第08讲 实数与近似值16大题型（暑假预习讲义）新八年级数学新教材苏科版

第08讲 实数与近似值 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 无理数 题型2 无理数的大小估算 题型3 无理数整数部分的有关计算 题型4 实数概念理解 题型5 实数的分类 题型6 实数的性质 题型7 实数与数轴结合 题型8 实数的大小比较 题型9 实数的混合运算 题型10 程序设计与实数运算 题型11 实数运算的实际应用 题型12 求一个数的近似数 题型13 求近似数的精确度 题型14 实数的规律运算问题 题型15 无理数整数部分、小数部分问题综合 题型16 实数的新定义问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 无理数 实数 近似值 1.了解实数的概念与分类，掌握近似数、准确数的定义与基本区别。 2.理解精确度的含义，掌握精确到数位、保留有效数字的要求。 3.能根据要求对实数取近似值，规范完成实数近似运算求值。 4.通过实数近似取值，培养估数意识与严谨的数学推理思维。 5.结合生活实例运用近似值，提升数学应用与数据处理能力。 学习重点：掌握近似数的精确度与有效数字，能按要求正确求取实数近似值。 学习难点：准确区分精确度与有效数字，处理大数、小数近似取值的易错问题。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 无理数 1.无理数：无线不循环小数叫做无理数. 无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数，只有无限不循环小数才是无理数. 2.常见的无理数三种形式 （1）开方开不尽的数的方根，如等； （2）及化简后含的数，如，等； （3）看似循环实质不循环的数，如（两个1之间一次多一个0）. 3.任何一个有理数都能写成分数的形式（整数可以看成分母是1的分数），无理数不能写成分数的形式. 4.任何一个有理数都可以写成有限小数（把整数看成小数点后是0的小数）或无限循环小数的形式，无理数是无限不循环小数. 即时即练 1．实数、、、3.1415、，则无理数的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数． 逐个判断各数是否为无理数即可． 【详解】解：∵，为整数， ∴是有理数； ∵，为无理数， ∴为无理数； ∵为无理数， ∴也无理数； ∵为有限小数， ∴是有理数； ∵为无限循环小数 ∴是有理数； ∴无理数有和，共2个， 故选A． 2．估计的值在（     ） A．0到1之间 B．1到2之间 C．2到3之间 D．3到4之间 【答案】D 【分析】本题使用夹逼法估算无理数的范围，先确定的取值区间，再根据不等式性质推导的范围即可. 【详解】解：， ，即， ∴， ∴，即； 因此的值在到之间. 3．已知为整数，且，则等于______． 【答案】 【分析】由无理数比较大小的方法求解即可． 【详解】解：， ， ，为整数， ． 知识点02 实数及其分类 1.有理数和无理数统称为实数. 2.实数的分类 （1）按定义分类： （2）按性质分类： PS：0既不是正实数，也不是负实数. 即时即练 4．下列六个数：，，，，0，，其中无理数的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】此题考查无理数的定义，立方根，无理数是无限不循环小数，不能表示为分数，据此判断每个数． 【详解】解：∵，为整数， ∴是有理数； ∵是分数， ∴是有理数； ∵3.1415是有限小数， ∴是有理数； ∵是无限不循环小数， ∴是无理数； ∵0是整数， ∴是有理数； ∵3不是完全平方数， ∴是无理数. ∴无理数有和，共2个． 故选：C． 5．把下列各数填入相应的大括号内： 有理数集合：______；无理数集合：______； 正实数集合：______；负实数集合：______． 【答案】 ，，， ，，， ，，，， ，， 【分析】本题考查的是实数的分类，实数分为有理数与无理数，无限不循环的小数是无理数，熟记定义是解本题的关键．根据实数的分类逐一填写即可． 【详解】， ，，，，，，，中， 有理数集合为：，，，； 无理数集合为：，，，； 正实数集合为：，，，，； 负实数集合为：，，； 故答案为：①，，，； ②，，，； ③，，，，； ④，，． 6．把下列各数填入相应的集合内：，，，，，，． 有理数集合：{                    } 无理数集合：{                    } 整数集合：{                    } 分数集合：{                    } 【答案】，，，；，，；；，， 【分析】本题主要考查了实数的分类，先计算绝对值和算术平方根，再根据有理数，无理数，整数和分数的定义求解即可． 【详解】解：，， 是无理数， 是无理数， 是有理数，是整数， 是无理数， 是有理数，是分数， 是有理数，是分数， 是有理数，是分数， ∴有理数集合：{，，，}， 无理数集合：{，，}， 整数集合：{}， 分数集合：{，，}． 知识点03 实数与数轴上点的关系 1.实数与数轴上点的关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反之，数轴上的每一个点都表示一个实数，实数与数轴上的点一一对应.有理数集合 … 无理数集合 … 2.画表示无理数的点：要想在数轴上画出表示无理数的点，需先得到长度为无理数的绝对值的线段，一般地，依据勾股定理，通过构造直角三角形来得到长度为无理数的绝对值的线段，以原点为圆心，以上述线段长为半径画弧，弧与数轴的交点，便是表示无理数的点. 正无理数以原点为圆心，向数轴正方向画弧，负无理数以原点为圆心，向数轴负方向画弧. 即时即练 7．如图，数轴上的点A表示的无理数可能是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数轴确定点的取值范围，再估算各选项的数值进行判断． 【详解】解：由图可知，点在和之间，即． A．，，故A不符合； B．，，故B符合； C．，，，，即，故C不符合； D．，故D不符合． 8．如图，数轴上的点分别表示数，则表示数的点应落在（    ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 【答案】D 【分析】首先估算的大小，然后求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴表示数的点应落在线段上． 9．如图，面积为3的正方形的顶点A在数轴上，且表示的数为，若，则数轴上点E所表示的数为_______ 【答案】 【分析】根据正方形的面积公式求出的长，则可求出的长，再根据点A表示的数即可得到答案． 【详解】解：∵正方形的面积为3， ∴， ∴， ∵点A在数轴上，且表示的数为， ∴则数轴上点E所表示的数为 ． 知识点04 比较实数的大小 有理数的大小比较方法在实数范围内仍然适用. 1.在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大. 2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数比较，绝对值大的反而小. 3.比较两个实数大小的常用方法： （1）比较被开方数：如果两个数的根指数相同，我们可以通过比较被开方数的大小来比较两个实数的大小； （2）数轴比较法：根据在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数，结合图形比较，这个方法适用于多个实数比较大小； （3）法则比较法：根据“正数大于0，负数小于0，正数大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小”进行比较； （4）作差比较法：当时，；当时，；当时，. （5）作商比较法：a、b为正数，若，则；若，则；若，则 （6）倒数比较法：a、b为正数，若，则； （7）平方比较法：a、b为正数，若，则. 即时即练 10．比较大小：________（填“”“”“”）． 【答案】 【分析】两个正分数分母相同，只需比较分子的大小，先估算的取值范围，推导分子的范围，即可比较两个数的大小． 【详解】解：两个分数分母均为，且均为正数，因此只需比较分子大小. ， ， ． 11．比较大小： __________填“”“”或“” 【答案】 【分析】本题考查实数的大小比较的应用，熟练掌握并能根据实数的大小比较法则比较两个实数的大小是解答此题的关键．将两个分数分别化简为 和，然后比较大小． 【详解】解：，，且， ， ， 故答案为：． 12．如图所示，已知． (1)说出数轴上点A所表示的数为______； (2)比较点A所表示的数与的大小：______； (3)在数轴上找出对应的点．（保留作图痕迹） 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题为考查勾股定理、实数与数轴，实数大小比较，体现了“数形结合”的思想，解题的关键构造恰当的直角三角形． （1）根据勾股定理即可求得的长度，从而得出的长度，再考虑点A位于原点的左侧，为负数，即可得解； （2）先比较两数的绝对值的平方值大小，然后再比较两数的大小，考虑到绝对值越大的负数，实际值越小，即可得出结果； （3）过表示数3的点作数轴的垂线，取，以为圆心，为半径画弧与数轴相交于点，则点G就是表示的点． 【详解】（1）解：在中，根据勾股定理得： ， ∴， ∴点A所表示的数为； （2）解：∵，， 又∵， ∴ （3）解：如图，点G表示的数为． 知识点05 近似值 近似数 1.近似数：接近准确数而不等于准确数的数叫做这个数的近似数，也叫做近似值. 2.准确数：与实际完全符合的数值称为准确数. 3.常见的近似数 （1）用测量工具测出的一般都是近似数，如长度、质量、时间等； （2）“计算”产生的近似数，如有圆周率π参与计算的结果； （3）不容易得到或不能得到准确数时，只能用近似数表示，如人口普查等； （4）表示某一时间段的数据为近似值，如小明今年14岁，在这1年中他都是14岁. 近似数的精确度 一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个近似数的精确度. 1.一个近似数末尾的0不能省略，如0.10中末尾的0不能省略，因为它表示的是这个数的精确度； 2.带单位的数以及用科学记数法表示的数，求精确度时要先把数还原，再判断数的精确度，如10万＝10000，则10万精确到万位. 3.其他近似数的取法 （1）去尾法：把某一个数保留到某一指定的数位为止，后面的数全部舍去，如将一根100米长的木棒截成每段6米做零件，最多可以做几个？，虽然十分位上的数字大于4，但不够做一个零件，所以只能取近似数16； （2）进一法：把某一个数保留到某一指定的数位时，只要后面的数不是0，都要在保留的最后一位数上加1，如某校八年级共有200名学生，想租用45座大巴车秋游，应租用多少辆？，这里就要用进一法来确定租车的辆数，共需5辆. 即时即练 13．由四舍五入法得到的近似数精确到（   ） A．百分位 B．个位 C．十位 D．百位 【答案】C 【分析】本题考查近似数的精确度判断，关键是将科学记数法表示的数还原为原数，看末位有效数字对应的数位即可 【详解】解：∵， 又∵原数中数字4位于十位上， ∴该近似数精确到十位， 故选：C 14．宝应县总面积为1461.53平方公里，用四舍五入法取近似数精确到个位_______． 【答案】 1462 【分析】本题考查求一个数的近似数，精确到个位，需看十分位数字，十分位为5，向个位进1，据此作答即可． 【详解】解：． 故答案为：1462． 15．用四舍五入方法，按下列要求对 分别取近似值： (1)精确到千万位； (2)精确到亿位； (3)精确到百亿位． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】本题考查了近似数，科学记数法； （1）把百万位上的数字7进行四舍五入，并用科学记数法表示即可； （2）把千万位上的数字9进行四舍五入，并用科学记数法表示即可； （3）把十亿位上的数字9进行四舍五入，并用科学记数法表示即可． 【详解】（1）解：（精确到千万位）； （2）（精确到亿位）； （3）（精确到百亿位）． 题型1 无理数 1．下列数是负无理数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据负无理数的定义，即小于0的无限不循环小数，依次判断每个选项的数，即可得到答案． 【详解】解：∵是分数，属于有理数，排除A； ∵，是整数，属于有理数，排除B； ∵，是正无理数，不满足负数要求，排除C； ∵，且是开方开不尽的无限不循环小数，属于无理数， ∴是负无理数． 2．下列关于的说法错误的是（     ） A．的绝对值是 B．的相反数是 C．的倒数是 D．是有理数 【答案】D 【分析】根据绝对值，相反数，倒数，有理数和无理数的定义逐一判断选项，找出错误说法. 【详解】解：∵ 负数的绝对值是它的相反数，，A选项说法正确； ∵ 只有符号不同的两个数互为相反数，的相反数是，B选项说法正确； ∵ 乘积为的两个数互为倒数，，的倒数是，C选项说法正确； ∵ 是开方开不尽的数，属于无理数，是无理数，不是有理数，D选项说法错误. 3．在（每相邻两个3之间7的个数逐次加1）中，负无理数的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】先明确负无理数的定义：负无理数是小于0的无理数，再逐个判断题干中各数，统计符合条件的个数即可. 【详解】解：是正有理数，不符合要求； 开方开不尽，是无理数，且小于，因此是负无理数； 是正无理数，不符合要求； 是负分数，属于有理数，不符合要求； 是无理数，且小于，因此是负无理数； ，是负整数，属于有理数，不符合要求； （相邻两个之间的个数逐次加）是正无理数，不符合要求； 故 符合条件的负无理数共个. 4．在，，，，，中，无理数有________个． 【答案】2 【分析】先将题目中可化简的数进行化简，再根据无理数的定义逐一判断各数即可． 【详解】解：∵是整数，属于有理数， 是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数， 是分数，属于有理数， 是整数，属于有理数， 是无限不循环小数，属于无理数， 是整数，属于有理数， ∴无理数共有个． 5．写出一个比大且比小的无理数_____． 【答案】 【分析】本题考查实数的知识，先将整数化为二次根式形式，根据无理数的定义，找出被开方数介于和之间的开方开不尽的数，即可得到符合要求的无理数，答案不唯一． 【详解】解：∵ ， ∴， ∵是无限不循环小数，属于无理数，满足的条件， ∴符合题意． 题型2 无理数的大小估算 6．估计的值在（     ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】C 【分析】先确定的范围，再推导的范围即可． 【详解】解：， ， 即， ∴， 的值在和之间． 7．已知，则整数的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】找出与相邻的两个完全平方数，确定的范围，即可求出整数的值． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵，且为整数， ∴． 8．若将，，这三个数表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹（阴影）覆盖的数是________． 【答案】 【分析】首先利用算术平方根的性质估算出分别在哪两个连续整数之间，然后观察数轴确定墨迹覆盖的数值范围，最后找出位于该范围内的数． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 由图可知，墨迹覆盖的范围是2到3之间， 能被墨迹覆盖的数是． 9．分别写出所有符合下列各条件的数． (1)和之间的整数． (2)小于的正整数． (3)满足的x的整数值． (4)大于2且小于3的一个无理数． 【答案】(1) (2) (3) (4)（答案不唯一） 【分析】题目主要考查无理数的估算，熟练掌握估算方法是解题关键． （1）根据无理数的估算方法得出，，即可求解； （2）根据无理数得估算得出，即可求解； （3）根据无理数得估算得出，，即可求解； （4）根据题意得出，即可求解． 【详解】（1）解：∵，即， ∴； ∵，即， ∴和之间的整数有； （2）∵， ∴， ∴小于的正整数有； （3）∵，即， ∴； ∵，即， ∴满足的x的整数值有：； （4）∵， ∴大于2且小于3的一个无理数为：（答案不唯一）． 10．写出所有符合下列条件的数： (1)小于的所有正整数； (2)大于且小于的所有整数； (3)绝对值小于的所有整数． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：∵，即， 正整数是大于0的整数 ∴小于的所有正整数：； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴大于且小于的所有整数； （3）解：∵绝对值小于的整数满足， 而， ∴， ∴绝对值小于的所有整数有：． 【易错警示】 无理数大小估算时，易出现夹值范围不准确、估值偏差过大的问题。比较大小时常误用平方、立方变形，忽略变形不等号方向不变。易凭直觉判断大小，未精准找邻近整数，且忽略负数无理数的大小比较规律。 题型3 无理数整数部分的有关计算 11．已知的算术平方根是3，y是的整数部分，则的值为（     ） A．11 B．9 C．7 D．5 【答案】A 【分析】先根据算术平方根的定义求出，再通过估算无理数的大小得到，最后计算得到结果． 【详解】解：∵的算术平方根是， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵y是的整数部分， ∴， ∴． 12．如图是我国古代所用的指南针，古人称它为司南．当它静止的时候，勺柄就会指向南方，已知司南的长度与最大宽度的比值为．则的整数部分为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的整数部分为． 13．若其中m是正整数，则m的值是_____． 【答案】3 【分析】利用相邻完全平方数的算术平方根和是正整数确定的值． 【详解】解：∵， ∴ ， ∵， ∴ ， 又∵m是正整数， ∴． 14．阅读材料：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为．规定：数的整数部分记为，小数部分记为．则的值是____________． 【答案】 【分析】先根据不等式性质确定的整数范围，得到的整数部分，再根据题目定义，用减去其整数部分得到小数部分的值． 【详解】解：， ， 的整数部分为， 小数部分． 15．阅读下列材料： ∵ ，即：； ∴ 的整数部分为1，小数部分为． 请根据材料提示，进行解答： (1)的整数部分是________，小数部分是_________； (2)若，其中：a是整数，．求的值． 【答案】(1)3，3 (2) 【分析】（1）根据，求解即可； （2）根据文中的方法求解即可； 【详解】（1）解：∵，即； ∴的整数部分是3，小数部分是； （2）解：∵，即； ∴ 故的整数部分是15，小数部分是； 故； 故． 题型4 实数概念理解 16．的相反数是（   ） A． B． C． D．5 【答案】B 【详解】解：的相反数是． 17．下列命题不是真命题的是（   ） A．是的平方根 B．的平方根是 C．是个负实数 D．已知是实数，则 【答案】B 【分析】本题考查了命题与定理的知识，平方根，实数的概念，根据平方根，实数的概念逐项排除即可，解题的关键是理解有关的定义、定理及性质． 【详解】解：、是的平方根，原选项是真命题，不符合题意； 、的平方根是，原选项不是真命题，符合题意； 、是个负实数，原选项是真命题，不符合题意； 、已知是实数，则，原选项是真命题，不符合题意； 故选：． 18．下列说法正确的有________． ①实数不是有理数就是无理数；②是有理数；③不带根号的数都是有理数；④是有理数；⑤数轴上任一点都对应一个有理数；⑥的相反数是． 【答案】①⑥/⑥① 【分析】根据实数的概念与分类，无理数，有理数的概念，相反数的含义逐一分析即可得到答案． 【详解】解：实数不是有理数就是无理数，描述正确，故①符合题意； 是无理数，故②不符合题意； 不带根号的数都是有理数，描述错误，如，故③不符合题意； 是无理数；故④不符合题意； 数轴上任一点都对应一个实数，故⑤不符合题意； 的相反数是，故⑥符合题意； 故答案为：①⑥． 【点睛】本题考查的是实数的概念，实数的分类，无理数的含义，相反数的含义，熟记基本概念是解本题的关键． 19．下列说法：①实数分为整数和分数；②无限不循环小数叫作无理数；③一个有理数的绝对值一定是正数；④倒数等于它本身的数是；⑤带根号的数都是无理数．其中正确的是________（填序号）． 【答案】②④/④② 【分析】本题考查了实数的相关概念，无理数的概念，倒数的概念，绝对值的定义，解题的关键在于熟练掌握相关概念．根据相关概念逐项判断，即可解题． 【详解】解：①实数分为有理数和无理数，故①错误； ②无限不循环小数叫作无理数，故②正确； ③，既不是正数也不是负数，故③错误； ④倒数等于它本身的数是，故④正确； ⑤开方开不尽的数是无理数，故⑤错误． 综上所述，正确的有②④， 故答案为：②④． 20．下列说法：①无理数就是开方开不尽的数；②满足﹣＜x＜的x的整数有4个；③﹣3是的一个平方根；④不带根号的数都是有理数；⑤不是有限小数的不是有理数；⑥对于任意实数a，都有＝a．其中正确的序号是_____． 【答案】②③ 【分析】根据有理数、无理数、实数的意义逐项进行判断即可． 【详解】解：①开方开不尽的数是无理数，但是有的数不开方也是无理数，如：π，等，因此①不正确，不符合题意； ②满足﹣＜x＜的x的整数有﹣1，0，1，2共4个，因此②正确，符合题意； ③﹣3是9的一个平方根，而＝9，因此③正确，符合题意； ④π就是无理数，不带根号的数也不一定是有理数，因此④不正确，不符合题意； ⑤无限循环小数，是有理数，因此⑤不正确，不符合题意； ⑥若a＜0，则＝|a|＝﹣a，因此⑥不正确，不符合题意； 因此正确的结论只有②③， 故答案为：②③． 【点睛】本题考查无理数、有理数、实数的意义，理解和掌握实数的意义是正确判断的前提． 题型5 实数的分类 21．已知下列实数：①0，②，③，④，⑤，⑥，其中整数有：_________，分数有：_________，无理数有：_________．（只需填写序号） 【答案】，， 【分析】本题主要考查了实数的分类，有理数和无理数的定义，求一个数的算术平方根等知识点，熟练掌握实数的分类及有理数和无理数的定义是解题的关键． 根据有理数和无理数统称实数，分数和整数统称有理数，无限不循环小数是无理数进行分类即可． 【详解】解：， 由题意可得， 整数有：， 分数有：， 无理数有：， 故答案为：，，． 22．以下各数0，，，，，，，，，0.1010010001…（相邻两个1之间依次增加1个零）．有理数的个数是 _____． 【答案】5 【分析】本题考查了实数的分类，熟知整数和分数统称为有理数是解题的关键．先化简每个数，然后根据有理数的定义判断即可． 【详解】解：，， ，， 有理数有：0，，，，，共5个， 故答案为：5． 23．在下列数中：①π，②，③，④1.7，⑤，⑥0，⑦1.1010010001…（每两个1之间依次多一个0），⑧．非负整数有 ___________；无理数有 ___________．（填写序号） 【答案】 ⑥⑧ ①⑤⑦ 【分析】根据实数的分类及定义即可求得答案． 本题考查实数的分类及定义，无理数是指无限不循环小数，大于等于0的整数为非负整数；必须熟练掌握． 【详解】解：， 非负整数有⑥⑧；无理数有①⑤⑦； 故答案为：⑥⑧；①⑤⑦． 24．把下列各数填入相应的横线内： ，0，，，，，，80%，，0.7373373337…（两个“7”之间依次多一个“3”），． 无理数：{ ___________…}； 整数：{ ___________…}； 分数：{ ___________…}； 实数：{ ___________…}． 【答案】见解析 【分析】利用无理数，整数，分数以及实数的定义判断即可得到结果． 本题考查了实数的分类，熟练掌握相关的概念是解题的关键 【详解】无理数：{，，0.7373373337…（两个“7”之间依次多一个“3”）}； 整数：{0，，，}； 分数：{，，，80%}； 实数：{，0，，，，，，80%，，0.7373373337…（两个“7”之间依次多一个“3”），}． 故答案为：，，0.7373373337…（两个“7”之间依次多一个“3”）；0，，，；，，，80%；，0，，，，，，80%，，0.7373373337…（两个“7”之间依次多一个“3”），． 25．将下列各数填入相应的集合内．（用序号填空） ①，②，③，④0，⑤    ⑥，⑦，⑧0.13030030003…（相邻的两个3之间依次多1个0），⑨3.14． （1）整数集合：{____________…}； （2）分数集合：{____________…}； （3）无理数集合：{____________…}． 【答案】 ③④⑥ ①⑤⑨ ②⑦⑧ 【分析】此题考查了实数的分类，化简需要化简的各数后，根据实数的分类方法分类即可． 【详解】解：， （1）整数为：③，④0，⑥； 故答案为；③④⑥ （2）分数为：①，⑤，⑨3.14． 故答案为；①⑤⑨ （3）无理数为：②，⑦，⑧0.13030030003…（相邻的两个3之间依次多1个0）， 故答案为：②⑦⑧ 【易错警示】 实数分类易混淆有理数与无理数定义，误认为带根号的数都是无理数。有限小数、无限循环小数属于有理数，无限不循环小数才是无理数。常遗漏零的分类归属，混淆正负实数界限，分类时不化简直接判断导致出错。 题型6 实数的性质 26．若实数a，b同时满足，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数的减法，整式的加减． 根据题意得出，因此题干条件可化为，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∴ 即， 故选：B． 27．在实数范围内，下列判断正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据实数的性质和立方根的概念，需逐一判断各选项的正确性. 本题考查实数的性质，立方根的意义. 【详解】解：∵ 选项A：若，则或， ∴ A错误. ∵ 选项B：若，如但， ∴ B错误. ∵ 选项C：若，则或， ∴ C错误. ∵ 选项D：若，两边立方得，且在实数范围内立方根唯一， ∴ D正确. 故选：D 28．如图，已知实数在数轴上的对应点，化简：的结果是 ___________． 【答案】/ 【分析】先由实数在数轴上的位置判断，得到，再由算术平方根、立方根定义化简后，再去绝对值，最后合并同类项即可． 【详解】解：由图可知，，则， ． 29．若都是实数，且满足的关系为：，则的平方根是_________． 【答案】 【分析】根据被开方数非负可求出x的值，进而求出y的值，则可得到的值，再由平方根的定义可得答案． 【详解】解：∵式子有意义， ∴且， ∴， ∴， ∴， ∵4的平方根为， ∴的平方根是 ． 30．已知命题：如果与互为相反数，那么与互为相反数． (1)请写出上述命题的题设和结论，并判断是真命题还是假命题； (2)若与互为相反数，求的值． 【答案】(1)题设：与互为相反数；结论：与互为相反数；真命题； (2)． 【分析】本题考查实数的性质，解一元一次方程，熟练掌握相反数的定义，立方根的定义，是解题的关键： （1）根据“如果”引导的部分是题设，“那么”引导的部分是结论，进行作答即可； （2）根据（1）中结论，得到，求出的值即可． 【详解】（1）解：题设：与互为相反数； 结论：与互为相反数；此命题为真命题； ∵与互为相反数， ∴， ∴， ∴， 即：与互为相反数； （2）由（1）可知：与互为相反数， ∴， ∴， ∴． 题型7 实数与数轴结合 31．如图，一个面积为17的正方形，点落在数轴上对应实数2，将正方形绕点顺时针旋转，点落在轴上的点处，点对应的实数在哪两个整数之间（     ） A．4至5 B．5至6 C．6至7 D．7至8 【答案】C 【分析】根据正方形的面积计算边长，进而表示出对应的数值，再估计无理数取值范围即可． 【详解】解：由题意得，则点对应的实数为， ， ， ， 则点对应的实数在6至7之间． 32．如图，数轴上A，B两点表示的数分别是和，A是线段的中点，则点C所表示的实数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得，再根据右边的点减去左边的点表示数轴上两点之间的距离，据此求解即可． 【详解】解：设点表示的数为， ∵点B关于点A的对称点为C， ，即， 解得， 点C所表示的实数为． 33．如图1，将两个的长方形分别沿对角线剪开，得到四个直角三角形，它们与一个边长为的正方形可拼成一个大正方形，将一个的长方形如图2放置，则点表示的数是______． 【答案】/ 【详解】解：由图可得正方形的边长为，即到点表示的数的距离为， ∴点表示的数为. 34．阅读材料：在引入无理数时，如图1，是把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为2的大正方形，设大正方形的边长为，则，从而求出，就得到了大正方形的边长为，借助此过程就可以将在数轴上表示出来．阅读后解答下列问题： (1)上述材料中蕴含的数学思想是______思想；（填序号） ①数形结合    ②分类讨论    ③转化与化归 (2)类比阅读材料完成下列问题： ①某同学受到启发，把长为2，宽为1的两个长方形沿着对角线（设为）剪开，将所得的4个直角三角形拼成如图2所示的一个大正方形，求内部正方形的边长（即的值）； ②在数轴上画出表示的点．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)① (2)①内部正方形的边长为；② 【分析】（1）分析材料即可； （2）①由图形面积之间的关系列方程求解即可； ②记的对应点为，1的对应点为，在数轴上方作以为底，为高的三角形，连接，以点为圆心，线段长为半径画弧，在点右侧与数轴的交点即为所求． 【详解】（1）解：上述材料中蕴含的数学思想是数形结合思想， （2）解：①由题意得：， ， ∵是正方形的边长， ∴， ， 答：内部正方形的边长为． ②略 35．已知实数a，b满足：． (1)求a，b的值； (2)求的平方根，并在图所示的数轴上标出平方根的大概位置．（标出后在对应位置旁写出你求的平方根） 【答案】(1)， (2)，图见解析 【分析】（1）根据算术平方根，绝对值的非负性求解即可； （2）先求解的平方根为，再估算，进一步画图即可. 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，； （2）解：∵，， ∴， ∴的平方根为， ∵，， ∴数轴表示如下图所示 . 【易错警示】 实数与数轴结合题型中，易忽略实数与数轴点一一对应的关系。估算无理数对应数轴点位置易出错，比较数轴上实数大小方向混淆。平移、距离计算时常忽略正负号，未结合数轴数形结合分析，导致解题失误。 题型8 实数的大小比较 36．已知是的负平方根，，，则，，中最大的实数与最小的实数的差是（     ） A． B．2 C．6 D．8 【答案】D 【分析】根据平方根、绝对值、立方根的定义分别求出，和的值，比较大小得到最大数和最小数，计算两者的差即可． 【详解】解：是的负平方根， ． ，， ，即 最大的实数是，最小的实数是， ． 37．，，之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了实数比较大小，得出各数绝对值的大小关系是解题关键． 比较负数大小时，先比较其绝对值，绝对值大的负数反而小. 通过比较、、的大小，得到绝对值关系，再转化为负数大小关系. 【详解】解：∵ ，， ， 且 ， ∴ ， 即. 故选：A. 38．比较大小：___________；___________；___________．（填“”“”或“”） 【答案】 > < < 【分析】根据实数大小的比较方法解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴； ∵，， ∴． 39．比较大小：_______；________4；______（填“＞”或“＜”） 【答案】 ＞ ＞ ＞ 【分析】利用分数比较大小法则，无理数估算的方法比较大小. 分母相同的分数，分子大的分数更大，比较无理数大小时，先估算无理数的范围，再根据不等式的传递性比较大小. 【详解】解：（1）比较与 两个分数分母相同，比较分子即可. ，，， ， 不等式两边同时减得： ， ； （2）比较与 ，， 即； （3）比较与， ，， ， 即． 40．阅读材料： 小明对不等式的有关知识进行了自主学习，他发现，对于任意两个实数a和b比较大小，有如下规律：若，则；若，则；若，则．上面的规律，反过来也成立．课上，通过与老师和其他同学的交流，验证了上面的规律是正确的． 参考小明发现的规律，解决问题： (1)比较大小：________；（填“<”、“=”或“>”） (2)已知，且，若，，试比较A和B的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）两数作差，根据可求； （2）根据，且，求得，两式作差进而求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型9 实数的混合运算 41．计算： 【答案】 【分析】先计算立方根、算术平方根、负整数指数幂、零指数幂，再进行加减运算即可求解． 【详解】解： ． 42．计算： 【答案】 【分析】先根据算术平方根、立方根定义计算，再加减运算即可． 【详解】解： ． 43．计算： (1) (2) 【答案】(1)11 (2)2 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式． 44．计算： 【答案】 【分析】先根据算术平方根的定义、立方根的定义计算，同时化简绝对值，再进行加减计算即可． 【详解】解：原式． 45．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）先计算乘方，除法转化为乘法，再从左到右依次计算乘除运算，最后计算减法； （2）先分别计算乘方、立方根、绝对值和算术平方根，再进行加减运算，注意，故，去掉绝对值后前面加负号需变号． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型10 程序设计与实数运算 46．如图是一个数值转换器的原理图，当输入的值为81时，输出的值是（     ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】根据数值转换器的原理，输入一个数，求其算术平方根，若结果是有理数则重新输入，若结果是无理数则输出，据此逐步计算即可． 【详解】解：输入81，则， 是有理数， 重新输入，则， 是有理数， 重新输入，取算术平方根得，是无理数， 输出． 47．在如图所示的运算程序中，若输入的值是729，则输出的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据流程图，列出算式进行计算即可． 【详解】解：当输入的值是729时，取算术平方根得， 27是有理数，再取立方根得， 3是有理数，再取算术平方根得， 由于是无理数， 所以输出的值是． 48．根据如图所示的计算程序，若开始输入x的值为，则输出的结果为（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】D 【分析】根据，把代入中求出的值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 把代入得， ∴输出的结果为3． 49．小明设计了一个如图所示的电脑运算程序： （1）当输入的值是64时，输出的值是________． （2）分析发现，当非负数取________时，该程序无法输出值． 【答案】 0或1 【分析】本题考查了实数，立方根，算术平方根，关键是掌握立方根及算术平方根的求解． （1）按照计算流程计算，如果不满足输出条件，继续循环计算即可． （2）按照计算流程，探索即可得出答案解： 【详解】解：（1）当x值为64时，则64的算术平方根得8， ∴8的立方根是2， ∴2的算术平方根得是，是无理数， ∴输出的数为； 故答案为：． （2）依题意，按照计算流程发现最后都是无理数输出， ∴当非负数取0或1时该程序无法输出值， 故答案为：0或1． 50．如图，这是一个数值转换器． (1)当输入x的值为9时，输出______． (2)小明输入了下面的三个备选数据中的某一个，转换器在运算时显示“运算无意义”．请你判断输入x的值可能是哪一个数据？并说明理由．备选数据：4，，． (3)小明输入了某个x的值后得到了，请你写出2个不同的x值． 【答案】(1) (2)输入x的值可能是，理由见解析 (3)2或4 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，无理数的识别，正确理解题意是解题的关键． （1）先计算9的算术平方根，由结果为无理数则输出，若为有理数则把计算的结果作为新数输入再取算术平方根，直至结果为无理数输出即可； （2）运算无意义，则输入的数没有算术平方根，即输入的数为负数，据此可得答案； （3）第一次取算术平方根后输出的结果为时，则输入的数为的平方，第二次取算术平方根后输出的结果为，则输入的数为的平方的平方，据此可得所有可能输入的数，进而得到答案． 【详解】（1）解：是有理数， 是无理数， ∴当输入x的值为9时，输出； （2）解：输入x的值可能是，理由如下： ∵运算无意义，即输入的数没有算术平方根， ∴输入的数为负数， ∴输入x的值可能是； （3）解：当第一次取算术平方根后输出的结果为时，则输入的数为2， 当第二次取算术平方根后输出的结果为时，则第一次取算术平方根后的结果为2， ∴输入的数为， 同理可得当第三次取算术平方根后输出的结果为时，则输入的数为，……， ∴输入的数可以为2或4． 题型11 实数运算的实际应用 51．读了《曹冲称象》的故事后，亮亮深受启发，他利用排水法测出了正方体物块的体积（即物块的体积等于排出的水的体积）．如图，他将一个正方体物块悬挂后完全浸入盛满水的圆柱形小桶中（绳子的体积忽略不计），水溢出至一个量筒中，测得溢出的水的体积为．由此，可估计该正方体物块的棱长位于哪两个相邻的整数之间（     ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】B 【分析】本题考查无理数估算的实际应用，根据题意，得到正方体的棱长为，夹逼法求出范围即可． 【详解】解：由题意，得：正方体的棱长为， ∵， ∴； 故选：B． 52．如图1，把两个面积为1的小正方形沿着对角线剪开，将所得的四个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为2的大正方形，所得的面积为2的大正方形的边就是原先面积为1的小正方形的对角线，因此，可得小正方形的对角线长度为．某同学受此启发，把长为3、宽为2的两个长方形沿着对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼成如图2所示的大正方形，请你仿照上面的探究方法判断：__________（填“”或“”或“”）． 【答案】 【分析】根据大正方形面积空白部分面积个直角三角形的面积，通过计算得出的整数部分是3，即可解答求解． 【详解】解：大正方形面积为，空白部分面积为， 根据题意得：， 即， ∴（负值舍去）， ∵，即， ∴的整数部分是3， ∴， ∴． 53．如图，由内到外依次为正方形，若的面积为3，的面积为，则的边长可以是整数______．（写出一个答案即可） 【答案】2或3或4 【分析】理解题意得出的边长的取值范围是解题关键．根据题意得出的边长，即可求解． 【详解】解：∵的面积为3，的面积为， ∴的边长为，的边长为， ∴的边长， ∵的边长可以是整数， ∴的边长可以是整数，，． 54．【结论初探】小谢利用数形结合的方式探究的近似值，过程如下： ∵面积为的正方形的边长是，且， ∴可以设为以下两种形式： ①；②． 小谢展示了利用②探究近似值的过程． 通过数形结合，可画出正方形的面积示意图． ， 整理得， ∵， ∴较小，可忽略不计． ∴，， ∴． 【方法运用】 (1)请写出在哪两个连续整数之间： ； (2)类比上述方法，选择其中一种形式，画出示意图，探究的近似值． 【答案】(1)5；6 (2)方法一：如图， ， 整理得， ∵， ∴较小，可忽略不计， ∴，， ∴． 方法二：如图， ， 整理得， ∵， ∴较小，可忽略不计． ∴，， ∴． 【分析】（1）根据即可得出； （2）根据题干提供的方法，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即； （2）略 55．综合与实践 (1)【问题发现】：如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个大正方形，所得到的大正方形的边长为_____． (2)【知识迁移】：爱钻研的小思同学受到启发，尝试用两个同样大小的长方形拼出一个正方形．如图2，将两个长和宽分别为3和2的长方形沿对角线剪开，将所得到的4个直角三角形拼出了一个中间有一个镂空小正方形的大正方形，所得到的小正方形的边长为_____；大正方形的面积为_____；长方形的对角线长为_____． (3)【拓展延伸】：小明同学想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为．小思同学思考了一下说：“这可办不到哦！”小明反驳说：“用面积大的纸片，肯定能裁出面积小的纸片！”请通过计算说明他们谁说得对． 【答案】(1) (2)1；13； (3)小思说得对，小明说得不对；说明见解析 【分析】（1）根据大正方形的面积个小正方形的面积和，即可得解； （2）根据大正方形的面积个直角三角形的面积小正方形的面积即可解答； （3）设截出的长方形纸片的长为，宽为，则，计算、比较即可解答． 【详解】（1）解：由题意得：所得到的大正方形面积为，边长为；这个大正方形的边长就是原先边长为的小正方形的对角线长，因此可得小正方形的对角线长为； （2）解：由题意得：所得到的小正方形的边长为：； 大正方形的面积为：；长方形的对角线长为； （3）小思说得对，小明说得不对，理由如下： 设截出的长方形纸片的长为，宽为， 则， ∴（负值舍去）， ∴截出的长方形纸片的长为， ∵， ∴， 由于面积为的正方形纸片边长为， ∴ ∴不能用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为． 【易错警示】 实数运算实际应用中，常忽略生活实际限制，盲目保留正负全部解。近似取值时精确度把控不准，进位取舍错误。运算步骤粗心出错，不会结合题意检验结果，常出现答案不符合实际场景的问题。 题型12 求一个数的近似数 56．下列说法正确的是（    ） A．近似数精确到百分位 B．近似数万精确到千位 C．近似数与表示的意义相同 D．近似数精确到个位 【答案】B 【分析】本题考查了近似数的精确位数，解题的关键是明确近似数的最后一位数字所在的数位，以及带单位的数的精确位数判断方法． 逐一分析每个选项中近似数的精确位数，结合定义判断其说法是否正确． 【详解】解：A、近似数精确到千分位，此选项不符合题意； B、万，数字4在千位，故精确到千位，此选项符合题意； C、精确到十分位，精确到百分位，意义不同，此选项不符合题意； D、精确到十分位，此选项不符合题意． 故选：B． 57．下列说法正确的是（     ） A．近似数2.1和2.10精确度相同 B．0.0357精确到0.001为0.035 C．近似数，精确到百位 D．近似数2.7万精确到十分位 【答案】C 【分析】本题考查了近似数精确度的概念．近似数的精确度由最后一位有效数字所在数位决定．根据近似数的精确度概念，逐项判断每一项即可． 【详解】解：近似数2.1精确到十分位，2.10精确到百分位，故A错误； 0.0357精确到0.001（千分位），万分位，应进1，结果为0.036，故B错误； ，数字3在百位，精确到百位，故C正确； ，数字7在千位，精确到千位，故D错误， 故选：C． 58．魏晋时期刘徽在其撰写的《九章算术注》中提到“不加借算”开平方的方法：，其中取正整数且最小，则用该方法计算约为______．（结果保留一位小数） 【答案】 【分析】根据题干给出的近似公式，先确定满足条件的正整数a和剩余r，再代入公式计算，最后按要求保留一位小数即可得到结果． 【详解】解：由题意得，，需满足为正整数且最小． ，， 当时，，此时； 当时，，此时； ∵， 故取，， 代入近似公式得：， 将结果保留一位小数，得． 59．用四舍五入法，把31485926精确到万位，取得的近似数是__________ （用科学记数法表示）． 【答案】 【分析】本题考查了求近似数． 先确定数字的万位位置，对千位数字进行四舍五入，得到近似数，再转化为科学记数法形式． 【详解】解：数字31485926的万位是8，千位是5， ，向万位进1，万位8变为9，后面数位变为0， 得到31490000， 31490000用科学记数法表示为． 故答案为：． 60．用四舍五入法，把下列各数按括号内的要求取近似值． （1）0.2595（精确到千分位）；      （2）3.592（精确到0.01）； （3）20049（精确到百位）；         （4）2330万（精确到百万位）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）2330万． 【分析】由四舍五入取近似值时，由精确的那个数位起，如果后面一位上的数字大于等于5，则向前入一个，如果后面一位上的数字小于5，则马上舍去． 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）2330万． 【点睛】本题考查了近似数和有效数字，科学计算法，注意对一个数进行四舍五入时，若要求近似到个位以前的数位时，首先要对这个数用科学记数法表示． 【易错警示】 求近似数易混淆精确位数与有效数字，审题看错保留要求。取舍时常出现四舍五入失误，对大数、小数取近似值易错。忽略末尾0的意义，随意省略末尾零，导致精确度改变，解题未按要求规范取值。 题型13 求近似数的精确度 61．下列说法正确的是（     ） A．0.318精确到百分位 B．3.6万精确到个位 C．精确到十位 D．3000精确到千位 【答案】C 【分析】本题考查近似数精确位数的判断，只需确定最后一位有效数字在原数中的位置，得到对应精确位数后逐个判断选项即可． 【详解】解：近似数的精确位数由最后一位有效数字在原数中的位置决定，逐个判断选项： A.的最后一位在千分位，因此精确到千分位，原说法错误， B.万，在千位，因此精确到千位，原说法错误， C.，在十位，因此精确到十位，原说法正确， D.近似数的精确数位具有不确定性，故原说法错误． 62．下列说法：①整数和分数统称为有理数；②绝对值是它本身的数只有0；③两数之和一定大于每个加数；④0是最小的有理数；⑤数轴上表示互为相反数的点位于原点的两侧；⑥近似数与的精确度相同；⑦近似数精确到千位；其中正确的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题根据有理数的定义，绝对值性质，有理数加法法则，相反数定义，近似数精确度等初中相关概念，逐一判断各说法即可． 【详解】解：①根据有理数定义，整数和分数统称为有理数，故①正确； ②绝对值是它本身的数是所有正数和0，不只有0，故②错误； ③当两个数相加时，若存在负加数，和会小于正加数，如，故③错误； ④负数小于0，因此0不是最小的有理数，故④错误； ⑤0的相反数是0，对应点在原点，不在原点两侧，故⑤错误； ⑥精确到百分位，精确到千分位，精确度不同，故⑥错误； ⑦ ，其中3在千位，因此近似数精确到千位，故⑦正确； 综上，正确的说法共2个，故A正确． 63．近似数万精确到____________位． 【答案】百 【分析】先将以“万”为单位的近似数还原为原数，再看最后一个有效数字所在的数位，即可得到精确位数． 【详解】解：万，近似数万的末位有效数字，对应原数26000中的百位，因此近似数万精确到百位． 64．将数四舍五入取近似值，精确到个位为________． 【答案】2025 【分析】本题主要考查了近似数，掌握四舍五入法求近似数是解题的关键． 把十分位上的数字6进行四舍五入即可解答． 【详解】解：． 故答案为：2025． 65．用四舍五入法按括号内的要求对下列各数取近似数，结果用科学记数法表示． (1)（精确到万位） (2)（精确到千万位） (3)（精确到百位） 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： （精确到万位）； （2）解：（精确到千万位）； （3）解： （精确到百位）． 题型14 实数的规律运算问题 66．已知，，，，…… (1)填空： ， ； (2)按你发现的规律解决下列问题： ①已知，则 ； ②已知，，用含的代数式表示，则 ； (3)根据规律写出与的大小情况． 【答案】(1)，1000 (2)①；② (3)当时，；当或时，；当时， 【分析】本题考查了估算无理数的大小、数字类规律探索、算术平方根，正确发现规律是解题关键． （1）根据被开方数的小数点与算术平方根的小数点的移动规律即可求解； （2）①根据被开方数的小数点与算术平方根的小数点的移动规律即可求解； ②根据被开方数的小数点与算术平方根的小数点的移动规律得出的关系，据此求解即可得； （3）分三种情况：①；②或，③分别求解即可得． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴，， 故答案为：，1000． （2）解：①∵， ∴， 故答案为：． ②∵，， ∴， 故答案为：． （3）解：①当时， ∵， ∴； ②当或时， ∵， ∴； ③当时， ∵， ∴． 67．【发现】 ① ② ③ ④… （1）根据上述等式反映的规律，请再写出一个等式：______． 【归纳】等式①，②，③，④，所反映的规律，可归纳为一个真命题：对于任意两个有理数，，若，则，满足的数量关系为______； 【应用】根据上述所归纳的真命题，解决下列问题： （2）若与的值互为相反数，且，求的值． 【答案】（1）；； （2）． 【分析】本题考查了立方根的性质，互为相反数的性质等知识，解题的关键是明确题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据题目给出的规律解答； 归纳：根据，则，满足的数量关系为则； （2）根据题意列出方程，与已知方程联立解得a的值． 【详解】解：（1）， 故答案为：， 归纳：若，则，满足的数量关系为则； 故答案为：； （2）∵与的值互为相反数， ∴， ∴， 解得， 代入中， 解得，， ∴． 68．（1）填表 0.000001 0.0001 0.01 1 100 10000 0.001 　　 0.1 　　 　　 100 （2）利用如表中的规律，解决下列问题： ①已知，　　； ②已知，，则的值为　　． （3）当时，比较和的大小． 【答案】（1）0.01；1；10（2）①14.14；②3240000（3）当时，；当或时，；当时， 【分析】（1）利用算术平方根的意义解答即可； （2）利用表格中的规律解答即可； （3）利用分类讨论的方法解答即可． 【详解】解：（1），，； （2）①， ； ②， ，即 ，即， ， ； （3）当时，，从而； 当或时，； 当时，，从而． 【点睛】本题主要考查了算术平方根的意义，实数大小的比较，利用分类讨论的方法解答是解题的关键． 69．阅读下列材料：因为，即，所以的整数部分为，小数部分为． 请你观察上述的规律后试解下面的问题： (1)的整数部分是______ ，小数部分是______ ； (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的平方根； (3)已知，其中是整数，且，求的相反数． 【答案】(1)，； (2)的平方根是； (3)的相反数为 【分析】（1）根据解答即可； （2）根据得出，根据得出，再把的值代入计算即可； （3）根据得出，得出，求得，即可得答案． 【详解】（1）解：∵，即， ∴的整数部分是，小数部分是， 故答案为：，； （2）解：∵， ∴的小数部分， ∵， ∴的整数部分， ∴， ∴的平方根是； （3）解：∵， ∴， ∴的整数为， ∵， ∴， ∴的相反数为． 【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出各无理数的小数部分是解题的关键． 70．已知，，，，…，．定义：，，，…． (1)由上可知：___________，___________． (2)按此规律类推，试猜想的值，并证明你的猜想． 【答案】(1)； (2)；证明见解析 【分析】本题主要考查了实数的有关运算、数字变化的规律，能根据题意发现的变化规律是解题的关键． （1）分别求出，，根据定义即可求出，； （2）根据的规律猜想出的表达式，再利用裂项相消法证明该猜想． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：，． （2）猜想：． 证明如下： ． 题型15 无理数整数部分、小数部分问题综合 71．对于实数x，用表示不超过x的最大整数，如，，，． （1）________； （2）若，则满足条件的实数t的值是________． 【答案】 1 /0.75 【分析】首先估算出的取值范围，根据新定义即可求解；根据的定义列出不等式组，结合为整数的性质即可求出的值． 【详解】解: （1）， ， 不超过的最大整数为，即； （2）根据的定义，可得对于任意实数，满足 ， 将，代入，得 解得不等式组的解集为 ． 是整数， 是整数． 设，其中为整数，则， 代入不等式，得 ， 解得 ． 为整数， ， ． 72．已知的立方根是，是4的平方根． (1)求a，b的值； (2)若c是的整数部分，求的立方根． 【答案】(1)或 (2)2或0 【分析】（1）根据立方根、平方根即可求出a，b的值； （2）估算无理数的大小即可求c的值，将a，b，c的值代入求解即可． 【详解】（1）解：∵的立方根是， ∴， ∵是4的平方根， 或， 当时，解得， 当时，解得． 综上，或． （2）解：∵， ∴的整数部分是3， ， 当，时，，8的立方根是2； 当，时，，0的立方根是0； 综上，的立方根是2或0． 73．是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而，于是可以用来表示的小数部分． (1)的小数部分是____________ (2)已知，其中x是整数，且，求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了估算无理数的大小，能估算出，的范围是解此题的关键． （1）先估算出的范围，即可得出答案； （2）先估算出的范围，求出x、y的值，再代入求出即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的小数部分为：． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，其中x是整数，且， ∴，， ∴， ∴的平方根是． 74．已知表示不大于的最大整数，那么___________． 【答案】606 【分析】本题主要考查了无理数的估算，正确估算出各无理数的整数部分成为解题的关键． 先分别估算出各无理数的整数部分，然后再计算即可． 【详解】解：由题意可得：， ， ， ， ， ， ， ， ， 所以 ． 故答案为：． 75．根据下表回答下列问题： 17 18 (1)的算术平方根是 ，的平方根是 ； (2) ；（保留一位小数） (3) ， ； (4)若介于17．6与17．7之间，则满足条件的整数n有 个； (5)若这个数的整数部分为m，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)， (4) (5) 【分析】（1）可得，，由算术平方根和平方根的定义即可求解； （2）可得，由，，即可求解； （3）开二次方时，被开方数的小数点每向右或左移动两位时，结果小数点每向右或左移动一位；据此即可求解； （4）可得，从而可求，即可求解； （5）由可求，代值计算即可求解． 【详解】（1）解：由表格得 ， ， 的算术平方根是， ， 的平方根为， 故答案：，． （2）解：， ，， ， 故答案：． （3）解：开二次方时，被开方数的小数点每向右或左移动两位时，结果小数点每向右或左移动一位；， ， ， ； 故答案：，． （4）解：介于17．6与17．7之间， ， ， 可取、、、， 整数n有个， 故答案：． （5）解：，， 的整数部分是， ， ． 【点睛】本题考查了平方根和算术平方根的定义，逐步逼近法，无理数的估算，理解定义，掌握解法是解题的关键． 题型16 实数的新定义问题 76．由无理数的定义可知无理数与有理数不可能相等，若m，n为有理数，为无理数，且，则，． (1)如果，其中a，b为有理数，求的平方根； (2)如果，其中a，b为有理数且是p的平方根，求p的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知可得，，从而可得，，然后代入式子中进行计算即可解答； （2）根据已知易得，从而可得，进而可得，然后利用平方根的意义，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：，其中，为有理数， ，， ，， ， 的平方根是； （2）， ， ， ，为有理数， ， 解得：， ，为有理数且是的平方根， ， 的值为． 【点睛】本题考查了实数的运算，平方根，解二元一次方程组，准确熟练地进行计算是解题的关键． 77．任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数，（其中为满足不等式的最大整数，为满足不等式的最小整数），则称无理数的“麓外区间”为，如，所以的麓外区间为． (1)无理数的“麓外区间”是 ； (2)若，求的“麓外区间”； (3)实数满足，求的算术平方根的“麓外区间”． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查无理数的估算，被开方数的非负性．熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． （1）夹逼法求出的取值范围，即可得出结果； （2）根据被开方数非负的条件，得到，进一步求出的取值范围即可； （3）根据算术平方根的非负性，得到，，求出的值，进而求出的“麓外区间”即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即：无理数的“麓外区间”是； 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的“麓外区间”为； （3）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 联立：， 解得：， ∴的算术平方根为， ∵， ∴； ∴的算术平方根的“麓外区间”为． 78．任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义：若无理数T：m＜T＜n（其中m为满足不等式的最大整数，n为满足不等式的最小整数），则称无理数T的“雅区间”为（m，n）．例如：1＜＜2，所以的“雅区间”为（1，2）． （1）无理数的“雅区间”是________； （2）若某一无理数的“雅区间”为（m，n），且满足0＜＜12，其中是关于x，y的二元一次方程mx﹣ny＝c的一组正整数解，则c的值为________． 【答案】 （－3，－2） 1或37 【分析】（1）根据“雅区间”的定义，确定在哪两个相邻整数之间，即可得出“雅区间”；（2）根据“雅区间”的定义和二元一次方程正整数解这两个条件，找到符合的情况即可求出c的值． 【详解】（1）∵-3＜＜-2， ∴的“雅区间”是（－3，－2）， 故答案为：（－3，－2）． （2）∵（m，n）是“雅区间”， ∴m和n是相邻的两个整数， 又∵0＜＜12，其中是关于x，y的二元一次方程mx﹣ny＝c的一组正整数解， ∴符合条件的m和n有①m=3，n=4；②m=8，n=9； 当m=3，n=4时，将x=3，y=2代入mx﹣ny＝c得，c=3×3-4×2=1； 当m=8，n=9时，将x=8，y=3代入mx﹣ny＝c得，c=8×8-9×3=37； ∴c的值为1或37， 故答案为：1或37． 【点睛】本题考查新定义、估算无理数的大小及二元一次方程的解等知识，根据新定义结合相关知识正确分析题意是解题关键． 79．新定义：若无理数的被开方数(T为正整数)满足 (其中n为正整数)，则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为．例如：因为，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为，请回答下列问题： (1)的“青一区间”为 ；的“青一区间”为 ； (2)若无理数(a为正整数)的“青一区间”为，的“青一区间”为，求的值． (3)实数x，y，满足关系式：，求的“青一区间”． 【答案】(1)， (2)2或 (3) 【分析】（1）根据“青一区间”的定义和确定方法，进行求解即可； （2）根据“青一区间”的定义求出的值，再根据立方根的定义，进行求解即可； （3）利用非负性求出的值，再进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的“青一区间”为； ∵， ∴的“青一区间”为； 故答案为：，； （2）∵无理数“青一区间”为， ∴， ∴，即， ∵无理数的“青一区间”为， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵为正整数， ∴或， 当时，， 当时，， ∴的值为2或． （3）∵ ∴， 即， ∴，， ∴， ∵， ∴的“青一区间”为． 【点睛】本题考查无理数的估算，非负性，求一个数的立方根．理解并掌握“青一区间”的定义和确定方法，是解题的关键． 80．任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数：，（其中为满足不等式的最大整数，为满足不等式的最小整数），则称无理数的“麓外区间”为，如，所以的麓外区间为． (1)无理数的“麓外区间”是_________； (2)若其中一个无理数的“麓外区间”为且满足，其中是关于x，y的二元一次方程的一组正整数解，求值． (3)实数x，y，m满足关系式：，求的算术平方根的“麓外区间”． 【答案】(1) (2)1或37 (3) 【分析】（1）只需要估算出的取值范围即可得到答案； （2）由是关于x，y的二元一次方程的一组正整数解，得到是一个完全平方数，，再由，可得满足题意的m、n的值为：或，由此代入方程中进行求解即可； （3）先根据，，得出，进而得出，，两式相减可得，再根据“麓外区间”的定义即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴无理数的“麓外区间”是， 故答案为： （2）解：由题意得，m、n是两个相邻的正整数， ∵是关于x，y的二元一次方程的一组正整数解， ∴是一个完全平方数，， ∵， ∴满足题意的m、n的值为：或， 当时，则， ∴， ∴； 当时，则， ∴， ∴， 综上所述，C的值为1或37； （3）解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴，， 两式相减，得， ∴， ∴的算术平方根为， ∵， ∴， ∴的算术平方根的“麓外区间”是． 【点睛】本题主要考查了算术平方根、无理数的估算，非负数的性质，解二元一次方程组，题目较为新颖，解题的关键是理解题目中“麓外区间”的定义． 1．在实数，0，，中，最小的实数是（     ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，，， ∴， ∴ ， ∴， ∴最小的实数是． 2．已知，以下对p的值估算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先化简，再估算无理数的取值范围，即可推得的范围，得到正确结果． 【详解】解：，且 ， ，即， 不等式三边同时加，得，即． 3．无理数像一首读不完的长诗，既不循环，也不枯竭，无穷无尽，数学家称其是一种特殊的数．若某长方形的长为，宽为2，则这个长方形面积的值在（　　） A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间 【答案】C 【分析】先根据长方形面积公式求出面积，再估算面积的取值范围即可. 【详解】解：长方形面积， ∵， ∴ 即这个长方形面积的值在与之间. 4．整数a满足，则a的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先估算和的整数范围，再根据不等式性质得到和的范围，最后找出区间内的整数即可得到结果. 【详解】解：∵ ，， ∴ ，， 即 ，， 不等式两边同乘，不等号方向改变，可得 ，， ∵ ， ∴ ， 又∵是整数， ∴， 5．自2025年11月1日泰州队斩获苏超冠军以来，李中水上森林景区累计接待游客超万人次．该近似数万精确到（   ）位． A．十 B．百 C．千 D．万 【答案】C 【分析】判断带单位的近似数的精确位数，需先将数还原为原数，再确定末位有效数字所在的数位． 【详解】解：∵万 ∴原数中末位数字9位于千位 ∴万精确到千位． 6．下列近似数的结论不正确的是（    ） A．（精确到十分位） B．万精确到百分位 C．（精确到百分位） D．（精确到千分位） 【答案】B 【分析】本题考查近似数的精确度概念，根据精确度定义逐一判断选项即可，带计数单位的近似数需要还原后判断精确度． 【详解】解：A、的末位是十分位，即精确到十分位，结论正确，不符合题意； B、万，末位数字6在百位，因此万精确到百位，不是百分位，结论错误，符合题意； C、的末位数字在百分位，因此精确到百分位，结论正确，不符合题意； D、的末位数字在千分位，因此精确到千分位，结论正确，不符合题意． 7．如图，数轴上表示1，的对应点分别为A，B，，则点C所表示的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用点A表示的数减去的长即可得到答案． 【详解】解：∵数轴上表示1，的对应点分别为A，B，， ∴， ∴点C表示的数为． 8．在如图所示的运算程序中，输入x的值是64时，输出的y值是（     ） A． B． C．2 D．8 【答案】B 【分析】根据算术平方根，立方根，无理数等内容，按照程序框图求解即可． 【详解】解：输入x的值是64时，取算术平方根可得，， 是有理数，则取立方根，可得， 是有理数，则取算术平方根，可得， 为无理数，则输出， 即． 9．若a，b均为正整数，且，，则的最小值是（   ） A．4 B．2 C．5 D．3 【答案】A 【分析】先估算和的取值范围，确定符合条件的正整数的最小值与的取值，再计算的最小值． 【详解】解：∵，，且， ∴， 又∵为正整数且， ∴的最小值为3， ∵，，且， ∴， 又∵为正整数且， ∴， ∴的最小值为． 10．对于实数P，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：，．现在对72进行如下操作：，即对72只需进行3次操作后变为2．类似的，要想让2025变为2，需进行的操作次数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了估算无理数的大小，实数的运算，理解已知条件的规定：用表示不小于的最小整数，是解题的关键．仿照题目已知的例题即可解答． 【详解】解：由题意得： 2025， ∴对2025只需进行4次操作后变为2； 故选：B． 11．比较大小：2________．（填“>”、“<”或“=”） 【答案】> 【分析】本题可利用无理数的大小估算，根据，从而比较实数的大小． 【详解】解：∵，， ∴． 12．已知，则整数n的值可以是________（填一个值即可）． 【答案】5（答案不唯一） 【分析】先求得的取值范围，再根据为整数，选取一个符合条件的值即可． 【详解】解：， ，即， 为整数， 可取中任意一个． 13．按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值是64，则输出的y的值是______． 【答案】 【分析】根据题中所给的运算程序，依次计算立方根和算术平方根，并判断结果是否为无理数，直到满足输出条件为止． 【详解】解：由题可得：的立方根为，是有理数，继续运算； 的算术平方根为，是有理数，返回取立方根； 的立方根为，是无理数，输出； 则输出的的值为． 14．如图，面积为7的正方形的顶点A在数轴上，且点A表示的数为1，以A为圆心，长为半径画弧，交于A右侧数轴于点E，则点E所表示的数为___________． 【答案】/ 【分析】根据题意得出，结合数轴即可求解． 【详解】解：正方形的面积为， 正方形的边长为， 则由题意可知， 点表示的数为， 点所表示的数为． 15．已知，将它精确到得，____． 【答案】 【分析】根据近似数精确到的要求，观察百分位上的数字，利用四舍五入法取近似值即可． 【详解】解：根据题意，得． 16．对于圆周率3.1415926……，请你用四舍五入法精确到0.001，则3.1415926……的近似值是______． 【答案】3.142 【分析】根据近似数的四舍五入法则，精确到0.001需观察万分位数字进行取舍． 【详解】解：精确到0.001即保留三位小数，观察3.1415926…的万分位数字为5， 根据四舍五入法则，向千分位进1，千分位上的1加1后变为2， 因此该数的近似值为3.142． 17．如图，正方形的面积为，顶点在数轴上表示的数为，若点在数轴上（点在点的右侧），且，则点所表示的数为________． 【答案】/ 【分析】先求出与的值，再求出点所表示的数． 【详解】解：∵正方形的面积为， ∴，即， ∵， ∴， ∵点表示的数为1， 又∵点在点的右侧， ∴点表示的数为． 18．已知实数互为相反数，互为倒数，是的整数部分，是的小数部分，求代数式 ______． 【答案】/ 【分析】根据相反数，倒数的定义，以及无理数的估算得到各未知量的值，再代入代数式计算即可求解． 【详解】解：∵实数、互为相反数， ∴， ∵、互为倒数， ∴， ∵， ∴的整数部分为，即， ∵， ∴的小数部分为，即， ∴ ． 19．因为，即，所以的整数部分为1，小数部分为．类比以上推理，的小数部分为______． 【答案】/ 【分析】本题考查无理数的估算，通过比较立方数确定整数部分，再求小数部分． 【详解】解：， ， ， 的整数部分为4， 的小数部分为， 故答案为：． 20．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，，，记，那么其面积．如果某个三角形的三边长分别为5，6，7，其面积介于整数和之间，那么的值是______． 【答案】15 【分析】本题考查了算术平方根的定义，无理数的估算，先计算三角形的面积为，再估算出，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题意得：， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∵介于整数和之间， ∴， 故答案为：． 21．把下列各数填在相应的横线上 ，，，，，，，， 有理数：__________________________________________________ 无理数：__________________________________________________ 【答案】，，；，，，， 【分析】本题考查了有理数和无理数的概念，解题的关键是熟知：有理数是整数（正整数、、负整数）和分数的统称；无理数，也称为无限不循环小数．判断一个数是有理数还是无理数，关键看它能否化为有限小数或无限循环小数，能则为有理数，不能则为无理数． 【详解】解：是整数，是分数，是分数，均属于有理数， ，，，，均属于无理数， 即有理数：，，； 无理数：，，，，， 故答案为：，，；，，，，． 22．用四舍五入法对下列各数取近似数： (1)（精确到）； (2)（精确到个位）； (3)（精确到百分位）； (4)（精确到）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查近似数的求法，掌握最后一位所在的位置就是精确度，注意保留数位上的0不能去掉． （1）精确到，即保留小数点后面第一位，看小数点后面第二位，利用“四舍五入”法解答即可； （2）精确到个位，就看小数点后面第一位，利用“四舍五入”法解答即可； （3）精确到百分位，即保留小数点后面第二位，看小数点后面第三位，利用“四舍五入”法解答即可； （4）精确到，就看千分位，利用“四舍五入”法解答即可． 【详解】（1）解：（精确到）； （2）解：（精确到个位）； （3）解：（精确到百分位）； （4）解：（精确到）． 23．下列各数都是由四舍五入法得到的近似数，它们分别精确到哪一位？各有几个有效数字？ (1)小红的体重为千克； (2)小明的妈妈的年薪约为5万元； (3)月球轨道呈椭圆形，远地点平均距离为千米． 【答案】(1)精确到十分位，有3个有效数字； (2)精确到万位，有1个有效数字； (3)精确到百位，有4个有效数字 【分析】本题考查了近似数的精确度和有效数字的概念． （1）、（2）、（3）近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位；有效数字，即从数字的左边第一个不是0的数字起，所有的数字都是有效数字．据此求解即可． 【详解】（1）解：近似数，数字0所在是位是十分位，则精确到十分位，有3个有效数字； （2）解：近似数5万，数字5所在的位是万，则精确到万位，有1个有效数字； （3）解：近似数，右边的数字5所在的位是百位，则精确到百位，有4个有效数字． 24．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的运算，熟知实数的运算法则是解题的关键． 先计算立方根和算术平方根，乘方和绝对值，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】解原式 ． 25．根据如表回答下列问题： (1)的算术平方根是 ，的平方根是 ； (2) ． ， (3)若介于17.6与17.7之间，则满足条件的整数n为 【答案】(1)，； (2)， (3)或或或 【分析】本题考查平方根、算术平方根，无理数的估算，理解平方根、算术平方根的定义是正确解答的关键． （1）根据表格中与的对应值以及平方根、算术平方根的定义即可得出答案； （2）由被开方数的扩大100倍、10000倍其算术平方根就扩大10倍，100倍进行计算即可； （3）由算术平方根的定义以及表格中的与的对应值得出，再得出整数的值即可． 【详解】（1）解：由表格中x与的对应值可得，的算术平方根是，的平方根是， 故答案为：，； （2）由表格中x与的对应值可得，，， ∴， ， 故答案为：，； （3）由表格中与的对应值可得，，， 而介于与之间， ， 又为整数， 整数的值为或或或， 故答案为：或或或； 26．如图1是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为64． (1)求出这个魔方的棱长； (2)图1中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的面积和边长； (3)把正方形放到数轴上，如图2，使点A与重合，请直接写出点D在数轴上所表示的数． 【答案】(1)这个魔方的棱长为4 (2)阴影部分的边长为，阴影部分的面积为8 (3)点D在数轴上所表示的数为 【分析】本题主要考查实数与数轴、立方根的综合应用，解决此题的关键是能求出每个小正方形的边长． （1）根据立方体的体积公式，直接求棱长即可； （2）根据棱长，求出每个小正方体的棱长，进而可得小正方形的对角线的长，即阴影部分图形的边长，即可得解； （3）用点A表示的数减去边长即可得解． 【详解】（1）解：． 答：这个魔方的棱长为4； （2）解：∵魔方的棱长为4， ∴每个小立方体的棱长为2， 阴影部分面积为：； 则阴影部分的边长为． （3）解：由（2）得， 则D在数轴上表示的数为． 27．同学们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来.因为，所以的整数部分是1，于是可用来表示的小数部分，请解答下列问题： (1)的整数部分是________，小数部分是________. (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值. 【答案】(1)数部分是2，小数部分是 (2) 【分析】本题考查了估算无理数的大小，正确估算无理数的取值范围是解题的关键． （1）根据题目中的解法可得到取值范围，进而得到结果； （2）根据题意得到小数部分以及整数部分，计算即可得到结果． 【详解】（1）解：， ， 的整数部分是2，小数部分是：； （2）解：， ， 的小数部分为：， ， ， 的整数部分为：， ． 28．【阅读理解】阅读下面的文字，解答问题． 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但是由于，所以的整数部分为2，将减去其整数部分2，差就是小数部分为． 【问题解决】 请解答： (1)的整数部分是__________，小数部分是__________； (2)已知：小数部分是m，小数部分是n，且，请求出满足条件的x的值． 【答案】(1)3； (2)0或2 【分析】本题主要考查无理数的估算，掌握算术平方根的定义是关键． （1）根据即可求解； （2）根据，得出，，求出，，得出，然后根据，开平方得出答案即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∴的整数部分是3，小数部分是； （2）解：∵， ∴，， ∵小数部分是m，小数部分是n， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴， 解得：或． 29．小李同学探索的近似值的过程如下： 面积为137的正方形的边长是，且， 设，其中，画出示意图，如图所示． 根据示意图，可得图中正方形的面积． 又，． 当时，可忽略，得，得到， ． (1)直接写出下列各数的整数部分的值：①；②； (2)仿照上述方法，探究的近似值（画出示意图，标明数据，并写出求解过程，精确到）； (3)结合上述具体实例，已知非负整数，，，若，且，直接写出的近似值（用含有，的式子表示）． 【答案】(1)①2；②9 (2)，图见解析 (3) 【分析】本题考查了无理数的估算： （1）先判断及，进而可求解； （2）设，其中，画出示意图，可得，当时，可忽略，得，可求得，进而可求解； （3）如图：设，正方形的面积为：，而，当较小时，省略，得，进而可求解； 关键在于理解题意并作出分析． 【详解】（1）解：①， ， 整数部分的值为2； ②， ， 整数部分的值为9． （2）面积为66的正方形的边长是，且， 设，其中，画出示意图，如图所示． 根据示意图，可得图中正方形的面积． 又， ． 当时，可忽略，得，得到， ． （3）如图：设， 正方形的面积为：，而， 当较小时，省略，得， ， ． 30．任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数T：，（其中m为满足不等式的最大整数，n为满足不等式的最小整数），则称无理数T的“麓外区间”为， 如，所以的麓外区间为． (1)无理数的“麓外区间”是______； (2)实数x，y，m满足关系式： ，求m的算术平方根的“麓外区间”． (3)若某一个无理数T的“麓外区间”为，其中是关于x，y的二元一次方程的一组正整数解，请求出m、n的值，并写出一个符合题意的无理数T． 【答案】(1) (2) (3)，（答案不唯一） 【分析】本题考查无理数的估算，解三元一次方程组以及二元一次方程组的应用．熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． （1）夹逼法求出的取值范围，即可得出结果； （2）结合算术平方根的非负性得到求出m的值，进而求出求m的算术平方根的“麓外区间”即可． （3）根据二元一次方程组的解代入方程，组成新的二元一次方程组，从而求得m，n的值，然后根据“麓外区间”定义写出一个符合题意的无理数即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的“麓外区间”是， 故答案为：． （2） ∴， 联立得： ∴， ∵， ∴， ∴m的算术平方根的“麓外区间”是 （3）∵是关于 x，y的二元一次方程的一组正整数解， ∴ 又由题意，有， ∴，解得 ∴符合题意的无理数T为（答案不唯一） 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 实数与近似值 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 无理数 题型2 无理数的大小估算 题型3 无理数整数部分的有关计算 题型4 实数概念理解 题型5 实数的分类 题型6 实数的性质 题型7 实数与数轴结合 题型8 实数的大小比较 题型9 实数的混合运算 题型10 程序设计与实数运算 题型11 实数运算的实际应用 题型12 求一个数的近似数 题型13 求近似数的精确度 题型14 实数的规律运算问题 题型15 无理数整数部分、小数部分问题综合 题型16 实数的新定义问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 无理数 实数 近似值 1.了解实数的概念与分类，掌握近似数、准确数的定义与基本区别。 2.理解精确度的含义，掌握精确到数位、保留有效数字的要求。 3.能根据要求对实数取近似值，规范完成实数近似运算求值。 4.通过实数近似取值，培养估数意识与严谨的数学推理思维。 5.结合生活实例运用近似值，提升数学应用与数据处理能力。 学习重点：掌握近似数的精确度与有效数字，能按要求正确求取实数近似值。 学习难点：准确区分精确度与有效数字，处理大数、小数近似取值的易错问题。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 无理数 1.无理数：无线不循环小数叫做无理数. 无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数，只有无限不循环小数才是无理数. 2.常见的无理数三种形式 （1）开方开不尽的数的方根，如等； （2）及化简后含的数，如，等； （3）看似循环实质不循环的数，如（两个1之间一次多一个0）. 3.任何一个有理数都能写成分数的形式（整数可以看成分母是1的分数），无理数不能写成分数的形式. 4.任何一个有理数都可以写成有限小数（把整数看成小数点后是0的小数）或无限循环小数的形式，无理数是无限不循环小数. 即时即练 1．实数、、、3.1415、，则无理数的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．估计的值在（     ） A．0到1之间 B．1到2之间 C．2到3之间 D．3到4之间 3．已知为整数，且，则等于______． 知识点02 实数及其分类 1.有理数和无理数统称为实数. 2.实数的分类 （1）按定义分类： （2）按性质分类： PS：0既不是正实数，也不是负实数. 即时即练 4．下列六个数：，，，，0，，其中无理数的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 5．把下列各数填入相应的大括号内： 有理数集合：______；无理数集合：______； 正实数集合：______；负实数集合：______． 6．把下列各数填入相应的集合内：，，，，，，． 有理数集合：{                    } 无理数集合：{                    } 整数集合：{                    } 分数集合：{                    } 知识点03 实数与数轴上点的关系 1.实数与数轴上点的关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反之，数轴上的每一个点都表示一个实数，实数与数轴上的点一一对应. 2.画表示无理数的点：要想在数轴上画出表示无理数的点，需先得到长度为无理数的绝对值的线段，一般地，依据勾股定理，通过构造直角三角形来得到长度为无理数的绝对值的线段，以原点为圆心，以上述线段长为半径画弧，弧与数轴的交点，便是表示无理数的点. 正无理数以原点为圆心，向数轴正方向画弧，负无理数以原点为圆心，向数轴负方向画弧. 即时即练 7．如图，数轴上的点A表示的无理数可能是（） A． B． C． D． 8．如图，数轴上的点分别表示数，则表示数的点应落在（    ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 9．如图，面积为3的正方形的顶点A在数轴上，且表示的数为，若，则数轴上点E所表示的数为_______ 有理数集合 无理数集合 知识点04 比较实数的大小 有理数的大小比较方法在实数范围内仍然适用. 1.在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大. 2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数比较，绝对值大的反而小. 3.比较两个实数大小的常用方法： （1）比较被开方数：如果两个数的根指数相同，我们可以通过比较被开方数的大小来比较两个实数的大小； （2）数轴比较法：根据在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数，结合图形比较，这个方法适用于多个实数比较大小； （3）法则比较法：根据“正数大于0，负数小于0，正数大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小”进行比较； （4）作差比较法：当时，；当时，；当时，. （5）作商比较法：a、b为正数，若，则；若，则；若，则 （6）倒数比较法：a、b为正数，若，则； （7）平方比较法：a、b为正数，若，则. 即时即练 10．比较大小：________（填“”“”“”）． 11．比较大小： __________填“”“”或“” 12．如图所示，已知． (1)说出数轴上点A所表示的数为______； (2)比较点A所表示的数与的大小：______； (3)在数轴上找出对应的点．（保留作图痕迹） 知识点05 近似值 近似数 1.近似数：接近准确数而不等于准确数的数叫做这个数的近似数，也叫做近似值. 2.准确数：与实际完全符合的数值称为准确数. 3.常见的近似数 （1）用测量工具测出的一般都是近似数，如长度、质量、时间等； （2）“计算”产生的近似数，如有圆周率π参与计算的结果； （3）不容易得到或不能得到准确数时，只能用近似数表示，如人口普查等； （4）表示某一时间段的数据为近似值，如小明今年14岁，在这1年中他都是14岁. 近似数的精确度 一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个近似数的精确度. 1.一个近似数末尾的0不能省略，如0.10中末尾的0不能省略，因为它表示的是这个数的精确度； 2.带单位的数以及用科学记数法表示的数，求精确度时要先把数还原，再判断数的精确度，如10万＝10000，则10万精确到万位. 3.其他近似数的取法 （1）去尾法：把某一个数保留到某一指定的数位为止，后面的数全部舍去，如将一根100米长的木棒截成每段6米做零件，最多可以做几个？，虽然十分位上的数字大于4，但不够做一个零件，所以只能取近似数16； （2）进一法：把某一个数保留到某一指定的数位时，只要后面的数不是0，都要在保留的最后一位数上加1，如某校八年级共有200名学生，想租用45座大巴车秋游，应租用多少辆？，这里就要用进一法来确定租车的辆数，共需5辆. 即时即练 13．由四舍五入法得到的近似数精确到（   ） A．百分位 B．个位 C．十位 D．百位 14．宝应县总面积为1461.53平方公里，用四舍五入法取近似数精确到个位_______． 15．用四舍五入方法，按下列要求对 分别取近似值： (1)精确到千万位； (2)精确到亿位； (3)精确到百亿位． 题型1 无理数 1．下列数是负无理数的是（     ） A． B． C． D． 2．下列关于的说法错误的是（     ） A．的绝对值是 B．的相反数是 C．的倒数是 D．是有理数 3．在（每相邻两个3之间7的个数逐次加1）中，负无理数的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．在，，，，，中，无理数有________个． 5．写出一个比大且比小的无理数_____． 题型2 无理数的大小估算 6．估计的值在（     ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 7．已知，则整数的值为（     ） A． B． C． D． 8．若将，，这三个数表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹（阴影）覆盖的数是________． 9．分别写出所有符合下列各条件的数． (1)和之间的整数． (2)小于的正整数． (3)满足的x的整数值． (4)大于2且小于3的一个无理数． 10．写出所有符合下列条件的数： (1)小于的所有正整数； (2)大于且小于的所有整数； (3)绝对值小于的所有整数． 【易错警示】 无理数大小估算时，易出现夹值范围不准确、估值偏差过大的问题。比较大小时常误用平方、立方变形，忽略变形不等号方向不变。易凭直觉判断大小，未精准找邻近整数，且忽略负数无理数的大小比较规律。 题型3 无理数整数部分的有关计算 11．已知的算术平方根是3，y是的整数部分，则的值为（     ） A．11 B．9 C．7 D．5 12．如图是我国古代所用的指南针，古人称它为司南．当它静止的时候，勺柄就会指向南方，已知司南的长度与最大宽度的比值为．则的整数部分为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 13．若其中m是正整数，则m的值是_____． 14．阅读材料：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为．规定：数的整数部分记为，小数部分记为．则的值是____________． 15．阅读下列材料： ∵ ，即：； ∴ 的整数部分为1，小数部分为． 请根据材料提示，进行解答： (1)的整数部分是________，小数部分是_________； (2)若，其中：a是整数，．求的值． 题型4 实数概念理解 16．的相反数是（   ） A． B． C． D．5 17．下列命题不是真命题的是（   ） A．是的平方根 B．的平方根是 C．是个负实数 D．已知是实数，则 18．下列说法正确的有________． ①实数不是有理数就是无理数；②是有理数；③不带根号的数都是有理数；④是有理数；⑤数轴上任一点都对应一个有理数；⑥的相反数是． 19．下列说法：①实数分为整数和分数；②无限不循环小数叫作无理数；③一个有理数的绝对值一定是正数；④倒数等于它本身的数是；⑤带根号的数都是无理数．其中正确的是________（填序号）． 20．下列说法：①无理数就是开方开不尽的数；②满足﹣＜x＜的x的整数有4个；③﹣3是的一个平方根；④不带根号的数都是有理数；⑤不是有限小数的不是有理数；⑥对于任意实数a，都有＝a．其中正确的序号是_____． 题型5 实数的分类 21．已知下列实数：①0，②，③，④，⑤，⑥，其中整数有：_________，分数有：_________，无理数有：_________．（只需填写序号） 22．以下各数0，，，，，，，，，0.1010010001…（相邻两个1之间依次增加1个零）．有理数的个数是 _____． 23．在下列数中：①π，②，③，④1.7，⑤，⑥0，⑦1.1010010001…（每两个1之间依次多一个0），⑧．非负整数有 ___________；无理数有 ___________．（填写序号） 24．把下列各数填入相应的横线内： ，0，，，，，，80%，，0.7373373337…（两个“7”之间依次多一个“3”），． 无理数：{ ___________…}； 整数：{ ___________…}； 分数：{ ___________…}； 实数：{ ___________…}． 25．将下列各数填入相应的集合内．（用序号填空） ①，②，③，④0，⑤    ⑥，⑦，⑧0.13030030003…（相邻的两个3之间依次多1个0），⑨3.14． （1）整数集合：{____________…}； （2）分数集合：{____________…}； （3）无理数集合：{____________…}． 【易错警示】 实数分类易混淆有理数与无理数定义，误认为带根号的数都是无理数。有限小数、无限循环小数属于有理数，无限不循环小数才是无理数。常遗漏零的分类归属，混淆正负实数界限，分类时不化简直接判断导致出错。 题型6 实数的性质 26．若实数a，b同时满足，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 27．在实数范围内，下列判断正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 28．如图，已知实数在数轴上的对应点，化简：的结果是 ___________． 29．若都是实数，且满足的关系为：，则的平方根是_________． 30．已知命题：如果与互为相反数，那么与互为相反数． (1)请写出上述命题的题设和结论，并判断是真命题还是假命题； (2)若与互为相反数，求的值． 题型7 实数与数轴结合 31．如图，一个面积为17的正方形，点落在数轴上对应实数2，将正方形绕点顺时针旋转，点落在轴上的点处，点对应的实数在哪两个整数之间（     ） A．4至5 B．5至6 C．6至7 D．7至8 32．如图，数轴上A，B两点表示的数分别是和，A是线段的中点，则点C所表示的实数为（     ） A． B． C． D． 33．如图1，将两个的长方形分别沿对角线剪开，得到四个直角三角形，它们与一个边长为的正方形可拼成一个大正方形，将一个的长方形如图2放置，则点表示的数是______． 34．阅读材料：在引入无理数时，如图1，是把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为2的大正方形，设大正方形的边长为，则，从而求出，就得到了大正方形的边长为，借助此过程就可以将在数轴上表示出来．阅读后解答下列问题： (1)上述材料中蕴含的数学思想是______思想；（填序号） ①数形结合    ②分类讨论    ③转化与化归 (2)类比阅读材料完成下列问题： ①某同学受到启发，把长为2，宽为1的两个长方形沿着对角线（设为）剪开，将所得的4个直角三角形拼成如图2所示的一个大正方形，求内部正方形的边长（即的值）； ②在数轴上画出表示的点．（不写作法，保留作图痕迹） 35．已知实数a，b满足：． (1)求a，b的值； (2)求的平方根，并在图所示的数轴上标出平方根的大概位置．（标出后在对应位置旁写出你求的平方根） . 【易错警示】 实数与数轴结合题型中，易忽略实数与数轴点一一对应的关系。估算无理数对应数轴点位置易出错，比较数轴上实数大小方向混淆。平移、距离计算时常忽略正负号，未结合数轴数形结合分析，导致解题失误。 题型8 实数的大小比较 36．已知是的负平方根，，，则，，中最大的实数与最小的实数的差是（     ） A． B．2 C．6 D．8 37．，，之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 38．比较大小：___________；___________；___________．（填“”“”或“”） 39．比较大小：_______；________4；______（填“＞”或“＜”） 40．阅读材料： 小明对不等式的有关知识进行了自主学习，他发现，对于任意两个实数a和b比较大小，有如下规律：若，则；若，则；若，则．上面的规律，反过来也成立．课上，通过与老师和其他同学的交流，验证了上面的规律是正确的． 参考小明发现的规律，解决问题： (1)比较大小：________；（填“<”、“=”或“>”） (2)已知，且，若，，试比较A和B的大小． 题型9 实数的混合运算 41．计算： 42．计算： 43．计算： (1) (2) 44．计算： 45．计算： (1)； (2)． 题型10 程序设计与实数运算 46．如图是一个数值转换器的原理图，当输入的值为81时，输出的值是（     ） A．2 B．3 C． D． 47．在如图所示的运算程序中，若输入的值是729，则输出的值是（   ） A． B． C． D． 48．根据如图所示的计算程序，若开始输入x的值为，则输出的结果为（   ） A． B． C．1 D．3 49．小明设计了一个如图所示的电脑运算程序： （1）当输入的值是64时，输出的值是________． （2）分析发现，当非负数取________时，该程序无法输出值． 50．如图，这是一个数值转换器． (1)当输入x的值为9时，输出______． (2)小明输入了下面的三个备选数据中的某一个，转换器在运算时显示“运算无意义”．请你判断输入x的值可能是哪一个数据？并说明理由．备选数据：4，，． (3)小明输入了某个x的值后得到了，请你写出2个不同的x值． 题型11 实数运算的实际应用 51．读了《曹冲称象》的故事后，亮亮深受启发，他利用排水法测出了正方体物块的体积（即物块的体积等于排出的水的体积）．如图，他将一个正方体物块悬挂后完全浸入盛满水的圆柱形小桶中（绳子的体积忽略不计），水溢出至一个量筒中，测得溢出的水的体积为．由此，可估计该正方体物块的棱长位于哪两个相邻的整数之间（     ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 52．如图1，把两个面积为1的小正方形沿着对角线剪开，将所得的四个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为2的大正方形，所得的面积为2的大正方形的边就是原先面积为1的小正方形的对角线，因此，可得小正方形的对角线长度为．某同学受此启发，把长为3、宽为2的两个长方形沿着对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼成如图2所示的大正方形，请你仿照上面的探究方法判断：__________（填“”或“”或“”）． 53．如图，由内到外依次为正方形，若的面积为3，的面积为，则的边长可以是整数______．（写出一个答案即可） 54．【结论初探】小谢利用数形结合的方式探究的近似值，过程如下： ∵面积为的正方形的边长是，且， ∴可以设为以下两种形式： ①；②． 小谢展示了利用②探究近似值的过程． 通过数形结合，可画出正方形的面积示意图． ， 整理得， ∵， ∴较小，可忽略不计． ∴，， ∴． 【方法运用】 (1)请写出在哪两个连续整数之间： ； (2)类比上述方法，选择其中一种形式，画出示意图，探究的近似值． 55．综合与实践 (1)【问题发现】：如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个大正方形，所得到的大正方形的边长为_____． (2)【知识迁移】：爱钻研的小思同学受到启发，尝试用两个同样大小的长方形拼出一个正方形．如图2，将两个长和宽分别为3和2的长方形沿对角线剪开，将所得到的4个直角三角形拼出了一个中间有一个镂空小正方形的大正方形，所得到的小正方形的边长为_____；大正方形的面积为_____；长方形的对角线长为_____． (3)【拓展延伸】：小明同学想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为．小思同学思考了一下说：“这可办不到哦！”小明反驳说：“用面积大的纸片，肯定能裁出面积小的纸片！”请通过计算说明他们谁说得对． 【易错警示】 实数运算实际应用中，常忽略生活实际限制，盲目保留正负全部解。近似取值时精确度把控不准，进位取舍错误。运算步骤粗心出错，不会结合题意检验结果，常出现答案不符合实际场景的问题。 题型12 求一个数的近似数 56．下列说法正确的是（    ） A．近似数精确到百分位 B．近似数万精确到千位 C．近似数与表示的意义相同 D．近似数精确到个位 57．下列说法正确的是（     ） A．近似数2.1和2.10精确度相同 B．0.0357精确到0.001为0.035 C．近似数，精确到百位 D．近似数2.7万精确到十分位 58．魏晋时期刘徽在其撰写的《九章算术注》中提到“不加借算”开平方的方法：，其中取正整数且最小，则用该方法计算约为______．（结果保留一位小数） 59．用四舍五入法，把31485926精确到万位，取得的近似数是__________ （用科学记数法表示）． 60．用四舍五入法，把下列各数按括号内的要求取近似值． （1）0.2595（精确到千分位）；      （2）3.592（精确到0.01）； （3）20049（精确到百位）；         （4）2330万（精确到百万位）． 【易错警示】 求近似数易混淆精确位数与有效数字，审题看错保留要求。取舍时常出现四舍五入失误，对大数、小数取近似值易错。忽略末尾0的意义，随意省略末尾零，导致精确度改变，解题未按要求规范取值。 题型13 求近似数的精确度 61．下列说法正确的是（     ） A．0.318精确到百分位 B．3.6万精确到个位 C．精确到十位 D．3000精确到千位 62．下列说法：①整数和分数统称为有理数；②绝对值是它本身的数只有0；③两数之和一定大于每个加数；④0是最小的有理数；⑤数轴上表示互为相反数的点位于原点的两侧；⑥近似数与的精确度相同；⑦近似数精确到千位；其中正确的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 63．近似数万精确到____________位． 64．将数四舍五入取近似值，精确到个位为________． 65．用四舍五入法按括号内的要求对下列各数取近似数，结果用科学记数法表示． (1)（精确到万位） (2)（精确到千万位） (3)（精确到百位） 题型14 实数的规律运算问题 66．已知，，，，…… (1)填空： ， ； (2)按你发现的规律解决下列问题： ①已知，则 ； ②已知，，用含的代数式表示，则 ； (3)根据规律写出与的大小情况． 67．【发现】 ① ② ③ ④… （1）根据上述等式反映的规律，请再写出一个等式：______． 【归纳】等式①，②，③，④，所反映的规律，可归纳为一个真命题：对于任意两个有理数，，若，则，满足的数量关系为______； 【应用】根据上述所归纳的真命题，解决下列问题： （2）若与的值互为相反数，且，求的值． 68．（1）填表 0.000001 0.0001 0.01 1 100 10000 0.001 　　 0.1 　　 　　 100 （2）利用如表中的规律，解决下列问题： ①已知，　　； ②已知，，则的值为　　． （3）当时，比较和的大小． 69．阅读下列材料：因为，即，所以的整数部分为，小数部分为． 请你观察上述的规律后试解下面的问题： (1)的整数部分是______ ，小数部分是______ ； (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的平方根； (3)已知，其中是整数，且，求的相反数． 70．已知，，，，…，．定义：，，，…． (1)由上可知：___________，___________． (2)按此规律类推，试猜想的值，并证明你的猜想． 题型15 无理数整数部分、小数部分问题综合 71．对于实数x，用表示不超过x的最大整数，如，，，． （1）________； （2）若，则满足条件的实数t的值是________． 72．已知的立方根是，是4的平方根． (1)求a，b的值； (2)若c是的整数部分，求的立方根． 73．是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而，于是可以用来表示的小数部分． (1)的小数部分是____________ (2)已知，其中x是整数，且，求的平方根． 74．已知表示不大于的最大整数，那么___________． 75．根据下表回答下列问题： 17 18 (1)的算术平方根是 ，的平方根是 ； (2) ；（保留一位小数） (3) ， ； (4)若介于17．6与17．7之间，则满足条件的整数n有 个； (5)若这个数的整数部分为m，求的值． 题型16 实数的新定义问题 76．由无理数的定义可知无理数与有理数不可能相等，若m，n为有理数，为无理数，且，则，． (1)如果，其中a，b为有理数，求的平方根； (2)如果，其中a，b为有理数且是p的平方根，求p的值． 77．任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数，（其中为满足不等式的最大整数，为满足不等式的最小整数），则称无理数的“麓外区间”为，如，所以的麓外区间为． (1)无理数的“麓外区间”是 ； (2)若，求的“麓外区间”； (3)实数满足，求的算术平方根的“麓外区间”． 78．任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义：若无理数T：m＜T＜n（其中m为满足不等式的最大整数，n为满足不等式的最小整数），则称无理数T的“雅区间”为（m，n）．例如：1＜＜2，所以的“雅区间”为（1，2）． （1）无理数的“雅区间”是________； （2）若某一无理数的“雅区间”为（m，n），且满足0＜＜12，其中是关于x，y的二元一次方程mx﹣ny＝c的一组正整数解，则c的值为________． 79．新定义：若无理数的被开方数(T为正整数)满足 (其中n为正整数)，则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为．例如：因为，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为，请回答下列问题： (1)的“青一区间”为 ；的“青一区间”为 ； (2)若无理数(a为正整数)的“青一区间”为，的“青一区间”为，求的值． (3)实数x，y，满足关系式：，求的“青一区间”． 80．任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数：，（其中为满足不等式的最大整数，为满足不等式的最小整数），则称无理数的“麓外区间”为，如，所以的麓外区间为． (1)无理数的“麓外区间”是_________； (2)若其中一个无理数的“麓外区间”为且满足，其中是关于x，y的二元一次方程的一组正整数解，求值． (3)实数x，y，m满足关系式：，求的算术平方根的“麓外区间”． 1．在实数，0，，中，最小的实数是（     ） A． B．0 C． D． 2．已知，以下对p的值估算正确的是（     ） A． B． C． D． 3．无理数像一首读不完的长诗，既不循环，也不枯竭，无穷无尽，数学家称其是一种特殊的数．若某长方形的长为，宽为2，则这个长方形面积的值在（　　） A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间 4．整数a满足，则a的值为（   ） A． B． C． D． 5．自2025年11月1日泰州队斩获苏超冠军以来，李中水上森林景区累计接待游客超万人次．该近似数万精确到（   ）位． A．十 B．百 C．千 D．万 6．下列近似数的结论不正确的是（    ） A．（精确到十分位） B．万精确到百分位 C．（精确到百分位） D．（精确到千分位） 7．如图，数轴上表示1，的对应点分别为A，B，，则点C所表示的数是（     ） A． B． C． D． 8．在如图所示的运算程序中，输入x的值是64时，输出的y值是（     ） A． B． C．2 D．8 9．若a，b均为正整数，且，，则的最小值是（   ） A．4 B．2 C．5 D．3 10．对于实数P，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：，．现在对72进行如下操作：，即对72只需进行3次操作后变为2．类似的，要想让2025变为2，需进行的操作次数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 11．比较大小：2________．（填“>”、“<”或“=”） 12．已知，则整数n的值可以是________（填一个值即可）． 13．按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值是64，则输出的y的值是______． 14．如图，面积为7的正方形的顶点A在数轴上，且点A表示的数为1，以A为圆心，长为半径画弧，交于A右侧数轴于点E，则点E所表示的数为___________． 15．已知，将它精确到得，____． 16．对于圆周率3.1415926……，请你用四舍五入法精确到0.001，则3.1415926……的近似值是______． 17．如图，正方形的面积为，顶点在数轴上表示的数为，若点在数轴上（点在点的右侧），且，则点所表示的数为________． 18．已知实数互为相反数，互为倒数，是的整数部分，是的小数部分，求代数式 ______． 19．因为，即，所以的整数部分为1，小数部分为．类比以上推理，的小数部分为______． 20．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，，，记，那么其面积．如果某个三角形的三边长分别为5，6，7，其面积介于整数和之间，那么的值是______． 21．把下列各数填在相应的横线上 ，，，，，，，， 有理数：__________________________________________________ 无理数：__________________________________________________ 22．用四舍五入法对下列各数取近似数： (1)（精确到）； (2)（精确到个位）； (3)（精确到百分位）； (4)（精确到）． 23．下列各数都是由四舍五入法得到的近似数，它们分别精确到哪一位？各有几个有效数字？ (1)小红的体重为千克； (2)小明的妈妈的年薪约为5万元； (3)月球轨道呈椭圆形，远地点平均距离为千米． 24．计算：． 25．根据如表回答下列问题： (1)的算术平方根是 ，的平方根是 ； (2) ． ， (3)若介于17.6与17.7之间，则满足条件的整数n为 26．如图1是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为64． (1)求出这个魔方的棱长； (2)图1中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的面积和边长； (3)把正方形放到数轴上，如图2，使点A与重合，请直接写出点D在数轴上所表示的数． 27．同学们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来.因为，所以的整数部分是1，于是可用来表示的小数部分，请解答下列问题： (1)的整数部分是________，小数部分是________. (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值. 28．【阅读理解】阅读下面的文字，解答问题． 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但是由于，所以的整数部分为2，将减去其整数部分2，差就是小数部分为． 【问题解决】 请解答： (1)的整数部分是__________，小数部分是__________； (2)已知：小数部分是m，小数部分是n，且，请求出满足条件的x的值． 29．小李同学探索的近似值的过程如下： 面积为137的正方形的边长是，且， 设，其中，画出示意图，如图所示． 根据示意图，可得图中正方形的面积． 又，． 当时，可忽略，得，得到， ． (1)直接写出下列各数的整数部分的值：①；②； (2)仿照上述方法，探究的近似值（画出示意图，标明数据，并写出求解过程，精确到）； (3)结合上述具体实例，已知非负整数，，，若，且，直接写出的近似值（用含有，的式子表示）． 30．任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数T：，（其中m为满足不等式的最大整数，n为满足不等式的最小整数），则称无理数T的“麓外区间”为， 如，所以的麓外区间为． (1)无理数的“麓外区间”是______； (2)实数x，y，m满足关系式： ，求m的算术平方根的“麓外区间”． (3)若某一个无理数T的“麓外区间”为，其中是关于x，y的二元一次方程的一组正整数解，请求出m、n的值，并写出一个符合题意的无理数T． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $