精品解析：黑龙江省哈尔滨市德强高级中学2024-2025学年高一下学期7月期末考试数学试题

哈尔滨德强高级中学2024-2025学年度下学期期末考试 高一年级数学试题 时间：120分钟 满分：150分 一、单选题 1. 设复数的共轭复数为，则的虚部为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】由共轭复数、复数虚部的概念即可得解. 【详解】由可得，则的虚部为3， 故选：D． 2. 根据统计，某篮球运动员在1000次投篮中，命中的次数为860次，则该运动员（ ） A. 投篮10次至少有8次命中 B. 投篮命中的频率为0.86 C. 投篮命中的概率为0.86 D. 投篮100次有86次命中 【答案】B 【解析】 【分析】根据频率、概率的含义以及与事件的关系判断，即得答案. 【详解】由题意可知投篮命中的频率为， 而频率可能比概率大也可能小，概率是频率的稳定值，二者不一定相等，故B正确，C错误； 投篮10次或100次相当于做10次或100次试验，每一次的结果都是随机的， 其结果可能是一次都没中，也可能是多次投中等，频率和概率只反映事件发生的可能性的大小， 不代表事件一定会发生，故AD错误， 故选：B 3. 一个质地均匀的骰子六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6．连续抛掷这个骰子两次，并记录每次正面朝上的数字，记事件“两次向上的数字都为3”，“两次向上的数字之和是6”，则下列结论正确的是（   ） A. 事件A与事件B相互独立 B. 事件A与事件B互斥 C. D. P(AB)= 【答案】D 【解析】 【分析】对于B：根据互斥事件的定义分析判断；对于CD：根据题意结合古典概型运算求解即可；对于A：根据独立事件的概率公式即可判断． 【详解】设样本空间为，则， 对于选项B：事件“两次向上的数字都为3” ， 事件“两次向上的数字之和是6” ， 显然事件B包含事件A，所以事件A与事件B不互斥，故B错误； 对于选项C：因为，所以，故C错误； 对于选项D：因为，所以，故D正确； 对于选项A：，，， 显然，故A错误； 故选：D． 4. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，给出下列四个命题： ①若，，则；②若，，，则； ③若，，，则；④若，，且，则. 其中真命题的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间中点线面的位置关系，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于①，，，则；①正确， 对于②，若，，故，又，则；②正确， 对于③，若，，，则或者，异面；③错误， 对于④，若，，且，则，则④正确， 故选：D 5. 如图所示，一个正四棱台的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，一个侧面的面积为，则该正四棱台的体积为（ ）． A. B. C. 224 D. 【答案】D 【解析】 【分析】检验所给定条件，结合正四棱台的结构特征求出正四棱台的高扩底面边长，再利用台体的体积公式计算得解. 【详解】设，则，正四棱台的各个侧面都为等腰梯形，上､下底面为正方形， 在四边形中，过点作于点，，则， ，解得， 在平面中，过点作于点，则为正四棱台的高， 且，因此， 该正四棱台的体积为. 故选：D 6. 如图，已知空间四边形的四条边以及对角线的长均为2，、分别是与的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据异面直线所成角的定义，借助平行关系作出平行直线，从而找到异面直线所称角或其补角，再根据余弦定理即可求解. 【详解】如图连接，设为中点，连接， 因为是中点，所以且， 所以为异面直线和所成的角或其补角， 由题意可得， 所以，，， 在中由余弦定理可得， 即异面直线和所成角余弦值为， 故选：C 7. 已知直角梯形，点在边上.将沿折成锐二面角，点均在球的表面上，当直线和平面所成角的正弦值为时，球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题设知共圆，并确定外接圆圆心位置，由已知求得到直线的距离且面，进而有面面，确定△的形状，找到外接圆圆心，利用几何关系求外接球半径，进而求表面积. 【详解】由题设知：，设点到面的距离为，则，故， 要使均在球的表面上，则共圆， 由直角梯形，则，所以， 所以，故在绕旋转过程中面，面， 所以面面，即到面的距离为，即到直线的距离， 沿折成锐二面角，过于，则， 又，则，故，即， 综上，△、△都是以为斜边的直角三角形，且， 所以，易知：△为等边三角形，则为中点，故，， 在△中，，而，即为的中点， 同时△△，若为的中点，即为外接圆圆心， 连接，则且，故面，且△为等边三角形， 球心是过并垂直于面的直线与过△外接圆圆心垂直于面的直线交点， 若球的半径为，则，所以球的表面积. 故选：D 【点睛】关键点点睛：确定共圆、面面为关键，利用几何关系求外接球半径. 二、多选题 8. 口袋里装有2红，2白共4个形状相同的小球，从中不放回的依次取出两个球，事件“第一次取出的是红球”，“取出的两球同色”，“取出的两球不同色”，下列判断中正确的是（） A. B. B与C互为对立事件 C. A与B互斥 D. A与C相互独立 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据对立事件、互斥事件、相互独立事件的知识对选项进行分析，从而确定正确答案． 【详解】记红球为1,2，白球为3,4， 不放回依次取出两个，则样本空间，共12种， 事件，共6种； 事件，共4种 事件，共8种； A选项，，故A正确； B选项，因为，所以与互为对立事件，故B正确； C选项，因为，所以与不是互斥事件，故C错误； D选项，因为事件，共4种，所以， 因为，由A可知，因为 所以与相互独立，所以D选项正确． 故选：ABD 9. 已知一组样本数据：、、、、、、、、，下列说法正确的是（ ） A. 这组数据的平均数为 B. 这组数据的分位数为 C. 去掉一个样本数据后方差变小 D. 每个样本数据都减后方差变小 【答案】AC 【解析】 【分析】利用平均数公式可判断A选项；利用百分位数的定义可判断B选项；利用方差公式可判断C选项；利用方差的性质可判断D选项. 【详解】对于A选项，这组数据的平均数为，A对； 对于B选项，将这组数据由小到大排列依次为：、、、、、、、、， 共个数据，因为，故这组数据的分位数为，B错； 对于C选项，原数据的方差为， 去掉一个样本数据后，平均数为， 方差为，， 所以，去掉一个样本数据后方差变小，C对； 对于D选项，将这九个数据分别记为、、、、， 将每个样本数据都减后，新数据为、、、、， 由方差的性质可知，方差不变，D错. 故选：AC. 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 非零向量和满足，则与的夹角为 B. 向量能作为平面内所有向量一组基底 C. 若，则在方向上的投影向量的模为 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据模长公式结合数量积运算律计算得出夹角判断A，根据基底定义及向量平行判定B，应用投影向量定义计算判断C，应用向量平行判断D. 【详解】对于A，由，所以， 即，所以， 所以，所以与的夹角为，故A正确； 对于B，由，所以，则与共线，所以与不能作为平面向量的基底，故B错误； 对于C，，则或，则在方向上的投影向量的模为，故C正确； 对于D，因为，所以当时，，故正确， 故选：ACD． 11. 如图，在直三棱柱中，，，点P是线段的中点，点Q是棱上的动点，则（ ） A. B. 存在点Q，使得平面 C. 三棱锥的体积为3 D. 的最小值是 【答案】ABD 【解析】 【分析】取的中点为，连接，即证平面，即可判断A，当为中点时，得，根据线面平行判断定理即可判断B，先证平面，得点到平面的高为，即计算即可判断C，将平面沿边展开，使得平面与平面共面时，则的值最小，利用勾股定理计算即可判断D. 【详解】取的中点为，连接，由点P是线段的中点，所以， 在直三棱柱中有平面，所以平面， 又平面，所以，又，所以， 又，平面，平面，又平面，所以，故A正确； 当为中点时，因为，又， 所以，所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面，故B正确； 又，，所以，， 又平面，平面，所以，又，，平面， 所以平面，所以点到平面的高为，又， 所以，故C错误； 将平面沿边展开，使得平面与平面共面时，则的值最小，由， 所以，所以，所以，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12. 已知平面向量，，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由向量垂直求得，由模的坐标运算公式求解即可. 【详解】已知平面向量，，若，则,解得， 所以. 故答案为：. 13. 假设事件与相互独立，且，，则______ 【答案】## 【解析】 【分析】根据独立性求出，然后由概率的运算性质求解即可. 【详解】由题知，若事件与相互独立，则， 于是. 故答案为： 14. 已知直线与直线，若，则______ 【答案】 【解析】 【分析】根据可得出关于的等式，计算可解得的值. 【详解】若，则， 所以或． 当时，，重合；当时，符合题意． 故答案为： 15. 如图，正四面体的所有棱长为1、、分别是棱、上的点，且，，给出下列四个结论： ①存在、使得平面； ②存在，使得； ③不存在，使得平面平面； ④三棱锥体积的最大值为. 其中所有正确结论的序号是______. 【答案】①③④ 【解析】 【分析】取时，得到，再根据线面平行的判定定理即可得解①；根据平面，求解②,根据三点共线时，平面平面，然后利用平面向量基本定理的推论判断即可③；对于④，先求出三棱锥的高AO，然后利用基本不等式求出面积的最大值，即可求出三棱锥体积的最大值． 【详解】当时，、分别是棱、中点，此时， 因为平面，平面，所以平面，故①正确. 取中点为，连接,则,平面，则平面，平面，则, 假设，平面,且为平面内两相交直线， 故平面，这显然不合理，因此不存在，使得； ②错误， 设为的中心，连接，因为经过点有且只有一条直线垂直于平面 ，所以经过点且垂直于平面的平面一定经过直线， 即当且仅当三点共线时，平面平面， 因为，， 所以，，设的中点为，连接， 则，因为三点共线， 所以，整理得，因为，所以此方程无解， 所以不存在，使得平面平面，故③正确. 易知， 在中,，， 所以的面积， 当且仅当时等号成立，所以三棱推体积的最大值为. 故④正确. 故答案为：①③④ 四、解答题 16. 根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行． （1）经过点，，经过点，； （2）倾斜角为60°，经过点，． 【答案】（1） （2）或与重合 【解析】 【分析】（1）由，且A，B，C，D，四点不共线，可判断； （2）由，可判断. 【小问1详解】 设两直线，的斜率分别为，． 由题意知，． 因为，又， 所以，所以A，B，C三点不共线，所以A，B，C，D四点不共线， 所以． 【小问2详解】 设两直线，的斜率分别为，． 由题意知，． 所以，所以或与重合． 17. 如图，在棱长为3的正方体中，为的中点． （1）证明：平面； （2）求三棱锥体积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用中位线证明线线平行，再证明线面平行即可； （2）利用三棱锥体积公式求解即可. 【小问1详解】 在棱长为2的正方体中，设相交于点，连结， 是中点，而为中点，， 又平面平面， 平面． 【小问2详解】 在棱长为2的正方体中，平面， 又三棱锥的体积为， ， ． 18. 在中，角，，的对边分别为，，，已知且. （1）求角； （2）若为的中点，求线段长的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理角化边，再结合余弦定理即可求解； （2）由，两边平方，再结合即可求解. 【小问1详解】 由正弦定理可得， 即， 由余弦定理可得， 因为，所以； 【小问2详解】 点为的中点，则， ， 因为，由（1）可知，即， 因为，当且仅当时，等号成立， 故，求出，当且仅当时，等号成立， 故，当且仅当时，等号成立， 故，又，故， 故，即的取值范围为. 19. 某校举办了“趣味数学”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）作为样本，将样本分成六段：，，，，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值及样本平均数； （2）试估计这100名学生的分数的方差，并判断此次得分为60分和80分的两名同学的成绩是否进入到了范围内?（用每组的区间的中点代替该组的分数） 【答案】（1），平均数为74分 （2）60分的同学的成绩没有进入到范围，80分的同学的成绩进入到范围了． 【解析】 【分析】（1）由面积和为1可计算的值，由每组长方形中点值乘以频率可得平均数； （2）由方差的计算公式计算方差，再判断即可. 【小问1详解】 由题意知，解得； 所以该次测试分数的平均数的为： (分)． 【小问2详解】 由频率分布直方图知 ， (分)， (分)，(分) ， 故得分为60分的同学的成绩没有进入到内，得分为80分的同学的成绩进入到了内． 即：得分为60分的同学的成绩没有进入到范围，得分为80分的同学的成绩进入到范围了. 20. 为了普及垃圾分类知识，某校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为p，乙同学答对每题的概率都为，且在考试中每人各题答题结果互不影响.已知每题甲、乙两人同时答对的概率为，每题甲、乙两人恰有一人答对的概率为. （1）求p和q的值； （2）求甲、乙两人共答对3道题的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据独立事件的乘法公式，列出关于的方程组求解； （2）甲、乙两人共答对3道题，可分为甲答对2题，乙1题；甲答对1题，乙2题，结合独立事件乘法公式求解. 【小问1详解】 由题知，，且， 解得 【小问2详解】 分情况如下： 甲答对题，乙答对题，概率为：； 甲答对题，乙答对题，概率为：； 于是甲、乙两人共答对3道题的概率是 21. 如图，在平面四边形中，，，将沿翻折至，形成三棱锥，其中为动点． （1）设，点在棱上． （i）证明：； （ii）当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值． （2）求平面与平面夹角余弦值的最小值． 【答案】（1）（i）证明见解析；（ii） （2） 【解析】 【分析】（1）（i）取的中点，连接，，即证，，利用线面垂直的判断定理即可证平面，再由线面垂直的性质定理即可得证； （ii）连接，由（i）知，平面，当时，最小时，的面积最小，过作，垂足为，即平面，即为直线与平面所成的角，在计算即可求解； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法即可求解. 【小问1详解】 （i）取的中点，连接，，如图， 因为，，且的中点为， 所以，， 又，，平面，故平面， 由于平面，故． （ii）连接，由（i）知，平面，平面, 则，， 时，最小时，的面积最小． 又，，平面，又平面， 平面平面，过作，垂足为，则平面， 故为直线与平面所成的角，由，且，，又， ，，所以， ，， 在中，由余弦定理得，故,． 故与平面所成的角的正弦值为． 【小问2详解】 以为坐标原点，的方向为轴正反向，建立如图所示的空间直角坐标系． 则，，，设，则， ，，， 设平面的法向量为， 则，取， 设平面的法向量为，则 ， 取，设平面与平面夹角为，易知， ， 令，则， ， 当，即时，取得最小值， 平面与平面夹角余弦值的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 哈尔滨德强高级中学2024-2025学年度下学期期末考试 高一年级数学试题 时间：120分钟 满分：150分 一、单选题 1. 设复数的共轭复数为，则的虚部为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 3 2. 根据统计，某篮球运动员在1000次投篮中，命中的次数为860次，则该运动员（ ） A. 投篮10次至少有8次命中 B. 投篮命中的频率为0.86 C. 投篮命中的概率为0.86 D. 投篮100次有86次命中 3. 一个质地均匀的骰子六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6．连续抛掷这个骰子两次，并记录每次正面朝上的数字，记事件“两次向上的数字都为3”，“两次向上的数字之和是6”，则下列结论正确的是（   ） A. 事件A与事件B相互独立 B. 事件A与事件B互斥 C. D. P(AB)= 4. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，给出下列四个命题： ①若，，则；②若，，，则； ③若，，，则；④若，，且，则. 其中真命题的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5. 如图所示，一个正四棱台的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，一个侧面的面积为，则该正四棱台的体积为（ ）． A. B. C. 224 D. 6. 如图，已知空间四边形的四条边以及对角线的长均为2，、分别是与的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知直角梯形，点在边上.将沿折成锐二面角，点均在球的表面上，当直线和平面所成角的正弦值为时，球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 8. 口袋里装有2红，2白共4个形状相同的小球，从中不放回的依次取出两个球，事件“第一次取出的是红球”，“取出的两球同色”，“取出的两球不同色”，下列判断中正确的是（） A. B. B与C互为对立事件 C. A与B互斥 D. A与C相互独立 9. 已知一组样本数据：、、、、、、、、，下列说法正确是（ ） A. 这组数据的平均数为 B. 这组数据的分位数为 C 去掉一个样本数据后方差变小 D. 每个样本数据都减后方差变小 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 非零向量和满足，则与的夹角为 B. 向量能作为平面内所有向量一组基底 C. 若，则在方向上的投影向量的模为 D. 若，则 11. 如图，在直三棱柱中，，，点P是线段的中点，点Q是棱上的动点，则（ ） A. B. 存在点Q，使得平面 C. 三棱锥的体积为3 D. 的最小值是 三、填空题 12. 已知平面向量，，若，则______． 13. 假设事件与相互独立，且，，则______ 14. 已知直线与直线，若，则______ 15. 如图，正四面体的所有棱长为1、、分别是棱、上的点，且，，给出下列四个结论： ①存在、使得平面； ②存在，使得； ③不存在，使得平面平面； ④三棱锥体积的最大值为. 其中所有正确结论的序号是______. 四、解答题 16. 根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行． （1）经过点，，经过点，； （2）的倾斜角为60°，经过点，． 17. 如图，在棱长为3的正方体中，为的中点． （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积． 18. 在中，角，，的对边分别为，，，已知且. （1）求角； （2）若为的中点，求线段长的取值范围. 19. 某校举办了“趣味数学”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份成绩（满分100分，成绩均为不低于40分整数）作为样本，将样本分成六段：，，，，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值及样本平均数； （2）试估计这100名学生的分数的方差，并判断此次得分为60分和80分的两名同学的成绩是否进入到了范围内?（用每组的区间的中点代替该组的分数） 20. 为了普及垃圾分类知识，某校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为p，乙同学答对每题的概率都为，且在考试中每人各题答题结果互不影响.已知每题甲、乙两人同时答对的概率为，每题甲、乙两人恰有一人答对的概率为. （1）求p和q的值； （2）求甲、乙两人共答对3道题的概率. 21. 如图，在平面四边形中，，，将沿翻折至，形成三棱锥，其中为动点． （1）设，点在棱上． （i）证明：； （ii）当面积最小时，求与平面所成的角的正弦值． （2）求平面与平面夹角余弦值的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$