黑龙江哈尔滨市六校联考2025-2026学年高一下学期7月期末数学试题

高 数学 参考答案及解析 高一数学* 一、选择题 1.B【详解】由题意，三个校区人数之比为2：3：5，则北校区高三学生中抽取的人数为30 2.A【详解】由(i-i)=(1+i)z1+3i,得z++30-2+i 1+i 2 3.C【详解】①若aLc,b⊥c,则a与b相交、平行、异面均有可能，错误.②若aLa,b⊥a,则a∥b,正确.③若 a∥B,aCa,bCB,a与b不平行，则a,b为异面直线，正确.④若aCu,bCa,a∥B,b∥B,若a与b 不相交，则a与B不一定平行，错误. 4.C【详解】①表示元件A正常且元件B不正常：②表示元件A正常且元件C不正常；③表示元件A不 正常且元件B正常；④表示元件A不正常且元件C正常；⑤表示元件A正常且元件B不正常或元件C不 正常；⑥表示元件A正常且元件B和C都不正常，故③④⑥表示电路一定是断路， 5.D【详解】“平均数为3，中位数为4”有可能有大于7的编号，例如0,0,1,1,4,4,4,4,4,8；“中位数为3，众数 为4”有可能有大于7的编号，例如0,0,1,1,2,4,4,4,5,9：“平均数为3，第25百分位数为1”有可能有大于7的编 号，例如0.0,11,44,4,44,8，“平均数为2，方差为3”，由方差公式S= 品22=3得2P30 若有个小球的编号大于7，不妨设为8（因为此时方差最小），则26x-2>(82=3630,与统计数据有矛 盾，故D正确 6B【详解】由于骰子质地均匀，所以各个样本点出现的可能性相等，因此这个试验是古典概型抛掷一枚骰 子有6种等可能的结果，因此抛掷两枚骰子共有36个样本点.一枚骰子的点数是另一枚骰子点数的2倍有 (1,2.(2,1).(24),(4,2.(3.6,3),共6个样本点，因此一枚骰子的点数是另一枚殷子点数的2倍的概率是名 7.A【详解】法一：因为AA1⊥平面ABC,ACc平面ABC所以AA1LAC,取41C的中点为O1,连接AO1,BO1,在 Rt△A1AC中，A1O1=AO1=CO1.过O1作O1O2⊥AC,交AC于O2,易知O2为AC的中点且O1O2∥AA1,所以 O1O,⊥平面ABC,连接BO2,因为BO,c平面ABC,所以QO1BO,在Rt△ABC中，A0,=B0,=CO2,因此 Rt△AO1O2≌Rt△BO1O2≌Rt△CO1O2,所以AO1=BO1=CO1,因此O1即三棱锥AABC外接球的球心 由题意，AC5,A4=2,因此41C3,则外接球的半径为号，则外接球的体积V)号元 0 第1页共9页 高 数学 法二：把三棱锥A1-ABC补成一个长方体，如图，易知外接球直径为A1C,由题意，AC=√5，AA=2,则AC=3, 因此外接球半径为， 外接球的体积V()号π A B 8.C【详解】因为AB-4,AC-3,BC=V13, 所以cos∠BACS8C2所以∠BAC-60 2AB·AC 法一：设AB=a,AC=b, 因为点C,D,E共线，故存在实数2，使得CD=CE,即AD-AC=A亚-AC),所以 AD=AE+(1-A)AC=a+(1-A)B.1 因为点B,D,F共线，故存在实数山，使得BD=BF,即AD-AB=AF-AB),所以 AD1A+(1-0AB-b+(1-川a.② 由①②和平面向量的基本定理可知， [1=1- 2 解得子，μ子 2 1-=2, 3 所以ADa+五，BD=AD-ABa+b-aba.abab1cos∠BAC=6,所以AD 3- )2 =9而D-g知片b动号 所以cOS∠ADB=AD·BD =7 AD.BD 19 法二：以C为原点，AC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图， 由题意易得A3,0),B(1,23),因为E为AB中点，所以E(2,V3), F(1,0),易知BF⊥x轴，故BF的方程为x=1①， 设直线CE的方程为y=k1x, D 第2页共9页 高 数学 把五点坐标代入得直线CB的方程为气②， ①②得D的坐标为1，马， AD=CD-Ca=1,5-(3,0=(2,5 BD=CD-C丽=-(1,5-(1,23)-0,9 所以aD4】9,助9aD- COS∠ADB= AD:BD -V57 AD外B可 19 二、选择题 9.CD【详解】对于A,=1时，-1+(0m2-1)i=0,故A错误；取z1=1+2i,z2=-1+2i,满足z12∈R,但31≠z2, 故B错误；复数-1+(2-1)i在复平面内对应的点为(-1，m2-1)，当>1时，-1>0，m2-1>0,故C 正确：设复数z1在复平面内对应的点为(a,b),则复数z2在复平面内对应的点为(a,-b),则z1=什bi,Z2=-bi, 则z1曰z2,故D正确。 10.BCD【详解】易知A1C1与BD1是异面直线，A不正确：连接B1D1,在正方形A1B1C1D1中，A1C1LB1D1, 又因为BB1⊥平面A1B1C1D1,所以BB1⊥A1C1,BBOB,D=B,BB,B,D1C平配B,DD,因此A1C1⊥平面 BB1D1D,所以A1C1与BD1互相垂直，B正确：连接A1D,C1D,易知A1D∥B1C,因此∠C1A1D就是A1C1与B1C所 成的角，易知△C1A1D为等边三角形，所以∠CA1D=60°，C正确；易知B1C∥平面A1D1DA,故E点到平 面ADD1的距离等于B1C到平面ADD1的距离，为定值，故三棱锥E-ADD1的体积为定值，D正确 11.ACD【详解】若A,B,C三点共线，则存在实数，使得AB=AC,即ke1+22,=3,+(1+ke2],整理得 3》日=[+-2]由于g,6不共线，则3说=0。，解得及=1或a-号 =3,A正确；对于 21+k)-2=0 k=-3 k=2 B,当-2时，A亚-=2e1+224C=31+32,显然ABF2E1+e<3E1+e=AC,又因为此时A,B,C三点 共线，故C点在线段AB的延长线上，B错误；当-2时，AB=2E1+2e,AB1P=(2e1+2e)=48+8e巴+4e= 1+8网3cs60°+4I2设互6同向的单位向量为2，则8三2+22-5。+3eC正确 2e+239+ 如图易知e与AB的夹角为30°， 因此e在AB上的投影向量为e,Icos30 〔可)保：图示 第3页共9页 高 数学 的菱形中，日在AB上的投影向量为D=亚=，+，)，D正确 2 2 2e, 2e 三、填空题 12.-7【详解】a+b=(2+1,2+5),b-2a=(-1,3),因为2a+b与b-2a垂直，所以-2-1+3+15=0， 解得=-7. 13.0.995【详解】该车主能顺利充电，即甲、乙两座充电桩至少有一个正常工作，其对立事件是两充电桩都 不能正常工作，此时概率为(1-0.95)（1-0.9)=0.005，因此该车主能顺利充电的概率为1-0.005=0.995. 14.1:1【详解】取SB的中点为M,连接EMM, 则EH∥B∥FG,EM∥HB,MF∥BG, 从而平面EMF∥平面HBG,故几何体EMF-HBG为三棱柱， 四边形EFGH把几何体分为两部分，其中一部分是三棱柱EMF-HBG与三棱锥SEMF的组合体. 设三棱锥SABC的底面积为4s,高为2h,则三棱柱EMF-HBG的底面积为s,高为h,三棱锥SEMF的底 面积为s,高为h,V三楼锥SEMP+V三楼柱EMF-B学h, V三校锥SABC×4sX2h,故多面体S驱HBGF与多面体AEFCGH的体积之比为1：1. 四解答题 15.解：由2DB.DA=AB-(DA-D得 2DAD4cos∠BnA=aB-DA-D丽+2D网|DA -2 DB.DA co0s∠BDA+2DEDA,…4分 即4 DB.DA ce08∠BDA=2DBDA,即c0s∠BDA号故∠BDA=60°，…6分 又因为∠C=30°，所以∠CBD=30°，所以△BCD为等腰三角形，BD=DC. …8分 设DC=x,则BD=x,AD=2x, 在△ABD中，AB2=AD+DB2-2AD·DBcos∠BDA, 即3=4x2+x2-2x2, 第4页共9页 高 数学 解得X=1,… 12分 故AB=V3,BD-=1,AD=2,故AB2+BD=AD 故△ABD为直角三角形.… .…13分 16.解：(1)由题意得20×(0.004+0.010+a+0.012+0.004)=1, 解得0.02 2分 （2)各组频率分别为20×0.004=0.08,20×0.010=0.2,20×0.02=0.4,20×0.012-0.24,20×0.004=0.08，由此， 各组人数分别为8,20,40,24,8. 根据分层随机抽样，选取的25人在各组中的分布为：2,5,10,6,2. …4分 ①从第一组和第五组这两组被选中的市民中选出2人的样本点有6个，两人分别属于不同组的样本点有4 个，因此2人来自不同组的概率为冷= …8分 ②设第四组被选中样本记为x(=1,,6),消费时长的平均数记为x;第五组被选中样本记为y=1,2),消费 时长的平均数记为y;第四组和第五组所有被选中人员的消费时长的平均数为二，方差为s 则三-67242x8475, …10分 8 2x-72+72-75+g-84+84-75] i= …12分 又因为Σx-72)0,∑y-84=-0, i以-726x9+g8-281 {6×3+6×9+2×7+2×81]F31, 。。。。。。。。。。。。 。。。。。。。。。。。。。。。 …14分 故估计第四组和第五组所有人消费时长的平均数为75，方差为31.· 15分 17.(1)证明：由题意，O为AC与BD的交点，且O为AC,BD的中点， 连接EO,则EO∥SB, 又因为EOC平面AEC,SBd平面AEC, 所以SB∥平面AEC… ……4分 (2)解：连接SO,则SOL平面ABCD,所以SO LAC, 由题意BD LAC,BDOSO=O,所以AC⊥平面SBD,垂足为O, …8分 则∠AEO就是AE和平面SBD所成的角，… …9分 在△1B0中，40-AC-V2,08-y,则an∠AB08 …11分 (3)解：几何体ABCDEF是棱锥A-BDEF与棱锥C-BDEF的组合体， 第5页共9页 高 数学 由（2)知，AO,CO分别为棱锥A-BDEF与棱锥C-BDEF的高，且AO=CO=√2.…13分 在Rt△SOB中，OB=V2,SB=3V2, 所以SO=4,所以梯形BDEF的高为2， 所以S梯形BDgP√2+2V2)×2=3V2, 所以几何体ABCDEF的体积为2V转锥4BDg2X3V2xV2-4 15分 18.解： 1)选①：由e得(2 i-a)cosC--co34, cosA 即(2sinB-sinA)cosC=sinCc0s3A,… …3分 2sinBcosC-sinAcosC=sinCcosA, 2sinBcosC=sinAcosC+sinCcos A=sin(+C)=sin(n-B)-sinB, 6分 因为simB≠0，所以cosC 又因为C为三角形内角， 所以C骨 …7分 选②：由sinA+sinB-sin2C=sinAsinB可得a2+b2-c2=ab,…3分 则c0sCa2+b2-e2b1 。。。。。。。。。。。。。。。 2ab 2ab 2' 6分 又因为C为三角形内角， 所以C骨 …7分 选③：由护-2n84得的-d26g, sinA …3分 ab ab a 整理得x2+bP-c2-ab,则cosC-2+w-c2_b」 2ab 2ab 2' …6分 又因为C为三角形内角，所以C骨 …7分 (2)SARc-absinC-Yab-33, 4 所以ab=12, 10分 cosC-号得a+2-25-ab,即a+-a28. …l3分 (atb)2=m2+b2+2ab=3ab+28-64, 所以a叶b-8,…。 16分 所以△ABC的周长为a+b+c=8+2V7. 17分 19.(1)证明：设EF的中点为M,连接GM,HM 因为G为DF的中点， 第6页共9页 高 数学 D Q E M B 则GM/川DE,分 因为DE⊥EF, 所以GM⊥EF, 因为H为AB的中点，同理可得MLEF,… …3分 因为GMOM=M,GM,IMc平面GMH,所以EF⊥平面GMH, 所以GH⊥EF …5分 (2)解：易知二面角D-EG-H与二面角F-EG-H互补， 过M点作MN⊥EG,垂足为N连接HN, 因为HM⊥EF,平面CDEF⊥平面ABFE,平面CDEFO平面ABFE=EF, 所以HM⊥平面CDEF, 所以HM⊥EG,因为MNOHM=M,MN,HMc平面MNH,所以EG⊥平面MNH, 所以EG⊥HN,所以∠MNH是二面角F-EG-H的平面角.… 8分 在Rt△CEF中，CF=1,EF=2,所以CE=√5， sin∠CEn 。。。。。。。。。。。。。。。。。 5 …9分 在Rt△EMN中，EMEl,所以MN=Esim∠CEF5 …10分 在Rt△HN中，H1,H√M+MN=1+L面 55 …11分 所以cos∠MMN5, HN 6' 所以二面角D-BG-H的余弦值为5 6 12分 D G H (3)解：因为Q为线段AD上的动点， 所以Q到平面EGH的距离介于点A到平面EGH的距离和点D到平面GH的距离之间.…I3分 连接DH,AG,设D到平面EGH的距离为h1,A到平面EGH的距离为h, 第7页共9页 高二 数学 D G H B 由(1)得，GME1,所以GH点易知GB=5, 在Rt△AEH中，EH=V2, 取等腰三角形EGH底边中点为O,连接GO, 则G0-VGHO9 SHEH GO0, …15分 三棱锥D-EGH的体积V三棱锥D-ECH-V三棱锥H-DGE, 所以h1×1x1,所以h, 三棱锥A-EGH的体积V三棱锥A-EGH-V三棱锥C-AEH' 所以1x1所以h品 所以O到平面GH的距离的取值范围为6S, 63 …17分 第8页共9页 高 数学 高一数学细目表 题号 题型 分值 考查的主要内容及知识点 难度 单选题 5 分层抽样各层总数的求解 易 2 单选题 复数的混合运算 易 3 单选题 直线与平面位置关系的判断 易 4 单选题 事件的关系和运算 易 5 单选题 数字特征的实际应用 易 6 单选题 5 随机事件概率的求解 中 7 单选题 5 三棱锥外接球的体积 中 8 单选题 5 解三角形与平面向量的综合 中难 9 多选题 6 复数的综合 易 10 多选题 6 异面直线位置关系，异面直线所成角 中 11 多选题 6 向量位置关系的判断，向量的投影向量 中难 12 填空题 向量的坐标运算 易 13 填空题 相互独立事件概率的求解 易 14 填空题 5 立体图形体积的求解 中 15 解答题 13 向量的数量积与解三角形的综合 易 16 解答题 15 分层抽样，频率分布直方图的应用 易 17 解答题 15 线面平行，直线与平面所成角，几何体体积的求解 中 18 解答题 17 解三角形 中难 19 解答题 17 异面直线垂直，二面角的余弦值，点到平面的距离 难 第9页共9页 高一数学 ★满分150分，考试时间120分钟．★ 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的姓名、准考证号分别填写在试卷和答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其它答案．非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卡上相应的区域内，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．2026年5月，某校举行了由三个校区（南校区、北校区、总校区）高三年级学生参加的2026届高三毕业典礼暨成人仪式．已知南校区、北校区、总校区的高三年级学生人数分别为400、600、1000．为了解学生对活动组织情况的满意度，现用分层随机抽样的方法按比例分配抽取一个100人的样本进行调查，则从北校区高三年级学生中抽取的人数为 A．20 B．30 C．50 D．60 2．已知，则复数 A． B． C． D． 3．已知，为两个不同的平面，，，为三条不同的直线，给出下面四个命题： ①若，，则；②若，，则；③若，，，与不平行，则，为异面直线；④若，，，，则．其中正确命题的个数为 A．0 B．1 C．2 D．3 4．如图，一个电路中有，，三个电器元件，事件“元件工作正常”，事件“元件工作正常”，事件“元件工作正常”，则下列事件：①；②；③；④；⑤；⑥．表示事件“电路一定是断路”的个数为 A．1 B．2 C．3 D．4 5．袋中共有编号为0~9的完全相同的10个小球，甲、乙、丙、丁四名同学分别有放回地各抽取10次，记录抽出小球的编号．甲统计的数据为“平均数为3，中位数为4”，乙统计的数据为“中位数为3，众数为4”，丙统计的数据为“平均数为3，第25百分位数为1”，丁统计的数据为“平均数为2，方差为3”，根据统计数据估计，摸出的10个球的编号全部不大于7的同学一定是 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 6．抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为Ⅰ号和Ⅱ号），记录向上的点数，则一枚骰子的点数是另一枚骰子点数的2倍的概率是 A． B． C． D． 7．如图，在三棱锥中，平面，，，，则此三棱锥的外接球体积为 A． B． C． D． 8．如图，在中，，，，，分别是，上的点，且，，连接，，交点为，连接，则的值为 A． B． C． D． 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列关于复数的说法正确的是 A．当时，是纯虚数 B．若复数，满足，则 C．当时，复数在复平面内对应的点在第一象限 D．若复数，在复平面内对应的点关于轴对称，则 10．如图，在正方体中，为上的动点，则 A．与是相交直线 B．与互相垂直 C．与所成的角为 D．三棱锥的体积为定值 11．已知，是夹角为的单位向量，，，，则 A．若，，三点共线，则或 B．当时，点在线段上 C．当时，与同向的单位向量是 D．当时，在上的投影向量为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知向量，，与垂直，则实数______． 13．某地高速服务区建有甲、乙两座新能源汽车充电桩，已知甲充电桩正常工作的概率为0.9，乙充电桩正常工作的概率为0.95，两台设备是否正常工作相互独立．某位新能源车主来该服务区充电，正好两充电桩空闲，则该车主能顺利充电的概率是______． 14．在三棱锥中，，，，分别为所在棱的中点，如图，四边形把三棱锥分成两部分，则多面体与多面体的体积之比为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）在中，，，点在上，且，连接，，试判断的形状． 16．（15分）天气转暖，哈尔滨的夜间消费也跟着“热”了起来，越来越多的夜间消费场景点亮了哈尔滨夜间经济灯火．为助力夜间消费市场的发展，哈尔滨市某统计部门随机调查了100名市民每人每日夜间消费时长（单位：分钟），将统计数据分为五组，第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求实数的值； （2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法按比例分配选取25人，用作下一期回访． ①从第一组和第五组这两组被选中的市民中选出2人作深度采访，求这2人来自不同组的概率； ②若第四组被选中市民的消费时长的平均数为72，方差为3，第五组被选中市民的消费时长的平均数是84，方差为7，据此估计第四组和第五组所有人消费时长的平均数和方差． 17．（15分）如图，圆锥的母线长为，四边形为圆锥底面圆的内接正方形，边长为2，，分别为母线，的中点． （1）求证：平面； （2）求和平面所成角的正切值； （3）求几何体的体积． 18.（17分）已知的内角，，的对边分别为，，，从下面三个条件中选取一个解答问题：①；②；③． （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求的周长． 19．（17分）图1是边长为2的正方形，，分别为，的中点，将正方形沿折成一个直二面角，如图2，连接，，交于点，为的中点，连接，，． （1）求证：； （2）求二面角的余弦值； （3）设为线段上的动点，求到平面的距离的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $