、建模等数学思想，发展逻辑推理与几何直观核心素养，能解决简单的实际情境问题。 【前置旧知回顾】 知识模块 已学旧知内容 本节新知关联 三角形基础 三角形内角和为；三角形三边关系；三角形的高、中线、角平分线概念 等腰三角形的角度计算依赖内角和定理，分类讨论需验证三边关系，“三线合一”对应三类特殊线段 全等三角形 三角形全等的判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）；全等三角形对应边、对应角相等 等腰三角形的性质与判定均可通过全等三角形推导，是定理证明的核心依据 轴对称的性质 轴对称图形的定义；对称轴两侧图形全等，对应线段、对应角相等 等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在直线是对称轴，“三线合一”可由轴对称性推导 线段垂直平分线 垂直平分线上的点到线段两端距离相等；到线段两端距离相等的点在垂直平分线上 可用于证明等腰三角形，也是尺规作等腰三角形的核心依据 知识点1：等腰三角形的性质 1.核心性质定理 等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，具备两大核心性质： 性质名称 文字叙述 符号语言 图例 等边对等角 等腰三角形的两个底角相等 在中，， 三线合一 等腰三角形底边上的高线、底边上的中线、顶角平分线互相重合 在中，： ①若，则AD平分，且 ②若，则，且AD平分 ③若AD平分，则，且 >注意：“三线合一”的前提是等腰三角形，且必须是底边上的中线、底边上的高、顶角平分线，腰上的三类线段不具备该性质。 2.尺规作图：已知底边及底边上的高作等腰三角形 步骤：①作线段（底边）；②作线段BC的垂直平分线MN，交BC于点；③在MN上截取（高）；④连接AB、AC，即为所求。 知识点2：等腰三角形的判定 1.两种判定方法 判定方法 文字叙述 符号语言 主要应用 图例 定义法 有两条边相等的三角形是等腰三角形 在中，，是等腰三角形 由边相等直接判定等腰三角形 判定定理（等角对等边） 有两个角相等的三角形是等腰三角形 在中，，，是等腰三角形 由角相等推导边相等，进而判定等腰三角形 2.性质与判定的区别 类别 条件 结论 作用 性质（等边对等角） 同一个三角形中两边相等 两边所对的角相等 由边相等证明角相等 判定（等角对等边） 同一个三角形中两角相等 两角所对的边相等 由角相等证明边相等 知识点3：等边三角形的性质与判定 1.性质 等边三角形是特殊的等腰三角形，具备等腰三角形的所有性质，同时具有自身特殊性： 三边都相等，三个内角都相等，且每一个角都等于； 是轴对称图形，共有3条对称轴； 每一条边上都满足“三线合一”。 符号语言：是等边三角形，，。 2.判定方法 判定方法 文字叙述 符号语言 适用场景 图例 定义法 三边都相等的三角形是等边三角形 ，是等边三角形 已知三边关系时使用 三角相等法 三个角都相等的三角形是等边三角形 ，是等边三角形 已知角度关系时使用 等腰+60°法 有一个角是的等腰三角形是等边三角形 ，且（或），是等边三角形 已知等腰三角形，结合一个60°角时使用最简便 知识点4：直角三角形的两个特殊性质 1.含角的直角三角形的性质 文字语言：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 符号语言：在中，，，。 >拓展：逆命题同样成立：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于。 2.直角三角形斜边上的中线的性质 文字语言：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 符号语言：在中，，是AB的中点，。 >注意：应用前提是直角三角形，且中线必须是斜边上的中线，直角边上的中线不具备该性质。 【基础巩固题型】 【题型1】等腰三角形的边角分类计算 1.核心知识点 等腰三角形等边对等角；三角形内角和定理；三角形三边关系 2.解题方法技巧 ①已知角不确定是顶角还是底角时，分“顶角为已知角”“底角为已知角”两类讨论； ②已知边不确定是腰还是底边时，分“腰为已知边”“底边为已知边”两类讨论； ③所有结果必须验证三角形三边关系与内角和合理性，舍去不成立的情况。 【例题1】.（25-26六年级下·山东济南·期末）如果等腰三角形的周长是，其中一边长为，则该等腰三角形的底边长为（     ） A．或 B．或 C． D． 【变式题1-1】.（25-26七年级下·河南周口·期末）等腰三角形的两边长为4和9，则该三角形的周长为________． 【变式题1-2】.（25-26八年级下·江西抚州·期末）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，若，则的长为（     ） A．12 B．14 C．16 D．18 【变式题1-3】.（25-26七年级下·山东青岛·期末）等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的腰长为（     ） A． B． C． D．或 【题型2】“三线合一”的基础应用 1.核心知识点 等腰三角形三线合一性质；线段与角的和差计算 2.解题方法技巧 ①认准前提：先确认三角形为等腰三角形，再识别“一线”是底边上的高/中线/顶角平分线； ②知一线推两线：给出其中一个身份，可直接推出另外两个身份； ③常与三角形内角和结合，快速推导角度、计算线段长度。 【例题2】.（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在等腰中，，于点，，则点到所在直线的距离是（     ） A． B． C． D． 【变式题2-1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，是的高，，求的度数． 【变式题2-2】.（25-26八年级下·江西抚州·期末）如图，在中，，点是边上的中点，于点，于点． (1)求证：； (2)若，，求周长． 【变式题2-3】.（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，，过A点作交于点D，连接． (1)试说明：； (2)若，求的度数． 【题型3】等腰三角形的判定证明 1.核心知识点 等角对等边判定定理；平行线的性质；角平分线定义 2.解题方法技巧 ①判定等腰三角形优先找等角，通过“等角对等边”证明边相等； ②掌握经典模型：角平分线+平行线→等腰三角形，角平分线+垂线→等腰三角形； ③也可通过证明两边相等（全等、垂直平分线性质）用定义法判定。 【例题3】.（25-26八年级下·陕西渭南·期末）如图，已知在和中，，，与相交于点，过点作于点，求证：垂直平分． 【变式题3-1】.（25-26八年级下·全国·单元复习）如图，的高与相交于点，，的延长线交于点． (1)从图中找出几对全等直角三角形，并给出证明． (2)求证：是等腰三角形． 【变式题3-2】.（25-26八年级下·陕西西安·期末）在中，，，平分，交边于点D，点A与点E关于所在直线对称，连接，延长交于点F．求证： (1)是等腰三角形； (2)． 【变式题3-3】.（25-26八年级下·江西九江·阶段检测）如图，在中，，点在的延长线上，过点作于点，交于点． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，求证：． 【题型4】等边三角形的性质与判定应用 1.核心知识点 等边三角形的内角性质；等边三角形的判定定理 2.解题方法技巧 ①等边三角形中任意一个内角均为，可直接用于角度推导； ②判定时，若已知等腰三角形，只需再找一个角即可，无需证明三个角都相等； ③结合三线合一，等边三角形任意一边的中线、高、对角平分线都重合。 【例题4】.（25-26八年级下·山西运城·期末）如图，是的中线，，，把沿直线折叠后，点落到的位置上，那么为（     ） A．1 B． C．3 D． 【变式题4-1】.（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，在等边中，与的平分线相交于点，且，． (1)试判定的形状，并说明你的理由； (2)若，求的周长． 【变式题4-2】.（25-26八年级下·陕西渭南·期末）如图，在中，，，点是外一点，连接、，，过点作分别交、于点、． (1)求证：是等边三角形； (2)连接交于点，若，，求的长． 【变式题4-3】.（25-26八年级下·江西吉安·阶段检测）如图，点为线段上一点．，是等边三角形，线段，交于点，线段，交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：为等边三角形； (3)将绕点按逆时针方向旋转，其他条件不变，如图．试判断第（1）、（2）两小题的结论是否仍然成立（不要求证明）． 【培优提升题型】 【题型5】“角平分线+平行线”等腰三角形模型应用 1.核心知识点 角平分线定义；平行线的性质；等角对等边 2.解题方法技巧 ①识别模型特征：一条角平分线+一组平行线，必然出现等腰三角形； ②利用平行线的内错角、同位角相等，结合角平分线的等角关系，传递得到等角； ③由等角对等边得到等腰三角形，实现边的等量代换。 【例题5】.（25-26七年级下·山东济宁·期末）如图，在中，，，平分，点到的距离为，则的长为（     ） A． B． C． D． 【变式题5-1】.（25-26八年级下·四川达州·期末）如图，已知平分，平分，且，设，则的周长是 _______． 【变式题5-2】.（25-26八年级上·重庆渝北·期末）如图，已知，平分交于点． (1)尺规作图：作的角平分线交于点，交于点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）问的条件下，求证：，请完成下列证明的填空． 证明：平分， _____①_____． 又， _____②_____． ． _____③_____． 同理_____④_____． ． 【变式题5-3】.（25-26八年级上·河北邯郸·期末）如图①，在中，，分别平分和，过点作直线，交于点，交于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)求证：； (3)如图②，若将题干中的条件“，分别平分和”改成“，分别平分和的外角”，其他条件不变，则（2）中的结论还成立吗？若不成立，直接写出和，的数量关系． 【题型6】含30°角的直角三角形性质应用 1.核心知识点 含30°角的直角三角形的性质；角平分线性质 2.解题方法技巧 ①遇到30°角+直角，直接得出30°对的直角边是斜边的一半，用于线段倍分证明； ②无现成直角时，作垂线构造含30°角的直角三角形，转化线段关系； ③常与角平分线结合，利用角平分线的等角性构造30°角，推导线段比例。 【例题6】.（25-26八年级下·江西萍乡·期末）在等腰中，已知，，则的面积为________． 【变式题6-1】.（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，在中，，，是斜边上的高，若，则的长度是______． 【变式题6-2】.（2026·四川攀枝花·中考真题）在中，是边上的中线，，则的面积为_______． 【变式题6-3】.（25-26八年级下·河南开封·期末）如图，在中， 平分，交边上的高于点．已知，则的值为（     ） A．1 B． C．2 D． 【题型7】直角三角形斜边中线的性质应用 1.核心知识点 直角三角形斜边中线性质；等腰三角形性质 2.解题方法技巧 ①直角三角形遇斜边中点，优先连接斜边中线，得到等线段与等腰三角形； ②斜边中线将直角三角形分成两个等腰三角形，可用于角度推导与线段证明； ③可用于证明线段倍分关系，是除30°性质外的另一重要倍分依据。 【例题7】.（25-26八年级下·广西南宁·期末）如图所示，两条公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则，两点间的距离为（     ） A． B． C． D． 【变式题7-1】.（25-26八年级下·河南南阳·期末）小红将一个直角三角板放在一个直尺上，如图所示，点，所对应的数字分别为1和9，为上一点，它对应的数字为5，则的长为（    ） A．4 B．4.5 C．5 D．无法确定 【变式题7-2】.（25-26八年级下·甘肃张掖·期中）如图，在中，，D为的中点，，，求的长． 【变式题7-3】.（25-26八年级下·安徽亳州·期中）已知：如图，分别是的中点．求证：． 【压轴素养题型】 【题型8】等腰三角形实际情境应用 1.核心知识点 等腰三角形性质与判定；数学建模思想 2.解题方法技巧 ①将钢架、屋顶、测量工具等实际物体抽象为等腰三角形几何模型； ②提取已知边长、角度，利用等边对等角、三线合一计算未知量； ③结合三角形外角、内角和推导规律，如等长钢管叠加的极限数量问题。 【例题8】.（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，灯塔在海岛的北偏西方向，一条船上午8时从海岛出发，以15海里/时的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛处，此时，测得灯塔在海岛处的北偏西方向． (1)求海岛到灯塔的距离； (2)已知在以灯塔为中心，周围16海里的范围内均有暗礁，若该船继续向正北方向航行，当航行至灯塔的正东方向时，是否有触礁的危险？请你说明理由． 【变式题8-1】.（25-26八年级上·河南周口·期中）油布伞是中国传统手工艺的重要代表，融合了实用性与艺术性，被多省列入非物质文化遗产名录．油布伞的截面如图所示，伞骨，支撑杆．当点O沿伞杆滑动时，可使雨伞开闭． (1)问雨伞开闭过程中，与有何关系？说明理由． (2)若，当雨伞由闭合撑开到时，点O沿滑动的距离是多少？ 【变式题8-2】.（24-25八年级上·陕西西安·期末）王晓想测量一棵树的高度，如图，树杆上的处开始有分枝长出，王晓在地面上的点处测得，他操控一架无人机，使无人机停留在空中点处时，恰好测得，，且、、三点在一条直线上，、、三点在一条直线上，点在的延长线上，若米，米，于点，请你求出这棵树的高度． 【变式题8-3】.（25-26八年级上·陕西西安·期末）【问题探究】 （1）如图1，若，，平分交于点，点是上一点，且，连接，请写出线段，，之间的数量关系，并说明理由； 【问题应用】 （2）如图2，在乡村振兴的农田规划项目中，有一块三角形的试验田．农技人员为了划分种植区域，作和的角平分线，两条角平分线交于点．在试验田的边AB上有一处灌溉接口，边上各有一处施肥接口N、G，经测量发现点恰好是线段的中点，且．已知，，．现在需要计算试验田的顶点到施肥接口的距离，以便规划田埂的建设，请你帮农技人员求出的长． 【题型9】等边三角形“手拉手”模型探究 1.核心知识点 等边三角形的性质；全等三角形判定与性质；旋转思想 2.解题方法技巧 ①模型特征：共顶点的两个等边三角形，必存在一组旋转全等（SAS）； ②核心结论：对应边相等，对应边夹角为，可衍生出新的等边三角形、角平分线等结论； ③推导时抓住“公共角+60°”推导等角，结合等边三角形边相等证明三角形全等。 【例题9】.（24-25七年级下·山东济南·期末） 和是两个角都是的等腰直角三角形（，，）的三角板， 【问题初探】 （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B、C在同一直线上，连接、，请证明：； 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 【变式题9-1】.（24-25八年级上·重庆云阳·期中）如图1，在与是两个等腰直角三角形，即于点且，且，连接，交于点F． (1)求证：，； (2)如图2，若将（1）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变． ①试猜想与的数量关系，并说明理由； ②你能求出的度数吗？请说明理由． 【变式题9-2】.（25-26七年级下·四川成都·期末）在中，，． (1)点是内部一点，且． ①如图1，求证：； ②如图2，当，，三点共线时，连接，若，，求的面积； (2)如图3，点是外一点，且，若的面积为8，求的长． 【变式题9-3】.（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，已知为等边三角形，D，E分别为，边上的点，，连接，交于点F． (1)如图1，求证：； (2)如图2，以为边作等边，连接， ①求证：； ②若G为的中点，连接，求证：； (3)如图3，P为上一点，连接，H为中点，连接，M，N分别为，上的点，连接，交于点O，若，，，，求的长． 易错点 1、分类讨论不全面或未验证：已知等腰三角形的一个角或一条边时，遗漏顶角/底角、腰/底边的分类；或得出结果后不验证三角形三边关系，保留不符合的答案。 2、“三线合一”误用：在非等腰三角形中使用三线合一，或将腰上的高、中线、底角平分线当作三线合一使用，忽略“底边+顶角”的前提。 3、性质与判定混淆：混淆“等边对等角”与“等角对等边”的条件与结论，证明过程中逻辑颠倒；在不同三角形中错误套用等边对等角、等角对等边。 4、直角三角形特殊性质前提遗漏：使用30°直角三角形性质、斜边中线性质时，忽略“直角三角形”这一大前提，在一般三角形中直接套用结论。 重点 1、等腰三角形的“等边对等角”性质、“三线合一”性质，以及“等角对等边”判定定理，能熟练进行边角计算与基础证明。 2、等边三角形的性质与三种判定方法，含角的直角三角形、直角三角形斜边中线的两大特殊性质。 3、等腰三角形常见模型与辅助线构造方法，能解决简单的综合应用与实际情境问题。 难点 1、等腰三角形分类讨论的全面性，以及复杂图形中辅助线的合理构造与逻辑推理。 2、等边三角形手拉手模型、动态探究类综合问题的分析思路，以及多知识点融合的推理论证。 一、单选题 1．为了使电线杆垂直于地面，如图所示，工程人员的操作方法是：从电线杆上一点往地面拉两条长度相等的固定绳，，当固定点，到电线杆底端的距离相等且点，，在同一直线上时，电线杆就垂直于了，工程人员这种操作方法的依据是（     ） A．等腰三角形“三线合一”的性质 B．垂线段最短 C．等角对等边 D．垂直平分线上的点到两个端点的距离相等 2．如图，一根长为8米的钢缆斜拉在竖直的电线杆与地面之间，电线杆与地面垂直，垂足为点．若点是钢缆的中点，则，两点间的距离为（     ） A．6米 B．5米 C．4米 D．3米 3．如图，在中，，，点在上，点在的延长线上，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．如图，在中，，，平分，过点作于点，，则_____________． 5．如图，在中，，，点在直线上，连接，在不添加其它辅助线的情况下，当图中存在两条互相垂直的线段时，的度数为_______． 6．在中，，和的平分线分别交于点，若，，求______． 三、解答题 7．如图，和均为等边三角形，将绕点旋转（在直线的右侧）． (1)求证：； (2)若点，，在同一条直线上，点是的中点，求证：． 8．如图，在中，，，于点，且，，分别是边，上的点，且． (1)求证：是等边三角形； (2)若，，求的长． 9．小萌同学与爸妈周末去公园游玩——荡秋千，如图所示，小萌坐在秋千的起始位置处，与地面垂直并交于点，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的处接住她后用力一推，爸爸在处接住她，若妈妈与爸爸到的水平距离，分别为和，，爸爸在处接住小萌时． (1)判断与是否全等，并说明理由； (2)求处距离地面的高度． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $