黑龙江哈尔滨市第六中学校2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试题

哈尔滨市第六中学校2026年下学期期末考试 高一数学试题 时间：120分钟满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1．数据2，3，8，5，4，2的中位数和平均数分别为（ ） A．3.5和2 B．3和4 C．4和2 D．3.5和4 2．已知复数满足，则在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知向量与的夹角为，，，则（ ） A．3 B． C．7 D． 4．若，为两条不同直线，，为两个不同平面，则下列结论中正确的是（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 5．已知某圆锥的底面积为，母线长为，则该圆锥的体积为（ ） A． B． C． D． 6．位于某海域的甲船获悉，在其北偏西方向有一座灯塔，甲船沿着北偏东方向行驶，发现该灯塔位于甲船的正西方，那么此时甲船距离该灯塔（ ） A． B． C． D． 7．已知四面体的4个顶点都在球的表面上，若平面，，，，则球的表面积为（ ） A． B． C． D． 8．棱长为2的正方体，点在棱上，满足最小，则三棱锥的体积为（ ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9．设复数的共轭复数为，为虚数单位，则下列命题正确的是（ ） A．复数的共轭复数的模 B．若复数是纯虚数，则得或 C．若复数对应的向量为，对应的向量为，则向量对应的复数为 D．若复数是关于的方程的一个根，则 10．下列说法中正确的有（ ） A．平面向量，可以作为基底 B．已知正边长为2，则 C．模为0的向量与任意非零向量共线 D．已知，，且与夹角为锐角，则的取值范围是 11．如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，是线段的中点，则（ ） A．存在点使得 B．若点满足，则动点的轨迹长度为 C．若点满足平面时，动点的轨迹是正六边形 D．当点在侧面，且满足时，二面角的最大角的正切值为2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．某校有高级教师90人，中级教师150人，其他教师若干人．为了了解教师的健康状况，从中抽取60人进行体检．已知高级教师中抽取了18人，则从中级教师中抽取的人数是________． 13．直三棱柱的所有棱长都相等，，分别为棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是________． 14．以棱长为1的正方体各面的中心为顶点，构成一个正八面体，再以这个正八面体各面的中心为顶点构成一个小正方体，那么该小正方体的棱长为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 某校统计了高二年级1000名学生的身高数据，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出了如下图所示的频率分布直方图． （1）求身高在区间的人数； （2）求这组样本数据的分位数． 16．（本小题满分15分） 已知中，角，，所对的边分别为，，，满足，且，． （1）求角的大小； （2）求的值． 17．（本小题满分15分） 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱垂直于底面，，点、分别是、的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 18．（本小题满分17分） 在等腰梯形中，，，，，把三角形沿着翻折，得到如图所示的四棱锥，记二面角的平面角为． （1）求点到底面的距离； （2）设是侧棱上一动点，是否存在点，使得的余弦值为，若存在，求的值． 19．（本小题满分17分） 离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的点，且平面，平面，，平面，平面为多面体的所有以为公共点的面．已知平面多边形的外接圆圆心为与的交点，如图①，且，将沿翻折到如图②，连接，． （1）求四棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； （2）已知直线与直线所成角的余弦值为． ①求四棱锥在顶点处的离散曲率； ②设为线段上的动点（不包括端点），与平面所成角为，二面角的平面角为，其中，，求的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A B C D C C B ACD AC 题号 11 答案 ACD 12．30 13．/ 14． 15．（1）身高在区间的频率为， 频数为，所以身高在区间的人数为550人. （2）由， ， 得样本数据的分位数，由，解得， 所以样本数据的分位数为177. 16．（1）已知，由正弦定理得， 整理得. 因为，故，又，，约去得， 结合，得. （2）由面积公式，代入、，得，解得. 由余弦定理，代入、，得， 将代入得，把代入得， 因，故. 17．(1)证明：取的中点，连接， 因为点、分别是、的中点， 所以且， 又因为且， 所以且， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面，平面， 所以平面． （2）过点作的垂线，设垂足为，连接， 因为平面，平面，所以， 因为底面是正方形，所以， 因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，且，平面， 所以平面，即为直线与平面所成角的平面角， 设， 在中，即， 由（1）可知，， 所以， 即直线与平面所成角的正弦值为． 18．（1）因为翻折前，所以翻折后，， 由二面角的定义可知，二面角的平面角， 由，，，平面， 平面，又平面， 故平面平面， 在平面内，过点作，垂足为， 又平面平面，故平面， 即为点到平面的距离， 在中，，，故. （2）由（1）知，如图建立空间直角坐标系，   故，，，，设， 设，，即，即， 设平面法向量为， ，， ，即， 令，得，，即， 设平面的法向量， ，， ，即， 令，得，，即， 的余弦值为， ， 解得，即. 19．（1）因为，，，内角和均为，四边形内角和为， 则四棱锥在各顶点处的离散曲率和为； （2）① 过点作交于，连接， 则即为直线与直线所成角或其补角， 因，平面多边形的外接圆圆心为与的交点， 则圆的直径，连接，则易得等边三角形，故有， 所以，，所以， 在中，因，解得． 即，可得： 则得， 即四棱锥在顶点处的离散曲率为 ②因为，所以为二面角的平面角， 因为，所以，则平面平面． 过作于，过作于，连接， 因平面，平面平面，故平面， 因平面，则， 又平面，则平面， 因平面，则，故为与平面所成角， 为二面角的平面角，则， 因为，所以， 则得，因，则， 故， 当且仅当时，等号成立． 则的最大值为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $