14.3角的平分线课件2026-2027学年数学人教版八年级上册

该初中数学课件聚焦“角的平分线”核心内容，涵盖定义、作法、性质与判定，通过情境导入结合“性质题设与结论交换”的思考，构建从性质到判定的逻辑脉络，搭建连贯的学习支架。 其亮点在于融合数学思维与几何直观，通过新知探究中判定定理的HL全等证明培养推理能力，课堂小结以“一个点、二距离、两相等”提炼性质条件，例题结合全等三角形应用强化知识迁移。学生能发展逻辑推理与几何直观，教师可借助系统探究过程和分层练习提升教学效率。

第14章 全等三角形 14.3 角的平分线 情境导入 定义 作法 性质 判定 OP平分∠AOB， PD⊥OA，PE⊥OB， 垂足分别是D，E PD=PE 平行线的性质：两直线平行，同位角相等 平行线的判定：同位角相等，两直线平行 如果把角平分线的性质的题设与结论交换，是否能得到角平分线的判定方法呢？ 思 考 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PEO=∠PDO=90°. ∵在Rt△PEO和Rt△PDO中， PE=PD， PO=PO， ∴Rt△PEO≌Rt△PDO（HL）. ∴∠AOC=∠BOC. ∴点P在∠AOB的平分线OC上. 已知：如图，点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB， 垂足分别为D，E，且PD=PE. 求证：点P在∠AOB的平分线OC上. O A B C P D E ┐ ┐ 复习回顾 FU XI HUI GU 角的平分线的判定 判定定理： 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 应用所具备的条件： （1）位置关系：点在角的内部； （2）数量关系：该点到角两边的距离相等. 判断点是否在角的平分线上. 应用格式： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE， ∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上. 定理的作用： 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 思考 　 (1)都与距离有关，即垂直的条件都应具备． (2)点在角的平分线上 点到这个角两边的距离相等．　 (3)性质反映只要是角平分线上的点，到角两边的距离就一定相等； 判定定理反映只要是到角两边距离 相等的点，都应在角的 平分线上． 角的平分线的性质与判定定理有何关系？ 新知 角的平分线的定理： 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上． C O E B P D A 归纳 在角的内部，角的平分线（顶点除外）可以看成到角的两边距离相等的所有点的集合．常见应用如下： 点在角的平分线上 点到角两边距离相等 性质 定理 题设 题设 结论 结论 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 思考 是因为小于 MN的长为半径画弧时两弧没有交点， 等于 MN的长为半径画弧时不容易操作. 为什么要以适当长为半径画弧线？ 以“适当的长为半径”是为了方便画图，不能太长，也不能太短. A B O M N C 思考 为什么要以大于 MN的长为半径画弧？ 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 思考 “画射线OC”不能说成“连接OC”，因为连接 OC得到的是线段，而角的平分线是一条射线. 两弧交点在什么位置？ 应该在角的内部找所作两弧的交点，因为所作的射线为角的平分线，而角的平分线应该在角的内部. A B O M N C 思考 第（3）步能否说成“连接OC”？ 结论: 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 几何语言: ∵P 是∠AOB 内的一点，PD⊥OA 于 D，PE⊥OB 于 E，且 PD=PE， ∴OP 是∠AOB 的平分线 (角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上). 二、合作交流，探究新知 11 由角的平分线的性质的证明过程，你能概括出证明几何命题的一般步骤吗？ （1）明确命题中的已知和求证； （2）根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； （3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程. 二、合作交流，探究新知 12 应用所具备的条件： （3）垂直距离. 角的平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等． （1）角的平分线； （2）点在该平分线上； 得出新知 用角的平分线的性质解决简单问题 【思路点拨】证和所在的两个三角形全等. 证明： 例：如图中，，平分，于在上， 求证： ，平分，于， ∴ 又∵ ∴ ≌ ∴ 深化拓展 14 角平分线上的点到角两边的距离相等 C A B O D E P 知识点2 角的平分线的性质 应用定理需具备的条件： （1）角的平分线； （2）点在该平分线上； （3）垂直距离. 定理的作用： 证明线段相等 针对训练 1. 如图，AM 是∠BAC 的平分线，点 P 在 AM 上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是 D、E，PD = 4，则 PE = ______. 4 M B C A D E P A B C P D （3）求∆PDB的周长. 解：在Rt△PDA和Rt△PCA中， ∴Rt△PDA≌Rt△PCA. ∴AC=AD， ∴△PDB的周长=PD+PB+DB=PC+PB+DB =BC+BD=AD+BD=AB=14. 角平分线的性质 角平分线的证明 1.如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D．下列结论中错误的是（ ） A.PC = PD B.OC = OD C.∠CPO =∠DPO D.OC = PO D 当堂小练 1. 判断题： （1）如图1，若QM=QN，则OQ平分∠AOB.（ ） （2）如图2，若QM⊥OA于点M，QN⊥OB于点N，则OQ平分∠AOB.（ ） × O B A M 图2 N O B A Q M 图1 N ┐ Q ┐ × ∴Rt△CEB≌Rt△CFD(HL)， ∴DF＝BE. ∵CE＝CF，AC＝AC，∴Rt△AEC≌Rt△AFC(HL)， ∴AF＝AE， ∴DF＝AF－AD＝AE－AD. ∵BE＝AB－AE，DF＝BE， ∴AE－AD＝AB－AE， ∴AE＝ (AB＋AD). C B A D E F 课堂小结 角平分线 尺规作图 性质 添加 辅助线 依据：SSS 一个点： 二距离： 两相等： 角平分线上的点 点到角两边的距离 两条垂线段相等 过角平分线上一点向两边作垂线段 布置作业 作业题 教科书第51-52页练习 第1，2题 $