4.5.2 用二分法求方程的近似解&4.5.3 函数模型的应用-【无敌原创】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课时卷

>4.5.2用二分法求方程的近似解 基础过关 1.用二分法求如图所示的函数f(x)的零点 时，不可能求出的零点是 A.x B.x2 C.x3 D. 2.用二分法求函数f(x)在(a,b)内的唯一零 点时，精确度为0.001，则结束计算的条件 是 ( A.|a-b<0.1 B.|a-b<0.001 C.a-b>0.001D.|a-b=0.001 3.(多选)在用二分法求函数f(x)的一个正 实数零点时，经计算，f(0.64)<0, f(0.72)>0,f(0.68)<0,则函数的一个 精确度为0.05的正实数零点的近似值可 以为 A.0.68 B.0.72C.0.7 D.0.6 4.用二分法研究函数f(）=2+n(x十号)的 零点时，第一次计算得：0)<0，f(合)>0， 则得其中一个零点∈ ,第二次应 计算 的值. 5.用二分法求方程x3一2x一5=0在区间 (2,4)上的实数根时，取中点x1=3,则下 一个有根区间是 、 能力提升 1.用二分法求方程ln(2x十6)+2=3r的根 的近似值时，令f(x)=ln(2x+6)+2- 3x,并用计算器得到下表： 1.00 1.25 1.375 1.50 f(x)1.07940.1918 -0.3604-0.9989 第四章指数函数与对数函数95 则由表中的数据，可得方程ln(2x+6)十2= 3的一个近似解（精确度为0.1）为() A.1.125 B.1.3125 C.1.4375 D.1.46875 2.给出下列命题： ①函数y=2r与y=log2x互为反函数，其 图象关于直线y=x对称；②当a>0且 a≠1时，函数f(x)=a-2一3的图象必过 定点(2，一2)；③若函数f(x)在区间[a,b] 上满足函数零点存在性定理，则此函数在 区间(a,b)内的零点个数是奇数个；④用 二分法求函数f(x)=lnx+2x-6在区 间(2,3)内的零点近似值，至少经过3次 二分后精确度达到0.1；⑤函数f(x)= 2x一x2的零点有2个.其中所有正确命题 的序号是 3.从某水闸房到防洪指挥部的电话线路发 生了故障.这是一条10km长的线路，如 何迅速查出故障所在？如果每查一个点 要爬一次电线杆子，10km的路线中大约 有200根电线杆子，每根电线杆相距 50m.想一想，维修线路的工人师傅怎样 工作最合理？ 96无敌原创同步必刷点数学·必修第一册 4.5.3 函数模型的应用 基础过关) 1.设光线通过一块玻璃，强度损失10%，如 果光线原来的强度为k(k>0),通过x块 这样的玻璃以后强度为y,则y=·0.9 (x∈N),那么光线强度减弱到原来的 以下时，至少通过这样的玻璃块数为（参 考数据：1g3≈0.477) () A.9 B.10C.11 D.12 2.一种放射性元素，每年的衰减率是8%，那 么a千克的这种物质的半衰期（剩余量为 原来的一半)t等于 () A.lg0.92 0.5 Ra2号 C.g0.5 D.g0.92 1g0.92 1g0.5 3.某种细菌经30分钟数量变为原来的2 倍，且该种细菌的繁殖规律为y=e“,其中 k为常数，t表示时间（单位：小时），y表示 1个细菌经繁殖后的总个数，则k= ,经过5小时，1个细菌通过繁殖 个数变为 4.某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖 金投入.若该公司2020年全年投入研发 奖金130万元.在此基础上，每年投入的 研发奖金比上一年增长12%，则该公司全 年投人的研发奖金开始超过200万元的 年份是 年.（参考数据：lg1.12≈ 0.05,lg1.3≈0.11，lg2≈0.30) 5.把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来 的温度是01℃，空气的温度是0℃，tmin 后物体的温度0℃可由公式0=。+(01 0)e.24求得，且把温度是100℃的物体 放在10℃的空气中冷却tmin后，物体的 温度是40℃，那么t的值约等于 .(参考数据：ln3≈1.099，ln2≈ 0.693,精确到0.01) 6.某公司为了实现1000万元的利润目标， 准备制定一个激励销售人员的奖励方案： 销售利润达到10万元时，按销售利润进 行奖励，且奖金数额y(单位：万元)随销售 利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金 数额不超过5万元，同时奖金数额不超过 利润的25%，其中下列模型中能符合公司 要求的是 ·(参考数据： 1.003600≈6，lg7≈0.845) (1)y=0.025x;(2)y=1.0032;(3)y=1+ 1 1og7x(4)y=4000x. 7.我们知道，燕子每年秋天都要从北方飞向 南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁 燕子的飞行速度可以表示为函数= 5og:号单位是n/s,其中0表示燕子的 耗氧量 (1)计算当燕子静止时的耗氧量是多少个 单位？ (2)当一只燕子的耗氧量是40个单位时， 它的飞行速度是多少？ 能力提升 1.Logistic模型是常用数学模型之一，可应 用于流行病学领域.有学者根据公布数据 建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数 I(t)（t的单位：天)的Logistic模型： K I()=1十e西，其中K为最大确诊 病例数.当I(t*)=0.95K时，标志着已初 步遏制疫情，则t*约为（参考数据ln19≈ 3) ( A.60 B.62 C.66 D.63 2.某工厂产生的废气必须经过过滤后排放， 规定排放时污染物的残留含量不得超过 原污染物总量的0.5%.已知在过滤过程 中的污染物的残留数量P(单位：毫克/升) 与过滤时间t(单位：小时)之间的函数关 系为P=P。·e:(k为常数，P。为原污染 物总量).若前4个小时废气中的污染物 被过滤掉了80%，那么要能够按规定排放 废气，还需要过滤n小时，则正整数n的 最小值为（参考数据：取1og2≈0.43） ( ) A.8 B.9 C.10 D.14 3.酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为 了保障安全，根据国家有关规定：100毫升 血液中酒精含量达到20~79mg的驾驶 员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉 酒驾车.某驾驶员喝了一定量的酒后，其 血液中酒精含量上升到了0.6mg/mL,如 果停止饮酒后，他的血液中的酒精会以每 小时25%的速度减少，那么他至少要经过 第四章指数函数与对数函数97 几个小时后才能驾车 ( ) A.6 B.5 C.4 D.3 4.为了给地球减负，提高资源利用率，2019 年全国掀起了垃圾分类的热潮，垃圾分类 已经成为新时尚，假设某市2019年全年 用于垃圾分类的资金为5000万元，在此 基础上，每年投入的资金比上一年增长 20%,则该市全年用于垃圾分类的资金开 始超过1.28亿元的年份是（参考数据： 1g1.2≈0.079，lg2≈0.301) ) A.2023年 B.2024年 C.2025年 D.2026年 5.5G是国家基础设施和经济增长新引擎， 也是科技革命和产业变更的重要驱动.中 国华为的5G技术领先世界，2019年1月 24日，华为发布了全球首款5G手机，5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公 式：C=B1og(1+)它表示：在受噪声 干扰的信道中，最大信息传递速度C取决 于信道带宽B,信道内信号的平均功率S, 信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中 是叫做信噪比。当信躁比较大时，公式中 真数中的1可以忽略不计.按照香农公 式，若不改变带宽B,而将信噪比从 1000提升至2000，则最大信息传递速度 C的增长率大约是（其中1g2≈0.3010） ( ) A.10% B.30% C.60% D.90% 98无敌原创同步必刷点数学·必修第一册 6.习近平指出，倡导环保意识、生态意识，构 建全社会共同参与的环境治理体系，让生 态环保思想成为社会生活中的主流文化. 某化工企业探索改良工艺，使排放的废气 中含有的污染物数量逐渐减少.已知改良 工艺前所排放的废气中含有的污染物数 量为2mg/m3,首次改良后所排放的废气 中含有的污染物数量为1.94mg/m3.设 改良工艺前所排放的废气中含有的污染 物数量为。，首次改良工艺后所排放的废 气中含有的污染物数量为r1,则第n次改 良后所排放的废气中的污染物数量为rn, 可由函数模型rn=i一(r一m)·5.m+p(p∈ R,n∈N*)给出，其中n是指改良工艺的 次数. (1)试求改良后rn的函数模型； (2)依据国家环保要求，企业所排放的废 气中含有的污染物数量不能超过 0.08mg/m3.试问：至少进行多少次改 良工艺后才能使得该企业所排放的废 气中含有的污染物数量达标？（参考 数据：取1g2=0.3) 7.某县为践行绿水青山就是金山银山的理 念，大力开展植树造林.假设一片森林原 来的面积为a亩，计划每年种植一些树 苗，且森林面积的年增长率相同，当面积 是原来的2倍时，所用时间是10年. (1)求森林面积的年增长率； (2)到今年为止，森林面积为原来的√2倍， 则该地已经植树造林多少年？ (3)为使森林面积至少达到6a亩，至少需 要植树造林多少年？（精确到整数，参 考数据：1g2=0.3010,1g3=0.4771)3 0 (a十2)t十3=0，要使关于x的方程f2(x)一(a十2)f(x)+ 3=0恰好有六个不同的实数解，则方程t一(a+2)t十3=0 △=(a+2)2-12>0, 1<a+2<2, 在(1,2]内有两不同实数根，所以 2 解得 1-(a+2)+3>0, 22-(a+2)×2+3≥0， 25-2<a≤号，所以实数a的取值范围为(25-2，号]】 故选A.】 9.(0,2)[解析：由x2-4x-2a=0,得2a=|x2-4x|, 1y=2a -2-1,01234衣 作出函数y=1x2一4x|的图象，则由图象可知，要使方程 |x2一4x|一2a=0有四个不相等的实根，则0<a<2.】 10.解：(1)函数有两个零点，则对应方程一3x2十2x一m十 1=0有两个不相等的实数根，易知△>0，即4十12(1 m)>0,可解得m<专由△=0，可解得m=亭：由4<0，可 解得m>专故当m<专时，函数有两个零点：当m=专时， 函数有一个零点：当m>专时，函数无零点. (2)由题意可得f(2)>0,即一7-m>0,则m<一7.故实数 m的取值范围为（一∞，一7）. 11.解：(1)当a=2时，f(x)=2·4-2-1.令f(x)=0,即 2·(2)2-2-1=0,解得2=1或2=-之（舍去).所以 x=0,所以函数f(x)的零点为0. (2)若f(x)有零点，则方程a·4一2一1=0有解，于是a= -(侵)广+()广，令（侵广=，则g=+= (什号）广'一子，因为>0，所以g)在0，十∞)上单调递增， 其值域为(0，十o∞)，所以a>0,即a的取值范围是(0，十∞). 参考答案 197 4.5.2用二分法求方程的近似解 【基础过关】 1.C[解析：能用二分法求零点的函数必须满足在区间[a,b] 上连续不断，且f(a)·f(b)<0.而x3两边的函数值都小于 零，不满足区间端点处函数值符号相异的条件，故选C.】 2.B[解析：据二分法的步骤知当|b一a|小于精确度e时， 便可结束计算.故选B.】 3.ABC【解析：已知f(0.64)<0,f(0.72)>0,则函数 f(x)的零点的初始区间为(0.64,0.72)，又因为0.68 之×(0.64+0.72，且/0.68)<0，所以零点在区间0.68。 0.72)上，|0.72-0.68|=0.04<0.05，所以0.68,0.7,0.72 都符合.故选ABC.】 4(0,)f(子）【解析：根据题意，对于函数f(x)= x+1n(x+2),计算可得f(0)<0,f(分)>0，则其中- 个零点∈(0，号)，第二次计算 0十 即f() 的值.] 5.(2,3)[解析：设函数f(x)=x3一2x一5，因为f(2)= 一1<0，f(3)=16>0,f(4)=51>0,所以下一个有根区间 是(2,3).] 【能力提升】 1.B[解析：因为f(1.25)·f(1.375)<0,故根据二分法 的思想，知函数f(x)的零点在区间(1.25,1.375)内，但区间 (1.25,1.375)的长度为0.125>0.1，因此需要取(1.25， 1.375)的中点1.3125，两个区间(1.25,1.3125)和 (1.3125,1.375)巾必有-个满足区间端点的函数值符号相 异，又区间的长度为0.0625<0.1，因此1.3125是一个近 似解.故选B.] 2.①②【解析：对于①，根据反函数的定义可得，互为反函 数的图象关于直线y=x对称，故①正确；对于②，因为当 x=2时，f(x)=a2-3=a°-3=-2，即图象必过定点(2， 一2)，故②正确；对于③，若函数f(x)在区间[a,b]上满足 函数零点存在性定理，则此函数在区间(a,b)内的零点个数 不一定是奇数个，故③错误；对于④，区间(2,3)的长度为 1,每经过一次操作区间长度变为原来的一半，经过n次操 作后，区间长度为六，故<0.1，即2”≥10，m≥4，故至少经 过4次二分后精确度达到0.1，故④错；对于⑤，函数y 2一x2的零点个数为3，x<0时有一个，还有x=2,x=4,故 198无敌原创同步必刷点数学·必修第一册 ⑤错.故答案为①②.】 3.解：可利用二分法的原理进行查找，设闸门和指挥部所在 点处为A,B,他首先从中点C查，用随身带的话机向两端测 试时，发现AC段正常，断定故障在BC段，再到BC中点D, 发现BD正常，可见故障在CD段，再到CD中点E来看，这 样每查一次，就可以把待查线路长度缩减为一半，故经过7 次查找，就可以将故障发生的范围缩小到50m至100m左 右，即在某两根电线杆附近. 4.5.3函数模型的应用 【基础过关】 1.C[解析：设通过这样的玻璃x块，则由题意得k· 0.9<冬(k>0),化简得0.9<子，两边同时取常用对数， 1g3 可得g0.9<g子，因为g0,9<0,所以x>g0 gg≈一8：邵≈10.31，则至少通过1块玻璃散 选C.】 1 2.C【解析：由题意知a(1-8%)=号，即(1-8%)'=之， 等式两边取常用对数得1g0.92=1g0.5,即tlg0.92= g0.5,所以1-格0品故选C】 3.21n21024【解析：由题意知，当1=2时，y=2,即2= ez,所以k=2ln2,所以y=e2tn2.当t=5时，y=e2x5xm2= 21=1024.即经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为 1024.] 4.2024[解析：设第x年的研发奖金为200万元，则由题 意可得130×1+12%)r=20,所以1.12=号，所以x= ogun9=1og20-og18-话品2一6气品 1g20 1g13 1g2+lg10)-1g1.3+lg102≈0.3+1-0.11-1=3.8. 1g1.12 0.05 即3年后不到200万元，第4年超过200万元，即2024年超 过200万元.] 5.4.58[解析：由题意可得40=10十(100-10)e0.44,化 简可得。8=子，所以-0.24：=1h号=-h3,所以 0.24t=1n3≈1.099，所以t≈4.58.】 6.(3)【解析：由题意知，符合公司要求的模型只需满足： 当x∈[10,1000]时，①函数为增函数；②函数的最大值不 超过5；③y≤x·25%=子x,(1)中，函数y=0.025x,易知 满足这①，但当x>200时，y>5不满足公司要求；(2)中，函 数y=1.0032,易知满足①，但当x>600时，y>5不满足公 司要求；(3)中，函数y=1十log?x,易知满足①，且当x= 100时，y取最大值1+1og,100=1+话7<5，且1+ ogr<x恒成立，故满足公司要求：（④）中，面数y 0,易知满足①，但当x=40时，y>5不满足公司 要求.] 7.解：(1)由题意知，当燕子静止时，它的速度v=0,代入题 中公式，可得0=5kg号解得0=10个单位 (2②)将耗氧量0=40代入题中公式，得。=50：铝- 5log24=10(m/s). 【能力提升】 1.D[解析：由已知可得 1+e0=0.95K,解得 K c0w0=0两边取对数有-0.23-50)=-1h19, 解得t·≈63.故选D.] 2.C[解析：由题意，前4个小时消除了80%的污染物，因 为P=P。·e,所以(1-80%)P。=P。e,所以0.2 e“,即-4k=n0.2=ln子=-1n5,所以k=5,则由 0.5%P,≥P,e,得1n0.005≥-5，即-1n200≥ A -15,所以>4200=4og200=4og(5×2) In 5 4(2+31og2)=8+121og2≈13.16，故正整数n的最小值 为14一4=10.故选C.】 3.C[解析：0.6×100=60mg,则n小时后的血液中酒精 含量为60×(1一25%)=60×0.75"，则60×0.75"<20，即 0.75<号因为()‘=器<第=子()广=品> 引-子，则要想安全驾驶，那么他至少经过4小时，故 选C.] 4.C[解析：设经过n年之后该市全年用于垃圾分类的资 金为y=5000×(1十20%)"，由题意可得y=5000× (1+20%)">12800,即1.2">2.56，所以nlg1.2> g2.56=1g2-2,所以n>g2°-2=8X0.30。-2 0.079 5.16,因为n∈N“,所以n≥6，即从2025年开始该市全年用 于垃圾分类的资金超过1.28亿元.故选C.] 5.A 【解析：将信噪比3从1000提升至200时，C的增长 率为B1og:1+2000)-B10g1+100) Bl1og2(1+1000) 1g20001g1000 1og22001-log1001≈1g2 1g2 _3+lg2-3= 1og21001 1g1000 3 1g2 号号≈宁×0.3010≈0.10=10%：放选A】 6.解：(1)由题意得r。=2,r1=1.94,所以当n=1时，n1= r%-(ro-n)·50.5+P,即1.94=2-(2-1.94)·50.5+0，解 得p=-0.5,所以rn=2-0.06×5.5m-0.5(n∈N·),故改良 后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型为.=2 0.06X50.5m-0,5(n∈N"). (2)由题意可得rm=2-0.06X5.5m-0.5≤0.08，整理得 50.05≥32，两边同时取常用对数，得0.5m-0.5≥g32 1g5 整理得≥2×品+1，将1g2=03代入可得2× 最2+1-9+1≈5.3，又因为a∈N,所以≥6，综上， 至少进行6次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中 含有的污染物数量达标。 7.解：(1)设森林面积的年增长率为x,则a(1十x)0=2a, 解得x=2而一1，所以森林面积的年增长率为2而一1. (2)设已经植树造林n年，则由题意可知：a(1+x)=√2a,所 以a×2品=√2a,所以2品=√2，所以n=5,所以已经植树造林 5年 (3)设为使森林面积至少达到6a亩至少需要植树造林m 年，则a(1十x)"≥6a, 所以2≥6，所以≥g6-指整-业2，所以m≥ 10×g2+g3≈26， 1g2 故为使森林面积至少达到6a亩至少需要植树造林26年. 第五章三角函数 5.1任意角和弧度制 5.1.1任意角 【基础过关】 1.A【解析：因为所有与30°终边相同的角都可以表示为 a=k·360°+30°，k∈Z,取k=一1，得a=-330°.故选A.] 2.C[解析：因为180°<235°<270°，所以235°为第三象限 角.故选C.] 参考答案199 3.C[解析：因为-460°=260°+(-2)×360°，故与-460° 角终边相同的角可以表示成260°+k·360°，k∈Z.故选C.] 4.B[解析：由于时针是顺时针旋转，故时针转过的角度为 负数，即为一 ×360=-120.故选B】 5.C[解析：因为终边在x轴非负半轴上的角的集合为 S1={aa=k1·360°，k∈Z}={a|a=2k1·180°，k∈Z},终边 在x轴非正半轴上的角的集合为S2={a|a=k2·360°十 180°，k2∈Z}={ala=(2k2+1)·180°，k∈Z},所以终边在x 轴上的角的集合为S=S1US2={a|a=k·180°，k∈Z},故 选C.1 6.{ak·360°+45°<a<k·360°+150°，k∈Z)[解析：观 察图形，先找到一个基础范围45°<a<150°，再加上周期k· 360°，所以角a的集合是{a|k·360°+45°<a<k·360°十 150°，k∈Z}.] 7.120°[解析：由于4a与a的始边和终边相同，所以这两 个角的差应是360°的整数倍，即4a一a=3a=k·360°(k∈ Z).所以a=k·120°(k∈Z),又0°<a<180°，所以k=1, a=120°.】 8.139°[解析：与一2021°终边相同的角为一2021°十k· 360°(k∈Z).当k=6时，139°为最小正角.] 9.-160°，200°【解析：因为2000°=200°+5×360°， 2000°=-160°+6×360°，所以在-180°~360°范围内与 2000°角终边相同的角有一160°，200°两个.] 10.150°+k·360°，k∈Z[解析：因为30°与150°的终边关 于y轴对称，所以B的终边与150°角的终边相同.所以B= 150°+k·360°，k∈Z.] 11.③④【解析：第一象限的角不一定是锐角，如400°的角 是第一象限的角，但不是锐角，故①的说法是错误的；同理， 第二象限的角也不一定是钝角，故②的说法也是错误的：钝 角的范围是大于90°且小于180°，所以钝角都是第二象限角， 故③的说法是正确的；一a与a都是以x轴的非负半轴为始 边，旋转方向相反，旋转量相同，所以终边关于x轴对称，故 ④正确.综上，本题答案是③④.】 12.解：(1)如图，直线y=x过原点，直线与x轴正半轴成角 为45°，在0°~360°范围内，终边落在射线OA上的角是45°， 终边落在射线OB上的角是225°，所以以射线OA,OB为终 KB=45 1