14.3 角的平分线- 课件 2026--2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦“角的平分线”核心内容，涵盖尺规作图、性质、判定及证明几何命题步骤，通过复习全等三角形引入，以SSS全等证作图依据，衔接性质与判定互逆关系，搭建递进式知识支架。 亮点在于通过“特别解读”“模型解读”培养抽象能力与几何直观，一题多解（如例7两种证法）发展推理意识，生活应用（超市位置问题）强化模型观念。具体如尺规作图步骤解析、性质判定对比，助学生构建逻辑体系，教师可借丰富例题提升教学效率。

14.3 角的平分线 第十四章 全等三角形 知识点 作已知角的平分线 1 知1－讲 已知：∠ AOB. 求作：∠ AOB 的平分线. 作法：：如图14.3-1， (1)以点O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB 于点N. (2)分别以点M，N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧在∠ AOB 的内部相交于点C. 特别解读 1 . “大于MN 的长为半径画弧”是因为若以小于MN的长为半径作出的两弧不能形成交点，以等于MN的长为半径作弧形成的交点不好找. 知1－讲 (3)画射线OC. 则射线OC 即为∠AOB的平分线 2.“画射线OC”不能叙述为“连接OC”，因为角平分线是射线而不是线段. 3. 作图依据是“SSS” 知1－讲 证明：根据前两步作法可知OM=ON，CM=CN. 在△ OMC 和△ ONC 中， OM=ON， CM=CN， OC=OC， ∴△ OMC ≌△ ONC(SSS). ∴∠ AOC= ∠ BOC. 知1－讲 如图14.3-2，已知：∠ AOB，在∠AOB内，求作： ∠ AOM=∠ AOB. 例1 解题秘方：利用尺规作图作两次角平分线即可. 知1－练 6 解：如图14.3-2，作法：(1)以点O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于点E，交OB 于点F； (2)分别以点E，F 为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧在∠ AOB 的内部相交于点C； (3)画射线OC； (4)同理，作∠ AOC 的平分线OM. ∠ AOM 即为所求作的角. 知1－练 7 1-1. 已知：∠ AOB，如图所示，求作：∠ AOB的邻补角的平分线(保留作图痕迹，不写作法) 知1－练 解：如图，射线OP即为所求．(答案不唯一) 知1－练 知识点 角的平分线的性质 2 知2－讲 文字语言 符号语言 图示 角的平分线上的点到角两边的距离相等 如图，∵ OC 是∠ AOB的平分线，P 是OC上一点，PD ⊥ OA，PE ⊥ OB，垂足分别为D，E，∴ PD=PE 指点到角的两边的垂线段的长度 特别提醒 利用角的平分线的性质证明线段相等时，证明的线段是“垂直于角两边的线段”，而不是“垂直于角平分线的线段” 知2－讲 如图14.3-3，在△ ABC 中，∠C= 90°，AD 平分∠CAB，交BC于点D，BD=2CD，点D 到AB 的距离为5.6 cm，求BC 的长. 例2 解题秘方：依据角平分线的性质得出CD的长，进而得出BD 的长，依据BC=CD＋BD即可得解. 知2－练 解：如图14.3 - 3，过点D 作DE⊥AB 于点E. ∵∠ C=90°，AD 平分∠ CAB， 点D 到AB 的距离为5.6 cm， ∴ CD=DE=5.6cm. 又∵ BD=2CD，∴ BD=2×5 .6=11.2(cm). ∴ BC=CD＋BD=5.6＋11.2=16.8(cm). 知2－练 2-1. 如图，在△ABC中，AD 是∠ BAC的平分线，DE ⊥ AB于点E，DF⊥AC于点F，△ABC的面积是225 cm2，AB=28 cm，AC=17 cm， 求DE的长． 知2－练 解：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB， DF⊥AC，∴DE=DF. ∵△ABC的面积是225 cm2，AB=28 cm，AC=17 cm，∴×28·DE+×17·DF=225. ∴DE=DF=10 cm. 知2－练 如图14.3-4，OD 平分∠ EOF，在OE，OF 上分别取 点A，B，使OA=OB，P 为OD 上一点，PM ⊥ BD，PN ⊥ AD，垂足分别为M，N. 求证：PM=PN. 例3 解题秘方：在图中找出符合角的平分线的性质的模型，利用角的平分线的性质证明线段相等. 知2－练 证明：∵ OD 平分∠ EOF，∴∠ BOD= ∠ AOD. 在△ BOD 和△ AOD 中， ∴△ BOD ≌△ AOD(SAS). ∴∠ BDO= ∠ ADO，即DO 平分∠ BDA. 又∵ P为DO上一点，且PM⊥BD，PN⊥AD，∴ PM=PN. OB=OA， ∠ BOD= ∠ AOD， OD=OD， 知2－练 3-1. 如图，已知AC 平分∠ BAD，F在AD上，CE⊥AB，CD⊥AD，点E，D分别为垂足，CF=CB．求证：BE=FD． 知2－练 知2－练 1. 证明一个几何命题的一般步骤 (1)明确命题中的已知和求证； (2)根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； (3)经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程. 已知：命题中的题设部分； 求证：命题中的结论部分 知识点 证明几何命题的一般步骤 3 知3－讲 2. 推理证明中常见的分析方法 (1) 综合法：从已知条件入手，根据已学过的定义、定理、全等的判定方法等，逐步推出要证的结论. (2) 分析法：从要证明的结论出发，根据已学过的定义、定理、全等的判定方法等，寻找使结论成立所需的条件，这样一步步逆推，一直追溯到结论成立的条件与已知条件吻合. 知3－讲 (3)“两头凑”的方法：分别从已知条件和结论入手，当从已知条件推导出的结论与从结论倒推出所需的条件相吻合时，问题可得证. 知3－讲 特别提醒 1.证明一个命题的步骤不是固定不变的，要根据题目的情况而定，但是总体必须是完整的，并且证明的过程必须“步步有据”. 2.证明几何命题所画图形应符合题意，并具有一般性和代表性.在画图时，要考虑是否存在不同的情形，若存在，则要分别画出图形，再分别证明. 知3－讲 求证：两角和其中一角的平分线对应相等的两个三角 形全等. 解题秘方：根据命题的题设结合图形写出已知，根据命题的结论结合图形写出求证. 例4 知3－练 解：已知：如图14.3 -5，在△ ABC 和△ A′B′C′中，AD，A′D′分别为∠ BAC，∠ B′A′C′的平分线，且∠ B= ∠ B′，∠BAC= ∠ B′A′C′，AD=A′D′. 知3－练 求证：△ ABC ≌△ A′B′C′ 证明：∵ AD，A′D′分别平分∠ BAC，∠ B′A′C′， ∴∠ 1= ∠ BAC，∠ 2= ∠ B′A′C′. ∵∠ BAC= ∠ B′A′C′，∴∠ 1= ∠ 2 . 在△ ABD 和△ A′B′D′中， ∴△ ABD ≌△ A′B′D′(AAS). ∴ AB=A′B′ ∠ B= ∠ B′， ∠ 1= ∠ 2， AD=A′D′， 知3－练 在△ ABC 和△ A′B′C′中， ∴△ ABC ≌△ A′B′C′(ASA). ∠ B= ∠ B′， AB=A′B′， ∠ BAC= ∠ B′A′C′， 知3－练 4-1.命题：全等三角形的对应边上的高相等. (1)写成“如果……，那么……” 的形式：___________________________________ ___________________________________； 知3－练 如果两条线段是一对全等三角形对应边上的高，那么这两条线段相等 (2)根据所给图形写出已知、求证和证明过程. 已知：如题图，△ABC≌△A′B′C′，AD⊥BC，A′D′⊥B′C′. 求证：AD=A′D′. 知3－练 知3－练 证明：∵△ABC≌△A′B′C′，∴AB=A′B′，∠B=∠B′. ∵AD⊥BC，A′D′⊥B′C′，∴∠ADB=∠A′D′B′=90°. 在△ABD和△A′B′D′中， ∴△ABD≌△A′B′D′(AAS).∴AD=A′D′. 知识点 角的平分线的判定 4 知4－讲 文字语言 符号语言 图示 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上 如图，∵点P 为∠ AOB 内一点，PD ⊥ OA，PE ⊥ OB，垂足分别为 D，E，且PD=PE，∴点P 在∠ AOB 的平分 线OC 上 勿忽略此前提条件 2. 角的平分线的性质定理与判定定理的关系 知4－讲 拓展 三角形的三条角平分线相交于三角形内一点，且该点到三角形三边的距离相等.反之，三角形内部到三边距离相等的点是该三角形三条角平分线的交点. 知4－讲 如图14.3-7，BE=CF，BF⊥ AC 于点F，CE ⊥ AB 于点E，BF 和CE 交于点D.求证：AD 平分∠ BAC. 例5 知4－练 思路导引： 知4－练 证明：∵ BF ⊥ AC，CE ⊥ AB， ∴∠ DEB= ∠ DFC=90°. 在△ BDE 和△ CDF 中， ∴△ BDE ≌△ CDF(AAS). ∴ DE=DF. 又∵ BF ⊥ AC，CE ⊥ AB，∴ AD 平分∠ BAC. ∠ BDE= ∠ CDF， ∠ DEB= ∠ DFC， BE=CF， 知4－练 特别提醒 1. 角的平分线的判定定理是证明两角相等的重要依据，它比利用三角形全等证明两角相等更方便快捷. 2. 有相等，无垂直，不能证明角平分线，如图14.3-6，QM=QN， 但QM 和QN 不是点Q 到 OA，OB 的垂线段，不能得出OQ 是 ∠ AOB 的平分线. 知4－讲 5-1. 如图，∠AOB＝60 °，P是射线OC上的一点，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，M，N分别是OA与OB上的点，DM＝EN，∠MPN＝120°. 求证：OC是∠AOB的平分线. 知4－练 知4－练 证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PDM＝∠PEO＝∠PEN＝90°. ∵∠DOE＋∠PDO＋∠DPE＋∠PEO＝360°， ∠AOB＝60°，∴∠DPE＝120°. ∴∠DPM＋∠MPE＝120°. 又∵∠MPE＋∠NPE＝∠MPN＝120°，∴∠MPD＝∠NPE. 知4－练 角的平分线 角的 平分线 性质 判定 作一个角 的平分线 尺规 作图 互逆 如图14.3-8，在△ ABC 中，∠ C=90 °，AC=BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E. 若AB= 8 cm，求△DEB的周长. 例6 题型 利用角的平分线的性质求三角形的周长 1 思路导引： 解：在△ABC中，∠C=90°，∴DC⊥AC. 又∵DE⊥AB，AD平分∠CAB，∴DC=DE. 在Rt △ACD和Rt △AED中， ∴ Rt △ACD≌ Rt △AED(HL). ∴AC=AE. ∵AC=BC，∴AE=BC.∴△ DEB 的周长=DE+DB+EB= DC+DB+EB=BC+EB=AE+EB=AB=8 cm. 技巧点拨 已知某条线段的长求三角形的周长时，可以考虑进行转化，将三角形三边的长转化为一条线段的长. [一题多解]如图14.3-9，∠ 1= ∠ 2，P为BN上一点，且PD⊥BC于点D，AB+BC=2BD.求证：∠BAP+∠BCP=180°. 例7 题型 利用角的平分线的性质证明角之间的关系 2 思路导引： 针对方法一 证明：方法一 如图14.3-10，过点P作PE⊥BA于点E. ∵PD⊥BC，PE⊥BA，∠ 1= ∠ 2，∴PE=PD. 在Rt △BPE和Rt △BPD中， ∴Rt△BPE≌ Rt△BPD(HL).∴BE=BD. ∵ AB+BC=2BD，BC=CD+BD， AB=BE-AE，∴ AE=CD. ∵PE⊥BE，PD⊥BC，∴∠PEA= ∠PDC=90°. 在△PEA和△PDC中， ∴△PEA≌△PDC(SAS).∴∠EAP= ∠BCP. ∵∠BAP+ ∠EAP=180°，∴∠BAP+ ∠BCP=180°. 方法二 如图14.3-11，在BC上截取BF=BA，连接PF. ∵ AB+BC=2BD，即AB+BF+FC=2BD， ∴FC=2(BD-BF)=2FD.∴CD=FD. ∵PD⊥BC，∴∠PDF= ∠PDC=90°. 在△PDF和△PDC中， ∴△PDF≌△PDC(SAS).∴∠PFD= ∠PCB. 在△BAP和△BFP中， ∴△BAP≌△BFP(SAS).∴∠BAP= ∠BFP. ∵∠BFP+ ∠PFC=180°，∴∠BAP+ ∠BCP=180°. 模型解读 角平分线的四大基本模型： 如图14.3-12，OP 为∠ MON 的平分线. (1)图中有角平分线，可向两边作垂线. 如图14.3-12 ①，过点P 向两边作垂线，构造全等三角形. (2)图中有角平分线，沿它对折关系现. 如图14.3-12 ②，截取OB=OA，连接BP，构造全等三角形. (3)角平分线加垂线，“三线合一”试试看(第十五章学习). 如图14.3-12 ③，线段与角平分线垂直，顺势延长构造全等三角形，则P 是AB 的中点. (4)角平分线加平行线，等腰三角形必呈现(第十五章学习). 如图14.3-12 ④，由角平分线和平行线得到等腰三角形. [母题 教材P59 复习题T8]如图14.3-13，三条公路l1，l2，l3 两两相交于A，B，C三点，现计划修建一个商品超市，要求这个超市到三条公路的距离相等，问可供选择的地方有多少处？请画出图形并在图中找出来． 例8 题型 利用角的平分线的性质解决生活中的问题 3 即到△ ABC 三边所在直线的距离 思路导引： 解：如图14.3-13 所示. (1)画出△ABC的两个内角的平分线，其交点为O1； (2)画出△ABC的所有外角的平分线，其交点分别为O2，O3，O4． 故可供选择的地方有4 处，分别为O1，O2，O3，O4． 易错警示 找到所围成三角形的三边所在直线的距离相等的点时，易忽略三条直线组成的三角形外的点而致错. [期中·福州马尾区] 如图14.3-14，△ABC中，点D在边BC的延长线上，点F在BA的延长线上，∠ACB=116°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH=58°． 例9 题型 角的平分线的性质与判定的综合应用 4 (1)求∠ACE的度数； 解题秘方：利用平角的定义，直角三角形的两锐角互 余，计算即可； 解：∵∠ACB=116°，∴∠ACD=180°- ∠ACB=64°. ∵EH⊥BD，∠CEH=58°，∴∠DCE=90°- ∠CEH=32°. ∴∠ACE= ∠ACD- ∠DCE=32°． (2)求证：AE平分∠CAF； 解题秘方：作EM⊥BF，EN⊥AC，利用角平分线的性质推出EM=EN，再利用角的平分线的判定证明； 证明：如图14.3-14，过点E作EM⊥BF于点M， EN⊥AC于点N. ∵BE平分∠ABC，EM⊥BF，EH⊥BD， ∴EM=EH. 由(1)可知∠ACE= ∠DCE=32°，即CE平分∠ACD. ∵EN⊥AC，EH⊥CD，∴EN=EH. ∴EM=EN.又∵点E在∠CAF的内部，EM⊥AF，EN⊥AC，∴AE平分∠CAF． (3)若AC+CD=16，AB=10，且S△ACD=24，求△ABE 的面积. 解题秘方：设EM=EH=EN=x，利用S△ACD=S△ACE+S△CDE，求出x 的值，从而求出△ABE的面积．即到△ ABC 三边所在直线的距离 解：由(2)得EM=EH=EN，设EM=EH=EN=x. ∵ S△ACD=24，∴ S△ACE+S△DCE=24. ∴AC·EN+ CD·EH=24，即x·(AC+CD)=24. ∵AC+CD=16，∴ x=3. ∴EM=3. ∵ AB=10，∴△ ABE 的面积为AB·EM= ×10×3=15． 技巧点拨 利用角的平分线的性质解决问题的关键是确定角的平分线上的点到角的两边的垂线段： (1)若已知条件存在这两条垂线段, 则直接得出垂线段相等； (2)若已知条件存在一条垂线段，则考虑通过作辅助线作出另一条垂线段； (3)若已知条件不存在垂线段，则考虑通过作辅助线作出两条垂线段. 如图14.3-15，点P在∠AOB的平分线OC上，过点P的直线与 OA，OB分别交于D，E两点，则PD与PE相等吗？为什么？ 例10 易错点 应用角平分线的性质时，容易忽视“点到角的两边的距离”这一条件而出错 4 错解：相等. 理由如下： ∵OC平分∠AOB，点P在OC上，∴PD=PE. 正解：不一定相等. 理由如下： 虽然点P 在∠ AOB 的平分线上，但PD， PE的长不是点P到∠AOB两边的距离，也没有提供OD=OE或DE⊥OC等条件，故不能应用角平分线的性质或全等三角形的判定说明PD与PE相等. 诊误区： 运用角平分线的性质时，注意“点到角的两边的距离”的条件，不要误认为角平分线上的点与角两边上的任一点的连线都相等. [中考·资阳] 如图14.3-16，在射线BA，BC上，分别截取BM，BN，使BM=BN；然后分别以点M和点N为圆心，大于线段MN一半的长为半径作圆弧，在∠ABC内，两弧交于点D，作射线BD；再过点 D作DE∥BC交BA于点E.若∠BDE= 30°，则∠AED的度数是( ) A.30° B.45° C.60° D.75° 例11 考法 利用角平分线的作法求角的度数 1 试题评析：本题考查角平分线的作法和平行线的性 质，利用角平分线的定义和平行线的性质即可得解. 解：∵DE∥BC，∴∠CBD=∠BDE=30°. 由作图可知，BD平分∠ABC， ∴∠ABC=2 ∠CBD=60°． ∵DE∥BC，∴∠AED= ∠ABC=60°． 答案：C [中考·河南] 如图14.3-17，△ABC中，点D在边AC上，且AD=AB. 例12 考法 作角的平分线(尺规作图)及其应用 2 试题评析：本题考查尺规作图、全等三角形的判定及性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理. (1)请用无刻度的直尺和圆规作出∠BAC的平分线(保留作图痕迹，不写作法)； 解：如图14.3-17， 射线AP即为所求. (2)若(1)中所作的角平分线与边BC交于点E，连接DE，求证：DE=BE． 证明：如图14.3-17，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE= ∠DAE. 在△BAE和△DAE中， ∴△BAE≌△DAE(SAS).∴DE=BE． [中考· 北京]如图14.3-18， 在△ ABC 中，AD 平分∠BAC，DE ⊥ AB． 若AC=2，DE=1，则S△ACD=______． 例13 考法 利用角的平分线的性质求三角形的面积 3 1 试题评析：本题考查角平分线的性质. 解题的关键是利用角平分线的性质求三角形的高. 解：如图14.3-18，过点D作DH⊥AC于点H. ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DH⊥AC， ∴DH=DE=1. ∴ S△ACD= AC·DH= ×2×1=1. 1. 如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，则下列结论错误的是( ) A. PC=PD B. ∠CPD= ∠DOC C. ∠CPO= ∠DPO D. OC=OD B 2. 革命文化 纪念馆周末淇淇和爸爸来到某革命烈士纪念馆参观，他发现有一块展板记录了该革命烈士的部分生平，如图是其示意图. 展板AB长为100 cm，支撑架顶端C恰好为AB的中点，DC⊥AB，射线DB恰好是∠CDE的平分线，则点B到地面DE的距离为( ) A.20 cm B.30 cm C.40 cm D.50 cm D 3. 如图，在四边形ABCD 中，∠ A=90 °，AD=3，BC=5，对角线BD 平分∠ ABC，则△BCD的面积为( ) A.7.5 B.8 C.15 D. 无法确定 A 4. [江苏自主招生]如图，四边形ABDC中，对角线AD 平分∠ BAC，∠ ACD=136 °，∠BCD=44°，则∠ADB 的度数为( ) A.54° B.50° C.48° D.46° D 5. [中考· 湖南]如图，在锐角三角形ABC中，AD是边BC上的高，在BA，BC上分别截取线段BE，BF，使BE=BF；分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，在∠ABC内，两弧交于点P，作射线BP，交AD于点M，过点M 作MN ⊥ AB于点N . 若MN= 2 ，AD=4MD， 则AM=________． 6 6. [母题 教材P53 习题T8]如图，∠ B= ∠C=90 °，E 是BC 的中点，DE 平分∠ ADC，∠CED=35°，则∠EAB=______°. 35 7. [情境题 生活应用]如图，有三条两两相交的道路MN，OA，OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得它到OA，OB的距离相等，请确定该超市的位置P. 解：如图，作∠AOB的平分线交MN于点P，点P即为该超市的位置. 8. 求证：三角形一边的两端到这条边的中线所在直线的距离相等. 解：已知：如图，AD为△ABC的BC边上的中线，且CF⊥AD于点F，BE⊥AD交AD的延长线于点E.求证：BE=CF. 证明：∵AD为△ABC的BC边上的中线，∴BD=CD. ∵CF⊥AD，BE⊥AD，∴∠E=∠CFD=90°. 在△BED和△CFD中， ∴△BED≌△CFD(AAS).∴BE=CF. 9. [期中· 新乡卫辉市]如图，在△ ABC 中，∠ACB的平分线CP与∠ABC的平分线BP相交于点P， 连接AP． (1)求证：AP是∠CAB的平分线； 证明：如图，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥BC于点E，PF⊥AC于点F，则PD，PE，PF分别是点P到AB，BC，CA的距离. ∵CP平分∠ACB，BP平分∠ABC， ∴PE=PF，PD=PE.∴PF=PD. ∴AP是∠CAB的平分线. (2)若△ABC的周长为22，面积为，求点P到AB的距离． 解：∵△ABC的周长为22，∴AB+AC+BC=22. ∵△ABC的面积为，∴S△ABC=S△APB+S△BPC+S△CPA=. ∴AB·PD+ BC·PE+ CA·PF=.由(1)得PE=PF=PD， ∴ (AB+BC+CA)·PD=.∴ ×22·PD=，解得PD=．即点P到AB的距离为. 10.[初高衔接] 【探究发现】如图①，已知△ABC，若AD是∠BAC的平分线，与BC交于点D，可得到结论：=. 小艳的解法如下： 如图①，过点D 作DM⊥ AB 于点M， DN⊥AC于点N，过点A作AP⊥BC于点P. ∵AD是∠BAC的平分线，且DM⊥AB，DN⊥AC， ∴_______________ . ∴==____________. 又∵== ，∴ _______________________. 请补全以上小艳的解法. DM=DN = 【类比探究】如图②，若CD是△ ABC 的外角的平分线，CD与BA 的延长线交于点D，求证：= . 证明：如图①，过点D作DN⊥AC交CA的延长线于点N，过点D作DM⊥BC交BC的延长线于点M，过点C作CP⊥BD于点P.∵CD平分∠MCN,DN⊥AN,DM⊥CM,∴DN=DM. ∴==. ∵==， ∴ACBC=ADBD. 【拓展应用】如图③，在△ ABC 中，∠ BAC=60°，BF，CE 分别是∠ ABC，∠ ACB 的平分线且相交于点D，若=，直接写出的值. 解：的值是. 证明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD， ∴CD＝CE. 在Rt△CBE和Rt△CFD中， ∴Rt△CBE≌Rt△CFD(HL)．∴BE＝FD. 在△PDM和△PEN中， ∴△PDM≌△PEN(AAS)．∴DP＝EP. ∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴OC是∠AOB的平分线． $